Table Of ContentAlgebra I
Jokke Häsä ja Johanna Rämö
Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Helsingin yliopisto
Kevät 2011
Sisältö
1 Laskutoimitukset 6
1.1 Työkalu: Joukot ja kuvaukset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Joukko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Kuvaukset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Laskutoimituksen määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1 Perusominaisuuksia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2 Neutraali- ja käänteisalkiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Ryhmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.1 Ryhmän määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.2 Merkintöjä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.3 Monoidit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.4 Ryhmien laskutoimitustaulut . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.5 Aliryhmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4 Symmetrinen ryhmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.1 Permutaatiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.2 Symmetrisen ryhmän määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.3 Syklit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.4 Ryhmä S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3
1.4.5 Lisätieto: alternoiva ryhmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Ryhmien teoriaa 48
2.1 Virittäminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2
SISÄLTÖ 3
2.1.1 Yhden alkion virittämät aliryhmät . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.2 Useamman alkion virittämät aliryhmät . . . . . . . . . . . . 53
2.2 Työkalu: Lukuteoriaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.1 Jaollisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.2 Eukleideen algoritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.3 Alkuluvut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2.4 Kongruenssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3 Sykliset ryhmät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.1 Jäännösluokkaryhmä Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3.2 Syklisten ryhmien aliryhmät . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4 Työkalu: Ekvivalenssirelaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.5 Sivuluokat ja Lagrangen lause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.5.1 Sivuluokat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.5.2 Lagrangen lause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.5.3 Lagrangen lauseen sovelluksia . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3 Renkaat 95
3.1 Rengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.1.1 Renkaiden ominaisuuksia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.1.2 Alirengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.1.3 Yksiköt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2 Kunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.3 Kokonaisalue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.3.1 Karakteristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4 Tekijärakenteet 113
4.1 Tekijäryhmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.1.1 Sivuluokkien laskutoimitus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1.2 Normaali aliryhmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.1.3 Tekijäryhmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4 SISÄLTÖ
4.1.4 Normaalien aliryhmien ominaisuuksia . . . . . . . . . . . . . 122
4.1.5 Toinen lähestymistapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2 Tekijärengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2.1 Ideaali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.2.2 Tekijärengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.2.3 Toinen lähestymistapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.3 Ideaalien teoriaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.3.1 Virittäminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.3.2 Kunnat ja maksimaaliset ideaalit . . . . . . . . . . . . . . . 135
5 Homomorfismit 139
5.1 Ryhmähomomorfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.1.1 Ryhmien isomorfisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.1.2 Ryhmähomomorfismien ominaisuuksia . . . . . . . . . . . . 141
5.1.3 Syklisten ryhmien homomorfismeista . . . . . . . . . . . . . 147
5.2 Ryhmien homomorfialause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2.1 Miten homomorfismeista saadaan isomorfismeja . . . . . . . 151
5.3 Rengashomomorfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.3.1 Renkaiden isomorfisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.3.2 Rengashomomorfismien ominaisuuksia . . . . . . . . . . . . 160
5.3.3 Homomorfismit ja tekijärenkaat . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6 Polynomit 165
6.1 Polynomirengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.1 Polynomin määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.2 Polynomien ominaisuuksia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.2 Polynomien jaollisuudesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.2.1 Juuret ja jaollisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.2.2 Rationaalijuuret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
SISÄLTÖ 5
7 Liite: Symmetrioista 178
7.1 Neliön symmetriaryhmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.2 Diedriryhmät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.3 Platonin kappaleiden symmetriaryhmät . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Luku 1
Laskutoimitukset
1.1 Työkalu: Joukot ja kuvaukset
Algebralliset rakenteet muotoillaan joukko-opin käsitteiden avulla, joten niiden
hallitseminen on algebran ymmärtämisen kannalta välttämätöntä. Tässä luvussa
esitellään joukko-opin käsitteistä ja merkinnöistä erityisesti ne, joita tarvitaan al-
gebrassa. Lukua ei välttämättä kannata lukea kokonaan heti aluksi, vaan siihen
voi palata aina silloin, kun joukko-opin käsitteet tarvitsevat selvennystä.
1.1.1 Joukko
Joukko on hyvinmääritelty kokoelma olioita, joita kutsutaan sen alkioiksi. Jouk-
ko on annettu, kun kaikki sen alkiot tunnetaan, eli jokaisesta oliosta tiedetään,
kuuluuko se joukkoon vai ei. Esimerkiksi seuraavat ovat joukkoja:
N (luonnolliset luvut eli luvut 0, 1, 2, ...)
•
Z (kokonaisluvut)
•
Q (rationaaliluvut)
•
R (reaaliluvut)
•
{0,1,2,3} (joukko, jonka alkioita ovat luvut 0, 1, 2 ja 3)
•
{porkkana, lanttu, nauris}
•
6
1.1. TYÖKALU: JOUKOT JA KUVAUKSET 7
Olio voi olla jonkintietyn joukon alkio vainyhden kerran. Joskus saatetaanjos-
takin syystä joutua kirjoittamaan jokin joukon alkio useampaan kertaan, esimer-
kiksi 0,1,2,2 . Tämä ei kuitenkaan tarkoita, että joukossa olisi kaksi kakkosta,
{ }
vaan kyseessä on joukko 0,1,2 .
