Table Of ContentAlgebra
Petr KovÆř
2020
Petr KovÆř
Algebra
⃝c Petr KovÆř, 2020
(cid:218)vodem
Text, kter(cid:253) prÆvě čtete, vznikÆ jako př(cid:237)prava přednÆ„ek a cvičen(cid:237). Současně obsahuje řadu poznÆmek a
postřehů souvisej(cid:237)c(cid:237)ch s předmětem Algebra pro bakalÆřskØ či magisterskØ studium na technickØ vysokØ
„kole. Při v(cid:253)běru tØmat a př(cid:237)pravě textu jsem vychÆzel z osnov předmětu, z knihy Contemporary Abstract
Algebra Josepha Galliana [G], z knihy A Book of Abstract Algebra Charlese Pintera [P], a celØ řady dal„(cid:237)ch
zdrojů.
Pokud mÆte pocit, (cid:190)e v textu je nějakÆ nesrovnalost, dejte mi vědět. Je velmi pravděpodobnØ, (cid:190)e se
jednÆ o chybu nebo překlep. Budu rÆd, kdy(cid:190) mne upozorn(cid:237)te i na mØně srozumitelnØ pasÆ(cid:190)e, abych je
v dal„(cid:237)ch verz(cid:237)ch textu mohl vylep„it.
PoděkovÆn(cid:237)
Děkuji Matějovi Krbečkovi za pečlivØ přečten(cid:237) jednØ z verz(cid:237) tohoto textu. Odhalil mnoho chyb a překlepů,
jeho připom(cid:237)nky přispěly ke srozumitelnosti celØho textu. Největ„(cid:237) d(cid:237)k patř(cid:237) Pavlu Jahodovi, jeho(cid:190) při-
pom(cid:237)nky pomohly k zpřesněn(cid:237) několika čÆst(cid:237) textu a od kterØho jsem převzal mnoho ře„en(cid:253)ch př(cid:237)kladů i
cvičen(cid:237).
V Krmel(cid:237)ně 19. března 2020.
i
Petr KovÆř, TeoretickÆ algebra 22. května 2020
ii
Petr KovÆř, Obsah 22. května 2020
Obsah
(cid:218)vodem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Přehled pojmů a označen(cid:237) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.1. Dělitelnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2. Mno(cid:190)iny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.3. Relace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.4. Zobrazen(cid:237) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.5. Permutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.6. Operace na mno(cid:190)ině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
0.7. ModulÆrn(cid:237) aritmetika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
0.8. Co se neve„lo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
0.9. DoplňkovÆ tØmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1. Symetrie a dihedrÆln(cid:237) grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1. Symetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2. DihedrÆln(cid:237) grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3. Dal„(cid:237) př(cid:237)klady symetri(cid:237) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4. DoplňkovÆ tØmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2. AlgebraickØ struktury s jednou operac(cid:237) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1. Grupoidy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2. Pologrupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3. Monoidy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4. Grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5. Dal„(cid:237) vlastnosti grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6. DoplňkovÆ tØmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3. Podgrupy a komplexy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1. De(cid:12)nice pojmů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2. Ověřen(cid:237) podgrupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3. Centrum grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4. Komplexy v grupě a operace s nimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5. Grupy zbytkov(cid:253)ch tř(cid:237)d modulo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6. DoplňkovÆ tØmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4. Rozklady grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1. Rozklad grupy podle podgrupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2. ŘÆd grupy a index podgrupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3. Lagrangeova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5. NormÆln(cid:237) podgrupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1. NormÆln(cid:237) podgrupa a faktorovÆ grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2. Vlastnosti normÆln(cid:237)ch podgrup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3. NormalizÆtor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6. CyklickØ grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.1. K symbolice mocnin a nÆsobků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2. De(cid:12)nice cyklickØ grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3. ŘÆd cyklickØ grupy a řÆd prvku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.4. Struktura