Algebra Abstracta

259 Pages·2012·18.02 MB·Spanish

ÁLGEBRA
ABSTRACTA

M. en C. Eduardo M. Ojeda Pena
University of Arizona, E Li A
iini.versidad Autónomo de Gcladcllajara [UAG),
Guadalajara, México
Revis~rT écnico:
ha&
Dr. Iván Castro "1
Pontificia Universidad Jci~eri;
Bogotá, Colombia
Sernpio Rendnn 125-06470 Méxtco, D.F. Tel. [phone] Fnx. 5352009
Versicln en espaflol de la obra Abstruct Algebra
por I.N. Herstein.
Edición original en ingles publicada por Macmillan Publishing Company,
Copyright O 1986, en Estados Unidos de América.
ISBN 0-02-353820-1
D. R. O 2988 por Grupo Editorial Iberoamérica, S.A. de C.V. y/o
Wadsworth Internacional/IberoamCrica, Belmont, California 94002.
Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, archivada o transmitida
en forma alguna o mediante algún sistema, ya sea electrónico, mecánico,
de fotorreproducción, de almacenamiento en memoria o cualquier otro,
sin el previo y expreso permiso por escrito de Grupo Editorial Iberoamérica y/o
Wadssorth Intcrnacional/Iberoamér~ca,d ivisión de Wadsworth, Inc.
ISB 968-7270-42-X
Impreso en Mkxico
Editor- Nicolás Grepe P
Productor Oswaldo Ort~zR
Cubrerra Miguel Angel Richaud
Grupo Mibrial Iberoamérica, S. A. de C.V.
Seriipio Rendón 125. Col. San Ralacl, 06470 México, D. F.
Apdo. S- 1977-OfSf0 7C3.705 05 85 Fax [phone]
Rcg. CNIEM 1382

