Table Of ContentAlgebra
Professor Walter Gubler
29. April 2010
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Inhaltsverzeichnis
I Algebra I 11
I Gruppentheorie 13
I.1 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
I.1.1 De(cid:28)nition einer Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
I.1.2 Eigenschaften von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
I.1.3 Homomorphismus und Untergruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
I.1.4 Eigenschaften von Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . 14
I.1.5 Gruppenhomomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I.1.6 Monoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I.1.7 Vom Monoid zur Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I.1.8 Die symmetrische Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
I.1.9 Vektorraumautomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
I.1.10 Gruppenisomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
I.1.11 ˜quivalente Umformulierung von Gruppenisomorphismus . . . . . . 16
I.1.12 Produkt von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
I.2 Nebenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.2.1 Verkn(cid:252)pfung auf der Potenzmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.2.2 Eine ˜quivalenzrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.2.3 Nachweis dieser Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.2.4 Linksnebenklasse = ˜quivalenzklasse . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.2.5 Repr(cid:228)sentantensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
I.2.6 Linkstranslation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
I.2.7 Index einer Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
I.2.8 Ordnung einer Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
I.2.9 Satz von Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
I.2.10 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
I.2.11 Verallgemeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
I.3 Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.3.2 Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.3.3 Spezialfall abelsche Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.3.4 Rechenregeln in G/N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.3.5 Faktorgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
I.3.6 Kern der Quotientenabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
I.3.7 Kern als Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
I.3.8 Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
I.3.9 1.Isomorphisatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
I.3.10 2.Isomorphisatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3
4 INHALTSVERZEICHNIS
I.4 Zyklische Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I.4.1 Die kleinste Untergruppe von G, die Y enth(cid:228)lt . . . . . . . . . . . 25
I.4.2 Zyklische Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I.4.3 Ordnung von einem Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I.4.4 Untergruppen von Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I.4.5 Zusammenhang: Ordung einer Gruppe, Ordnung eines Elementes . 26
I.4.6 Zyklische Gruppen und Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
I.4.7 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
I.4.8 Zahlentheoretische Erg(cid:228)nzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
I.4.9 Lemma von Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
I.4.10 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
I.4.11 Eulersche Phi-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
I.4.12 Satz von Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
I.4.13 Kleiner Satz von Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
I.5 Permutationsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
I.5.1 Satz von Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
I.5.2 Permutationen und Zyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
I.5.3 Teilweise Kommutativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
I.5.4 Weitere Rechenregel f(cid:252)r Zykel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
I.5.5 Zerlegung-Satz (cid:252)ber Elemente aus der symmetrischen Gruppe . . . 30
I.5.6 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
I.6 Gruppenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
I.6.1 Gruppenaktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
I.6.2 Linkstranslation als Gruppenoperation . . . . . . . . . . . . . . . . 32
I.6.3 Konjugation als Gruppenoperation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
I.6.4 Potenzmenge mit Gruppenoperation 1 . . . . . . . . . . . . . . . 33
I.6.5 Potenzmenge mit Gruppenoperation 2 . . . . . . . . . . . . . . . 33
I.6.6 Die Bahn von x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
I.6.7 Bahnen als ˜quivalenzklasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
I.6.8 Der Stabilisator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
I.6.9 Bijektion mit Bahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
I.6.10 Bahnengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
I.6.11 Zentrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
I.6.12 Zentralisator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
I.6.13 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
I.6.14 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
I.6.15 Klassengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
I.6.16 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
I.7 Die Sylow S(cid:228)tze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
I.7.1 Beispiel mit der alternierende Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . 37
I.7.2 Lemma von Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
I.7.3 1.Sylow-Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
I.7.4 p-Sylow-Untergruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
I.7.5 2.Sylow-Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
I.8 Klassi(cid:28)kation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
I.8.1 Klassi(cid:28)zierung der Z/pZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
I.8.2 Klassi(cid:28)zierung endlicher abelschen Gruppen . . . . . . . . . . . . . 39
I.8.3 Chinesischer Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
INHALTSVERZEICHNIS 5
I.8.4 Isomorphietypen von endlichen abelschen Gruppen . . . . . . . . . 39