cyklick(cid:253)ch grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.5. DoplňkovÆ tØmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7. Grupy permutac(cid:237) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.1. De(cid:12)nice grupy permutac(cid:237) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.2. ŘÆd permutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.3. Parita permutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.4. DoplňkovÆ tØmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8. Homomor(cid:12)smy grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.1. De(cid:12)nice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.2. JÆdro homomor(cid:12)smu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.3. SklÆdÆn(cid:237) homomor(cid:12)smů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.4. DoplňkovÆ tØmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
iii
Petr KovÆř, Obsah 22. května 2020
9. Izomor(cid:12)smy grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.1. De(cid:12)nice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.2. Klasi(cid:12)kace cyklick(cid:253)ch grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.3. Cayleyho věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.4. Dal„(cid:237) vlastnosti homomor(cid:12)smů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
10. Okruhy, obory integrity a tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.1. Okruh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.2. Vlastnosti okruhů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.3. Podokruhy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.4. Obor integrity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.5. Tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.6. DoplňkovÆ tØmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Rejstř(cid:237)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
OtÆzka copyrightů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
U(cid:190)itečnØ tabulky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Přehled pou(cid:190)it(cid:253)ch symbolů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
iv
Petr KovÆř, Přehled pojmů a označen(cid:237) 22. května 2020
Přehled pojmů a označen(cid:237)
Tato œvodn(cid:237) kapitola slou(cid:190)(cid:237) jako přehled a připomenut(cid:237) někter(cid:253)ch znÆm(cid:253)ch pojmů a řady tvrzen(cid:237). Měly
by čtenÆřům b(cid:253)t znÆmy ze středn(cid:237) „koly, př(cid:237)padně z œvodn(cid:237)ch kurzů vysoko„kolskØ matematiky. V dal„(cid:237)ch
kapitolÆch budeme předpoklÆdat jejich dobrØ zvlÆdnut(cid:237).
Princip dobrØho uspořÆdÆn(cid:237)
NÆsleduj(cid:237)c(cid:237) tvrzen(cid:237) se často pou(cid:190)(cid:237)vÆ v důkazech.
Věta 0.1. Princip dobrØho uspořÆdÆn(cid:237)
Ka(cid:190)dÆ neprÆzdnÆ mno(cid:190)ina nezÆporn(cid:253)ch cel(cid:253)ch č(cid:237)sel mÆ nejmen„(cid:237) prvek.
V„imnětesi,(cid:190)etototvrzen(cid:237)jesilněj„(cid:237),ne(cid:190)axiomv(cid:253)běru,kter(cid:253)(opětvnejjednodu„„(cid:237)formě)ř(cid:237)kÆ,(cid:190)ezka(cid:190)dØ
neprÆzdnØ mno(cid:190)iny mů(cid:190)eme vybrat nějak(cid:253) prvek. Důkaz neuvÆd(cid:237)me, proto(cid:190)e se jednÆ o princip, tedy o tvr-
zen(cid:237), jeho(cid:190) platnost předpoklÆdÆme a pova(cid:190)ujeme jej za za axiom pro př(cid:237)slu„nou matematickou discipl(cid:237)nu.
0.1. Dělitelnost
Pojmydělen(cid:237)adělitelnostjsouněkdychybnězaměňovÆny. Připomeňme,(cid:190)edělen(cid:237) jeoperace,kterÆněkter(cid:253)m
dvěma č(cid:237)slům (v danØm pořad(cid:237)) z předepsanØ č(cid:237)selnØ mno(cid:190)iny přiřad(cid:237) v(cid:253)sledek operace dělen(cid:237) a:b, kterØmu
ř(cid:237)kÆme pod(cid:237)l. Operace formÆlně popisujeme na straně 14. V„imněte si, (cid:190)e v(cid:253)sledek operace dělen(cid:237) zÆvis(cid:237)
namno(cid:190)iněč(cid:237)sel,sekteroupracujeme. Poč(cid:237)tÆme-linapř(cid:237)kladsreÆln(cid:253)mineboracionÆln(cid:237)mič(cid:237)slya=7,b=2,
tak v(cid:253)sledek dělen(cid:237) a:b= 7, zat(cid:237)mco při poč(cid:237)tÆn(cid:237) s cel(cid:253)mi č(cid:237)sly nen(cid:237) pod(cid:237)l a:b de(cid:12)novÆn, proto(cid:190)e v(cid:253)sledek
2
obvyklØho dělen(cid:237) cel(cid:253)ch č(cid:237)sel nemus(cid:237) b(cid:253)t celØ č(cid:237)slo.
Naproti tomu dělitelnost nen(cid:237) operace se dvěma č(cid:237)sly, ale relace mezi dvěma č(cid:237)sly. Pro dvojici č(cid:237)sel a, b
(vdanØmpořad(cid:237))plat(cid:237),(cid:190)ebuď(cid:254)aděl(cid:237)b(cid:255)bezezbytkunebo(cid:254)aneděl(cid:237)b(cid:255)(resp.zbytekpodělen(cid:237)č(cid:237)slabč(cid:237)slem
a je nenulov(cid:253).)
