Table Of Contentpp qq pppp ..qq
qq pp
22 pp
pp
pppp
pp
p
G
pp e
p o
p 2 me
p q tr
q. pp q p ia
C
zê
Ͼ
1
MATEMATYKA
OLIMPIJSKA
(cid:63)
Algebra i Teoria Liczb
Adam Neugebauer
STYCZEŃ 2018
OPRACOWANIE GRAFICZNE
Autor
Wydanie XV
(rozszerzone)
Przedmowa
Mathematik ist die K¨onigin der Wissennschaften und
die Zahlentheorie die K¨onigin der Mathematik.
(Carl Friedrich Gauss)
Przedstawiamy kolejne wydanie pierwszego, z powstających czterech, skryptu z MATEMA-
TYKI OLIMPIJSKIEJ.
Skrypt ten – żółty – przedstawia podstawowe pojęcia i metody elementarnej Algebry i
Teorii Liczb. Kolejnymi są lub będą: skrypt zielony – Geometria (cytowany jako GEO),
skrypt czerwony –Kombinatoryka (cytowanyjako KOM)iskrypt niebieski –Równania
i Nierówności (cytowany jako RIN). Zamiarem pomysłodawców jest, by mogły one służyć
nauczycielom i uczniom zajmującym się Olimpiadą Matematyczną. Byłoby też dobrze, gdyby
matematykę elementarną, w objętości zakreślonej przez te skrypty, znali studenci kierunków
nauczycielskich uniwersytetów.
Przy wyborze przedstawionego materiału kierujemy się, oprócz pierwotnego wymogu ”ele-
mentarności”, względami ”stosowalności” w matematyce olimpijskiej: większość omawianych
tematów inspirowana była przez zadania olimpijskie (krajowe i międzynarodowe). Szczegółowy
spis treści i indeks dają dostatecznie dobre wyobrażenie, na ile należy przy tym rozszerzyć i
pogłębić wykładane w szkołach średnich treści teorioliczbowe i algebraiczne.
Skrypt jest w zasadzie samowystarczalny: zaczyna się od liczb naturalnych. Dążąc do
krzywych eliptycznych, po drodze mówi o jednoznaczności rozkładu na czynniki nieroz-
kładalne w pierścieniu liczb całkowitych i pierścieniu wielomianów, kongruencjach,
ułamkach łańcuchowych, formach kwadratowych, ciągach rekurencyjnych, pierście-
niach kwadratowych, i o równaniach diofantycznych, w szczególności o równaniu in-
dyjskim. Centralnym rozdziałem skryptu jest rozdział 5: badanie reszt z dzielenia liczb cał-
kowitych przez ustaloną liczbę m – moduł – dostarcza mocnego narzędzia teorioliczbowego –
arytmetyki modulo m – z którym powinni oswajać się już gimnazjaliści.
W krótkiej bibliografii, którą uzupełnić należy o rozmaite zbiory zadań z Olimpiad Mate-
matycznych, pokazujemy kilka źródeł dających możliwość rozszerzenia i pogłębienia wiedzy
algebraicznej i teorioliczbowej.
W indeksie zamieszczamy również terminy zaledwie wspomniane w tekście. Powinno to
rozbudzać ciekawość Czytelników i zachęcać do samodzielnych poszukiwań w literaturze.
Znaczek (cid:3) oznacza koniec dowodu twierdzenia lub wskazuje, że dowód opuszczamy. Zna-
czek ♦ oznacza koniec rozwiązania zadania lub koniec przykładu. Czasami zamiast wtedy i
iv
tylko wtedy, gdy piszemy ”iff” (ang. if and only if). Używamy też skrótu ”b.s.o.” zamiast bez
straty ogólności.
Skrypt należy zacząć czytać od Elementarza (rozdział 2) następnie przejść do Arytmetyki
Modularnej (rozdział 5), stopniowo, gdy pojawia się potrzeba, zapoznając się z materiałem
rozdziałów 1, 3 i 4. Kolejność czytania dalszych rozdziałów jest w zasadzie dowolna.
