Algebarske strukture: vježbe (prema predlošku i zadacima Martine Balagović Marcele Hanzer)

39 Pages·2013·0.569 MB·Croatian

by  Matija Bašić, Aleksandar Milivojević, Sanjin Ružić

Algebarske strukture
vjeˇzbe
prema predloˇsku i zadacima Martine Balagovi´c
i Marcele Hanzer
natipkali, proˇsirili i uredili
Matija Baˇsic´
Aleksandar Milivojevic´
Sanjin Ruˇzic´
Sveucˇiliˇste u Zagrebu
Prirodoslovno-matematicˇki fakultet
Matematicˇki odsjek
(skripta ne moˇze zamijeniti vjeˇzbe)
Sadrˇzaj
1 Grupe 1
1.1 Motivacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Definicija grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Osnovni primjeri grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Podgrupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Homomorfizmi grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Cikliˇcke i konaˇcnogenerirane grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Strukturni teorem za konaˇcno generirane Abelove grupe . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Grupe permutacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9 Lijeve/desne klase i Lagrangeov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.10 Kvocijentne grupe i normalne podgrupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.11 Automorfizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.12 Sylowljevi teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.13 Podsjetnik iz teorije brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
i
Poglavlje 1
Grupe
1.1 Motivacija
Pojam grupe jedan je od najznaˇcajnijih u modernoj matematici. Primjene teorije grupa po-
javljuju se u raznim granama matematike, a od kljuˇcnog su znaˇcaja i u fizici i kemiji.
Simetrije
Grupe se pojavljuju kao simetrije geometrijskih objekata. Promotrimo kvadrat u ravnini i
transformacije ravnine koje preslikavaju taj kvadrat u njega samog. Takve transformacije
zovemo simetrijama. Medu tim transformacijama su npr. rotacija za 90◦ u pozitivnom
smjeru ili zrcaljenje preko pravca koji prolazi poloviˇstima dvaju nasuprotnih stranica kvadrata.
Primjetimo da je kompozicija dviju simetrija ponovno simetrija, da je kompozicija asocijativna,
da postoji simetrija (identiteta) koja ne ˇcini niˇsta s ravninom (djeluje kao neutralni element
obzirom na kompoziciju), te da svaka simetrija ima inverz. Kaˇzemo da simetrije kvadrata ˇcine
grupu i da ta grupa djeluje na kvadratu.
Op´cenito, grupe simetrija pravilnih mnogokuta nazivamo diedarskim grupama. Grupe simetrije
kristala u prostoru su vrlo vaˇzne u kemije, a simetrije fizikalnih sustava vaˇzne su u kvantnoj
fizici pri odreˇzivanju degeneracija stanja. Grupe simetrija ploha (npr. sfere) su posebni pri-
mjeri Liejeve grupe, njihovo prouˇcavanje ˇcini posebnu granu matematike koju je 1884. godine
utemeljio Sophus Lie.
Prouˇcavanje veza izmedu geometrije, fizike i teorija grupa seˇze do danaˇsnjih dana. Primjeri
gdje se na odredeni naˇcin koristi interakcija ovih podruˇcja su baˇzdarna teorija, teorija struna,
rjeˇsenje Poincar´eove hipoteze.
Grupe u kombinatorici
Jedan od osnovnih objekata koje prouˇcavamo u kombinatorici su permutacije. Obzirom na
kompoziciju permutacije ˇcine grupu S (moˇzemo ju smatrati grupom simetrija sustava od n
n
objekata bez ikakve dodatne geometrijske strukture). Prisjetite se ˇsto znate o permutacija s
1
Algebarske strukture 1.1. Motivacija
kolegija Linearna algebra 1 i Diskretna matematika. Razni problemi u kombinatorici mogu se
rijeˇsiti koriste´ci algebarske metode. Jedan primjer je Burnsideova lema koja nam daje odgovor
na pitanje o broju mogu´cih bojanja nekog objekta uzimaju´ci u obzir da bojanja koja se mogu
dobiti koriˇstenjem simetrija smatramo jednakima.
