Table Of ContentAlgebra SS 2017 (Prof. Henke)
Mitschrift David Holzmüller, Korrekturen Sam Thelin
24. Juli 2017
Inhaltsverzeichnis
1 Gruppen 3
2 Untergruppen 8
3 Erzeugendensysteme von Gruppen 12
4 Normalteiler und Quotientengruppe 16
5 Isomorphiesätze 20
6 Endlich erzeugte abelsche Gruppen 25
7 Operationen von Gruppen auf Mengen 29
8 Sylowsätze 34
9 Auflösbare Gruppen 39
10 Ringe und Ideale 44
11 Struktursätze für Ringe 49
12 Einheiten und Nullteiler 55
13 Polynomringe 60
14 Euklidische Ringe 65
15 Maximale Ideale und Primideale 69
16 Faktorielle Ringe 73
17 Polynomringe über faktoriellen Ringen 77
18 Faktorisieren in Polynomringen 82
19 Körpererweiterungen 86
20 Einfache Körpererweiterungen 91
21 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 95
1
INHALTSVERZEICHNIS 2
22 Algebraischer Abschluss 100
23 Endliche Körper 104
24 Galoiserweiterungen 108
25 Hauptsatz der Galoistheorie 113
26 Kreisteilungspolynome 118
27 Auflösbarkeit von Polynomgleichungen 122
Kapitel 1
Gruppen
Definition 1.1 (Gruppe). Eine Gruppe (G,∗) ist eine Menge G mit einer binären Ver-
knüpfung ∗ : G×G → G,(g,h) 7→ g ∗h, sodass gilt:
(G1) (a∗b)∗c = a∗(b∗c) für alle a,b,c ∈ G.
(G2) Es existiert e ∈ G, sodass für alle a ∈ G gilt: a∗e = a = e∗a.
(G3) Für alle a ∈ G existiert a0 ∈ G mit a∗a0 = e = a0 ∗a.
Falls zusätzlich gilt:
(G4) a∗b = b∗a für alle a,b ∈ G,
so heißt G kommutativ/abelsch. Wir nennen e neutrales Element, a0 inverses Element zu
a. |G| heißt Ordnung der Gruppe G. Notation: Schreibe G statt (G,∗). Die Verknüpfung
∗ ist oft + oder ·. Man spricht entsprechend von einer additiven beziehungsweise einer
multiplikativen Gruppe. Wird die Gruppe additiv geschrieben, dann schreiben wir meist 0
und −a statt e und a0. In der multiplikativen Schreibweise schreiben wir 1 und a−1 statt
e und a0. Schreibe auch ab statt a·b. Schreibe a−b := a+(−b). (Brüche werden nicht
geschrieben.)
Bemerkung 1.2.
(a) Das neutrale Element ist eindeutig: Seien e,f neutrale Elemente in G, dann folgt
e = e∗f = f. Beim ersten Gleichheitszeichen benutzt man, dass f neutrales Element
ist; beim zweiten Gleichheitszeichen benutzt man, dass e neutrales Element ist.
(b) Sei a ∈ G. Das inverse Element a0 zu a ist eindeutig: Seien a0,a00 Inverse zu a. Dann
gilt:
a0 = a0e = a0(aa00) = (a0a)a00 = ea00 = a00 .
(c) Es gilt (a−1)−1 = a und (ab)−1 = b−1a−1.
Beispiel 1.3.
(1) G = {e} mit e∗e = e, die „triviale Gruppe“, ist eine abelsche Gruppe. Die leere
Menge ist keine Gruppe.
3
KAPITEL 1. GRUPPEN 4
(2) Ist (R,+,·) ein Ring, dann ist (R,+) eine abelsche Gruppe, z.B. Z,Z ,Q,R,C. Ist
n
(K,+,·) eine Körper, dann ist (K,+) eine abelsche Gruppe und (K×,·) eine abelsche
Gruppe, wobei K× = K \{0}, z.B. Q,R,C,Z , p Primzahl.
p
Beispiel 1.4.