Rozdziały 2, 3 i 4 (w planie: wszystkie) kończą się zestawami zadań treningowych i wska-
zówkami/rozwiązaniami. Proponowana kolejność działań:
(0) dobrze zrozum matematyczną treść zadania i wykonaj eksperymenty rachunkowe,
(1) szukaj rozwiązania (nie rezygnuj przed upływem jednej godziny!),
(2) czytaj (z ołówkiem w ręce) pokazaną wskazówkę/rozwiązanie uzupełniając wszystkie
szczegóły, i porównaj z rozwiązaniem własnym (jeżeli takowe masz),
(3) spróbuj znaleźć uogólnienie,
(4) zreferuj kolegom.
Autor wraz z konsultantem skryptu (którym jest pani Beata Bogdańska – współautor
pozostałych części serii ”Matematyka Olimpijska”) ma nadzieję, że skrypt okaże się przy-
datny w trudnej pracy nad ”otwieraniem” tego co w głowach młodzieży, dzięki zbiorowemu
i (zapewne niezamierzenie) solidarnemu wysiłkowi dorosłych, zostało ”zamknięte”, mianowicie
ciekawości świata. Matematyka, jako królowa nauk, jest z pewnością jednym z lepszych
(może najlepszym) ”otwieraczem” młodych umysłów, a w jej ramach teoria liczb, jako królowa
matematyki, wyróżnia się szczególną ”ostrością”.
APEL
Szanowni Czytelnicy!
Nasze skrypty z Matematyki Olimpijskiej są ciągle w trakcie tworzenia. Mimo naszych wy-
siłków z pewnością pozostało w nich jeszcze sporo do poprawienia. W związku z tym zwracamy
się do Was z apelem o:
(1) krytyczne czytanie,
(2) informowanie o zauważonych błędach i innych niedostatkach zarówno merytorycznych
jak i dydaktycznych (adres: koloroweskrypty @ gmail.com).
Bylibyśmy bardzo wdzięczni za wzięcie sobie do serca tego apelu. Nasze reakcje na Wasze
uwagi zamieszczamy na stronie sites.google.com/site/koloroweskrypty.
Tabliczka chronologiczna
Euklides z Aleksandrii (ok. 365p.n.e. - ok. 300p.n.e.)
Eratostenes z Cyreny (275p.n.e. - 194p.n.e.)
Diofantos z Aleksandrii (III - IV wiek n.e.)
Brahmagupta (598 - 660)
Bhaskara (1114 - 1185)
Leonardo Pisano Bigollo zw. Fibonacci (ok. 1170 - ok. 1240)
Niccolo` Fontana zw. Tartaglia (ok. 1499 - 1557)
Fran¸cois Vi`ete (1540 - 1603)
Claude Gaspard Bachet de M´eziriac (1581 - 1638)
Pierre de Fermat (1601 - 1665)
Isaac Newton (1643 - 1727)
Jakob Bernoulli (1654 - 1705)
Leonhard Euler (1707 - 1783)
´
Etienne B´ezout (1730 - 1783)
Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813)
Adrien Marie Legendre (1752 - 1833)
Sophie Germain (1776 - 1831)
Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)
August Ferdinand M¨obius (1790 - 1868)
Peter Gustav Lejeune-Dirichlet (1805 - 1859)
Joseph Liouville (1809 - 1882)
´
Evariste Galois (1811 - 1832)
James Joseph Sylvester (1814 - 1897)
Pafnucy Czebyszew (1821 - 1894)
Gotthold Eisenstein (1823 - 1852)
Leopold Kronecker (1823 - 1891)
Richard Dedekind (1831 - 1916)
´
Fran¸cois Edouard Lucas (1842 - 1891)
Georg Frobenius (1849 - 1917)
Adolf Hurwitz (1859 - 1919)
Kurt Hensel (1861 - 1941)
David Hilbert (1862 - 1943)
Hermann Minkowski (1864 - 1909)
Jacques Hadamard (1865 - 1963)
Charles de la Vall´ee Poussin (1866 - 1962)
Srinivasa Ramanujan (1887 - 1920)
(cid:54) (cid:54)
Liczby pierwsze 3 p 2011 i ich pierwiastki pierwotne
p g g(cid:48) p g p g p g p g p g p g p g
3 2 −1 173 2 397 5 641 3 887 5 1163 5 1451 2 1721 3
5 2 −2 179 2 401 3 643 11 907 2 1171 2 1453 2 1723 3
7 3 −2 181 2 409 21 647 5 911 17 1181 7 1459 5 1733 2
11 2 −3 191 19 419 2 653 2 919 7 1187 2 1471 6 1741 2
13 2 −2 193 5 421 2 659 2 929 3 1193 3 1481 3 1747 2
17 3 −3 197 2 431 7 661 2 937 5 1201 11 1483 2 1753 7
19 2 −4 199 3 433 5 673 5 941 2 1213 2 1487 5 1759 6
23 5 −2 211 2 439 15 677 2 947 2 1217 3 1489 14 1777 5
29 2 −2 223 3 443 2 683 5 953 3 1223 5 1493 2 1783 10
31 3 −7 227 2 449 3 691 3 967 5 1229 2 1499 2 1787 2
37 2 −2 229 6 457 13 701 2 971 6 1231 3 1511 11 1789 6
41 6 −6 233 3 461 2 709 2 977 3 1237 2 1523 2 1801 11
43 3 −9 239 7 463 3 719 11 983 5 1249 7 1531 2 1811 6
47 5 −2 241 7 467 2 727 5 991 6 1259 2 1543 5 1823 5
53 2 −2 251 6 479 13 733 6 997 7 1277 2 1549 2 1831 3
59 2 −3 257 3 487 3 739 3 1009 11 1279 3 1553 3 1847 5
61 2 −2 263 5 491 2 743 5 1013 3 1283 2 1559 19 1861 2
67 2 −4 269 2 499 7 751 3 1019 2 1289 6 1567 3 1867 2
71 7 −2 271 6 503 5 757 2 1021 10 1291 2 1571 2 1871 14
73 5 −5 277 5 509 2 761 6 1031 14 1297 10 1579 3 1873 10
79 3 −2 281 3 521 3 769 11 1033 5 1301 2 1583 5 1877 2
83 2 −3 283 3 523 2 773 2 1039 3 1303 6 1597 11 1879 6
89 3 −3 293 2 541 2 787 2 1049 3 1307 2 1601 3 1889 3
97 5 −5 307 5 547 2 797 2 1051 7 1319 13 1607 5 1901 2
101 2 −2 311 17 557 2 809 3 1061 2 1321 13 1609 7 1907 2
103 5 −2 313 10 563 2 811 3 1063 3 1327 3 1613 3 1913 3
107 2 −3 317 2 569 3 821 2 1069 6 1361 3 1619 2 1931 2
109 6 −6 331 3 571 3 823 3 1087 3 1367 5 1621 2 1933 5
113 3 −3 337 10 577 5 827 2 1091 2 1373 2 1627 3 1949 2
127 3 −9 347 2 587 2 829 2 1093 5 1381 2 1637 2 1951 3
131 2 −3 349 2 593 7 839 11 1097 3 1399 13 1657 11 1973 2
137 3 −3 353 3 599 7 853 2 1103 5 1409 3 1663 3 1979 2
