Table Of Content•
•
•
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A. C. MOR-GADO ;· E. WAGNER / M. JORGE
• ,,
CONCEITOS B.1.\SICOS E TRINÔMIO DO 29 GRAU
'
LIVRARIA FRANCISCO ALVES EDITORA S. A.
RIO· DE JANEIRO SÃO PAULO BELO HORIZONTE
RECIFE CURITIBA
1
©
Copyright by
A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE
Capa de
Programaçõo Visual
1974
1
Todos os direitos ·reservados
pela
I,IVRARIA FRANCISCO ALVES EDITORA S.A.
Rua Barão de Lucena, 43 ··· - Rio de Janeiro
MATRIZ:
Rua Líbero Badaró, 292/300 São
DEPARTA)t{ENTOS REGIONAIS
Paulo
Rua do Ouvidor, 166 1• Rio de
Largo do Arouche, 438 São Paulo
Janeiro
Rua da Bahia, 1060 Belo Horizonte
Largo do Arouehe, 43~ 1 São
o
Avenida dos Guararapes, 210 Loja 2
Paulo
Recife ·
Rua da Bahia, 1060 Belo Horizonte
Avenida Conde da Boa Vista, 50 Lo ..
jas 14/15 Recife
FIJ. . IAIS
Rua do Ouvidor, 166 - Rio de Janeiro Rua Alferes Poli, 441 Curitiba
Impresso no Brasil
•
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Printed Bnuil
S u m á r i o
ftalna
Capitulo
1
1 Os inteiros·
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
39
2 Potências
.
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
•
47
3 Raízes
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
•
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Polinômios
4
'
73
5 Fatoração
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Equação trinô,nio do 87
6 e primeiro grau
124
7 do
Equação segundo grau
• • • • • • • • • •
. . . . . .
. . 167
Trinômio do
8 segundo grau
~
.
'
•
FICHA CATALOGRAFICA
(Preparada pelo Centro de Catalogação-na-fonte do
Sindicato Nacional dos Editores de Livros, GB)
Morgado, Augusto Cesar, 1944 -
M845a Álgebra I lpor( Augusto Cesar Morgado. Eduar·
I
do Wagner e Miguel Jorge. Rio de Janeiro
f
F. Alves,
1974 •
.222p. 21cm.
1. Álgebra (29 grau) I. Vagner, Ed1 ardo,
1
1949 II. Jorge, Miguel, 1937 --· III. Tf. .
tulo.
CDD - 512
74-0046 CDU - 512
.
~.
CAPITULO
l
O S I N T E I R O S
1. O CONJUNTO . DOS INTEIROS
O leitor conhece desde o ensino fundamental os números
inteiros . . . , -2, -1, O, 1, 2, . . . e sabe que:
1) A cada par (a, b) de inteiros correspondell1 dois
inteiros denominados soma e produto de a e b, que
+
representados por b a.b axb), respec
Hão a e (ou
tivamente.
Dizemos que o conjunto dos inteiros é fechado em
•
relação à soma e ao produto, isto é, a soma e o pro-
duto de inteiros inteiros.
são
li) Pa.ra quaisquer inteiros a e b,
+ +
a b - b a e a.b b.a
=
Dizemos que a soma e o produto são operações
comutativas.
III) Para quaisquer inteiros a, b e c,
+ + +
a + (b e) (a b) e e a. (b.c) (a.b). e.
= =
- -
sao operaçoes
Dizemos que a soma e o produto
• •
assoc1at1vas.
IV) Para quaisquer inteiros a, b e e,
+ +
a. (b e) (a . b) (a . e)
=
2 ·
ÁLGEBRA I
.
dizemos que o produto é distributivo em rélação à
soma.
V) Os inteiros O e 1 são diferentes e, para qualquer
inteiro a,
a + o
a e a . 1 - a
-
dizemos que O e 1 são os elementos neutros das
operações de soma e produtQ, respectivamente.
+
VI) Par~ cada inteiro a, equação x a O possui
~ =
uma única solução inteira, que é representada por
- a e denominada simétrico do número a.
VII) Se c ~ O e ca eh, então a = b.
Esta propriedade é denominada lei do corte.
Destas sete propriedades decorrem muitas outras,
tais como:
VIII) Para quàlquer inteiro a, a. O -- O.
+
Com efeito, como a O a (por V),
=
(a+
a. O) a.a., dai, (por IV),
.
