Table Of Content´
Algebra Comutativa
um tour ao redor dos an´eis comutativos
T
F
Eduardo Tengan
)
(ICMC-USP) A 8
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Copyright c 2010 E. Tengan
(cid:13)
Permission is granted to make and distribute verbatim copies of this document provided the copyright
notice and this permission notice are preserved on all copies.
“To get a book from these texts, only scissors and glue were needed.”
J.-P. Serre, in response to receiving the 1995 Steele
Prize for his book “Cours d’Arithm´etique”
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Chapter 1
Pref´acio
Quando terminei de escrever meu livro anterior, estava ta˜o esgotado que prometi a mim mesmo: meu
pr´oximo livro ser´a intitulado “A Tabela dos Primos Pares (vers˜ao resumida)”.
A Teoria de An´eis possui diversas aplica¸co˜es nas mais diversas partes da Matema´tica, tais como
Combinat´oria, Geometria Alg´ebrica, Teoria dos Nu´meros, An´alise, e at´e mesmo fora da Matema´tica,
como na Culin´aria (an´eis de cebola), no Transporte (anel rodovi´ario). No cinema, an´eis tˆem obtido
grande destaque, em pel´ıculas como “O Senhor dos An´eis”, “Matrix” e “Corpo Fechado”.
Os pr´e-requisitos para este livro s˜ao poucos, BourbarkiLang
1 Devo ler este livro?
2 Terminologia Frequente e Notac¸o˜es
Utilizamos a j´a consagrada notac¸a˜o N, Z, Q, R, C para denotar os conjuntos dos nu´meros naturais
(incluindo o zero), inteiros, racionais, reais e complexos. Denotamos ideais por letras go´ticas. Al´em
disso, ao longo de todo o livro utilizaremos a seguinte terminologia:
1. Claramente: Na˜o estou a fim de escrever todos os passos intermedia´rios.
2. Lembre: Na˜o dever´ıa ter que dizer isto, mas...
3. SemPerdadeGeneralidade: Farei apenas um caso e deixarei vocˆe adivinhar o resto.
4. Verifique: Esta´eapartechatadaprova,enta˜ovocˆepodefazˆe-lanaprivacidadedoseular,quando
ningu´em estiver olhando.
5. Esbo¸codeProva: Na˜o consegui verificar todos os detalhes, enta˜o vou quebrar a prova eTm peda¸cos
que na˜o pude provar.
6. Dica: A mais dif´ıcil dentre as muitas maneiras de se resolver um problema.
F
7. Analogamente: Pelo menos uma linha da prova acima ´e igual `a prova deste caso.
)
8. Porumteoremaanterior: na˜o me lembro do enunciado (na verdade,nem tAenho certeza se proveiis8to
ou na˜o), mas se o enunciado estiver correto, o resto da prova segue. 2
:
9. Provaomitida: Acredite, ´e verdade. 7
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Chapter 2
anel
anelzero
morfismo! de
m´odulo
morfismo! de
grupodeunidades
Vamos ser amigos dos an´eis! anelproduto
ideal
Emcontrapontoaorestantedestelivro,estecap´ıtuloinicialtemumcara´ter,digamos,maisexplorat´orio:
veremos an´eis comutativos em seu formato “bruto”, ainda na˜o lapidados por uma abordagem te´orica
e sistema´tica, a ser adotada a posteriori. Cabe aqui bem lembrar que A´lgebra Comutativa na˜o ´e uma
´areaisoladadoresto da Matema´tica;muito pelo contr´ario,´euma disciplina que bebe de diversasfontes,
comoaAn´alise,aTeoriadosNu´meros,aGeometriaeaTopologia,entreoutras. Conhecerestaintera¸ca˜o
´e importante, na˜o s´o para compreender como a A´lgebra Comutativa se posiciona dentro do Cosmos
matem´atico, mas tamb´em para entender a motivac¸a˜o dos teoremas, m´etodos e exemplos que formam o
tronco desta bela disciplina.