139 2 −4 359 7 601 7 857 3 1109 2 1423 3 1667 2 1987 2
149 2 −2 367 6 607 3 859 2 1117 2 1427 2 1669 2 1993 5
151 6 −5 373 2 613 2 863 5 1123 2 1429 6 1693 2 1997 2
157 5 −5 379 2 617 3 877 2 1129 11 1433 3 1697 3 1999 3
163 2 −4 383 5 619 2 881 3 1151 17 1439 7 1699 3 2003 5
167 5 −2 389 2 631 3 883 2 1153 5 1447 3 1709 3 2011 3
Spis treści
1 Pojęcia podstawowe 1
1.1 Liczby naturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Kilka zasad podstawowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Zasada Indukcji Matematycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Działania algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Pierścień przemienny. Ciało . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Liczby zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Elementarz 18
2.1 Największy wspólny dzielnik w pierścieniu Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1 Podzielność i dzielenie z resztą w Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2 Ideały w pierścieniu Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3 Największy wspólny dzielnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.4 Zasadnicze Twierdzenie Arytmetyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.5 Najmniejsza wspólna wielokrotność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.6 Algorytm Euklidesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Równanie ax+by = n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Twierdzenie Brahmagupty-Bachet’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2 Twierdzenie Sylvestera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Liczby pierwsze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.1 Istnienie i jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.2 Sito Eratostenesa. Twierdzenie Euklidesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.3 Kilka pytań dotyczących liczb pierwszych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Wykładniki p-adyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.1 Definicje. Formuła Legendre’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.2 Lemat o zwiększaniu wykładnika p-adycznego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Trójki pitagorejskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.1 Trik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.2 Trójki pitagorejskie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Zadania dodatkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.1 Treści zadań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.2 Wskazówki i rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Wielomiany 64
3.1 Pierścień wielomianów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2 Siedem idei podstawowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.1 Pierwsza idea: twierdzenie B´ezout’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.2 Druga idea: algorytm dzielenia z resztą . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
viii SPIS TREŚCI
3.2.3 Trzecia idea: twierdzenie Lagrange’a i o jednoznaczności . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.4 Czwarta idea: pierwiastki wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.5 Piąta idea: postać kanoniczna trójmianu kwadratowego . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.6 Szósta idea: Wielomian jako funkcja rzeczywista . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.7 Siódma idea: wzory Vi`ete’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3 Jednoznaczność rozkładu w pierścieniu wielomianów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.1 Podzielność w pierścieniu wielomianów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3.2 Ideał. Największy wspólny dzielnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3.3 Zasadnicze twierdzenie arytmetyki wielomianów . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.4 Wielomiany nierozkładalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3.5 Jednoznaczność rozkładu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4 Dalsze twierdzenia o wielomianach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.4.1 Zawartość wielomianu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.4.2 Wielomiany nierozkładalne w Q[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4.3 Zasadnicze Twierdzenie Algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4.4 Rozkłady w pierścieniu C[X] i R[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.4.5 Pierwiastki wielomianu Xn−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.4.6 Wielomiany cyklotomiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.4.7 Rozwiązywanie równań stopnia 3 i 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4.8 Wzory Vi`ete’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.4.9 