Mnoge igraˇcke, poput Rubikove kocke i Slagalice s 15 polja (Fifteen-Puzzle), imaju netrivijalne
simetrije te promatraju´ci takve objekte moˇzemo takoder zakljuˇciti da su grupe vrlo prirodni
koncept koji se pojavljuje svugdje oko nas.
Povijesni razvoj
Povijesni razvoj pojma grupe usko je vezan uz rjeˇsavanje problema odredivanja nultoˇcaka po-
linoma koriste´ci samo osnovne raˇcunske operacije i korjenovanje (radikalima). Pokazuje se da
´
je radikalima mogu´ce rijeˇsiti svaku grupu reda manjeg ili jednog 4, a Evariste Galois (1811.-
1832.) je pokazao da postoje jednadˇzbe petog stupnja koje nisu rjeˇsive radikalima koriste´ci
grupe. Neka je p polinom s racionalnim koeficijentima, a K = Q[x ,...,x ] najmanji podskup
1 n
kompleksnih brojeva koji sadrˇzi racionalne brojeva i sve nultoˇcke x ,...,x polinoma p te je
1 n
zatvoren na zbrajanje i mnoˇzenje. Skup svih bijekcija f: K → K koje poˇstuju zbrajanje i
mnoˇzenje, a fiksiraju racionalne brojeve oznaˇcimo s Gal(p). Sve takve bijekcije permutiraju
nultoˇcke polinoma, tj. Gal(p) je podgrupa grupe permutacija S . Galois je pokazao da za svaki
n
polinom p koji je rjeˇsiv radikalima grupa Gal(p) ima posebno svojstvo (koje danas zovemo
rjeˇsivost grupe), te pokazao da postoji polinom p takav da Gal(p) nema to svojstvo. To su
samo zaˇceci mnogo ˇsire teorije koju nazivamo Galoisova teorija.
Vrlo vaˇzan doprinos u razvoju teorije grupa u njenim poˇcecima, posebice u prouˇcavanju grupa
permutacija, dali su Joseph Louis Lagrange, Augustin Louis Cauchy i Arthur Cayley.
Grupe u teoriji brojeva
Vrlo netrivijalne primjene algebarskih metoda moˇzemo prona´ci u teoriji brojeva. Zapravo,
koncept grupe se razvio i zahvaljuju´ci nekim ranim pokuˇsajima da se rijeˇsi Veliki Fermatov
teorem. U kolegiju ´cemo koristiti neke osnovne pojmove vezane uz proste brojeve i djeljivost
(vidite podsjetnik na kraju ove skripte), a ponekad ´cemo i koriste´ci teoriju grupa izvesti neke
poznate teoreme (poput Eulerovog teorema). Danas je algebarska teorija brojeva jedno od
najplodnijih podruˇcja matematike koje obiluje mnogim joˇs uvijek otvorenim pitanjima, ali i
raznim primjenama (poput primjena u kriptografiji).
Grupe u topologiji
Algebarska topologija bavi se prouˇcavanjem algebarskih invarijanti topoloˇskih prostora.
Jedna takva invarijanta je fundamentalna grupa. Za topoloˇski prostor X s istaknutom toˇckom
x promatramo homotopske klase puteva u X koji poˇcinju i zavrˇsavaju u x . Nadovezivanje
0 0
ˇ
petlji daje binarnu operaicju i skup homotopskih klasa π (X,x ) postaje grupa. Zelimo li po-
1 0
kazati da preslikavanje topoloˇskih prostora f: (X,x ) → (Y,y ) nije homotopska ekvivalencija,
0 0
dovoljno je pokazati da preslikavanje f : π (X,x ) → π (Y,y ) nije izomorfizam grupa.
∗ 1 0 1 0
2
1.2. Definicija grupe Algebarske strukture
1.2 Definicija grupe
Uovompoglavlju´cemopromatratiparovekojisesastojeodskupaibinarneoperacijedefinirane
na tom skupu. Za binarnu operaciju kaˇzemo da je dodatna algebarska struktura na skupu.
Op´cenitije, algebarska struktura se sastoji od skupa i konaˇcnog broja binarnih operacija.
