Algebra I: Ausarbeitung der im SS 1961 an der Unlversität Hamburg gehaltenen Vorlesung

93 Pages·1961·5.001 MB·German

by  Emil Artin

Algebra I
Ausarbeitung
der VOI'I
Prof. Dr. EMIL ARTIN
Im ss 1961
an der Unlversität Hamburg gehaltenen Vorlesung

Algebra I
Ausarbeitung
der von
Prof. Dr. EMIL ARTIN
im ss 1961
an der Universität Hamburg gehaltenen Vorlesung
ausgearbeitet von
H. Kiendl und W. Hansen
Offsetdrudc-Fbtodrud:
J.Hogl,6520ErlangenHauptstr.109,(NäheMartin-Luihor-Platz)Tel.22990
Inhaltsverzeichnis
I Gruppentheorie
: 1 Abbildungen, Kompositionen . . . . . . . . r
e —
tae Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . u
r-ua Gruppen mit äußerer Komposition . . . . . . d
bah- Die Sylow'schen Sätze . . . . . . . . . . . om
romu Struktursätze über Gruppen . . . . . . . .
vc Spezielle Gruppen . . . . . . . . . . . . .
II Kommutative und assoziative Ringe
5 1 Quotientenbildung in Ringen . . . . . . . . 26
ä 2 Faktorringe . . . . . . . . . . . . . . . . 31
S 3 Die Einbettung von R in RS . . . . . . . . 55
III Polynome
5 1 Konstruktion des Halbgruppenringes Rßfl . . 38
5 2 Einbettung von R und S in R[ä] . . . . Q . 41
5 3 Einsetzen in Polynome . . . . . . . . . . . 45
IV Idealtheorie in kommutativen und assoziativen Ringen
a« 1 Summe und Produkt von Idealen . . . . . . . 47
mu N Hauptideale, Noethersche Ringe, Primideale 51
mu »x Eindeutige Zerlegbarkeitsringe . . . . . . 55
nq p Hauptidealringe . . . . . . . . . . . . . . 59
vocn« n\\a EIrirneddeuutzigiebilZiteärtlsekgbriaterkreieitni‚nDPeorliyvnaotimonriengnen. .. 6693
a« J— Basissatz von Hilbert . . . . . . . . . . . 74
z« m Existenzsätze über Primideale . . . . . . . 78
V Lösung algebraischer Gleichungen. 82

