Algebra: Für Studierende der Mathematik, Physik, Informatik

236 Pages·2004·14.009 MB·German

by  Prof. Dr. Gisbert Wüstholz (auth.)

Gisbert Wiistholz
Algebra
vieweg studium
Aufbaukurs Mathematik
Herausgegeben von Martin Aigner, Peter Gritzmann, Volker Mehrmann
und Gisbert Wustholz
Martin Aigner
Diskrete Mathematik
Walter Alt
Nichtlineare Optimlerung
Albrecht Beutelspacher und Ute Rosenbaum
Projektive Geometrie
Gerd Fischer
Ebene algebraische Kurven
Wolfgang Fischer und Ingo Lieb
Funktionentheorie
Otto Forster
Analysis 3
Klaus Hulek
Elementare Aigebraische Geometrie
Horst Knarrer
Geometrie
Helmut Koch
Zahlentheorie
Ulrich Krengel
Einfiihrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Wolfgang Kuhnel
Differentialgeometrle
Ernst Kunz
Elnfiihrung in die algebraische Geometrie
Werner Lutkebohmert
Codlerungstheorle
Reinhold Meise und Dietmar Vogt
Einfiihrung In die Funktlonalanalysis
Erich Ossa
Topologie
Jochen Werner
Numerische Mathematik I und II
Jurgen Wolfart
Elnfiihrung in die Zahlentheorie und Algebra
Gisbert Wustholz
Algebra
vieweg _________________
~
Gisbert Wustholz
Algebra
Fur Studierende der Mathematik,
Physik, Informatik
~
vleweg
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
. detaillierte bibliografische Daten sind im Internet uber <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Prof. Dr. Gisbert Wustholz
Eidgenossische Technische Hochschule Zurich
Departement Mathematik
Ramistrasse 101
8092 Ziirich
Switzerland
E-Mail: [email protected]
1. Auflage Juli 2004
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn VerlagjGWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2004
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Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
ISBN-13: 978-3-528-07291-9 e-ISBN-13: 978-3-322-85035-5
DOl: 10.1007/978-3-322-85035-5
Vorwort
Ein Vorwori ist fur ein Buch so wichtig und so hubsch wie der Vorgarien fur ein Haus.
Naturlich gibt es auch Hauser ohne Vorgarichen und Bucher ohne Vorworichen, Verzei
hung, ohne Vorwort. Aber mit einem Vorgarten, nein, mit einem Vorwori sind mir die
Bucher lieber. Ich bin nicht dafur, dass die Besucher gleich mit der Ture ins Haus fallen.
Es ist weder fur die Besucher gut, noch furs Haus. Und fur die Tur auch nicht.
So ein Vorgarten mit Blumenmbatten, beispielsweise mit bunten, kunterbunten Stief
mutter-chen, und einem kleinen kurzen Weg aufs Haus zu, mit dr-ei, vier Stufen bis zur
Tur und zur Klingel, das soll eine Unari sein? Mietskasernen, ja siebenstockige Wol
kenkmtzer-, sie sind im Laufe der Zeit notwendig geworden. Und dicke Bucher-, schwer
wie Ziegelsteine, naturlich auch. Trotzdem gehort meine ganze Liebe nach wie vor den
klein en gemutlichen Hausern mit den Stiefmutterchen und Dahlien im Vor-garten. Und
den schmalen hand lichen Buchern mit ihrem Vorwori.1
In diesem Buch will ich den Lesern einiges aus meiner Algebra erzahlen, nur einiges, nicht
alles. Sonst wiirde es eines der dicken Biicher, die ich nicht mag, schwer wie Ziegelsteine,
und mein Schreibtisch ist ja schlie£lich keine Ziegelei, und iiberdies nicht alles, was ich
iiber Algebra weiJ3, eignet sich dafiir, dass es jeder wissen muss.
Das Hauschen, urn das es hier geht, ist eigentlich kein Hauschen im iiblichen Sinn,
sondern eher eine uralte und ehrwiirdige Anlage. Sie ist aber nicht alt geblieben, sondern
sie hat im Laufe der Jahrtausende viele Veranderungen erfahren. Es sind neue Gebau
deteile hinzugekommen, andere wurden renoviert oder gar abgerissen. Manche Fassaden
wurden erneuert, ohne im Inneren etwas zu verandern. Dadurch hat sich im Laufe der
Zeit ein Fliigel an den andern gereiht, und aIle haben ihren eigenen Charme.