I.8.5 Erg(cid:228)nzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
I.8.6 (cid:220)bungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
I.8.7 (cid:220)bungsaufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
I.8.8 Klassi(cid:28)kation bis ord = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
I.8.9 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
II Ringtheorie 43
II.1 Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
II.1.1 De(cid:28)nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
II.1.2 Kommutative Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
II.1.3 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
II.1.4 K(cid:246)rper als Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
II.1.5 Weitere Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
II.1.6 Teilbarkeit in Ringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
II.1.7 Integrit(cid:228)tsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
II.1.8 Quotientenk(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
II.1.9 Ringhomomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
II.1.10 Ringisomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
II.1.11 Ringtheoretisches Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
II.2 Ideale und Restklassenringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
II.2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
II.2.2 Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
II.2.3 Ring/Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
II.2.4 Faktorring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
II.2.5 Eigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
II.2.6 Kern als Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
II.2.7 Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
II.2.8 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
II.2.9 Ideale in einem K(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
II.2.10 Injektive K(cid:246)rperhomomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
II.2.11 Maximalideal und Primideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
II.2.12 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
II.2.13 Maximalideal ist Primideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
II.2.14 Kern als Primideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
II.2.15 Chinesischer Restsatz f(cid:252)r Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
II.3 Beispiele f(cid:252)r Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
II.3.1 Matrizen und Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
II.3.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
II.3.3 Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
II.3.4 Einsetzhomomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
II.4 Teilbarkeit in Monoiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
II.4.1 Assoziiertheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
II.4.2 Irreduzibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
II.4.3 Prim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
II.4.4 Prim ist irreduzibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
II.4.5 Primbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
II.4.6 Faktorisierung, faktoriell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6 INHALTSVERZEICHNIS
II.4.7 Teilerkettenbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
II.4.8 Faktorielle Monoide erf(cid:252)llen Teilerkettenbedingung . . . . . . . . . 54
II.4.9 Teilerkettenbedingung impliziert Faktorisierung . . . . . . . . . . . 54
II.4.10 Irreduzibel und prim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
II.4.11 Faktoriell, Primbedingung und Teilerkettenbedingung . . . . . . . . 55
II.4.12 ggT und kgV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
II.5 Hauptideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
II.5.1 Erzeugte Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
II.5.2 Erzeugende des Ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
II.5.3 Hauptideal und Hauptidealbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
II.5.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
II.5.5 Grundlegende ˜quivalenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
II.5.6 ggT und kgV f(cid:252)r Integrit(cid:228)tsbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
II.5.7 Primideal und prim Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
II.5.8 ggT und kgV Idealtheoretisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
II.5.9 ˜quivalenz von prim und irreduzibel . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
II.5.10 Primideale sind maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
II.5.11 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
II.5.12 Chinesischer Restsatz f(cid:252)r Hauptidealbereich R . . . . . . . . . . . 58
II.5.13 Chinesischer Restsatz f(cid:252)r Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
II.5.14 ggT und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
II.5.15 Spezialfall R=Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
II.6 Faktorielle Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
II.6.1 Faktoriell in Integrit(cid:228)tsbereichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
II.6.2 Division mit Rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
II.6.3 Euklidische Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
II.6.4 Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
II.6.5 Euklidische Ringe sind Hauptidealbereich . . . . . . . . . . . . . . 60
II.6.6 Hauptidealbereich sind faktoriell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
II.6.7 Faktorielle euklidische Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
II.6.8 Euklidischer Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
II.6.9 Rechenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
II.6.10 L(cid:246)sen von diophantischen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 62
II.6.11 Rechenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
II.7 Polynome (cid:252)ber faktorielle Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
II.7.1 Zerlegung in endlich viele prim Elemente . . . . . . . . . . . . . . 63
II.7.2 p-adische Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
II.7.3 p-adische Bewertung auf Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