Muito bem, mas o que de fato ´e feito neste cap´ıtulo? Afinal de contas, queremos menos palavras
e mais ac¸a˜o! Come¸camos com uma breve revis˜ao das defini¸co˜es e conceitos ba´sicos que ser˜ao utilizados
ao longo de todo o livro. Logo em seguida, introduzimos os grandes protagonistas no estudo dos an´eis
comutativos: os ideais primos. Veremos o papel que eles assumem em diversos exemplos concretos. Por
fim, encerramoseste prelu´dio definindo a topologia de Zariski do espectro primo de um anel, sinalizando
um dos temas recorrentes deste manuscrito: que an´eis comutativos s˜ao, sobretudo, objetos geom´etricos
por natureza.
1 Notac¸˜ao e Convenc¸o˜es
Esta se¸ca˜o ´e uma “colec¸a˜o de pr´e-requisitos”, defini¸co˜es e conceitos assumidos como conhecidos e que
ser˜ao frequentemente utilizados em todo o livro. Sugerimos que o leitor na˜o perca muito tempo nesta
se¸ca˜o, fazendo apenas uma leitura r´apida para se familiarizar com as notac¸o˜es empregadas.
Come¸camos com a no¸ca˜o de anel: como vocˆe j´a sabe, um anel nada mais ´e do que um conjunto
ondepodemossomar,subtrairemultiplicar;neste livro,convencionamosque otermona˜oTadornadoanel
significar´a sempre anel comutativo com 1. Note que o menor anel do universo, o anel zero A=0 (com
um u´nico elemento 0 = 1) ´e um leg´ıtimo anel e na˜o esta´ banido por esta conven¸ca˜o. Um morfismo
de an´eis φ:A B ´e um mapa que preserva soma e produto, i.e., φ(a +Fa ) = φ(a ) + φ(a ) e
1 2 1 2
→
φ(a a ) = φ(a ) φ(a ) para todo a ,a A, e que (ainda por decreto) satisfaz φ(1) = 1. Um
1 2 1 2 1 2
· · ∈
A-mo´dulo M ´e, moralmente falando, um “espa¸co vetorial sobre A” em que 1 m = m para)todo
A · 8
m M. Um morfimo de A-mo´dulos ψ:M N ´e uma “transforma¸ca˜o A-linear” entre2M e N:
∈ →
ψ(a m +a m )=a ψ(m )+a ψ(m ) para todo a ,a A e m ,m M. :
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 7
· · · · ∈ ∈
Recorde que uma unidade u A ´e um elemento que possui inverso multiplicativo1u 1 A. O
−
conjuntodetodasasunidadesdeA,∈juntamentecomaoperac¸a˜oRmultiplica¸ca˜o,formau m(grupoa∈beliano
0
A×, o grupo de unidades de A. Por exemplo, Z× = 1 e C[t]× =C× =C 0 .
1
{± } \{ }
Dada uma cole¸ca˜o de an´eis A , λ Λ, definimos o anel produto A 0como o anel dado pelo
produtocartesianodosA ,comaλsoma∈emultiplica¸ca˜oDefetuadascoordenaλd∈aΛa2λcoordenada. Oelemento
neutrodeste anel´e atuplλa constantecomtodasasentradasiguaisa 0eQaid9e,n tidade´ea tupla constante
com todas as entradas iguais a 1. 2
Lembre ainda que um ideal a de um anel A ´e um A-submo´dulotde A, ou seja, um subconjunto
c
a A fechado por combinac¸o˜es A-lineares: x,y a e a,b A Oax+by A. Ideais generalizam a
⊂ ∈ ∈ ⇒ ∈
Ano,¸coa˜ocodnejucnotnojudnetotoddeasmau´sltcipomlosbidneac¸uo˜meseAle-mlineenatroe.sD(fiandiatausm)adefaTem,le ´ımliaenatrobsitnre´asrtiaaf{abmλ´}ılλia∈Λ de elementos de
E
a b + +a b r N, a A, λ Λ
1· λ1 ··· r· λr ∈ i ∈ i ∈
´e um ideal de A, o ideal(cid:8)gerado por b . (cid:12)Note que este ´e o “menor(cid:9)” ideal de A que cont´em o
λ λ Λ (cid:12)
{ } ∈
conjunto b . O ideal geradopor a ,...,a A ser´a denotado por uma das duas seguintes formas:
