Alessandro Valentino: Spazi noncommutativi e limiti di algebre di matrici.

130 Pages·2012·0.66 MB·Italian

Universita(cid:18) degli Studi di Napoli
Federico II
Facolta(cid:18) di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Tesi di Laurea in Fisica
Anno Accademico 2003-2004
Spazi Noncommutativi e
Limiti di Algebre di Matrici
Relatore Candidato
Prof. F. Lizzi Alessandro Valentino
Correlatore
Prof. G. Maiella

Indice
1 Introduzione 1
2 Strumenti Matematici 9
2.1 C(cid:3)-algebre: Prime De(cid:12)nizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Ideali, Spettri e Rappresentazioni . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Spazi Topologici e C(cid:3)-algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 Il Teorema di Gelfand-Naimark . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.2 Verso gli Spazi Noncommutativi . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Stati e Costruzione GNS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Spazi Noncommutativi 29
3.1 Lo Spazio delle Fasi della Meccanica Classica. . . . . . . . . . 29
3.2 Lo Spazio delle Fasi della Meccanica Quantistica. . . . . . . . 31
3.3 Mappa di Weyl e di Wigner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Quantizzazione di Moyal e Deformazioni. . . . . . . . . . . . . 34
3.5 Il Piano Noncommutativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6 Campi Magnetici e Geometria Noncommutativa. . . . . . . . . 43
3.7 Il Toro Noncommutativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 C(cid:3)-algebre Approssimativamente Finite 53
4.1 De(cid:12)nizioni e Proprieta(cid:18) Elementari. . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2 Algebre AF e Diagrammi di Bratteli. . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3 Struttura Algebrica di un’Algebra AF. . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 Topologia e Algebre AF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4.1 La Topologia di Jacobson. . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4.2 Dagli Spazi Topologici alle Algebre AF. . . . . . . . . . 62
4.5 Reticoli Noncommutativi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5.1 Approssimazioni Topologiche . . . . . . . . . . . . . . 66
5 Sfere Noncommutative e Sistemi Dinamici 73
5.1 Algebre Invarianti e Toro Noncommutativo. . . . . . . . . . . 73
i
INDICE
5.2 L’Algebra Polinomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3 La C(cid:3)-algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.4 (cid:18) Razionale vs. (cid:18) Irrazionale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.5 Sistemi Dinamici e Derivazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.5.1 C(cid:3)-Dynamical Systems: Motivazioni. . . . . . . . . . . 88
5.5.2 Crossed Products. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.5.3 Derivazioni di una C(cid:3)-algebra. . . . . . . . . . . . . . . 94
5.6 Derivazioni del Toro Noncommutativo. . . . . . . . . . . . . . 99
5.7 Derivazioni di B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
(cid:18)
5.8 Possibili sviluppi ulteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A Elementi di Topologia 105
B Il Toro Noncommutativo nel Caso Razionale 109
C Una Dimostrazione 111
D Rappresentazioni Unidimensionali di (cid:27) 113
P
ii
A mio nipote, Mattia.
Ad Antonella.