II.7.4 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
II.7.5 Gau(cid:255)-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
II.7.6 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
II.7.7 Inhalt von f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
II.7.8 Polynomring (cid:252)ber faktorielle Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
II.7.9 Faktorielle Polynomringe mehreren Variablen (cid:252)ber einen K(cid:246)rper . . 66
II.7.10 Eisensteinsches Irreduzibilit(cid:228)tskriterium . . . . . . . . . . . . . . . 66
II.7.11 Beispiel f(cid:252)r Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
II.7.12 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
INHALTSVERZEICHNIS 7
III K(cid:246)rper 69
III.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
III.1.1 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
III.1.2 Linearfaktorisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
III.1.3 Abspalten der Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
III.1.4 Endlich viele Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
III.1.5 Charakteristischer Ringhomomorphismus . . . . . . . . . . . . . . 70
III.1.6 Charakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
III.1.7 Teilk(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
III.1.8 Primk(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
III.1.9 Charakteristik von Teilk(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
III.2 K(cid:246)rpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
III.2.1 K(cid:246)rpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
III.2.2 Grad einer K(cid:246)rpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
III.2.3 Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
III.2.4 Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
III.2.5 Gradformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
III.2.6 K(cid:246)rpererweiterung mit Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
III.2.7 Polynomiale Konstruktion von C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
III.2.8 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
III.2.9 Teilringe von K(cid:246)rpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
III.2.10 Proposition (cid:252)ber Teilringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
III.2.11 K(cid:246)rpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
III.2.12 Quotientenk(cid:246)rper von Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
III.3 Algebraische Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
III.3.1 Algebraisch und transzendent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
III.3.2 Beispiele in C und R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
III.3.3 ˜quivalenz von algebraisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
III.3.4 Minimalpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
III.3.5 ˜quivalenzen vom Minimalpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
III.3.6 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
III.3.7 ˜quivalenz Unterk(cid:246)rper und algebraisch . . . . . . . . . . . . . . . 77
III.3.8 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
III.3.9 Minimalpolynom und Gradformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
III.3.10 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
III.3.11 ˜quivalenz: algebraisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
III.3.12 Algebraischen Elemente als Unterk(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . 79
III.4 Zerf(cid:228)llungsk(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
III.4.1 Nullstellen von K auf seine K(cid:246)rpererweiterung . . . . . . . . . . . 80
III.4.2 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
III.4.3 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
III.4.4 Oberk(cid:246)rper der ein p(x) faktorisiert mit Gradabsch(cid:228)tzung . . . . . 81
III.4.5 Teilk(cid:246)rper und Teilring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
III.4.6 Zerf(cid:228)llungsk(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
III.5 Algebraisch abgeschlossene K(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
III.5.1 Algebraisch abgeschlossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
III.5.2 Folgerung aus De(cid:28)nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
III.5.3 Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8 INHALTSVERZEICHNIS
III.5.4 Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
III.5.5 Zorn’sches Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
III.5.6 Existenz maximaler Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
III.5.7 Vereinbarung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
III.5.8 Algebraisch abgeschlossener Oberk(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . 86
III.5.9 Algebraische K(cid:246)rpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
III.5.10 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
III.5.11 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
III.5.12 Algebraischer Abschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
III.5.13 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
IV Galoistheorie 89
IV.1 Normale K(cid:246)rpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
IV.1.1 Normale K(cid:246)rpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
IV.1.2 Homomorphismen von primitiven K(cid:246)rpererweiterungen . . . . . . . 89
IV.1.3 Nullstellen Isomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
IV.1.4 ˜quivalenz von normale K(cid:246)rpererweiterung/Zerf(cid:228)llungsk(cid:246)rper . . . 90
IV.1.5 Von K(cid:246)rpererweiterung zur normale K(cid:246)rpererweiterung . . . . . . . 91
IV.1.6 Zwischenk(cid:246)rper als normale K(cid:246)rpererweiterung . . . . . . . . . . . 91
IV.2 Separable K(cid:246)rpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
IV.2.1 De(cid:28)nitionskette von separabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
IV.2.2 Lemma zum ggT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
IV.2.3 Kriterium f(cid:252)r separable Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
IV.2.4 Alle irreduzible Polynome sind separabel in Charakteristik 0 . . . . 94
IV.2.5 Algebraische K(cid:246)rpererweiterung mit char(K)=0 sind separabel . . . 94
IV.2.6 Kriterium f(cid:252)r separabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