{ }
Olkoon A joukko. Jos a kuuluu joukkoon A, niin käytetään merkintää a A.
∈
Jos a ei kuulu joukkoon A, niin merkitään a / A. Esimerkiksi 1 N ja 1 / N.
∈ ∈ − ∈
Joukot A ja B ovat samat, jos niissä on täsmälleen samat alkiot, eli a A jos
∈
ja vain jos a B. Tällöin merkitään A = B.
∈
Joukko B on joukon A osajoukko, jos kaikilla b B pätee b A. Tällöin
∈ ∈
merkitään B A. Vaihtoehtoisesti voidaan kirjoittaa A B. Jos joukko B ei ole
⊂ ⊃
A:n osajoukko, niin merkitään B A. Esimerkiksi N Z ja 0,1, 2 Z. Joukko
%⊂ ⊂ { 3} %⊂
B on joukon A aito osajoukko, jos B A ja B = A. Jos halutaan korostaa sitä,
⊂ %
että B on aito osajoukko, voidaan käyttää merkintää B ! A.
Josontodistettava,ettäjoukkoB onjoukonAosajoukko,niinotetaanmielival-
tainen alkio joukosta B ja osoitetaan, että se on joukossa A. Jos halutaan todistaa,
että joukot A ja B ovat samat, niin on osoitettava, että A B ja B A.
⊂ ⊂
Tyhjä joukko on joukko, joka ei sisällä yhtään alkiota. Se on jokaisen joukon
∅
osajoukko. Jos joukko ei ole tyhjä, sitä kutsutaan epätyhjäksi. Joukkoa, jossa on
vain yksi alkio kutsutaan yksiöksi.
Josjoukonalkiotvoidaanmääritelläjonkinehdonavulla,voidaanjoukollekäyt-
tää merkintää a ehto, jonka a toteuttaa . Tällöin joukkoon kuuluvat kaikki ne
{ | }
alkiot, jotka toteuttavat annetun ehdon. Esimerkiksi joukko x R x > 0
{ ∈ | }
sisältää kaikki positiiviset reaaliluvut.
Joukkoja voidaan ajatella ämpäreinä, joissa on tavaroita. (Tässä ajattelutavas-
sa on tiettyjä puutteita, mutta emme huolehdi niistä nyt.) Tyhjä joukko on tyhjä
ämpäri. Kolmen alkion joukko voi olla esimerkiksi ämpäri,jossa on porkkana, lant-
tu ja nauris. Jos ämpäristä otetaan vihanneksia pois, saadaan aikaan alkuperäisen
joukon osajoukko. Eräs osajoukko on siis ämpäri, jossa on vain porkkana ja lant-
tu. Jos ämpäristä otetaan kaikki tavarat pois, niin jäljelle jää tyhjä ämpäri. Tyhjä
joukko on siis jokaisen joukon osajoukko.
OlkoonajoukonAalkio.Ontärkeääymmärtääeromerkintöjenaja a välillä.
{ }
Edellisessä merkinnässä on kyse alkiosta a ja jälkimmäisessä taas A:n osajoukosta,
joka sisältää alkion a. Aivan kuten porkkana ja ämpäri, jossa on porkkana, ovat
eri asioita. Samalla tavoin ja eivät ole sama asia. Edellinen on tyhjä ämpäri,
∅ {∅}
ja jälkimmäinen saavi, jossa on tyhjä ämpäri.
Myös merkintöjen a A ja a A ero on oleellinen. Tarkastellaan joukkoa
∈ ⊂
A = 0 , 1 . Sen alkioita ovat siis joukot 0 ja 1 , joten 0 A ja 1 A.
{{ } { }} { } { } { } ∈ { } ∈
8 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET
Toisaalta 0 A. Jos nimittäin 0 A, niin silloin jokaisen joukon 0 alkion
{ } %⊂ { } ⊂ { }
pitäisi olla myös joukon A alkio. Joukon 0 ainoa alkio on 0, mutta se ei ole
{ }
joukon A alkio, ja siksi 0 A. Jos sen sijaan tutkimme joukkoa B = 0,1 , niin
{ } %⊂ { }
0 B, mutta 0 B.
{ } %∈ { } ⊂
Ämpäreillä ilmaistuna merkintä a A tarkoittaa sitä, että ämpärissä A on
∈
tavara a. Merkintä a A puolestaan tarkoittaa, että a ja A ovat ämpäreitä, joissa
⊂
on samoja tavaroita, mutta a:ssa niitä on mahdollisesti vähemmän kuin A:ssa.
Joukko-operaatiot
Joukkojen A ja B yhdiste on joukko A B = x x A tai x B .
• ∪ { | ∈ ∈ }
Joukkojen A ja B leikkaus on joukko A B = x x A ja x B .