λ λ Λ 1 n
{ } ∈ ∈
(a ,...,a )=A a + +A a
1 n 1 n
· ··· ·
8 Vamos ser amigos dos an´eis!
Ideais da forma (a), isto ´e, gerados por um u´nico elemento, s˜ao chamados de ideais principais. ideal! principal
Ideais podem ser multiplicados e somados: dados dois ideais a e b, a b ´e o ideal gerado por todos ideal! pr´oprio
· morfismo! quociente
os produtos a b coma a e b b. Dada uma fam´ıliade ideais a , denotamos por a o ideal gerado
· ∈ ∈ λ λ λ
pela uni˜ao a . Em particular, para ideais finitamente gerados, temos
λ λ P
S (a ,...,a ) (b ,...,b )=(a b ,a b ,...,a b ,...,a b )
1 m 1 n 1 1 1 2 i j m n
·
(a ,...,a )+(b ,...,b )=(a ,...,a ,b ,...,b )
1 m 1 n 1 m 1 n
Um ideal a de A´e dito pro´prio se a=A, isto´e,se a´e um subconjunto pr´opriode A. Note que a´e
6
pr´oprio se, e s´o se, 1 / a ou, mais geralmente, se, e s´o se, A× a= (da sabedoria popular: “a melhor
∈ ∩ ∅
maneirade se livrarde umidealpr´oprio´e daruma unidade a ele”). De fato, seA× a= enta˜o1 a e
∩ ∅ 6∈
portanto a=A. Reciprocamente, se a ´e pr´oprio mas existe u A× tal que u a enta˜o a=au 1 u a
−
6 ∈ ∈ · ∈
para todo a A, o que´e absurdo. Observe que todo anel, com exce¸ca˜o do anel 0, possui ideais pr´oprios
∈
(o ideal nulo, por exemplo).
Ideaispossuemumimportantepapelna˜os´oemnossasvidasmastamb´emnasvidasdosan´eis,sendo
ingredientesessenciaisna promoc¸a˜oda igualdade: dadoumideal a A, oanel quociente A/a´eoanel
⊂
obtido “igualando-se” elementos que diferem por um elemento em a; formalmente, os elementos de A/a
s˜ao as classes laterais do ideal a, que ser˜ao denotadas por uma das seguintes trˆes maneiras:
a+a=amoda=a A/a (a A)
∈ ∈
(sendo a u´ltima notac¸a˜o a utilizada se o ideal a esta´ claro pelo contexto). Escrevemos ainda
a b (mod a) a b a a=b em A/a
≡ ⇐⇒ − ∈ ⇐⇒
de modo que as propriedades usuais de congruˆencias se verificam:
a+c b+d (mod a)
a b (mod a) ≡
≡ a c b d (mod a)
c d (mod a) ⇒ − ≡ −
(cid:26) ≡ ac bd (mod a)
≡
Por exemplo, para provar a u´ltima propriedade, note que se a b a e c d a enta˜o ac bd =
− ∈ − ∈ −
c (a b)+b (c d) a. Estas propriedades nada mais expressam do que a compatibilidade das
· − · − ∈
operac¸o˜es do anel com a rela¸ca˜o de equivalˆencia dada pelo quociente. Isto mostra que as operac¸o˜es em
A/a
def def
a b = a b e a b = a b (a,b A)
± ± · · ∈ T
esta˜o de fato bem definidas, isto ´e, independem da escolha dos representantes de classe a,b.