(1) Ist (V,+,·) ein Vektorraum, dann ist (V,+) eine abelsche Gruppe. Insbesondere ist
M (K) = {n×n-Matrizen über dem Körper K} ein Vektorraum, also eine Gruppe
n
bezüglich Matrixaddition.
(2) Die „allgemeine lineare Gruppe“:
• GL(V) := {f : V → V | f linear und bijektiv} mit Komposition von Abbil-
dungen ist eine Gruppe (im allgemeinen nicht abelsch). Neutrales Element ist
id : V → V,x 7→ x. Eine Abbildung ist bijektiv genau dann, wenn sie invertier-
bar ist. Das Inverse zu einem Element f ∈ GL(V) ist seine Umkehrfunktion
f−1.
• GL (K) := {n×n-Matrizen über K, die invertierbar sind} mit Matrixmulti-
n
plikation ist eine Gruppe. Das neutrale Element ist I . Im Allgemeinen gilt
n
AB 6= BA. Ist |K| = ∞, so enthält GL (K) unendlich viele Elemente. Ist
n
|K| = q, dann gilt
|GL (K)| = (qn −1)(qn −q)(qn −q2)···(qn −qn−1).
n
Beweis: Eine n×n-Matrix ist invertierbar, genau dann, wenn sie aus n linear
unabhängigen Zeilenvektoren besteht. Es gibt qn verschiedene Vektoren im Kn.
Um eine invertierbare Matrix zu bilden, darf die i-te Zeile nicht im Span der
i−1 Zeilen davor liegen; letzterer Span hat qi−1 Elemente.
(3) Definiere die spezielle lineare Gruppe SL (K) := {A ∈ GL (K) | det(A) = 1},
n n
die orthogonale Gruppe O (K) := {A ∈ GL (K) | AA> = I } und die spezielle
n n n
orthogonale Gruppe SO (K) = {A ∈ O (K) | det(A) = 1} = SL (K)∩O (K). Dies
n n n n
sind Gruppen. Zum Beispiel ist SL (K) abgeschlossen bezüglich Multiplikation und
n
Inversenbildung, da die Determinante multiplikativ ist.
Beispiel 1.5.
(a) Sei X 6= ∅ eine Menge. Definiere S := {f : X → X | f bijektiv}. Dann ist (S ,◦)
X X
mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe. Hierbei ist
(f ◦g)(x) := f(g(x))
für alle x ∈ X und f,g ∈ S . S heißt symmetrische Gruppe auf X. Neutrales
X X
Element ist id . Die Inverse zu f ist die Umkehrfunktion f−1. Es ist S abelsch,
X X
genau dann, wenn |X| ∈ {1,2}.
(b) Sei X = {1,...,n}, für n ∈ N. Dann heißt S := S symmetrische Gruppe vom
n {1,...,n}
Grad n. Es gilt |S | = n!. Elemente in S heißen Permutationen. Wir benutzen die
n n
folgenden beiden Notationen für Permutationen:
Matrixnotation: Sei σ : {1,...,n} → {1,...,n} mit σ(1) = a ,...,σ(n) = a .
1 n
Schreibekurz
"1 ... n#
σ = .
a ... a
1 n
KAPITEL 1. GRUPPEN 5
Zykelnotation: Sei {a ,...,a } ⊆ {1,...,n} mit paarweise verschiedenen Zahlen
1 r
a .Definieredenr-Zykel σ = (a ...a )alsdieAbbildungσ : {1,...,n} → {1,...,n}
i 1 r
mit
a 7→ a
1 2
a 7→ a
2 3
.
.
.
a 7→ a
r 1
und σ(a) = a für alle a ∈ {1,...,n}\{a ,...,a }. r heißt Länge des Zykels (a ...a ).
1 r 1 r
2-Zykel heißen Transpositionen. Zum Beispiel sei
"1 2 3 4 5#
σ = ,
3 4 1 5 2
dann ist σ = (13)(245). Zwei Zykel (a ...a ) und (b ...b ) heißen disjunkt, falls
1 r 1 s
{a ,...,a }∩{b ,...,b } = ∅. Man sieht leicht: Disjunkte Zykel kommutieren.