Wielomiany palindromiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.4.10 Wielomian interpolacyjny Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.4.11 Funkcje wymierne. Ułamki proste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.4.12 Funkcje wymierne jako funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5 Wielomiany wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5.1 Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5.2 Tożsamość Sophie Germain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.5.3 Jeszcze dwie faktoryzacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.6 Zadania dodatkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.6.1 Treści zadań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.6.2 Wskazówki/rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4 Funkcje arytmetyczne 143
4.1 Sumy potęg dzielników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.1.1 Funkcja τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.1.2 Funkcja σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.2 Funkcja ϕ Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.3 Splot Dirichlet’a i odwracanie M¨obiusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.3.1 Splot Dirichlet’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.3.2 Twierdzenie M¨obiusa o odwracaniu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.4 Piętnaście zadań dodatkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.4.1 Treści zadań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.4.2 Rozwiązania wybranych ćwiczeń i zadań dodatkowych . . . . . . . . . . . . . . 151
5 Arytmetyka modularna 157
5.1 Wstęp do teorii kongruencji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.1.1 Definicja i cechy podzielności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.1.2 Motywacja: równania diofantyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.1.3 Twierdzenie Schura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
SPIS TREŚCI ix
5.1.4 Kongruencje liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.1.5 Odwracanie modulo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.2 Twierdzenie Eulera, Fermat’a i Wilsona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.2.1 Zupełne i zredukowane układy reszt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.2.2 Twierdzenie Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.2.3 Małe twierdzenie Fermat’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.2.4 Twierdzenie Wilsona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.3 Układy kongruencji liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.3.1 Twierdzenie chińskie o resztach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.3.2 Zadanie o długiej igle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.3.3 Uogólnione twierdzenie chińskie o resztach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.4 Pierścień klas reszt modulo m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.4.1 Działania na warstwach modulo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.4.2 Grupa (Z/m)∗ warstw odwracalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.4.3 Ciało Z/p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.4.4 Pierwiastki kongruencji wielomianowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.4.5 Kongruencje wielomianowe modulo p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.4.6 Ważne zastosowanie twierdzenia chińskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.5 Rząd elementu grupy w teorii liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.5.1 Podgrupy i twierdzenie Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.5.2 Podstawowe własności rzędu elementu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.5.3 Rząd elementu w grupie (Z/m, +) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.5.4 Rząd elementu w grupie ((Z/m)∗, ·) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.5.5 O liczbach pierwszych w ciągach arytmetycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.5.6 Twierdzenie Zsigmondy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.6 Pierwiastki pierwotne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.6.1 Definicja i uwagi wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.6.2 Twierdzenie o istnieniu pierwiastków pierwotnych. . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.6.3 Jeszcze kilka przykładów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.6.4 Indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.6.5 Dwa słowa o liczbach Carmichaela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.7 Reszty kwadratowe i prawo wzajemności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.7.1 Reszty i niereszty kwadratowe modulo p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.7.2 Symbol Legendre’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.7.3 Kryterium Eulera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.7.4 Kryterium Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.7.5 Prawo wzajemności reszt kwadratowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.7.6 Prawo wzajemności a ciągi arytmetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.7.7 Trójmian kwadratowy modulo p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.7.8 Kilka zadań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.7.9 Liczba lokalnie kwadratowa jest kwadratem (globalnym) . . . . . . . . . . . . . 217