I. Gruppentheorie
9' l Abbildungen, Kompositionen
Äquivalenzrelation in einer Menge (1.1)
Wenn zwischen den Elementen einer Menge M eine Beziehung anb
definiert ist, (so da13 also für jedes Elementepaar a,b fest-
steht, ob awb ist oder nicht,) so sagt man, in M sei eine
binäre Relation gegeben. Wenn eine solche binäre Relation
den folgenden Bedingungen genügt:
1. ana gi’lt für alle aeM
2. anb => bwa
5. awb und b—ve ä anc
so heißt sie eine Äquivalenzrelation in M. Die Gültigkeit
von l. ‚ 2. und 3. drückt man auch durch die Worte aus: Die
Aquivalenzrelation ist reflexiv, symmetrisch und transitiv.
Man beachte, daß sich aus 2. und 5. nicht l. folgern läßt.
Es sei nämlich anb immer falsch. Dann sind zwar 2. und 5.
erfüllt, aber nicht l. ‘
Eigenschaften einer Aquivalenzrelation:
Zu jedem ae M definiere man die Teilmenge
Ma={xlxeM,a-vx} .
Ma heißt Äquivalenzklasse von a. , a heißt Vertreter oder Re—
präsentant von Ma .
Es ist MacM ‚ ferner Ma ,4 ß ‚ da a eMa. Daher ist M =.E’„Ma‘
Wenn Maa nicht leer ist, so ist Ma = b .
Beweis: Sei ceMaa ‚ d.h. an-c und bwc . Sei dEMa ‚ d.h.
awd ‚ also auch dna . Wegen awc ist dann auch dwc. Mit
cwb folgt hieraus bwd , also de Mb , also Mac Mb .
Analog zeigt man Mbc Ma . Also gilt Ma = Mb . .
Aus M = g M9. folgt, daß M die Vereinigung der verschiedenen
unter den Ma ist. Je zwei verschiedene Ma sind aber disjunkt.
Es liegt also eine Partition von M in nichtleere Teilmengen
vor. Die Umkehrung ist trivial: Jede Partition von M in nicht-
.Leere Teilmengen läßt sich auf eine Äquivalenzrelation zurück—
führen. Es bedeute nämlich anb ‚ daß a und_b in der gleichen
Teilmenge der Partition liegen. I
Abbildungen ' (1.2)
Eine Vorschrift f, die jedem Element einer Menge A genau ein
Element einer Menge B als "Bild" zuordnet, heißt eine Abbil—
dung von A 13B . Schreibweise f: A—>B oder A—f-B . f heißt
äine Abbildung von Agfi B ‚ wenn jedes Element aus B Bild
(mindestens) eines Elementes aus A ist.
Unter dem Bild einer Menge M c A versteht man die Menge
f(M) = {x l xeB mit x = f(y) , yeM}, d.h. die Menge der
Bilder aller Elemente aus M .
Unter dem Urbild einer Menge McB versteht man die Menge
r‘lua) = {x} x 5A, f(x) e M} , d.h. die Menge derjenigen x 5A,
deren Bilder in M liegen. Das Urbild einer Menge kann leer
sein.
(1.5) Kombination von Abbildungen
Sei f eine Abbildung von A in B , g eine Abbildung von B in
C : A—fuBÄc . Dann ist durch h(a) = g(f(a)) , aeA ‚ eine
Abbildung von A in C definiert. Man bezeichnet sie als ü
binierte Abbildung oder als Produkt der Abbildungen f und g.
und schreibt h = g-f .
Man betrachte die kombinierten Abbildungen A—f-B-E-GÄ-D .
Dann ist für jedes xe A
h (gf) (x) = h(g(f(x))) und
(hg) f (x) = h(g(f(x))) .
Das Produkt von Abbildungen ist also assoziativ.
Wichtigkeit dieses Tatbestandes: In den meisten Fällen läßt
sich in der Algebra ein Assoziativgesetz durch Zurückführung
auf Abbildungen beweisen.
(1.4) Kanonische Zerlegung einer Abbildung
Gegeben sei eine Abbildung f: A—eB . Man führe in A eine
Aquivalenzrelation ein durch die Definition alwa2 (=>
f(al) = f(a2) . (Dies ist natürlich eine Äquivalenzrelation).
Die Äquivalenzklassen Aa bestehen aus allen x mit f(x) = f(a).
Sie führen zu einer Partition von A.
Man bilde eine neue Menge A/R (wobei R diese Äquivalenzrela-
tion _abkürzen soll). A/R sei die Menge aller Aquivalenzklas-
sen. (Man unterscheide das Element x von der Menge {x} ).
Unser Ziel ist, f in drei Schritten vorzunehmen.
Zunächst definiere man:
f1: A—oA/B. durch fl(a) = Aa .
Diese Abbildung heißt kanonische oder natürliche Abbildung
von Alu; A/R . Ä ' '
Dann definiere: f2: A/R—-f(A) durch f2(Aa) = f(a) .
f2 ist wohldefiniert, denn aus Aa = Aä folgt a—vä ‚ d.h.
f(a) = f(ä) .’ f2 ist a_uf f(A) . Ferner ist f2 eineindeutig,
denn aus Aaal Aä‚ also a+ä‚ folgt f2(Aa) = f(a) a! f(ä) = f2(Aä).
Schließlich definieren wir
f3: f(A)——.B durch f5(x) =
Diese Abbildung heißt Injektion (nicht Identität). Sie ist
eineindeutig in.
Durch Zusammensetzen der drei Abbildungen erhalten wir
f1 _ä__‚ f“) __1___‚
Aa—l-A/R B .
eineindtg.auf eineindtg.in
wir haben f3(?2(f1(am = f3(f2(Aa)) = f5(f(a)) = r<a> ‚
also f = f3 f2 f1 .
Das ist die kanonische Zerlegng einer Abbildung.
Kompositionen (l.5)
M1, M2, M3 seien drei Mengen. Wenn jedem Paar (a,b) mit ae M1,
b e M2 ein c e M5 zugeordnet ist, spricht man von einer Kompo-
‚sition.
Beispiel: M2 = Menge der im Intervall [0,1] stetigen Funktio—
nen, M3 = Menge der reellen Zahlen, M1 = Menge der Linearfor—
men auf M2 .
Wenn M1 = M2 = M3 ‚ so heißt die Komposition eine innere.
Wenn M2 = M3 ‚ M1 7€ M2 ‚ so sagt man, eine äußere Komposition
mit M1 liegt vor.
Betrachte eine innere Komposition M‚M—aM . Wir definieren
durch Induktion das geordnete Produkt von n Elementen
a1, a2, ‚ an : Es sei bereits für weniger als n Faktoren
definiert Teile {1,2,...‚n} in zwei fremde Mengen: {1,2,...‚r}
und {r+1‚_... ‚nj ‚ _l s r ‘ n—l . Sei pl irgendein geordnetes
Produkt von al‚a2‚...,ar und p2 eines von ar+l‚...,an . Dann
ist pl' p2 ein solches von a.l‚s‚2,...,an .
Übungsaufgabe: Au: wieviel Weisen kann man n Faktoren beklam—
mern?
5 2 Gruppen
Halbgruppen ‘ l. - . (1.6)
Eine Menge ll mit einer inneren Komposition heißt Halbgruppe,
wenn das Assoziativgesetz a(bc) = (ab)c gilt. Dann haben
4
alle geordneten Produkte von a1‚a2,...,an den gleichen Wert.
(Das ist der wirkliche Zweck der Assoziativität).
(1.7) Gruppen
Eine Halbgruppe G heißt Gruppe, wenn gilt:
l. Es gibt ein Linkseinselement es G z e—a = a für alle ae G .
2. Es gibt ein solches Linkseinselement, so daß es auch noch
für alle ae G ein Linksinverses a‘l EG gibt mit a—la = e .
G sei Gruppe. Falls es mehrere geeignete Linkseinselemente
gibt, wähle man ein festes e aus. Zu jedem a wähle man dann
unter den möglicherweise verschiedenen Linksinversen ein a'l.
Nun kommen die Rechnungen, die zeigen, daß e auch Rechtseins—
element und a—l auch Rechtsinverses ist.
Man beklammere (a'1)"la.'laa_l auf zwei Weisen. Es ist
(;_;) (. .) = a'a-l und
e
. weg.) = (a'lrla'l = e .
Also haben wir bewiesen a-a'l =e .
Schließlich beklammere man a-a'loa auf zwei Weisen:
a (a—la) = a-e und (a-a-l)a = e-a = a . Also ist a-e = a .
Man erkennt, eine Halbgruppe ist auch dann Gruppe, wenn man
ein Rechtseinselement und ein Rechtsinverses fordert. Wenn
man dagegen etwa ein Linkseinselement und ein Rechtsinverses
fordert, bekommt man keine Gruppe mehr.
(1.8)
Die Gleichung axb = c ist eindeutig lösbar:
Sei x eine Lösung, dann ist
a..'l‚a. x b„i,b'l = a'lc b_l ,
e e
l
also ist x = a- c b‘1 ein eindeutig bestimmter Wert. Anderer—
seits löst dieser Wert auch die Gleichung.
Auch die Gleichungen a-x = c und x-b = c fallen darunter:
Man löse axe = c bzw. exb = c . Jede lineare Gleichung be-
sitzt also genau eine Lösung.
Speziell kommt jetzt heraus: Es gibt nur ein Einselement und
ein Inverses. Man löse nämlich xa = a bzw. xa = e.
Wegen a-a'l= e ist a das eindeutig bestimmte Inverse von a'l
’
d.h. (a'1)'l = a .