1 r 1 s
Jede Permutation lässt sich eindeutig als Produkt disjunkter Zykel schreiben: Sei
σ ∈ S . Betrachte die Menge {a,σ(a),σ2(a),...} ⊆ {1,...,n}. Es gibt in der ersten
n
Menge Wiederholungen. Angenommen, σi(a) = σj(a) mit i < j. Nach Multipli-
kation mit σ−i = (σ−1)i folgt a = σj−i(a). Sei k ≥ 1 minimal mit σk(a) = a.
Dann ist {a,σ(a),σ2(a),...} = {a,σ(a),σ2(a),...,σk−1(a)}. Wiederholt man obiges
Argument, so sieht man: alle Zahlen in der zweiten Menge sind verschieden. Wir
erhalten also den Zykel (a,σ(a),σ2(a),...,σk−1(a)). Wiederhole nun diesen Vorgang
mit einem Element in {1,...,n}\{a,σ(a),σ2(a),...,σk−1(a)}.
Sei σ = σ ···σ Darstellung von σ als Produkt disjunkter Zykeln der Längen
1 k
l ,...,l . Ohne Einschränkung sei l ≥ ... ≥ l . Dann heißt (l ,...,l ) Zykeltyp von
1 k 1 k 1 k
σ. Also hat σ = (13)(245) = (245)(13) den Zykeltyp (3,2). Es ist (l ,...,l ) ist eine
1 k
Partition von n.
Bemerkung 1.6.
(a) Sei G eine Gruppe, a ∈ G. Die Abbildungen r : G → G,x 7→ x·a und l : G →
a a
G,x 7→ a·x sind bijektive Abbildungen, denn (r )−1 = r und (l )−1 = l .
a a−1 a a−1
(b) Eine Gruppentafel/Multiplikationstafel von G ist eine Matrix, deren Zeilen und
Spalten durch die Elemente von G indiziert sind. Die Einträge in „Zeile a“ sind die
Bilder unter der Abbildung l von G. Die Einträge in „Spalte a“ sind die Bilder
a
unter der Abbildung r von G. Aus (a) folgt, dass in jeder Zeile/Spalte jedes Element
a
aus G genau einmal vorkommt; eine solche Matrix nennt man auch „lateinisches
Quadrat“.
(c) Beispiele: Für |G| = 1,2,3 gibt es jeweils genau eine Multiplikationstafel:
· 1 a b · 1 a a2
· 1 a
· 1 1 1 a b 1 1 a a2
1 1 a =
1 1 a a b 1 a a a2 1
a a 1
b b 1 a a2 a2 1 a
KAPITEL 1. GRUPPEN 6
Die Multiplikationstafel für drei Elemente wurde hierbei mit a2 = b umgeschrieben.
Dies entspricht dem Rechnen modulo drei. Für |G| = 4 gibt es zwei verschiedene
Gruppentafeln. Diese zu finden, ist eine gute Übungsaufgabe. Hier ein erster Hinweis
dazu: Sei G = {1,a,b,c}. Die erste Zeile und erste Spalte der Multiplikationstafel
ergibt sich durch Multiplikation mit dem neutralen Element 1. Um die Matrix weiter
auszufüllen, müssen wir nun Fälle unterscheiden. Betrachten Sie als ersten Fall:
a·b = 1. Warum gilt dann auch b·a = 1. Füllen Sie nun den Rest der Matrix mit
Hilfe der lateinischen-Quadrat-Eigenschaft aus. Welche Fälle müssen als nächstes
betrachtet werden? Obwohl es mehr als zwei Fälle sind, warum gibt es nur zwei
verschiedene Multiplikationstafeln?
Bemerkung 1.7. Seien G,H Gruppen. Eine Abbildung ϕ : G → H heißt (Grup-
pen)homomorphismus, falls
ϕ(x· y) = ϕ(x)· ϕ(y)
G H
für alle x,y ∈ G. Falls zusätzlich
• ϕ injektiv ist, heißt ϕ Monomorphismus.
• ϕ surjektiv ist, heißt ϕ Epimorphismus.
• ϕ bijektiv ist, heißt ϕ Isomorphismus.
• G = H ist, heißt ϕ Endomorphismus.