De(cid:12)nice Mějme dvě celÆ č(cid:237)sla a, b. Řekneme, (cid:190)e a děl(cid:237) b, jestli(cid:190)e existuje takovØ celØ č(cid:237)slo k, (cid:190)e a(cid:1)k =b,
co(cid:190) zapisujeme a j b. V opačnØm př(cid:237)padě ř(cid:237)kÆme, (cid:190)e a neděl(cid:237) b, co(cid:190) zapisujeme a ∤ b. Č(cid:237)slu a ř(cid:237)kÆme dělitel
č(cid:237)sla b a č(cid:237)slu b ř(cid:237)kÆme nÆsobek č(cid:237)sla a.
Př(cid:237)klad 0.1. Pro nÆzornost uvedeme několik př(cid:237)kladů dělen(cid:237).
1) Plat(cid:237) 2j4, 2j6, ale takØ 2j(cid:0)4, 2j(cid:0)2 a 2j0.
2) DÆle plat(cid:237) (cid:0)2j2, (cid:0)6j(cid:0)6, (cid:0)4j0.
3) Naproti tomu 4∤2, 2∤5, 4∤(cid:0)6, 0∤1.
4) Nulou sice nemů(cid:190)eme dělit, av„ak nula mů(cid:190)e b(cid:253)t dělitelem, byť je dělitelem pouze nuly. Plat(cid:237) 0 j 0,
neboť 0=k0, dokonce pro libovolnØ k 2Z.
Prvoč(cid:237)slem nazveme ka(cid:190)dØ přirozenØ č(cid:237)slo, kterØ mÆ prÆvě dva přirozenØ dělitele, a to jedničku a sebe
sama. V„echna přirozenÆ č(cid:237)sla vět„(cid:237) ne(cid:190) 1 jsou buď prvoč(cid:237)sla, nebo č(cid:237)sla slo(cid:190)enÆ, tj. maj(cid:237) je„tě nějakØho
dal„(cid:237)hokladnØhodělitelevět„(cid:237)hone(cid:190)1. Nula,zÆpornÆč(cid:237)slaanidesetinnÆč(cid:237)slapochopitelněnejsouprvoč(cid:237)sla.
V„imněte si, (cid:190)e podle de(cid:12)nice č(cid:237)slo 1 nen(cid:237) prvoč(cid:237)slo. V některØ, zejmØna informatickØ literatuře č(cid:237)slo 1 mezi
prvoč(cid:237)sla zahrnuj(cid:237). To mÆ svÆ œskal(cid:237), např(cid:237)klad pokud bychom č(cid:237)slo 1 za prvoč(cid:237)slo pova(cid:190)ovali, tak slo(cid:190)enÆ
č(cid:237)sla nebudou m(cid:237)t jednoznačně určen(cid:253) rozklad na prvoč(cid:237)sla, tj. nebude platit ZÆkladn(cid:237) věta aritmetiky 0.8.
uvedenÆ v dal„(cid:237) čÆsti.
Největ„(cid:237) společn(cid:253) dělitel a nejmen„(cid:237) společn(cid:253) nÆsobek
V nÆvaznosti na pojem dělitelnosti mů(cid:190)eme zavØst dal„(cid:237) znÆmØ pojmy jako největ„(cid:237) společn(cid:253) dělitel (NSD)
a nejmen„(cid:237) společn(cid:253) nÆsobek (NSN) dvou nebo v(cid:237)ce č(cid:237)sel. Společn(cid:253)m dělitelem č(cid:237)sel a ;a ;:::;a je takovØ
1 2 n
celØ č(cid:237)slo m, (cid:190)e m j a , m j a , :::, m j a . Společn(cid:253)m nÆsobkem č(cid:237)sel a ;a ;:::;a je takovØ celØ č(cid:237)slo m,
1 2 n 1 2 n
(cid:190)e a jm, a jm, :::, a jm.
1 2 n
De(cid:12)nice Největ„(cid:237) společn(cid:253) dělitel
Mějme dvě nenulovÆ celÆ č(cid:237)sla a, b. Největ„(cid:237) společn(cid:253) dělitel č(cid:237)sel a, b je takov(cid:253) kladn(cid:253) společn(cid:253) dělitel m
č(cid:237)sel a, b, kter(cid:253) je děliteln(cid:253) jejich libovoln(cid:253)m společn(cid:253)m dělitelem. Znač(cid:237)me je NSD(a;b) nebo jen (a;b).