En el transcurso de los Últimos cincuenta años, más o menos, el Álgebra Abs-
tracta ha alcanzado una importancia creciente no sólo dentro de la propia ma-
temática, sino también en varias otras disciplinas. Los resultados y conceptos
del Álgebra Abstracta desempeñan un papel cada vez más importante; por
ejemplo, en física, química y ciencias de la computación, para mencionar sólo
algunos de tales campos.
Dentro de la propia matemática el Álgebra Abstracta desempeña una dable
función: la de vínculo unificador entre ramas dispares de esta ciencia y la de
área de investigación con una vida muy activa en si misma. El Álgebra Abs-
tracta ha sido un campo de investigación fertil y recompensador tanto en la última
centuria como en la actualidad. Algunos de los grandes logros de la matemática
del Siglo xx han tenido lugar precisamente en esta área. Se han demostrado re-
sultados muy interesantes en teoría de grupos, teoría de anillos conmutativos
y no conmutativos, álgebras de Lie, álgebras de Jordan, matemática cornbina-
toria y muchas otras ramas de lo que se conoce genéricamente como Álgebra
Abstracta. Esta materia, que fue catalogada en alguna ocasión como esotérica,
ha llegado a ser considerada como completamente accesible a un amplio con-
junto de estudiosos.
Este libro tiene un doble propósito. A aquellos lectores que deseen proseguir
hacia la investigación en matemáticas o en algunos campos relacionados donde
se utilicen conceptos y métodos atgebraicos, esta obra puede servirles como una
introducción -y, recalcamos, sólo como una introducción- a esta fascinante
materia. A los lectores que deseen enterarse de lo que está aconteciendo en una
atractiva rama de la matemática moderna, este libro les podrá ser iitil para tal
fin y les proporcionara algunos medios muy apropiados para su aplicación en
el área de interés,
vi¡
vi¡¡ pnó~oco
La elección de los temas se ha hecho con el objeto de introducir a los lec-
tores al conocimiento de algunos de los sistemas algebraicos fundamentales, que
son a la vez interesantes y de uso extenso. Además, en cada uno de tales sis-
temas el propósito ha sido llegar a ciertos resultados significativos. Sería de poca
utilidad estudiar algún objeto abstracto sin considerar determinadas consecuencias
no triviales de su estudio. Esperamos haber logrado el objetivo de presentar re-
sultados interesantes, aplicables y significativos en cada uno de los sistemas que
hemos elegido para su análisis.
Como el lector lo apreciará pronto, hay muchos ejercicios en el libro. Por
lo general se dividen en tres categorías: fáciles, intermedios y difíciles (y ocasio-
nalmente, muy difíciles). El propósito de tales problemas es permitir a los estu-
diantes poner a prueba su grado de asimilación de la materia, desafiar su in-
genio matemático, preparar el terreno para los temas que siguen y ser un medio
de desarrollo de criterio, intuición y técnica matemáticas. Los lectores no deben
desanimarse si no logran resolver todos los problemas. La idea de muchos de
los ejercicios es que se intente resolverlos -aunque esto no se logre- para el
placer (y frustración) del lector. Algunos de los problemas aparecen varias veces
en el libro. La mejor manera de avanzar en el aprendizaje de esta disciplina es,
indudablemente, tratar de resolver los ejercicios.
Hemos procurado desarrollar los temas en el lenguaje y tono de una clase
en el aula. Por consiguiente, la exposición es a veces un poco "festiva"; espe-
ramos que esto haga que sea más fácil para el lector. Se ha tratado de presentar
muchos ejemplos que pongan en relieve los diversos conceptos tratados, Algunos
de ellos resultan ser ejemplos de otros fenómenos. Con frecuencia se hace refe-
rencia a ellos a medida que avanza la discusión.
Creemos que el libro es autosuficiente, excepto en una sección -la
penúltima- donde se hace uso implícito del hecho de que un polinomio sobre
el campo complejo tiene raíces complejas (o sea, el famoso Teoremafundamental
del álgebra, debido a Gauss) y en la última, donde se utiliza un poca de Cálculo.
Estamos agradecidos con muchas personas por las observaciones y sugerencias
formuladas acerca de versiones preliminares del libro. Muchos de los cambios
que sugirieron han sido incorporados y favorecen la accesibilidad del libro. Ex-
presamos nuestro agradecimiento especial al profesor Martin Isaacs, por sus co-
mentarios sumamente útiles.
También agradecemos a Fred Flowers su excelente trabajo al mecanografiar
el manuscrito, y al señor Gary W. Ostedt, de Macmillan Company, por su en-
tusiasmo en el proyecto editorial y por Ia publicación del libro.
Dicho lo anterior, deseamos a todos los lectores una feliz travesía en el viaje
matemático que están a punto de emprender al interior de este grato y atractivo
mundo del Álgebra Abstracta.*
I.N.H.
* Esta editorial tiene a disposicidn de los profesores que adopten el presente texto, el Manual
de[ Profesur elaborado por el autor de este libro.
..............
TEMAS FUNDAMENTALES
........................
Algunas observaciones preliminares
Teoríadeconjuntos ......................................
.........................
Funciones o aplicaciones (mapeos)
A (S) (Conjunto de las aplicaciones inyectivas
.....................................
de S sobre sí mismo)
Los números enteros .....................................
....................................
Inducción matemática
......................................
Números complejos
Definiciones y ejemplos de grupos ..........................
Algunas observaciones sencillas ............................
Subgrupos .....................s...................+...
TeoremadeLagrange ....................................
Homomorfismos y subgrupos normales .....................
.........................................
Grupos factores
CONTENIDO
.............................
2.7 Teoremas de homomorfismos 84
......................................
2.8 Teorema de Cauchy 88
.......................................
2.9 Productos directos 92
........................
2.10 Grupos abelianos finitos {opcional) 96
2.11 Conjugación y teorema de Sylow (opcional) ................. 101
3 EL GRUPO SIMETRICO. ............... Ji 09
............................................
3.1 Preliminares 109
.................................
3.2 Descomposición en ciclos 112
............................
3.3 Permutaciones impares y pares 118
4.1 Definiciones y ejemplos .................................. 125
...............................
4.2 Algunos resultados sencillos 136
..................
4.3 Ideales. homomorfismos y anillos cociente 139
........................................
4.4 Ideales máximos 148
4.5 Anillos de polinomios .................................... 151
4.6 Polinomios sobre los racionales ............................ 165
4.7 Campo de cocientes de un dominio integral ................. 171
5.1 Ejemplos de campos ..................................... 176
5.2 Breve excursión hacia los espacios vectoriales ............... 179
5.3 Extensiones de campos ................................... 192
5.4 Extensiones finitas ....................................... 198
5.5 ConstructibiIidad ........................................ 201
5.6 Raíces de polinomios ..................................... 207
6.1 Simplicidad de A. ....................................... 215
6.2 Campos finitos 1 ........................................ 221