.
a. a + a. O .a.a., daf, (por VI),
=
+ + +
- (a.a) (a.a a.O) (a.a) (a.a).
=
+ + +
Por II, obtemos [ (~.a) a.a] a.O - (a.a)
+
(a.a).
Por VI, obtemos
O + O - O
a ..
V,
Mas, por
a.O - O.
IX) Para quaisquer inteiros a e b,
( a) .b (a.b) .
+ +
Com efeito, ( a).]:> (a.b) b. ( a) b.a - b.
+
[ ( a) a] - b.O O.
~
+
Outrossim, (a.b) (a.b) O,
Logo., ( a).b e (a.b) são soluções da equação
+
x (a.b) O. Como, por VI esta equação possui
.,
1
uma única solução, resulta ( a).b (~.b).
X) Para quaisquer inteiros a e b,
( a). ( b) a.b.
=
3
MORGADO, WAGNER E M. JORGE
+ ( +
Com efeito; ( a).( b) a) .(b) - ( a) [( b
+ (
b] a). O - O. Outrossim, (a.b) a) .(b) ·
= (
+ [ +
(a.b) (a.b)] (a.b) (a.b) O.
= = .. _. =
Logo, (- a).· ( b) e (a.b) são soluções da equação
.
+ (
x a). (b) - O. Como esta equação possui
solução única, resulta ( a). ( b) - (a.b) .
.
XI) Se a.b O, então a O ou b - O.
= =
Com efeito, se a.b O, então, a.b a.O. · Se a ~ O,
=
então, pela lei do corte, b O.
=
Definimos a operação de subtração no conjunto dos
inteiros pondo a b a + ( b).
+
Assim, por exemplo, (2) (. 3) 2 (3) - 5.
2. A ORDEM DOS INTEIROS
Há uma classe de inteiros, chamada classe dos intieiros
positivos (ou classe dos números naturais), que goza das
seguintes propriedades:
1) A soma de dois inteiros positivos é um inteiro
positivo.
II) O produto de dois inteiros positivos é um inteiro
positivo.
III) Para cada inteiro a, uma e somente uma das se
guintes alternativas é verdadeira:
Ou a O, ou a é positivo, ou a é positivo (lei da
=
tricotomia). Não é difícil constatar que a classe
dos inteiros posit·ivos é formada pelos inteiros 1,
2, 3, 4, 5,, ..
> , < , ,
Definimos as relações por:
~ ~
. •
>
a b (a é maior que b) se e só se a ·-- b é positivo.
< >
a b (a é menor que b) se e só se b a.
a ~· b (a é maior ou igual a b) se e só se a > ou a = ·b
a b (a é menor ou igual a b) se e só se a < b ou
~
a = b.
4
..fLGEBRA I
•
:m >
claro que a é positivo se e só se O.
a
Dizemos que a é negativo se e só se - a é positivo
,.....,
~
3. O PRINCIPIO DA BOA ORDENAÇAO
Toda coleção não vazia, de inteiros positivos, admite um
elemento minimo, isto é, se A é uma coleção não vazia, de
inteiros positivos, existe um inteiro positivo x tal que:
1) x pertence a A.
2) Para todo y pertencente a A, x y.
~
4. MÓDULOS
•
Definimos o módulo ou valor absoluto do inteiro a, repre-
la
sentado por J, pondo
a, se a O
~
Ia 1
=
- a, se a < O
13 o,
Assim, = 3, O 51 51.
= =
1 f
f 1 1
5. DIVISIBILIDADE
Um inteiro a é divisivel por um inteiro b se e só se existe
um inteiro e, tal que a bc. Neste caso, dizemos que a
=
Ia.
é múltiplo de b, ou que b divide a, e escrevemos b
Assim, 2 116 (2 divide 16), pois existe um inteiro c (c - 8),
tal que 16 2.c.
.
Assim, - 3 (1 5 ( 3 divide 15), pois· existe um inteiro e
(e 5), tal que 15 3).c.
= - =- (
Assim, 8{60 (8 não divide 60), pois não existe um inteiro
e, tal que 60 8.c.
Chamamos de pares os inteiros que são divisiveis por 2
e de ímpares os que não são divisíveis por 2.
~
6. NUMEROS PRIMOS
>
Dizemos que um inteiro p é primo se e só se p 1 e r
únicos divisores de p são ± 1 e ± p.