O anelquociente vemequipado de f´abrica comum morfismo quociente ou morfismo proje¸c˜ao,
claramente sobrejetor: F
q:A։A/a
)
a a A 8
7→
2
Aindanoque tangeaquocientes,temososseguintesresultadosmuito importantes,aindaquededem:on-
7
stra¸co˜essingelas. Oprimeiro´eoprinc´ıpio“zerovaiemzero”: paramostrarqueummorfismodeumanel
1
quociente A/a para um outro anel B esta´ bem definido, basta verificaRr que 0 0. O segund(o fornece
7→
condi¸co˜essuficientes sobasquais este morfismo´e umisomorfismo. O terceiroidentificaos id0eaisdo anel
quociente A/a com os ideais de A contendo a. 1
0
Teorema 1.1 (Propriedade Universal do Quociente) DSejam A e B an´eis e se2ja a um ideal de
A. Dar um morfismo φ:A/a B ´e o mesmo que dar um morfismo φ:A 9B,tal que φ(a) = 0.
→ →
Explicitamente, se φ:A B satisfaz φ(a) = 0 ent˜ao existe um u´nico morfism2o φ:A/a B tal que
→ →
φ(a)=φ(a) para todo a A, ou seja, tal que o seguinte diagrama comuta: t
∈ c
O
φ
-
A B
- ,
T
φ E
!
q ∃
?
?
A/a
Aqui q:A։A/a denota o morfismo quociente.
9
Teorema 1.2 (Isomorfismo) Seja φ:A B um morfismo de an´eis. Enta˜o o kernel de φ m´oduloquocien
→
nilpotente
reduzido
def
kerφ = a A φ(a)=0 divisordezero
{ ∈ | } elementosasso
corpodefra¸c˜
´e um ideal de A e φ induz (pelo teorema anterior) um morfismo φ:A/kerφ ֒ B que ´e injetor e que elemento! irredut
→
portanto estabelece um isomorfismo entre A/kerφ e a imagem de φ. dom´ıniodefatora¸
dom´ıniodeideais
Teorema 1.3 (Correspondˆencia de Ideais) Seja A um anel e a um ideal. O mapa quociente q:A։
A/a estabelece uma bijec¸˜ao entre
ideais b de A tais que b a ideais de A/a
⊃ ↔
(cid:8) (cid:9)b (cid:8)q(b) (cid:9)
7→
SeN ´eumA-submo´dulodeM,podemosdefiniroA-mo´dulo quocienteM/N demaneiraan´aloga,
comooconjunto dasclasseslateraisde N. Mutatis mutandis,ostrˆesteoremasanterioresvalemtamb´em
no contexto de m´odulos.
Lembre que um elemento a de um anel A´e dito nilpotente se existe um nu´mero natural n tal que
an = 0. Um anel A = 0 ´e chamado de reduzido se seu u´nico elemento nilpotente ´e o 0. Um elemento
6
a=0´e um divisor de zero se existe b=0 tal que a b=0. Recorde que um anel A=0 sem divisores
6 6 · 6
de zero ´e chamado de dom´ınio: mais explicitamente, um anel A ´e um dom´ınio se A = 0 e, para todo
6
a,b A, temos a b = 0 a = 0 ou b = 0. Num dom´ınio, vale a “lei do cancelamento”: se c = 0
∈ · ⇐⇒ 6
enta˜o a c=b c a=b (ja´ que a c=b c (a b) c=0 a b=0). Para elementos a,d
· · ⇒ · · ⇐⇒ − · ⇐⇒ −
em um dom´ınio A, escrevemos ainda
d a (lˆe-se “d divide a” ou “a ´e mu´ltiplo de d”)
|
a=b d para algum b A
⇐⇒ · ∈
(d) (a) (como diz o velho ditado, “no mundo ideal, conter´e dividir”)
⇐⇒ ⊃
Dois elementos a,b de um dom´ınio A s˜ao ditos associados se eles diferem de uma unidade (multiplica-
tivamente falando), isto ´e, a = b u para alguma unidade u A×. Ideais s˜ao “insens´ıveis a associados”
· ∈
no sentido que
(a)=(b) a e b s˜ao associados
⇐⇒ T
De fato, temos que (a) = (b) ´e equivalente a a b e b a, ou seja, `a existˆencia de elementos u,v A
| | ∈
tais que a = b u e b = a v. Se a e b s˜ao associados, digamos a = b u com u A×, temos tamb´em
· · · ∈
b = a v para v = u 1; reciprocamente, se a = b u e b = a v temos a = a vuF, ou seja, a = b = 0 ou
−
· · · ·
vu=1 u,v A× e em ambos os casos a e b s˜ao associados.