Prisjetite se definicije vektorskog prostora. Vektorski prostor je varijanta algebarske strukture
(dana skupom te operacijama zbrajanja i mnoˇzenja skalarima). Topoloˇski prostor je takoder
dan skupom i dodatnom strukturom (topologijom), ali u tom sluˇcaju se ne radi o algebarskoj
strukturi.
Matematiˇckastrukturanaskupumoˇzeimatirazliˇcitasvojstva(npr. asocijativnost,komutativ-
nost, rjeˇsivost, kompaktnost, povezanost). Kroz sljede´cih nekoliko definicija i primjera obradit
´cemo najjednostavnije, ali vrlo vaˇzne algebarske strukture: grupoide, polugrupe, monoide i
grupe.
Definicija 1.2.1. Uredeni par (S,·), pri ˇcemu je ·: S ×S → S binarna operacija, zovemo
grupoid.
Napomena 1.2.2. Vrijednost ·(x,y) piˇsemo x · y ili jednostavno xy (ako je jasno o kojoj se
operaciji radi). Budu´ci da je S kodomena preslikavanja · za sve x,y ∈ S vrijedi
x·y ∈ S.
Dabismotonaglasilikaˇzemojoˇsdajebinarnaoperacijazatvorenailidajedobro definirana.
Primjer 1.2.3. Oduzimanje prirodnih brojeva nije zatvorena operacija. Naime, oduzimanje
moˇzemo definirati kao operaciju −: N×N → Z, ali struktura (N,−) nije grupoid. Na primjer,
1−2 (cid:54)∈ N, iako vrijedi 1,2 ∈ N.
Definicija 1.2.4. Polugrupa je grupoid (S,·) u kojem vrijedi asocijativnost, za sve x,y,z ∈ S
(x·y)·z = x·(y ·z).
Primjer 1.2.5. Grupoid (Z,−) nije polugrupa. Zaista, (1−2)−3 (cid:54)= 1−(2−3), pa ne vrijedi
asocijativnost operacije −.
Definicija 1.2.6. Monoid je polugrupa (S,·) u kojoj postoji neutralni element (ili jedinica),
tj. postoji e ∈ S takav da za sve x ∈ S vrijedi
e·x = x·e = x.
Primjer 1.2.7. Polugrupa(N,+)nijemonoid. Naime, kadbipostojaoneutralnielemente ∈ N
s obzirom na operaciju zbrajanja, posebno bi moralo vrijediti 1+e = 1. No, nijedan prirodan
broj nema to svojstvo (Nula nije prirodan broj!).
Napomena 1.2.8. Neka je (S,·) grupoid. Za element e kaˇzemo da je lijeva jedinica ako za
l
svaki x ∈ S vrijedi e · x = x. Analogno definiramo desnu jedinicu kao element e za koji
l d
vrijedi x·e = x, za svaki x ∈ S.
d
3
Algebarske strukture 1.2. Definicija grupe
Ako u grupoidu (S, ·) postoje lijeva i desna jedinica, tada su one nuˇzno jednake. Zaista,
oznaˇcimo s e lijevu jedinicu i s e desnu jedinicu. Tada vrijedi
l d
e = e ·e = e ,
l l d d
pri ˇcemu smo u prvoj jednakosti iskoristili da je e desna jedinica, a u drugoj smo iskoristili da
d
je e lijeva jedinica. Ovo pokazuje da je jedinica u svakom monoidu jedinstvena.
l
Primjer 1.2.9. Neka je S skup i definirajmo binarnu operaciju na tom skupu na sljede´ci naˇcin:
x·y = y, ∀x, y ∈ S.
Budu´ci da za sve x,y,z ∈ S vrijedi (x·y)·z = y ·z = x·(y ·z), struktura (S,·) je polugrupa.
Uoˇcimo da je svaki element skupa S lijeva jedinica. Dakle, u ovoj strukturi imamo viˇse lijevih
jedinica, a prema prethodnoj napomeni onda znamo da nema desnih jedinica. 1
Zadatak 1.2.10. Neka je (S,·) komutativna polugrupa i a ∈ S takav element da za svaki x ∈ S
postoji y ∈ S takav da x = a·y . Pokaˇzite da je tada G monoid.
x x
Rjeˇsenje. Zbog komutativnosti je dovoljno pokazati da postoji lijeva jedinica. Za x = a
postoji y ∈ G takav da je a = a·y . Zbog komutativnosti vrijedi a = y ·a. Tvrdimo da je y
a a a a
lijeva jedinica. Zaista, ako je x ∈ G proizvoljan, onda je
x = a·y = (y ·a)y = y ·(a·y ) = y ·x.
x a x a x a
Definicija 1.2.11. Grupa je monoid (G,·) u kojem za svaki element x ∈ S postoji y ∈ S
takav da vrijedi
x·y = y ·x = e.