• ϕ bijektiv und G = H ist, heißt ϕ Automorphismus.
Gruppe G heißt isomorph zu Gruppe H, falls es einen Isomorphismus ϕ : G → H gibt;
schreibe dafür auch G ’ H.
Beispiel 1.8. Seien V,W K-Vektorräume.
(1) Ist T : V → W linear, dann ist T ein Gruppenhomomorphismus, denn T(v +w) =
Tv +Tw.
(2) Sei n ∈ N, dann ist det : (GL (K),·) → (K×,·) ein Gruppenhomomorphismus, denn
n
det(AB) = det(A)det(B).
Bemerkung 1.9.
(a) Sei ϕ : G → H ein Gruppenhomomorphismus, dann gilt für alle g ∈ G:
ϕ(1 ) = 1 und ϕ(g−1) = ϕ(g)−1.
G H
(b) Die Komposition zweier Gruppenhomomorphismen ist ein Gruppenhomomorphismus.
Das Inverse eines bijektiven Gruppenhomomorphismus ist ein Gruppenhomomor-
phismus. Isomorphie ist also eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklassen unter
dieser Äquivalenzrelation heissen Isomorphieklassen.
(c) Isomorphe Gruppen verhalten sich oft gleich: Gilt eine Aussage für eine Gruppe G,
dann auch für alle dazu isomorphen Gruppen. Zum Beispiel: Isomorphe Gruppen
haben „im Wesentlichen“ dieselbe Multiplikationstafel: Ist ϕ : G → H ein Isomorphis-
mus, so gilt insbesondere ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y). Damit sehen die Multiplikationstafeln
der isomorphen Gruppen G und H wie folgt aus:
KAPITEL 1. GRUPPEN 7
· y · ϕ(y)
G H
und .
x x·y ϕ(x) ϕ(x·y)
Macht man in der Gruppentheorie Eindeutigkeitsaussagen, so bedeutet dies oft
Eindeutigkeit bis auf Isomorphie.
Beweis zu (a): Es gilt
ϕ(1) = ϕ(1·1) = ϕ(1)·ϕ(1) ,
also nach Multiplikation mit ϕ(1)−1 auch 1 = ϕ(1)ϕ(1)ϕ(1)−1 = ϕ(1).
Außerdem gilt
ϕ(g)ϕ(g−1) = ϕ(gg−1) = ϕ(1) = 1 = ϕ(1) = ϕ(g−1g) = ϕ(g−1)ϕ(g) .
Da das Inverse eines Gruppenelementes eindeutig bestimmt ist, folgt, dass ϕ(g−1)
das Inverse zu ϕ(g) sein muss.
Kapitel 2
Untergruppen
Definition 2.1. Sei G eine Gruppe, U ⊆ G eine Teilmenge. Dann heißt U Untegruppe
von G (U ≤ G), wenn gilt:
(U1) U 6= ∅,
(U2) a,b ∈ U ⇒ ab ∈ U,
(U3) a ∈ U ⇒ a−1 ∈ U.
Bemerkung 2.2. Sei G eine Gruppe.
(a) Sei U ≤ G Untergruppe. Dann ist U eine Gruppe im Sinne von Definition 1.1.
(b) Seien A,B ⊆ G,c ∈ G. Definiere
A·B := {a·b | a ∈ A,b ∈ B}
c·B := {c·b | b ∈ B} = {c}·B
B ·c := B ·{c}
A−1 := {a−1 | a ∈ A} .
Dann gilt:
(i) U ≤ G ⇔ U 6= ∅,U ·U ⊆ U,U−1 ⊆ U ⇔ 1 ∈ U,U ·U ⊆ U,U−1 ⊆ U.
G
(ii) U ≤ G impliziert U−1 = U (und U ·U = U). Siehe Bemerkung 1.2(c).
Beispiel 2.3.
(a) Sei G eine Gruppe. Dann ist {1} ≤ G und G ≤ G.
(b) Es gilt (Z,+) ≤ (Q,+) ≤ (R,+) ≤ (C,+). Außerdem ist ({−1,1},·) ≤ (Q×,·) ≤
(R×,·) ≤ (C×,·) und ({1,−1,i,−i},·) ≤ (C×,·).
