Table Of ContentAlgebra and Applications 1
SCIENCES
Mathematics, Field Director – Nikolaos Limnios
Algebra and Geometry, Subject Head – Abdenacer Makhlouf
Algebra and Applications 1
Non-associative Algebras and Categories
Coordinated by
Abdenacer Makhlouf
First published 2020 in Great Britain and the United States by ISTE Ltd and John Wiley & Sons, Inc.
Apart from any fair dealing for the purposes of research or private study, or criticism or review, as
permitted under the Copyright, Designs and Patents Act 1988, this publication may only be reproduced,
stored or transmitted, in any form or by any means, with the prior permission in writing of the publishers,
or in the case of reprographic reproduction in accordance with the terms and licenses issued by the
CLA. Enquiries concerning reproduction outside these terms should be sent to the publishers at the
undermentioned address:
ISTE Ltd John Wiley & Sons, Inc.
27-37 St George’s Road 111 River Street
London SW19 4EU Hoboken, NJ 07030
UK USA
www.iste.co.uk www.wiley.com
© ISTE Ltd 2020
The rights of Abdenacer Makhlouf to be identified as the author of this work have been asserted by him
in accordance with the Copyright, Designs and Patents Act 1988.
Library of Congress Control Number: 2020938694
British Library Cataloguing-in-Publication Data
A CIP record for this book is available from the British Library
ISBN 978-1-78945–017-0
ERC code:
PE1 Mathematics
PE1_2 Algebra
PE1_5 Lie groups, Lie algebras
PE1_12 Mathematical physics
Contents
Foreword . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
AbdenacerMAKHLOUF
Chapter1.JordanSuperalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
ConsueloMARTINEZandEfimZELMANOV
1.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.Tits–Kantor–Koecherconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.Basicexamples(classicalsuperalgebras) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.Brackets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.Cheng–Kacsuperalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.FinitedimensionalsimpleJordansuperalgebras . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.1.CaseF isalgebraicallyclosedandcharF =0. . . . . . . . . . . . 11
1.6.2.CasecharF =p>2,theevenpartJ¯0issemisimple . . . . . . . . 11
1.6.3.CasecharF =p>2,theevenpartJ¯0isnotsemisimple. . . . . . 13
1.6.4.Non-unitalsimpleJordansuperalgebras. . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.Finitedimensionalrepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7.1.Superalgebrasofrank≥3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7.2.Superalgebrasofrank≤2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8.Jordansuperconformalalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9.References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Chapter2.CompositionAlgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
AlbertoELDUQUE
2.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.Quaternionsandoctonions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1.Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
vi AlgebraandApplications1
2.2.2.Rotationsinthree-(andfour-)dimensionalspace . . . . . . . . . . 31
2.2.3.Octonions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.Unitalcompositionalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1.TheCayley-Dicksondoublingprocessandthegeneralized
Hurwitztheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.2.IsotropicHurwitzalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.Symmetriccompositionalgebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.Triality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6.Concludingremarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.7.Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.8.References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Chapter3.Graded-DivisionAlgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
YuriBAHTURIN,MikhailKOCHETOVandMikhailZAICEV
3.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.Backgroundongradings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.1.Gradingsinducedbyagrouphomomorphism . . . . . . . . . . . . 62
3.2.2.Weakisomorphismandequivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.3.Basicpropertiesofdivisiongradings . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.4.Gradedpresentationsofassociativealgebras . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.5.Tensorproductsofdivisiongradings . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.6.Loopconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.7.Anotherconstructionofgraded-simplealgebras . . . . . . . . . . . 72
3.3.Graded-divisionalgebrasoveralgebraicallyclosedfields . . . . . . . . 75
3.4.Realgraded-divisionassociativealgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4.1.Simplegraded-divisionalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4.2.Pauligradings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4.3.Commutativecase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4.4.Non-commutativegraded-divisionalgebraswith
one-dimensionalhomogeneouscomponents . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4.5.Equivalenceclassesofgraded-divisionalgebraswith
one-dimensionalhomogeneouscomponents . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4.6.Graded-divisionalgebraswithnon-central
two-dimensionalidentitycomponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4.7.Graded-divisionalgebraswithfour-dimensionalidentity
components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.4.8.Classificationofrealgraded-divisionalgebras,upto
isomorphism. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.5.Realloopalgebraswithanon-splitcentroid . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.6.Alternativealgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.6.1.Cayley–Dicksondoublingprocess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.6.2.Gradingsonoctonionalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6.3.Graded-simplerealalternativealgebras . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Contents vii