5.8 Kongruencje modulo pn. Liczby p-adyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.8.1 Reszty kwadratowe modulo pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.8.2 Lemat Hensela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.8.3 Jedno interesujące zadanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.8.4 Dwa słowa o liczbach p-adycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
x SPIS TREŚCI
6 Dodatkowe wiadomości o wielomianach 224
6.1 Pochodna wielomianu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
6.1.1 Funkcja wielomianowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
6.1.2 Definicja pochodnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.1.3 Twierdzenia Rolle’a i Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.1.4 Wzór Maclaurina i wzór Taylora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.1.5 Pochodna a pierwiastki wielokrotne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.2 Wielomiany symetryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.2.1 Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.2.2 Twierdzenie Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.2.3 Wyróżnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.2.4 Funkcje tworzące . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.3 Liczby algebraiczne i przestępne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.3.1 Wielomian minimalny liczby algebraicznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.3.2 Uwalnianie się od niewymierności w mianowniku . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.3.3 Pierścień liczb algebraicznych całkowitych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.3.4 Nierozkładalność wielomianów cyklotomicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.3.5 Liczby przestępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6.3.6 Twierdzenie Liouville’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6.4 O zerach wielomianów wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.4.1 Combinatorial Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.4.2 Kilka zastosowań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
6.4.3 Twierdzenia Chevalley’a i Warninga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.5 Wielomiany i liczby Bernoulli’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
6.5.1 Sumowanie potęg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
6.5.2 Wielomiany i liczby Bernoulli’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
7 Aproksymacje diofantyczne 250
7.1 Twierdzenie Dirichlet’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.2 Ciągi Farey’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
7.3 Ułamki łańcuchowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
7.3.1 Kanoniczne rozwinięcia. Reguła Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
7.3.2 Nieskończone ułamki łańcuchowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
7.3.3 Złota liczba. Twierdzenie Hurwitza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
7.3.4 Grupa GL (Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
2
7.3.5 Równoważność liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
7.3.6 Niewymierności kwadratowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
7.3.7 Okresowe ułamki łańcuchowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
7.3.8 Twierdzenia Lagrange’a i Galois’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
8 Sumy kwadratów 270
8.1 Jedna ważna tożsamość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
8.2 Sumy dwóch kwadratów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
8.2.1 Twierdzenie Fermat’a-Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
8.2.2 Drugi dowód twierdzenia Fermat’a-Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
8.2.3 Twierdzenie o przedstawieniu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
8.2.4 Funkcja r(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
8.3 Nieco geometrii w teorii liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
8.3.1 Kraty w płaszczyźnie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