IV.2.7 Satz vom primitiven Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
IV.2.8 Existenz von K(cid:246)rperhomomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . 95
IV.2.9 ˜quivalenz f(cid:252)r separabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
IV.3 Galois-Erweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
IV.3.1 Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
IV.3.2 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
IV.3.3 ˜quivalenzen: Automorphismengruppen . . . . . . . . . . . . . . . 96
IV.3.4 Galoiserweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
IV.3.5 Kriterium f(cid:252)r Galoiserweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
IV.3.6 Hauptsatz der Galoistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
IV.3.7 Viele Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
IV.3.8 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
IV.3.9 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
IV.4 Zyklotomische K(cid:246)rpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
IV.4.1 Einheitswurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
IV.4.2 Einheitswurzeln in Z/pZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
IV.4.3 Die Menge der Einheitswurzeln als Gruppe . . . . . . . . . . . . . 104
IV.4.4 Anzahl Einheitswurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
IV.4.5 Primitive n-te Einheitswurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
IV.4.6 Folgerungen f(cid:252)r primitive Einheitswurzeln . . . . . . . . . . . . . . 105
IV.4.7 n-te Kreisteilungsk(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
IV.4.8 Grad des Kreisteilungsk(cid:246)rpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
INHALTSVERZEICHNIS 9
IV.5 Au(cid:29)(cid:246)sbare Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
IV.5.1 Au(cid:29)(cid:246)sbare Gruppe und Normalreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
IV.5.2 Untergruppen sind au(cid:29)(cid:246)sbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
IV.5.3 ˜quivalenz von au(cid:29)(cid:246)sbar mit Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . 109
IV.5.4 Bilder von au(cid:29)(cid:246)sbaren Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
IV.5.5 Verfeinerte Normalreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
IV.5.6 Endliche p-Gruppen sind au(cid:29)(cid:246)sbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
IV.5.7 Beispiel mit der symmetrischen Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . 111
IV.6 Konstruktion mit Zirkel und Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
IV.6.1 Elementare Zeichentechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
IV.6.2 Konstruierbarer Teilk(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
IV.6.3 Invarianz normaler K(cid:246)rpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . 113
IV.6.4 Transitivit(cid:228)t auf den Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
IV.6.5 Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
IV.6.6 Verallgemeinerung des Hauptsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
IV.6.7 Delisches Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
IV.6.8 Quadratur des Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
IV.6.9 Dreiteilung des Winkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
IV.6.10Lemma aus der elementaren Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . 118
IV.6.11Regul(cid:228)re n-Ecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
IV.7 Au(cid:29)(cid:246)sbarkeit algebraischer Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
IV.7.1 Quadratische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
IV.7.2 Au(cid:29)(cid:246)sbarkeit durch Radikale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
IV.7.3 Galoisgruppe eines Polynoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
IV.7.4 Zyklische K(cid:246)rpererweiterungen I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
IV.7.5 Zyklische K(cid:246)rpererweiterungen II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
IV.7.6 Hauptsatz zur Au(cid:29)(cid:246)sbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
IV.7.7 Gleichungen vom Grad kleiner als 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
IV.7.8 Allgemeines Polynom n-ten Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
IV.7.9 Galoisgruppe des allgemeinen Polynoms . . . . . . . . . . . . . . . 121
IV.7.10Zum Grad des Zerf(cid:228)llungsk(cid:246)rpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
IV.7.11Au(cid:29)(cid:246)sbarkeit der allgemeinen Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . 121
IV.7.12Grad 3 und 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A (cid:220)bungen 123
Literaturverzeichnis 133
Symbolverzeichnis 135
10 INHALTSVERZEICHNIS
Vorwort
Dieses Skript wurde w(cid:228)hrend meiner Vorlesung Algebra I im WS 09/10 an der Eberhard-
Karls-Universtit(cid:228)t T(cid:252)bingen von Christian Power erstellt, dem ich daf(cid:252)r vielmals danke.
Das Skript kann nur f(cid:252)r die H(cid:246)rer meiner Vorlesung von Nutzen sein. Wer sich sonst f(cid:252)r
Algebra interessiert, der sei auf die Literaturliste am Ende verwiesen, aus der ich alle hier
aufgeschriebenen Informationen genommen habe. Vielen Dank auch denjenigen, die mir
Fehler in der Mitschrift gemeldet haben. Es wird noch einige weitere Fehler geben, da die
Mitschrift von mir nicht richtig (cid:252)berpr(cid:252)ft wurde. Wer weitere Fehler (cid:28)ndet, soll sie bitte an
[email protected] melden.
Walter Gubler
Klassische Algebra = Rechnen und L(cid:246)sen von polynomialen Gleichungen.
Klassische lineare Algebra = Rechnen und L(cid:246)sen von linearen Gleichungen.
Moderne (oder abstrakte) Algebra = Studium von Verkn(cid:252)pfungen
In dieser Vorlesung:
I Gruppen
II Ringe
III K(cid:246)rper
Im 3.Teil werden wir K(cid:246)rpererweiterungen behandeln. Dies ist die Abstraktion von poly-
nomialen Gleichungen xn + a xn−1 + ... + a = 0. Dies f(cid:252)hrt auf die Galoistheorie.
n−1 0
Als Anwendung k(cid:246)nnen wir entscheiden, welche dieser Gleichungen l(cid:246)sbar sind. Als weitere
Anwendungk(cid:246)nnenwirentscheiden,welcheKonstruktionenmitZirkelundLinealdurchf(cid:252)hr-
bar sind. Die L(cid:246)sung dieser beiden klassischen Probleme geht zur(cid:252)ck auf den franz(cid:246)sischen
Mathematiker Galois (anfang 19.Jahrhundert).