⇒ ∈
Para um dom´ınio A, denotaremos ainda por )
A 8
2
a
:
FracA= a,b A, b=0 7
b ∈ 6
1
n (cid:12) o
o seu corpo de fra¸co˜es: aqui, duas fra¸co˜es ab e dc(cid:12)(cid:12) s˜ao identificRadas se, e s´o se, ad=0b c(; e as operac¸o˜es
s˜ao definidas do modo usual: 1
0
a c a d+b c a c a c 2
+ = · · De = ·
b d b d b · d b d ,
· · 9
2
SejaA´eumdom´ınio. Umelementoπ A (A× 0 )´editoirredut´ıvelseeles´opossuifatorac¸o˜es
∈ \ ∪{ } t
triviais: π = a b a A× ou b A×. Um dom´ınio A ´e chamadocde dom´ınio de fatora¸c˜ao u´nica
· ⇒ ∈ ∈ O
(DFU) se todo elemento a = 0 de A pode ser fatorado de maneira essencialmente u´nica como produto
de irredut´ıveis,ou seja, 6 ,
T
1. (Existˆencia da fatorac¸a˜o) a pode ser escrito como a=πE1π2...πm com πi irredut´ıveis;
2. (Unicidadedafatorac¸a˜o)Seatamb´emseescrevecomoa=ρ ρ ...ρ comρ irredut´ıveisenta˜o
1 2 n i
m=n e existe uma permuta¸ca˜o σ: 1,2,...,m 1,2,...,m tal que π ´e associado a ρ ,
i σ(i)
{ }→{ }
i=1,2,...,m=n.
Um dom´ınio em que todo ideal ´e principal ´e chamado de dom´ınio de ideais principais (DIP). Por
exemplo, Z e C[t] s˜ao DIPs. Temos ainda os seguintes importantes resultados (ver apˆendice):
10 Vamos ser amigos dos an´eis!
Teorema 1.4 Todo DIP ´e um DFU. ´algebra
complexo
Teorema 1.5 Se A ´e um DFU ent˜ao A[x] tamb´em ´e um DFU. sequˆenciaexata
produtodireto
somadireta
Uma A-´algebra´e por defini¸ca˜o um morfismo de an´eis φ:A B. Muitas vezes, φ (dito morfismo
→
base) ´e claro pelo contexto e por isso nos referimos ao pr´oprio anel B como sendo uma A-´algebra. Por
exemplo, o anel de polinˆomios A[x ,...,x ] ´e uma A-´algebra via a inclus˜ao A ֒ A[x ,...,x ]; al´em
1 n 1 n
→
disso, qualquer anel A ´e uma Z-´algebra pelo morfismo natural Z A (que leva 1 Z em 1 A). Note
→ ∈ ∈
que φ na˜o ´e necessariamente injetivo, mas se a A e b B denotamos φ(a) b simplesmente por a b,
∈ ∈ · ·
por abuso de linguagem. Finalmente, um morfismo f:B C de A-´algebras ´e um morfismo de an´eis
→
compat´ıvel com os morfismos bases φ:A B e ψ:A C, isto ´e, tal que o diagrama
→ →
f
-
B C
-
6
ψ
φ
A
comuta (f φ = ψ). Utilizando o abuso de linguagem acima, um morfismo de an´eis f:B C ´e um
◦ →
morfismo de A-´algebras se, e somente se, f ´e A-linear: f(ab)=af(b) para todo a A e b B.