Kaˇzemo da je element y inverzni element elementa x.
Primjer 1.2.12. Monoid (Q,·) nije grupa. Zaista, neutralni element je 1, a za element 0 ∈ Q
ne postoji inverz, tj. ne postoji q ∈ Q takav da bi vrijedilo q ·0 = 1.
Napomena 1.2.13. Neka je (S,·) monoid s jedinicom e i neka je x ∈ S. Za y ∈ S kaˇzemo
l
da je lijevi inverz od x ako vrijedi y · x = e. Analogno definiramo desni inverz od x kao
l
element y za koji vrijedi x · y = e. Ako u monoidu (S, ·) neki element x ima lijevi i desni
d d
inverz, tada su oni jednaki. Zaista,
y = y ·e = y ·(x·y ) = (y ·x)·y = e·y = y .
l l l d l d d d
Zato je u grupi inverz elementa x jedinstven i oznaˇcavamo ga s x−1.
1Primjetite da je postojanje lijeve/desne jedinice svojstvo, a odabir lijeve/desne jedinice dodatna struktura.
No, za neutralni element u monoidu nemamo mogu´cnost odabira jer je jedinstven, pa odabir jedinice nije
dodatna struktura.
4
1.2. Definicija grupe Algebarske strukture
Napomena 1.2.14. Neka su a,b elementi grupe G. Tada je (ab)−1 = b−1a−1. Zaista, budu´ci
da vrijedi
b−1a−1ab = b−1eb = b−1b = e
zakljuˇcujemo da je b−1a−1 inverz elementa ab, pa tvrdnja slijedi zbog jedinstvenosti inverza.
Primjer 1.2.15. Neka je G grupa, i a,b,c ∈ G. Tada je a = b ako i samo ako je ca = cb.
Definicija 1.2.16. Ako u grupoidu (S,·) za sve x,y ∈ S vrijedi
x·y = y ·x,
onda kaˇzemo da je ta struktura komutativna (ili Abelova), pa tako moˇzemo govoriti o ko-
mutativnoj polugrupi, komutativnom monoidu ili komutativnoj grupi.
Primjer 1.2.17. Neka je (G, ·) grupa u kojoj za svaki element a vrijedi a2 = e. Tvrdimo da
je tada G komutativna grupa. Naime,
(ab)(ab) = e = aa = aea = a(bb)a = (ab)(ba) /·(ab)−1 slijeva
⇒ ab = ba.
D.Z. Neka je G polugrupa u kojoj postoji lijeva jedinica i lijevi inverz obzirom na tu lijevu
jedinicu za svaki element, tj. vrijedi
(∃e ∈ G)(∀x ∈ G) ex = x, (∀x ∈ G)(∃y ∈ G) yx = e.
Dokaˇzite da je tada G grupa.
Primjer 1.2.18. U ovom primjeru komentiramo potenciranje u grupi. Neka je (G,·) grupa i
a ∈ G. Definiramo a0 = e,a1 = a,a2 = a·a. Uoˇcite da zbog asocijativnost (a·a)·a = a·(a·a)
ne moˇze do´ci do zabune ako piˇsemo a3 = a·a·a.
Induktivno za n ∈ N definiramo
an := an−1 ·a.
Nadalje, za n ∈ N definiramo a−n := (an)−1.
D.Z. Dokaˇzite da vrijedi a−n = (a−1)n i an ·am = an+m za sve n,m ∈ Z.
Zadatak 1.2.19. Na skupu S = N ×N definiramo operaciju ∗ formulom
0 0
(x ,y )∗(x ,y ) = (x +x ,2x2y +y ).
1 1 2 2 1 2 1 2
Kakva struktura je (S,∗)?