Jestli(cid:190)e nav(cid:237)c (a;b)=1, ř(cid:237)kÆme, (cid:190)e a a b jsou nesoudělnÆ.
1
Petr KovÆř, Přehled pojmů a označen(cid:237) 22. května 2020
De(cid:12)nicinejvět„(cid:237)hospolečnØhodělitelejesnadnØroz„(cid:237)řitipropř(cid:237)pad, kdyalespoňjednozč(cid:237)seljenulovØ
(Cvičen(cid:237)0.1.1.). Jezaj(cid:237)mavØsiuvědomit,(cid:190)enejvět„(cid:237)společn(cid:253)děliteldvoukladn(cid:253)chč(cid:237)selaabnikdynemů(cid:190)e
b(cid:253)t vět„(cid:237) ne(cid:190) a či b. Pro zÆpornÆ nebo nulovÆ č(cid:237)sla tomu tak b(cid:253)t nemus(cid:237) (Cvičen(cid:237) 0.1.3.).
De(cid:12)nice Nejmen„(cid:237) společn(cid:253) nÆsobek
Mějme dvě nenulovÆ celÆ č(cid:237)sla a, b. Nejmen„(cid:237) společn(cid:253) nÆsobek č(cid:237)sel a, b je takov(cid:253) kladn(cid:253) společn(cid:253) nÆsobek
m č(cid:237)sel a, b, kter(cid:253) je dělitelem jejich libovolnØho společnØho nÆsobku. Znač(cid:237)me jej NSN(a;b) nebo [a;b].
De(cid:12)nici nejmen„(cid:237)ho společnØho nÆsobku je takØ mo(cid:190)no roz„(cid:237)řit i pro př(cid:237)pad, kdy alespoň jedno z č(cid:237)sel je
nulovØ (Cvičen(cid:237) 0.1.2.).
Celoč(cid:237)selnØ dělen(cid:237) se zbytkem
Často vyu(cid:190)(cid:237)van(cid:253)m tvrzen(cid:237)m je, (cid:190)e pro libovolnÆ dvě celÆ č(cid:237)sla mů(cid:190)eme jednoznačně naj(cid:237)t jejich pod(cid:237)l a
zbytek. Později ukÆ(cid:190)eme zobecněn(cid:237) tohoto tvrzen(cid:237) i pro jinØ mno(cid:190)iny ne(cid:190) jsou celÆ č(cid:237)sla.
Věta 0.2. Věta o jednoznačnosti pod(cid:237)lu a zbytku
Pro ka(cid:190)dØ celØ č(cid:237)slo z a ka(cid:190)dØ přirozenØ č(cid:237)slo m existuj(cid:237) takovÆ jednoznačně určenÆ celÆ č(cid:237)sla q a r, kde
0(cid:20)r <m, (cid:190)e z =qm+r.
Č(cid:237)slu q ř(cid:237)kÆme pod(cid:237)l a č(cid:237)slu r zbytek po dělen(cid:237) č(cid:237)sla z č(cid:237)slem m.
Důkaz. Nejprve ukÆ(cid:190)eme, (cid:190)e hledan(cid:253) pod(cid:237)l q a zbytek r existuj(cid:237). Sestav(cid:237)me mno(cid:190)inu nezÆporn(cid:253)ch č(cid:237)sel
M = fz(cid:0)m(cid:1)k : k 2 Z^z(cid:0)m(cid:1)k (cid:21) 0g. Mno(cid:190)ina M mÆ podle Principu dobrØho uspořÆdÆn(cid:237) (Věta 0.1.)
nejmen„(cid:237) prvek, kter(cid:253) označ(cid:237)me r. Potom plat(cid:237) z = qm+r. DÆle jistě plat(cid:237) 0 (cid:20) r, proto(cid:190)e mno(cid:190)ina M
obsahuje nezÆpornÆ č(cid:237)sla, a jistě plat(cid:237) r <m, jinak by r nebyl nejmen„(cid:237) prvek v mno(cid:190)ině M.