Und wenn man die Anlage betritt, so doch am besten durch die Tiire, an der Stelle,
von der sich die Anlage ausbreitet. Man wird dann zwangslau£lg und ganz von selbst von
einem Teil zum andern gefiihrt, nicht immer gerade auf demselben Weg.
In man chen Teilen mochte man langer verweilen, durch andere geht man etwas ziigi
ger. Gelegentlich gibt es Winkel, iiber die man iiberrascht ist, weil man sie nicht erwartet
hat.
An etlichen Stellen kann man iiber steile Treppen in ein Turmzimmer steigen, und
wenn man es geschafft hat, erhascht man einen wunderbaren Ausblick iiber ein verzau
berte Landschaft. Dann merkt man, dass die Miihe sich gelohnt hat.
Manchmal sind solche Anstiege aber auch sehr anstrengend und erfordern eine groJ3e
Ausdauer, wenn man nicht zuvor beschlieJ3t, besser umzukehren. Oftmals ist es so, dass
es auch gut ist umzukehren. Das belasst einen Teil der Anlage unerforscht, gibt jedoch
die Moglichkeit, wiederzukehren und immer noch Neues zu £lnden.
laus Erich Kastner, Als ich ein kleiner Junge war
vi
. Manche Teile zu besuchen, erfordert eine gro:Be Konzentration, die ermudet. Aber am
Ende merkt man, dass sieh der Weg gelohnt hat, weil man unterwegs an vielen schonen
und interessanten Stellen vorbeigekommen ist und neue Erfahrungen gemacht hat.
Ganz wichtig sind Treppenhauser und Korridore. Ihre Eleganz und Transparenz ver
mitteln Zusammenhange. Sie sind ein Abbild der inneren SchOnheit und der logischen
Konsistenz der Anlage.
Dieses Buch ist so etwas wie ein kleiner Leitfaden fur einen Besuch dieser herrlichen
und bewundernswerten Architektur. Es mochte dem Leser einige der schonsten Teile
vorstellen. Natlirlich ist die Auswahl nieht immer zwingend, aber im Laufe der Zeit hat
sieh doch ein recht fest umrissenes Programm herausgebildet. Manchmal wird dieses
Programm zu einem dieser schweren Ziegelsteine ausgestaltet, von denen eingangs die
Rede war. Dann werden die Bucher eben dicke Bucher, gleieh von Anfang an.
Manchen £alIt es bei Schreiben von Buchern uber Algebra schwer, eine Auswahl zu
treffen, sie verlieren das Gefiihl dafiir, was der Leser in verniinftiger Zeit bewrutigen kann,
und so gerat die Tour zu einer fast unendlichen Wanderung.
In anderen Fallen beginnt es eben so, wie es in diesem Biichlein versucht wird, mit
einer schonen Auswahl. Aber dann, wenn das Buch neu aufgelegt wird, kommt etwas
hinzu, was man beim ersten Mal vergessen zu haben wahnt, es wird eingefiigt, und nach
einiger Zeit endet die Geschiehte schlie:Blich ebenso mit einem Marathon.
Die Gruppentheorie - sie steht ganz am Anfang unseres Rundwegs. Dnd je langer
ieh an diesem Biichlein gearbeitet habe, desto mehr bin ieh zur festen Uberzeugung
gelangt, dass sie die zentrale Theorie innerhalb der Algebra ist. Man wahnt sieh, wenn
man schlie:Blich bei der Korpertheorie angelangt ist, weit entfernt von ihr in einem sehr
feinstrukturierten Flugel unserer Anlage und muss dann plotzlich doch feststellen, dass
sieh alles wieder auf die Gruppentheorie reduziert: diese einfache Struktur, die mit ein
paar Axiomen auskommt und dennoch so weitreiehend ist.
Sie beschreibt eben innere Symmetrien komplizierter Theorien und macht diese trans
parent und kristallin. Dnd ist selbst ein wunderbares Beispiel dafiir, wie sich Mathematik
fast aus dem Niehts entwiekelt und zu einer gro:Bartigen Kathedrale erhebt, ganz aus sich
selbst durch elegante Argumente und Schliisse.
Das sind unsere Treppenhauser und Korridore, die nieht nur eine Funktion, sondern
dariiber hinaus eine innere Asthetik tragen. Diese zeiehnet sieh durch Einfachheit und
Natiirlichkeit aus. Ich habe wahrend der Arbeiten an diesem Buch festgestellt, dass in
vielen Fallen nicht die Objekte selbst, auf die man sti:i:Bt, die natiirlichen sind, sondern
oftmals die zu ihnen in gewisser Weise dualen Objekte. Ein schi:ines Beispiel dafiir ist
die induzierte Darstellung, der wir ganz am Ende, wenn sieh der Kreis zu schlie:Ben
beginnt, in der Darstellungstheorie endlicher Gruppen begegnen. Hier haben wir einen
zu dem iiblichen Zugang verschiedenen, eben ganz natiirlichen gewahlt, wie er in der
Darstellungstheorie unendlicher und kontinuierlicher Gruppen notwendig wird, auf den
mich freundlicherweise Vladimir Popov hingewiesen hat.