3.6.4.Graded-divisionrealalternativealgebras . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.7.Gradingsoffields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.8.References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Chapter4.Non-associativeC∗-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
ÁngelRODRÍGUEZPALACIOSandMiguelCABRERAGARCÍA
4.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2.JB-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3.Thenon-associativeVidav–PalmerandGelfand–Naimarktheorems . . 116
4.4.JB∗-triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.5.Past,presentandfutureofnon-associativeC∗-algebras . . . . . . . . . 141
4.6.Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.7.References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Chapter5.StructureofH(cid:2)-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
JoséAntonioCUENCAMIRA
5.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.2.Preliminaries: aspectsofthegeneraltheory. . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.3.UltraproductsofH(cid:2)-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.4.QuadraticH(cid:2)-algebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.5.AssociativeH(cid:2)-algebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.6.FlexibleH(cid:2)-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.7.Non-commutativeJordanH(cid:2)-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.8.JordanH(cid:2)-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.9.MoufangH(cid:2)-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.10.LieH(cid:2)-algebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.11. TopicscloselyrelatedtoLieH(cid:2)-algebras. . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.12. Two-gradedH(cid:2)-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.13. Othertopics: beyondtheH(cid:2)-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.14.Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.15.References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Chapter6.Krichever–NovikovTypeAlgebras: Definitions
andResults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
MartinSCHLICHENMAIER
6.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.2.TheVirasoroalgebraanditsrelatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.3.Thegeometricpicture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.3.1.ThegeometricrealizationsoftheWittalgebra . . . . . . . . . . . . 204
6.3.2.Arbitrarygenusgeneralizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.3.3.Meromorphicforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.4.Algebraicstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
viii AlgebraandApplications1
6.4.1.Associativestructure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.4.2.LieandPoissonalgebrastructure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.4.3.ThevectorfieldalgebraandtheLiederivative . . . . . . . . . . . . 210
6.4.4.Thealgebraofdifferentialoperators. . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.4.5.Differentialoperatorsofalldegrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
6.4.6.Liesuperalgebrasofhalfforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.4.7.Jordansuperalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.4.8.Highergenuscurrentalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.4.9.KN-typealgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.5.Almost-gradedstructure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.5.1.Definitionofalmost-gradedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.5.2.SeparatingcycleandKNpairing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
6.5.3.Thehomogeneoussubspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.5.4.Thealgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
6.5.5.Triangulardecompositionandfiltrations . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.6.Centralextensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.6.1.Centralextensionsandcocycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.6.2.Geometriccocycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.6.3.Uniquenessandclassificationofcentralextensions . . . . . . . . . 226
6.7.Examplesandgeneralizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.7.1.Thegenuszeroandthree-pointsituation . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.7.2.Genuszeromultipointalgebras–integrablesystems . . . . . . . . 231
6.7.3.Deformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.8.Laxoperatoralgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.9.FermionicFockspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.9.1.Semi-infiniteformsandfermionicFockspacerepresentations . . . 235
6.9.2.b–csystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.10.Sugawararepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.11.Applicationtomodulispace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.12.Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.13.References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Chapter7.AnIntroductiontoPre-LieAlgebras . . . . . . . . . . . . . 245
ChengmingBAI
7.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
7.1.1.Explanationofnotions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
7.1.2.Twofundamentalproperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
7.1.3.Somesubclasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.1.4.Organizationofthischapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
7.2.Someappearancesofpre-Liealgebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.2.1.Left-invariantaffinestructuresonLiegroups: ageometric
interpretationof“left-symmetry” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