DÆle nepř(cid:237)mo ukÆ(cid:190)eme jednoznačnost č(cid:237)sel m a q. PředpoklÆdejme, (cid:190)e existuje dal„(cid:237) dvojice č(cid:237)sel m ,
0
q , pro kterou plat(cid:237) z =q m+r a 0(cid:20)r <m. PorovnÆn(cid:237)m qm+r =z =q m+r a œpravou dostaneme
0 0 0 0 0 0
qm+r =z =q m+r
0 0
(q(cid:0)q )m=r (cid:0)r
0 0
r (cid:0)r
q(cid:0)q = 0 (1)
0 m
Proto(cid:190)e r i r jsou kladnÆ č(cid:237)sla a r;r < m, tak (cid:0)m < r (cid:0)r < m. To znamenÆ, (cid:190)e (cid:0)1 < (r (cid:0)r)=m < 1,
0 0 0 0
přičem(cid:190)tentopod(cid:237)ljecelØč(cid:237)sloq(cid:0)q . Jedin(cid:253)mtakov(cid:253)mcel(cid:253)mč(cid:237)slemje0aprotor =r . Dosazen(cid:237)mdo(1)
0 0
dostaneme q(cid:0)q =0 a tedy q =q . To znamenÆ, (cid:190)e dvojice č(cid:237)sel m , q splňuj(cid:237)c(cid:237) z =qm+r a 0(cid:20)r <m
0 0 0 0
je určena jednoznačně. □
V někter(cid:253)ch důkazech vyu(cid:190)ijeme BØzoutovo lemma.
Lemma 0.3. BØzoutovo lemma
Mějme dvě nenulovÆ celÆ č(cid:237)sla a, b. Jestli(cid:190)e d = NSD(a;b), potom existuj(cid:237) takovÆ dvě celÆ č(cid:237)sla x, y, (cid:190)e
ax+by =d. Nav(cid:237)c je nejmen„(cid:237) kladnØ č(cid:237)slo tvaru ax+by největ„(cid:237)m společn(cid:253)m dělitelem č(cid:237)sel a, b.
Důkaz. Označme e = as+bt nejmen„(cid:237) kladnØ celØ č(cid:237)slo, kterØ se dÆ zapsat ve tvaru ax+by pro pevně
zvolenÆ č(cid:237)sla a, b a libovolnÆ celÆ č(cid:237)sla x, y. Proto(cid:190)e d j a, d j b, jistě d j e. Proto(cid:190)e e je kladnØ č(cid:237)slo a d je
jeho kladn(cid:253) dělitel, tak 0<d(cid:20)e.
Naopak, jestli(cid:190)e jedno z č(cid:237)sel a, b (bez œjmy na obecnosti č(cid:237)slo a) vyděl(cid:237)me se zbytkem č(cid:237)slem e, bude
zbytek po dělen(cid:237) č(cid:237)sla a č(cid:237)slem e opět č(cid:237)slo tvaru ax+by, neboť přidělen(cid:237) se zbytkem od a odeč(cid:237)tÆme nějak(cid:253)
nÆsobekdělitelee, přičem(cid:190)děliteljetvarue=as+bt. PodleVěty0.2. budezbytekax+by men„(cid:237)ne(cid:190)e, ale
proto(cid:190)e e je nejmen„(cid:237) kladnØ č(cid:237)slo uvedenØho tvaru, mus(cid:237) b(cid:253)t zbytek 0. To znamenÆ, (cid:190)e e j a a analogicky
ukÆ(cid:190)eme, (cid:190)eejb. Proto(cid:190)edjenejvět„(cid:237)společn(cid:253)dělitelč(cid:237)sela, b, takejdacelkemdostÆvÆmee=d. Č(cid:237)sloe
je tedy největ„(cid:237)m společn(cid:253)m dělitelem č(cid:237)sel a, b. □
Hodnotukoe(cid:12)cientůx,yjemo(cid:190)nourčitnapř(cid:237)kladEuklidov(cid:253)malgoritmem,kter(cid:253)pop(cid:237)„emevdal„(cid:237)čÆsti.
Př(cid:237)klad 0.2. Pro nÆzornost uvedeme několik př(cid:237)kladů.
1) Plat(cid:237) NSD(12;9) = 3 a mů(cid:190)eme psÆt 3 = 1(cid:1)12(cid:0)1(cid:1)9. Koe(cid:12)cienty x, y z BØzoutova lemmatu jsou
x=1, y =(cid:0)1.