5
Algebarske strukture 1.2. Definicija grupe
Rjeˇsenje. Lako se vidi da je ∗ dobro definirana operacija, budu´ci da za x ,y ,x ,y ∈ N
1 1 2 2 0
slijedi da je x +x ,2x2y +y ∈ N .
1 2 1 2 0
Provjerimo asocijativnost. Imamo
(cid:0) (cid:1)
(x ,y )∗(x ,y ) ∗(x ,y ) = (x +x ,2x2y +y )∗(x ,y )
1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 3
(cid:0) (cid:1)
= (x +x )+x ,2x3(2x2y +y )+y
1 2 3 1 2 3
= (x +(x +x ),2x2+x3y +2x3y +y )
1 2 3 1 2 3
= (x ,y )∗(x +x ,2x3y +y )
1 1 2 3 2 3
(cid:0) (cid:1)
= (x ,y )∗ (x ,y )∗(x ,y ) ,
1 1 2 2 3 3
pri ˇcemu smo u tre´coj jednakosti iskoristili da je (N ,+) polugrupa. U ostalim jednakostima
0
smo jednostavno koristili definiciju operacije ∗.
Ispitajmo sada postoji li neutralni element. Za poˇcetak, traˇzimo lijevu jedinicu. Da bi element
(x ,y ) bio lijeva jedinica, mora za svaki (x ,y ) vrijediti
0 0 2 2
(x ,y )∗(x ,y ) = (x +x ,2x2y +y ) = (x ,y ),
0 0 2 2 0 2 0 2 2 2
odakle slijedi x = 0 i 2x2y = 0, tj. y = 0. Dakle, (0,0) je lijeva jedinica. Provjerimo joˇs da
0 0 0
je to i desna jedinica. Za svaki (x ,y ) vrijedi
1 1
(x ,y )∗(0,0) = (x +0,20y +0) = (x ,y ),
1 1 1 1 1 1
pa zakljuˇcujemo da je (0,0) i desna jedinica.
Neka je sad (x ,y ) ∈ N × N i ispitajmo postoji li njemu inverzni element. Ako je (x ,y )
1 1 0 0 2 2
desni inverz od (x ,y ), onda vidimo da mora vrijediti x +x = 0 i 2x2y +y = 0. No, ako
1 1 1 2 1 2
je x > 0, onda je nemogu´ce da postoji x ∈ N takav da x +x = 0, pa zakljuˇcujemo da je
1 2 0 1 2
dana struktura monoid koji nije grupa. ♦
D.Z. Odredite kakva je struktura (R×R,∗) pri ˇcemu je ∗ definirano
a) formulom (x ,y )∗(x ,y ) = (x ,y y sinx ).
1 1 2 2 1 1 2 2
b) formulom (x ,y )∗(x ,y ) = (x ,y y (x3 −3x +3)).
1 1 2 2 1 1 2 1 1
Zakljuˇcimo ovo poglavlje definicijom navode´ci sve aksiome koje je potrebno provjeriti da bismo
utvrdili da binarna operacija na skupu definira strukturu grupe.
Definicija 1.2.20. Za skup G s binarnom operacijom · kaˇzemo da je grupa ako vrijedi
(G0) (∀x,y ∈ G)(x·y ∈ G) (zatvorenost)
(G1) (∀x,y,z ∈ G)((x·y)·z) = x·(y ·z)) (asocijativnost)
(G2) (∃e ∈ G)(∀x ∈ G)(x·e = x = e·x) (unitalnost)
(G3) (∀x ∈ G)(∃y ∈ G)(x·y = e = y ·x) (invertibilnost)
6
1.3. Osnovni primjeri grupa Algebarske strukture
1.3 Osnovni primjeri grupa
Primjer 1.3.1. Na kolegijima Matematiˇcka analiza 1 i Teorija skupova formalno se defini-
raju skup prirodnih brojeva N i skup realnih brojeva R, te operacije zbrajanja i mnoˇzenja na
njima. Na ovom kolegiju ´cemo pretpostavljati te definicije, kao i ˇcinjenice da su (N,+) i (N,·)
komutativne polugrupe (koji postaju monoidi ako skupu N dodamo nulu), a (R,+) i (R×,·)
komutativne grupe (ovdje R× oznaˇcava R\{0}).