Gute Architektur, insbesondere wenn sie sehr komplex und ausgedehnt ist, besitzt
Leitmotive. Dies ist auch bei unserer Algebra der Fall. Wir haben versucht, eines dieser
Leitmotive deutlich herauszustellen: die symmetische Gruppe. Sie tritt immer wieder in
ganz natiirlicher Weise auf, insbesondere bei den platonischen Ki:irpern, denen wir ein
Kapitel gewidmet haben, was an sieh sehr uniiblich fiir Biicher zur Algebra ist. Doch
sie sind so einzigartig - und das beweisen wir auch - dass wir nieht auf ihre Vorstellung
vii
v~rzichten woHten. Einer von ihnen, das beruhmte Ikosaeder, dem Felix Klein ein ganzes
Buch gewidmet hat, tdigt ein weiteres Leitmotiv, den goldenen Schnitt. Drei Rechtecke,
deren Seiten im Verhaltnis des goldenen Schnitts stehen und die in der richtigen Weise
ineinandergesteckt sind, definieren die Ecken des Ikosaeders. Das Seitenverhaltnis der
Rechtecke ist auf einzigartige Weise definiert, es taucht bei quadratischen Zahlkorpern
als Fundamentaleinheit auf, die man mit Hilfe des Kettenbruchalgorithmus bestimmen
kann und die Ziffern des dazugehorigen Kettenbruchs sind aIle gleich l.
Es hat lange gedauert, bis dieses Buchlein fertiggestellt war, und viele, auBer dem
Autor selbst, mussten sich in Geduld uben: der Verlag, die Studenten, die meine Vor
lesung an der ETH Zurich besucht haben und nicht zuletzt meine Familie. Viele haben
mitgeholfen: Oliver Baues, Leo Summerer, Philipp Reinhard von der ETH Zurich und
- beim Aufbereiten einer druckfertigen Version - Oliver Fasching von der Universitat
Wien. Ganz besonderer Dank gilt auch meinem KoIlegen Paul Balmer. Er hat sich der
Muhe unterzogen, das Manuskript kritisch durchzugehen, und dann zahlreiche wertvoIle
Ver besserungsvorschlage einge bracht.
Dieses Buchlein besitzt eine Homepage:
http://www.math.ethz.ch/-wu6tholz/vieweg-algebra
Sie soH dazu dienen, dem verehrten Leser zusatzliche Informationen zu bieten. Und ist
ein Platz, der offen fUr Erganzungen, Verbesserungen und Korrekturen ist und wo man
auch weitere Ubungsaufgaben sowie Musterlosungen finden kann.
Wermatswil. im Marz 2004
Inhalt
Prolog
Die Entstehung der Algebra ............................................. 1
Das Erbe der Griechen ......................................................... 1
Die Renaissance in Italien ...................................................... 1
Auf dem Weg zur modernen Algebra ........................................... 2
Symmetrien ............................................................. 3
Transformationen .............................................................. 3
Affine und euklidische Riiume .................................................. 3
Die Bewegungsgruppe in der euklidischen Ebene ................................ 5
Symmetrie von Objekten ....................................................... 5
Teil I
Gruppen
1 Gruppen .............................................................. 9
1.1 Grundlegende Begriffe ...................................................... 9
1.2 U ntergruppen und Homomorphismen ...................................... 14
1.3 Direkte Produkte und Summen ............................................ 15
1.4 Aktionen .................................................................. 17
1.5 Normalteiler und Faktorgruppen .......................................... 23
1.6 Zyklische Gruppen ........................................................ 25
1. 7 Anhang: Der euklidische Algorithmus ..................................... 27
Ubungsaufgaben .............................................................. 27
2 Die Satze von Sylow ................................................. 31
2.1 Die Klassengleichung ...................................................... 31
2.2 Exponenten ............................................................... 31
2.3 p-Sylow-Untergruppen .................................................... 32
Ubungsaufgaben .............................................................. 34
3 Der Satz von Jordan-Holder .......................................... 35
3.1 Aufl6sbare und einfache Gruppen ......................................... 35
3.2 Verfeinerung von Normalreihen ............................................ 36
Ubungsaufgaben .............................................................. 39
4 Symmetrie ........................................................... 41
4.1 Permutationsgruppen ..................................................... 41
4.2 Beispiele .................................................................. 43
4.2.1 Die Gruppe ::13 , .•..••.••..•.••..•.•.•.••..•••...••.•..........•... 43
4.2.2 Die Gruppe fI14 •••••.•••.•••.••••••••••••••••••••.•.•.•••.••••...•. 44
4.2.3 Die Gruppe ::14 , ........•.....•....••.•.•...••...................•. 44
ix
4.2.4 Die Gruppe ril5 .............................•...................... 45
Ubungsaufgaben .............................................................. 45
5 Platonische Korper ......................................•............ 47
5.1 Polytope und Polyeder .................................................... 47
5.2 Das Tetraeder ............................................................. 49
5.3 Der Wiirfel und das Oktaeder ............................................. 50