2) Plat(cid:237) NSD(13;10)=1, přičem(cid:190) 1=(cid:0)3(cid:1)13+4(cid:1)10. Př(cid:237)slu„nØ koe(cid:12)cienty jsou x=(cid:0)3, y =4.
3) Plat(cid:237) NSD((cid:0)5;7)=1, přičem(cid:190) 1=(cid:0)3(cid:1)((cid:0)5)(cid:0)2(cid:1)7. př(cid:237)slu„nØ koe(cid:12)cienty jsou x=(cid:0)3, y =(cid:0)2.
Lemma 0.4. Euklidovo lemma
2
Petr KovÆř, Přehled pojmů a označen(cid:237) 22. května 2020
Mějme prvoč(cid:237)slo p. Jestli(cid:190)e p děl(cid:237) součin dvou cel(cid:253)ch č(cid:237)sel ab, tak p děl(cid:237) a nebo p děl(cid:237) b.
Důkaz. PředpoklÆdejme,(cid:190)epjeprvoč(cid:237)sloapjab. Jestli(cid:190)epja,tvrzen(cid:237)plat(cid:237). Jestli(cid:190)ep∤a,takNSD(p;a)=
=1,neboťprvoč(cid:237)slopmÆpouzedvakladnØdělitele: č(cid:237)slop,kterØnen(cid:237)dělitelemaač(cid:237)slo1. PodleBØzoutova
lemmatu 0.3. proto existuj(cid:237) takovÆ dvě celÆ č(cid:237)sla r a s, (cid:190)e
pr+as=1:
Rovnost vynÆsob(cid:237)me č(cid:237)slem b
prb+abs=b:
Nyn(cid:237)siv„imneme,(cid:190)elevÆstranarovnostijedělitelnÆč(cid:237)slemp,neboťjistěpjprbapodlepředpokladupjab,
co(cid:190) znamenÆ, (cid:190)e p děl(cid:237) i v(cid:253)raz na pravØ straně rovnosti, tj. pjb. □
Euklidův algoritmus
ZÆkladn(cid:237)m tvrzen(cid:237)m o cel(cid:253)ch č(cid:237)slech je tzv. Euklidův algoritmus. Ačkoli se mu ř(cid:237)kÆ (cid:254)algoritmus(cid:255), samotnØ
tvrzen(cid:237) (cid:190)Ædn(cid:253) algoritmus neobsahuje, ten je popsÆn v důkazu tvrzen(cid:237). Nyn(cid:237) mů(cid:190)eme vyslovit Euklidův
algoritmus.
Algoritmus 0.5. Euklidův algoritmus
Mějme přirozenÆ č(cid:237)sla a1, a2. Pro ka(cid:190)dØ n (cid:21) 3, pro kterØ je an(cid:0)1 ̸= 0, označme an zbytek po dělen(cid:237) č(cid:237)sla
an(cid:0)2 č(cid:237)sel an(cid:0)1. Po konečnØm počtu kroků dostaneme ak =0 a plat(cid:237) ak(cid:0)1 =NSD(a;b).
Důkaz. Podle Věty 0.2. v(cid:237)me, (cid:190)e zbytek po dělen(cid:237) je men„(cid:237) ne(cid:190) dělitel, proto a > a > a :::. Proto(cid:190)e
2 3 4
zbytek po dělen(cid:237) je v(cid:190)dy nezÆpornØ č(cid:237)slo, bude posloupnost kladn(cid:253)ch cel(cid:253)ch č(cid:237)sel a ;a ;a ;::: konečnÆ a
2 3 4
po jistØm počtu kroků bude ak =0, přičem(cid:190) ak(cid:0)1 ̸=0. Z de(cid:12)nice č(cid:237)sel a3;a4;:::;ak a z Věty 0.2. v(cid:237)me, (cid:190)e
existuj(cid:237) takovÆ č(cid:237)sla q1;q2;:::;qk(cid:0)2, (cid:190)e plat(cid:237)
a =q (cid:1)a +a
1 1 2 3
a =q (cid:1)a +a
2 2 3 4
.
.
. (2)
ak(cid:0)3 =qk(cid:0)3(cid:1)ak(cid:0)2+ak(cid:0)1
ak(cid:0)2 =qk(cid:0)2(cid:1)ak(cid:0)1+0:
Nyn(cid:237) si v„imneme, (cid:190)e z posledn(cid:237) rovnosti (2) ak(cid:0)1 j ak(cid:0)2. Potom z předposledn(cid:237) rovnice ak(cid:0)1 j ak(cid:0)3.