Nadalje, na spomenutim kolegijima konstruira se skup Z cijelih brojeva, skup Q racionalnih
brojeva i skup C kompleksnih brojeva. Koriste´ci konstrukciju tih skupova brojeva te defi-
niciju algebarskih struktura (N,+,·), odnosno (R,+,·), moˇze se na prirodan naˇcin definirati
zbrajanje i mnoˇzenje na skupovima Z,Q i C i pokazati da je je (Z,·) komutativni monoid, a
(Z,+),(Q,+),(C,+),(Q×,·) i (C×,·) komutativne grupe.
Primjer 1.3.2. Ako je (V,+,·) vektorski prostor, onda je (V,+) Abelova grupa.
Primjer 1.3.3. Neka je S = {e} jednoˇclan skup te definirajmo binarnu operaciju na S formu-
lom e·e = e. Tada je ({e},·) grupa koju nazivamo trivijalna grupa.
Primjer 1.3.4. Promatramo (S1,·), pri ˇcemu je S1 = {z ∈ C : |z| = 1} jediniˇcna kruˇznica u
kompleksnoj ravnini, a · operacija mnoˇzenja kompleksnih brojeva.
Operacija · je zatvorena na S1. Zaista, za z ,z ∈ S1 vrijedi |z | = |z | = 1, pa je i |z ·z | =
1 2 1 2 1 2
|z |·|z | = 1·1 = 1. Dakle, z ·z ∈ S1, pa je (S1,·) grupoid.
1 2 1 2
Provjerimo je li ova struktura polugrupa, tj. vrijedi li asocijativnost. Uoˇcimo da za z ,z ,z ∈
1 2 3
S1 posebno vrijedi i z ,z ,z ∈ C, jer je S1 ⊂ C. Kako u (C,·) vrijedi asocijativnost, za-
1 2 3
kljuˇcujemo da je (z ·z )·z = z ·(z ·z ). Kaˇzemo da se asocijativnost u (S1,·) nasljeduje iz
1 2 3 1 2 3
(C,·). Nadalje, (S1,·) posjeduje neutralni element. To je upravo 1 = 1+0·i.
Ostaje provjeriti da za svaki z ∈ S1 postoji inverzni element z−1 ∈ S1. Uoˇcimo da za proizvoljni
z ∈ S1 kompleksni broj z−1 = 1 zadovoljava z · 1 = 1. Moramo provjeriti da je z−1 ∈ S1. No,
(cid:12) (cid:12) z z
|z−1| = (cid:12)1(cid:12) = 1 = 1 = 1, dakle z−1 ∈ S1. Uoˇcimo i da je ova struktura komutativna. Dakle,
z |z| 1
(S1,·) je Abelova grupa.
D.Z. Pokaˇzite da za z ,z ∈ C vrijedi |z z | = |z |·|z | i |z /z | = |z |/|z | (ako je z (cid:54)= 0).
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
Napomena 1.3.5. Ovdje smo se susreli s primjerom podgrupe (S1 je podgrupa od C) i kon-
ceptom nasljedivanja asocijativnosti s ve´ceg skupa na njegov podskup. O podgrupama ´cemo
govoriti neˇsto kasnije i vidjet ´cemo da su ova razmatranja vaˇzna kod kreiranja kriterija za
provjeru kad je neki podskup podgrupa. Primjetite da nema smisla govoriti o nasljedivanju
zatvorenosti, nasljedivanju neutralnog elementa ili invertibilnosti nekog elementa iz (C,·) ve´ceg
skupa. Naime, iako znamo da postoji z−1 ∈ C, treba dodatno provjeriti je li vrijedi z−1 ∈ S1.
Sa stanoviˇsta teorije modela, razlika je u tome ˇsto aksiom asocijativnosti zapisujemo koriste´ci
samo univerzalne kvantifikatore (∀, ”za svaki”), dok se u aksiomima o postojanju neutralnog
elementa i inverza pojavljuju tvrdnje koje zapisujemo koriste´ci i egzistencijalni kvantifikatore
(∃, ”postoji”).
7