Algebra Isn't Hard or Demystifying Math: A Gentle Approach to Algebra

93 Pages·2012·0.26 MB·English

Algebra Isn’t Hard
or
Demystifying Math: A Gentle Approach to
Algebra
byPeterJ.Hutnick
17thJuly2004
2
Contents
I Fundamentals ofAlgebra 17
1 Arithmetic 19
1.1 Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1 AlgebraStyleMultiplicationNotation . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2 NotationIntroducedinthisChapter . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1 TheCommutativePropertyofAddition . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2 TheAssociativePropertyofAddition . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3 TheIdentityandInversePropertiesofaddition . . . . . . . . 21
1.4 SubtractionandNegativeNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1 TheNumberLine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.2 Subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.3 TheInversePropertyofAddition . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.1 TheCommutativePropertyofMultiplication . . . . . . . . . 22
1.5.2 TheAssociativePropertyofMultiplication . . . . . . . . . . 22
1.5.3 TheMultiplicativeIdentity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.4 TheDistributivePropertyofMultiplication . . . . . . . . . . 22
1.6 Division(cid:147)and(cid:148)Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.1 TheIdea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.2 Ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.3 Proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.4 FractionsasanExpressionofProbability . . . . . . . . . . . 23
1.6.5 WhatAboutDecimals? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.6 PercentagesasaSpecialCaseofFractions. . . . . . . . . . . 23
1.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 MoreArithmetic 25
2.1 Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 MultiplicationasaSpecialCaseofAddition . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 ExponentiationasaSpecialCaseofMultiplication . . . . . . . . . . 25
3
4 CONTENTS
2.4.1 ANumberRaisedtotheZeroPower . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.2 ANumberRaisedtotheFirstPower . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.2.1 Multiply Numbers with the Same Base by Adding
theExponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.3 ANumberRaisedtotheNegativeFirstPower . . . . . . . . . 26
2.5 FractionalPowersastheArithmeticInverseofExponentiation . . . . 26
2.5.1 The 1Power. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2
2.5.2 The 1Power. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
b
2.5.3 The aPower . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
b
2.5.4 Radicals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 LogarithmsastheAlgebraicInverseofExponentiation . . . . . . . . 27
2.6.1 SimpleLogarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.2 ChangeofBase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 OrderofOperations 29
3.1 Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 OrderofOperations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 SimpleAlgebraicOperations 31
4.1 Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 OrderingTerms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.5 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 Factoring 33
5.1 Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3 BasicFactoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3.1 PrimeFactorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3.2 WhatisFactoring? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3.3 CautioninFactoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.4 SpecialFactors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.5 SpecialProducts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6 NumberTheory 37
6.1 Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.3 Counting(orNatural)Numbers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.4 WholeNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
CONTENTS 5
6.5 Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.6 RationalNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.7 IrrationalNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.8 ImaginaryNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.9 Decimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.10 PrimeNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7 Proportions 39
7.1 Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.3 Ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8 SetsandIntervals 41
8.1 Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
9 EqualityandInequality 43
9.1 Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
10 GraphingLinearEquations 45
10.1 ThePlane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
10.2 OrderedPairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
10.3 PlottingonthePlane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
10.4 Slope-InterceptForm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
10.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
II Functions andGraphs 47
11 Functions 49
11.1 Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
11.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
11.3 FunctionsasaMachine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
11.4 InverseFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
11.4.1 Cautions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
11.5 RationalFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
11.6 FunctionsofFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
11.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6 CONTENTS
12 GraphingLinearFunctions 51
12.1 Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
12.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
12.3 HowdoweKnowaFunctionisLinear? . . . . . . . . . . . . . . . . 51
12.4 TheMostStraightforwardMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
12.5 TheStandardFormofaLinearEquation. . . . . . . . . . . . . . . . 51
12.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
13 MoreonLinearFunctions 53
13.1 Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
13.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
13.3 TheDistanceFormula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
13.4 ThePythagoreanTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
13.5 Thedifference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
13.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
14 SystemsofEquations 55
14.1 Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
14.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
14.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
15 Polynomials 57
15.1 Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
15.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
15.3 TheBinomialTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
15.4 Pascal’sTriangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
15.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
16 QuadraticFunctionsandEquations 59
16.1 Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
16.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
16.3 QuadraticEquations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
16.4 CompletingtheSquare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
16.5 TheQuadraticFormula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
16.6 DerivingtheQuadraticFormula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
16.7 QuadraticFunctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
16.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
17 Zeros 61
17.1 Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
17.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
17.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
CONTENTS 7
18 ConicGraphs 63
18.1 Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
18.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
18.3 ConicsasIntersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
18.3.1 Parabola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
18.3.2 Ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
18.3.3 Hyperbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
18.3.4 Circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
18.4 PlottingConics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
18.4.1 Parabola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
18.4.2 Ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
18.4.3 Hyperbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
18.4.4 Circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
18.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
19 ConicsasLoci 65
19.1 Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
19.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
19.3 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
19.4 Ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
19.5 Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
19.6 Circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
19.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
20 OtherFunctions 67
20.1 Exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
20.2 Logarithmic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
20.3 Rational . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
A SelectedProofs 69
A.1 ANumberRaisedtotheZeroPowerequals1 . . . . . . . . . . . . . 69
B ABriefDiscussionofDecimalsandPrecision 71
C Modeling 73
D Probability 75
E Matrices 77
E.1 Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
E.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
E.3 MatrixOperations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
F AnswerstoOddNumberedExercises 79
8 CONTENTS
G GNUFreeDocumentationLicense 81
1.APPLICABILITYANDDEFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.VERBATIMCOPYING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.COPYINGINQUANTITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.MODIFICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.COMBININGDOCUMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.COLLECTIONSOFDOCUMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.AGGREGATIONWITHINDEPENDENTWORKS . . . . . . . . . . . 84
8.TRANSLATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.TERMINATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.FUTUREREVISIONSOFTHISLICENSE . . . . . . . . . . . . . . . 85
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10 CONTENTS