Analogicky z ka(cid:190)dØ předchoz(cid:237) rovnice dostaneme, (cid:190)e ak(cid:0)1 j ak(cid:0)4;ak(cid:0)5:::;a1. To znamenÆ, (cid:190)e ak(cid:0)1 je
společn(cid:253)m dělitelem č(cid:237)sel a , a . Naopak, z prvn(cid:237) rovnice (2) vid(cid:237)me, (cid:190)e libovoln(cid:253) společn(cid:253) dělitel č(cid:237)sel a ,
1 2 1
a2 děl(cid:237) a3 =a1(cid:0)q1a2. Potom z druhØ rovnice tento dělitel děl(cid:237) i a4 =a2(cid:0)q2a3, stejně tak a5;a6;:::ak(cid:0)1.
To znamenÆ, (cid:190)e ak(cid:0)1 je největ„(cid:237)m společn(cid:253)m dělitelem č(cid:237)sel a1, a2. □
DůkazVěty0.5. jekonstruktivn(cid:237)aopravdupopisujealgoritmus, kter(cid:253)mmů(cid:190)emenejvět„(cid:237)hospolečnØho
dělitele dvou č(cid:237)sel naj(cid:237)t. Algoritmus lze popsat nÆsleduj(cid:237)c(cid:237)m pseudok(cid:243)dem.
Algoritmus 0.6. Euklidův algoritmus
Mějme dvě přirozenÆ č(cid:237)slo a , a .
1 2
int NSD(int a_1, int a_2) {
int t;
while (a_2 != 0) {
t = a_2;
a_2 = a_1 % a_2;
a_1 = t;
}
return a_1;
}
V prvn(cid:237)m kroku algoritmu (pokud nen(cid:237) dělitel nulov(cid:253)), děl(cid:237)me dělitele se zbytkem. V ka(cid:190)dØm dal„(cid:237)m kroku
pak v(cid:190)dy děl(cid:237)me dělitele předchoz(cid:237)ho kroku zbytkem předchoz(cid:237)ho kroku. ProměnnÆ t slou(cid:190)(cid:237) k dočasnØmu
(cid:254)zapamatovÆn(cid:237)(cid:255) dělitele.
O něco elegantněj„(cid:237) je vyu(cid:190)it(cid:237) rekurze. Cel(cid:253) algoritmus pak nepotřebuje pomocnou proměnnou expli-
citně, ale vyu(cid:190)ije se předÆvÆn(cid:237) hodnotou.
3
Petr KovÆř, Přehled pojmů a označen(cid:237) 22. května 2020
Algoritmus 0.7. Rekurzivn(cid:237) Euklidův algoritmus
Mějme dvě přirozenÆ č(cid:237)slo a , a .
1 2
int NSD(int a_1, int a_2) {
if (a_2 == 0) {
return a_1;
}
return NSD(a_2, a_1 % a_2);
}
Př(cid:237)klad 0.3. Najděte největ„(cid:237) společn(cid:253) dělitel č(cid:237)sel 78 a 210.
Postupujeme u(cid:190)it(cid:237)m Euklidova algoritmu. Označ(cid:237)me a = 210, a = 78. Podle Věty 0.2. zap(cid:237)„eme a =
1 2 1
=qa +r =qa +a , co(cid:190) dÆvÆ
2 2 3
210=2(cid:1)78+54:
MÆme a =78, a =54 a postup opakujeme. Dostaneme
2 3
78=1(cid:1)54+24:
MÆme a =54, a =24, postup opakujeme. Dostaneme
3 4
54=2(cid:1)24+6:
MÆme a =24, a =6, postup opakujeme. Konečně dostaneme
4 5
24=4(cid:1)6+0;
co(cid:190) znamenÆ a =6, a =0. Podle Euklidova algoritmu je NSD(a ;a )=NSD(210;78)=a =6. ✓
5 6 1 2 5
Pokud bychom v předchoz(cid:237)m př(cid:237)kladu označili a =78, a =210, tak po prvn(cid:237)m kroku bychom měli
1 2
78=0(cid:1)210+78
a dÆle by a =210 a a =78. Za a proto vol(cid:237)me vět„(cid:237) z obou č(cid:237)sel, u„etř(cid:237)me jeden krok algoritmu.