• ∩ { | ∈ ∈ }
Joukkojen A ja B erotus on joukko A B = x A x / B .
• \ { ∈ | ∈ }
Esimerkiksi joukkojen
A = 0,1,2 ja B = 1,3
{ } { }
yhdiste on A B = 0,1,2,3 , leikkaus A B = 1 ja erotus A B = 0,2 .
∪ { } ∩ { } \ { }
A B A B A B
A!B A"B A\B
Kuva 1.1: Joukko-operaatioita.
Usein tarkastellaanjotaintiettyä perusjoukkoa E sekä senosajoukkoja. Tällöin
joukonA E komplementti (joukonE suhteen)onjoukkoAC = E A.Esimerkiksi
⊂ \
joukon 0,1,2 komplementti joukon N suhteen on 3,4,5,... .
{ } { }
Yhdistejaleikkausvoidaanyleistääkoskemaanuseampaakuinvainkahtajouk-
koa.OlkoonI joukko,jotakutsutaanindeksijoukoksi, jaolkoonjokaistai I kohti
∈
annettu joukko A . Joukkojen A yhdiste on joukko
i i
A = a a A jollakin i I .
i i
{ | ∈ ∈ }
i I
!∈
1.1. TYÖKALU: JOUKOT JA KUVAUKSET 9
E
AC
A
Kuva 1.2: Komplementti.
Joukkojen A leikkaus on joukko
i
A = a a A kaikilla i I .
i i
{ | ∈ ∈ }
i I
"∈
Jos indeksijoukko on muotoa I = n,n + 1,...,m joillakin n,m N, niin
{ } ∈
voidaan kirjoittaa
m
A = A .
i i
i I i=n
!∈ !
Jos esimerkiksi indeksijoukkona on I = 1,2,3 ja oletamme, että A =
1
{ }
0,1,2 , A = 0,2,4 ja A = 1,2,3 , niin
2 3
{ } { } { }
3
A = A = A A A = 0,1,2,3,4
i i 1 2 3
∪ ∪ { }
i I i=1
!∈ !
ja
3
A = A = A A A = 2 .
i i 1 2 3
∩ ∩ { }
i I i=1
"∈ "
1.1.1 Esimerkki. Todistetaan esimerkin vuoksi seuraava joukkoja koskeva tulos:
Jos B A, niin A B = A. Todistuksesta käy ilmi, kuinka joukkoja käsitellään.
⊂ ∪
On siis osoitettava, että A B A ja A A B.
∪ ⊂ ⊂ ∪
“ ”: Oletetaan, että a A B, ja osoitetaan, että a A. Oletuksen nojalla
⊂ ∈ ∪ ∈
a A tai a B. Jos a A, niin väite tietenkin pätee. Jos taas a B, niin ehdosta
∈ ∈ ∈ ∈
B A seuraa, että a A. Siten a A ja edelleen A B A.
⊂ ∈ ∈ ∪ ⊂
10 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET
“ ”: Oletetaan, että a A ja osoitetaan, että a A B. On siis osoitettava,
⊃ ∈ ∈ ∪
että a A tai a B. Koska oletimme, että a A, niin väite on totta. Siten
∈ ∈ ∈
A A B.
⊂ ∪
Koska A B A ja A A B, niin A B = A.
∪ ⊂ ⊂ ∪ ∪
Joukko-operaatioille pätevät seuraavat lait.
1.1.2 Lause (Osittelulait).
A (B C) = (A B) (A C)
∪ ∩ ∪ ∩ ∪
A (B C) = (A B) (A C)
∩ ∪ ∩ ∪ ∩
1.1.3 Lause (de Morganin lait).
(A B)C = (AC BC)
∪ ∩
(A B)C = (AC BC)
∩ ∪
Todistus. Lauseiden todistus jätetään harjoitustehtäväksi.
JoukonApotenssijoukko (A)onsenkaikkienosajoukkojenmuodostamajouk-
P
ko. Esimerkiksi joukon 0,1,2 potenssijoukko on joukko
{ }
, 0 , 1 , 2 , 0,1 , 0,2 , 1,2 , 0,1,2 .
{∅ { } { } { } { } { } { } { }}
Järjestetty pari (a,b) on alkioista a ja b muodostettu pari, jossa alkioiden a ja
b järjestyksellä on väliä. Olkoot A ja B joukkoja. Niiden karteesinen tulo A B
×
koostuu järjestetyistä pareista (a,b), missä a A ja b B.
∈ ∈
Esimerkiksi joukkojen 0,1,2 ja 1,3 karteesinen tulo on joukko
{ } { }
(0,1),(0,3),(1,1),(1,3),(2,1),(2,3) .
{ }
Yleisemmin voidaan määritellä useamman kuin kahden joukon karteesinen tu-
lo. Jos A ,A ,...,A ovat joukkoja, niin niiden karteesinen tulo
1 2 n
A A A
1 2 n
× ×···×
koostuu n-jonoista (a ,a ,...a ), missä a A kaikilla i 1,2,...,n
1 2 n i i
∈ ∈ { }