Beispiel 2.4. Die Untergruppen von (Z,+) sind genau die Teilmengen d·Z, für d ∈ Z
(oder d ∈ N ).
0
Beweis. (a) Behauptung: Sei d ∈ Z. Dann ist (dZ,+) ≤ (Z,+).
Beweis.
8
KAPITEL 2. UNTERGRUPPEN 9
(U1) 0 = d·0 ∈ dZ ⇒ dZ 6= ∅.
(U2) dz +dz = d(z +z ) ∈ dZ.
1 2 1 2
(U3) Es gilt −(dz) = d(−z) ∈ dZ.
(b) (i) Sei U ⊆ Z,U 6= {0} und U ≤ Z. Dann existiert u ∈ U mit u 6= 0 und −u ∈ U.
Somit gilt U ∩N 6= ∅. Sei also d := min(U ∩N).
(ii) Behauptung: dZ = U.
Beweis. „⊆“: Da U Gruppe ist, gilt U +U ⊆ U, −U ⊆ U. Nach Definition ist
d ∈ U.Darausfolgtd,d+d,d+d+d,... ∈ U und−d,−d−d,−d−d−d,... ∈ U,
also dZ ⊆ U.
„⊇“: Sei u ∈ U, dann existiert z ∈ Z mit u = dz+r, und mit 0 ≤ r < d (Division
mit Rest). Da U eine Gruppe ist, folgt r = u−dz ∈ U. Da d = min(U ∩N)
gilt, ist r = 0, also u = dz ∈ dZ. Dies zeigt U ⊆ dZ.
Damit ist U = dZ gezeigt.
Bemerkung 2.5. Sei ϕ : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Dann heißt Ker(ϕ) =
{g ∈ G | ϕ(g) = 1 } Kern von ϕ und im(ϕ) = {ϕ(g) | g ∈ G} Bild von ϕ.
H
Dann ist ϕ injektiv genau dann, wenn Ker(ϕ) = {1 }. Und ϕ ist surjektiv, genau dann,
G
wenn im(ϕ) = H.
Beweis. Wir wissen ϕ(1) = 1.
(i) Sei ϕ injektiv. Sei a ∈ Ker(ϕ). Dann folgt ϕ(a) = 1 = ϕ(1), also a = 1.
(ii) Sei Ker(ϕ) = {1} und ϕ(x) = ϕ(y). Dann ist 1 = ϕ(x)ϕ(y)−1 = ϕ(xy−1), also
xy−1 ∈ Ker(ϕ) = {1}, also xy−1 = 1 und damit x = y.
Lemma 2.6. Sei ϕ : G → H ein Homomorphismus. Dann ist
Ker(ϕ) ≤ G und im(ϕ) ≤ H.
Beweis. Da 1 = ϕ(1) ist, folgt Ker(ϕ) 6= ∅. Seien x,y ∈ Ker(ϕ), d.h. 1 = ϕ(x) = ϕ(y),
dann ist ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) = 1·1 = 1 und damit xy ∈ Ker(ϕ). Außerdem ist ϕ(x−1) =
ϕ(x)−1 = 1−1 = 1, also x−1 ∈ Ker(ϕ).
Der Teil im(ϕ) ≤ H bleibt dem Leser als Übungsaufgabe überlassen.
Beispiel 2.7.
(i) Sei σ ∈ S . Definiere sgn(σ) := (−1)ω(σ), wobei
n
ω(σ) := |{(i,j) | 1 ≤ i < j ≤ n,σ(j) < σ(i)}|
die Anzahl der Fehlstellen/Fehlstellungen von σ ist. Dann ist
σ(i)−σ(j)
sgn(σ) = Y .
i−j
i<j
Beispiel:
"1 2 3#
σ = = (13)(2) = (13) .
3 2 1
Wir haben 1 < 2 und 3 > 2, 1 < 3 und 3 > 1, 2 < 3 und 2 > 1. Also sgn((13)) =
(−1)3 = −1. Die zweite Formel liefert
3−2 3−1 2−1
· · = (−1)3 = −1 .
1−2 1−3 2−3