2 3 1
ZÆkladn(cid:237) věta aritmetiky
Důle(cid:190)itou vlastnost(cid:237) (kladn(cid:253)ch) přirozen(cid:253)ch č(cid:237)sel je, (cid:190)e je um(cid:237)me jednoznačně rozlo(cid:190)it na součin prvoč(cid:237)sel.
To shrnuje nÆsleduj(cid:237)c(cid:237) věta.
Věta 0.8. ZÆkladn(cid:237) věta aritmetiky
Ka(cid:190)dØ přirozenØ č(cid:237)slo vět„(cid:237) ne(cid:190) 1 je buď prvoč(cid:237)slo, nebo jej lze zapsat jako součin prvoč(cid:237)sel, přičem(cid:190) tento
součin je jednoznačn(cid:253) a(cid:190) na pořad(cid:237) činitelů.
Důkaz. Nejprve ukÆ(cid:190)eme existenci prvoč(cid:237)selnØho rozkladu, Tj. (cid:190)e ka(cid:190)dØ č(cid:237)slo vět„(cid:237) ne(cid:190) 1 je buď prvoč(cid:237)slo,
nebo jej lze zapsat jakosoučin prvoč(cid:237)sel. Postupujemesilnou indukc(cid:237). Nejmen„(cid:237) př(cid:237)pustnØ č(cid:237)slo je 2, kterØ je
prvoč(cid:237)slem a pro něj tvrzen(cid:237) plat(cid:237). PředpoklÆdejme, (cid:190)e v„echna celÆ č(cid:237)sla vět„(cid:237) ne(cid:190) 1 a men„(cid:237) ne(cid:190) n um(cid:237)me
rozlo(cid:190)itnasoučinprvoč(cid:237)sel. Ka(cid:190)dØ(vět„(cid:237))přirozenØč(cid:237)slonjebuďprvoč(cid:237)slem(atvrzen(cid:237)plat(cid:237))neboječ(cid:237)slem
slo(cid:190)en(cid:253)m a plat(cid:237) n = ab, přičem(cid:190) 1 < a;b < n. Podle indukčn(cid:237)ho předpokladu um(cid:237)me č(cid:237)sla a i b napsat
jako součin prvoč(cid:237)sel a = p p ;:::;p a b = q q (cid:1)(cid:1)(cid:1)q , a proto takØ n = ab = p p (cid:1)(cid:1)(cid:1)p q q (cid:1)(cid:1)(cid:1)q je součin
1 2 k 1 2 l 1 2 k 1 2 l
prvoč(cid:237)sel a proto ka(cid:190)dØ přirozenØ č(cid:237)slo vět„(cid:237) ne(cid:190) 1 je mo(cid:190)no napsat jako součin prvoč(cid:237)sel.
DÆleukÆ(cid:190)eme,(cid:190)erozkladč(cid:237)slannaprvoč(cid:237)slajejednoznačn(cid:253)a(cid:190)napořad(cid:237)činitelů. Postupujemesporem.
PředpoklÆdejme,(cid:190)epřirozenØč(cid:237)slon,kden>1,um(cid:237)merozlo(cid:190)itnasoučinprvoč(cid:237)seldvěmarůzn(cid:253)mizpůsoby:
n=p p (cid:1)(cid:1)(cid:1)p =q q (cid:1)(cid:1)(cid:1)q
1 2 k 1 2 l
UkÆ(cid:190)eme, (cid:190)e k = l a prvoč(cid:237)sla p ;p ;:::;p jsou přeuspořÆdÆn(cid:237)m prvoč(cid:237)sel q ;q ;:::;q . Proto(cid:190)e p je
1 2 k 1 2 l 1
prvoč(cid:237)slo a p děl(cid:237) n, tak p děl(cid:237) podle Euklidova Lemmatu 0.4. některØ z prvoč(cid:237)sel q ;q ;:::;q . Bez œjmy
1 1 1 2 l
na obecnosti (po vhodnØm přeuspořÆdÆn(cid:237) a přeznačen(cid:237)) mů(cid:190)eme předpoklÆdat, (cid:190)e p j q . Proto(cid:190)e q je
1 1 1
prvoč(cid:237)slo a mÆ jen dva dělitele: 1 a q , plat(cid:237) p =q . Ihned vid(cid:237)me, (cid:190)e
1 1 1
n
=p p (cid:1)(cid:1)(cid:1)p =q q (cid:1)(cid:1)(cid:1)q
p 2 3 k 2 3 l
1
4