5.4 Das Dodekaeder und das Ikosaeder ........................................ 50
6 U niverselle Konstruktionen ........................................... 52
6.1 Produkte und Koprodukte von Mengen .................................... 52
6.2 Produkte und Koprodukte von Gruppen ................................... 53
6.3 Semidirekte Produkte ..................................................... 55
6.4 Freie Gruppen ............................................................ 57
6.5 Beispiele .................................................................. 60
Ubungsaufgaben .............................................................. 61
7 Endlich erzeugte abelsche Gruppen ...............•................... 63
7.1 Freie abelsche Gruppen ................................................... 63
7.2 Torsion in Gruppen ....................................................... 65
7.3 Struktur endlicher abelscher Gruppen ..................................... 66
Ubungsaufgaben .............................................................. 68
Teil II
Ringtheorie
8 Ringe ................................................................ 69
8.1 Grundlagen ............................................................... 69
8.2 Unterringe und Homomorphismen ......................................... 71
8.3 Produkte von Ringen ...................................................... 72
8.4 Ideale und Quotientenringe ................................................ 73
8.5 Ideale in kommutativen Ringen ............................................ 75
8.6 Der chinesische Restsatz .................................................. 77
Ubungsaufgaben .............................................................. 79
9 Lokalisierung ......................................................... 82
9.1 Lokalisierung von Ringen .................................................. 82
9.2 Ideale und Lokalisierung .................................................. 84
Ubungsaufgaben .............................................................. 84
10 Hauptidealringe und faktorielle Ringe ................................ 85
10.1 Faktorielle Ringe ......................................................... 85
10.2 Euklidische Ringe ........................................................ 87
Ubungsaufgaben .............................................................. 87
x
11 Quadratische Zahlringe ......................................•........ 89
11.1 Zahlringe ................................................................ 89
11.2 Einheiten ................................................................ 90
11.3 Die Pell'sche Gleichung .................................................. 91
11.4 Primelemente im gaussschen Zahlring .................................... 94
Ubungsaufgaben .............................................................. 95
12 Polynomringe ........................................................ 96
12.1 Polynome ................................................................ 96
12.2 Polynome in mehreren Variablen ......................................... 97
12.3 Auswerten von Polynomen ............................................... 98
12.4 Potenzreihen ............................................................. 99
12.5 Derivationen ............................................................ 100
12.6 Symmetrische Funktionen ............................................... 101
12.7 Resultante und Diskriminante ........................................... 104
12.8 Eindeutige Primfaktorzerlegung ......................................... 107
12.9 Irreduzibilitat ........................................................... 109
Ubungsaufgaben ............................................................. 110
Teil III
Abriss der Korpertheorie
13 Grundlagen der Korpertheorie ...................................... 113
13.1 K6rper und Primk6rper ................................................. 113
13.2 K6rpererweiterungen .................................................... 114
13.3 Algebraische K6rpererweiterungen ...................................... 115
13.4 Algebraisch abgeschlossene Erweiterungen ............................... 117
13.5 Konjugierte Erweiterungen .............................................. 118
Ubungsaufgaben ............................................................. 119
14 Theorie der Korpererweiterungen ................................... 121
14.1 Separabilitat ............................................................ 121
14.2 Inseparabilitat .......................................................... 126
14.3 Normale Erweiterungen ................................................. 127
Ubungsaufgaben ............................................................. 128
Teil IV
Galois-Theorie
15 Die Galois-Korrespondenz ........................................... 130
15.1 Galois-Erweiterungen ................................................... 130
15.2 Hauptsatz der Galois-Theorie ........................................... 131
15.3 Ein Beispiel ............................................................. 135
15.4 Anwendungen der Galois-Theorie ....................................... 136