∈ ∈
Rela¸co˜es lineares entre m´odulos s˜ao geralmente expressas atrav´es de sequˆencias exatas. Uma
sequˆencia de morfismos de A-mo´dulos
- M fi+-1 M f-i M fi−-1 M fi−-2
i+1 i i 1 i 2
··· − − ···
´e um complexo se f f = 0 imf kerf para todo i. Um complexo ´e uma sequˆencia
i 1 i i i 1
− ◦ ⇐⇒ ⊂ −
exata se imf =kerf para todo i. Em particular,
i i 1
−
- f- g- -
0 M N P 0
´e uma sequˆencia exata se, e s´o se, f ´e injetora, g ´e sobrejetora e kerg =imf, de modo que g induz um
isomorfismo N/f(M)=P. Neste caso dizemos que a sequˆencia acima ´e uma sequˆencia exata curta.
∼
Uma maneira de interpretar uma sequˆenciaexata curta´e imaginar o m´odulo do meio como “composto”
pelosm´odulosdaspontas. Porexemplo,seosm´odulosacimas˜aok-mo´dulosondek´eumcorpo(i.e., M,
N e P s˜ao k-espac¸os vetoriais) enta˜o dim N =dim M +dim P.
k k k
Note que toda sequˆencia exata (M ,f ) pode ser quebrada em sequˆencias exatas curtas
• • T
- - - -
0 imf M imf 0
i+1 i i
de modo que o estudo de sequˆencias exatas gerais pode ser reduzido ao estudo das sequˆencias exatas
curtas. F
Dados dois A-mo´dulos M e N, o conjunto Hom (M,N) de todos os morfismos φ:M N de A-
A
→
m´odulostamb´em´eumA-mo´dulo(comasomaeoprodutoporescalaresemAinduzidospelasoperac¸o˜es )
A 8
emN). Al´emdisso,dadaumafam´ıliadeA-mo´dulosMi,i I,podemosconstruirdoisnovosA-mo´dulo2s:
∈
o produto direto :
7
M 1
i
R (
i I
Y∈ 0
que, como conjunto, ´e igual ao produto cartesiano dos Mi, sendo a soma e o produto1por escalares
realizada componente a componente; e a soma direta 0
2
D
M
i ,
9
i I
M∈ 2
aqpueen´eaospsuabramu´omdunlou´mdoerporofidnuittooddeir´ıentdoicceusjois. eUlemmmen´otdouslso˜aqouaes´etuispolmaso(rmfoia)i∈uImqacutsa osmeanudliarse,tai.e.,comMmio6=nd0e
O i I i
cada M = A ´e chamado de m´odulo livre sobre A. Por exemplo, espa¸cos vetoriais sobre u∈m corpo k
i ∼ L
s˜ao k-mo´dulos livres. ,
T
Observe que temos os isomorfismos canˆonicos E
Hom (T,M )=Hom T, M e Hom (M ,T)=Hom M ,T
A i A i A i A i
i I i I i I i I
Y∈ (cid:0) Y∈ (cid:1) Y∈ (cid:0)M∈ (cid:1)
onde o primeiro isomorfismo leva (φ ) no morfismo φ:T M cuja i-´esima coordenada ´e φ ,
enquanto que o segundo isomorfismoileiv∈aI (ψ ) no morfism→o ψ: i∈I Mi T dado por ψ (m ) =i
ψ (m ), que faz sentido uma vez m =0i ip∈aIra quase todo iQI.i∈I i → i i∈I
i∈I i i i ∈L (cid:0) (cid:1)
P