Capitolo 1
Introduzione
La Geometria Noncommutativa nasce \u(cid:14)cialmente" nel 1994, con la pub-
blicazione del libro \Noncommutative Geometry" di Alain Connes, diventato
ormai un classico per gli addetti ai lavori. Piu(cid:18) che un vero manuale, il li-
bro di Connes si con(cid:12)gura come un’esposizione molto originale di una nuova
disciplina matematica che utilizza ed ingloba tecniche ben note in altre aree,
dalla geometria di(cid:11)erenziale alla topologia algebrica, e le estende a casi non
trattabili classicamente. Nonostante molti risultati siano stati ottenuti da
Connes stesso, la Geometria Noncommutativa a(cid:11)onda le sue radici non solo
nella matematica, ma anche nella (cid:12)sica della prima meta(cid:18) del secolo scorso,
quando le algebre di operatori di Von Neumann e Segal e la meccanica quan-
tistica di Schro(cid:127)edinger, Heisenberg e Dirac facevano la loro apparizione. A
di(cid:11)erenza delle relativita(cid:18) generale, altra grande protagonista di quel periodo
scienti(cid:12)co, lameccanica quantistica metteva incrisi ladescrizione geometrica
della natura, con i punti e le linee che non erano piu(cid:18) adatti a descrivere una
(cid:12)sicachenonpermettevalamisurasimultaneadiposizioneemomentodiuna
particella, a causa del principio di indeterminazione di Heisenberg. Le \coor-
dinate" x epdello spazio delle fasi, che oraera impossibile modellizzare come
una varieta(cid:18) di(cid:11)erenziabile, venivano sostituite da variabili noncommutanti,
q-numeri, nella notazione di Dirac, che soddisfacevano le regole di commu-
tazione [x;p]=i}. Si riconoscera(cid:18), in seguito, che tali oggetti sono operatori
autoaggiunti de(cid:12)niti su di uno spazio di Hilbert, e che ogni esperimento pos-
sibile su di un sistema (cid:12)sico alle scale atomiche va descritto in tali termini.
Ebbene, (cid:12)glia di un come sempre fruttuoso rapporto tra matematica e (cid:12)sica
che ancora continua, la Geometria Noncommutativa cerca di coniugare tali
risultati allo studio di oggetti, in particolare spazi topologici, che sfuggono
all’analisi della matematica classica. L’idea cardine consiste nel ritenere che,
al pari di un sistema (cid:12)sico, anche uno spazio topologico puo(cid:19) essere analizza-
to mediante \misure": detto in questi termini puo(cid:19) sembrare molto strano, e
1
percio(cid:19) preferiamo chiarire un attimo questo punto. Datouno spazio , la sua
S
topologia viene assegnata speci(cid:12)cando una famiglia di insiemi che vengono
chiamati aperti, e che caratterizzano la \vicinanza"tra i punti. In generale,
pero(cid:19), amenoche nonsia costituitodaunnumero (cid:12)nito dipunti,(cid:18)eestrema-
S
mente complicato, se nonimpossibile, studiarne lecaratteristiche topologiche
direttamente dagli insiemi aperti: si preferisce, cos(cid:19)(cid:16), usare delle \sonde" che
rivelino laparticolare strutturatopologicadi . Talisonde sonomatematica-
S
mente descritte dalle funzioni continue su a valori in C, e l’insieme di tutte
S
le funzioni continue C( ) soddisfa interessanti proprieta(cid:18). Infatti, C( )(cid:18)e una
S S
C(cid:3)-algebra, ovvero uno spazio vettoriale di Banach munito di un prodotto
associativo tra gli elementi e di una coniugazione tale che
f(cid:3)f = f 2
k k k k
per ogni funzione continua f. Essendo il prodotto tra due funzioni f(x)
e g(x) de(cid:12)nito come (fg)(x) = f(x)g(x), C( ) (cid:18)e un’algebra commutativa.
S
Grazieadunteoremadeglianniquaranta che riproponiamonelsecondo capi-
tolo, si puo(cid:19) mostrare che ogni spazio topologico su(cid:14)cientemente regolare (cid:18)e
interamente descritto, sia dal punto di vista insiemistico che topologico, an-
che dalla sua algebra delle funzioni continue. L’aspetto interessante, pero(cid:19),
(cid:18)e che vale il contrario, e cio(cid:18)e che ogni C(cid:3)-algebra commutativa (cid:18)e un’algebra
di funzioni continue su di un qualche spazio topologico . Le caratteristiche
S
dello spazio sono cos(cid:19)(cid:16) codi(cid:12)cate algebricamente, il ch(cid:18)e permette di par-
S
lare della topologia senza necessariamente dover assegnare una famiglia di
insiemi aperti, e quindi senza fare alcun riferimento alla struttura puntuale
dello spazio . Tale approccio matematico ha un corrispettivo (cid:12)sico nella
S
teoria dei campi: le funzioni continue su sono infatti campi scalari. A
S
questo punto il passo (cid:18)e breve: estendendo l’equivalenza, chiameremo spazio
noncommutativo una qualsiasi C(cid:3)-algebra A il cui prodotto tra gli elementi
non(cid:18)e commutativo. L’algebra A sara(cid:18) il \duale" di un oggettoche in generale
non esiste \concretamente", nel senso che la sua struttura puntuale non sara(cid:18)
ben de(cid:12)nita: (cid:12)sicamente parlando, i suoi punti non saranno piu(cid:18) \localizza-
ti", alla stregua dei sistemi (cid:12)sici descritti dalla meccanica quantistica. E(cid:18)
proprio questo uno degli aspetti che fa pensare alla Geometria Noncommu-
tativa come alla \matematica ai tempi della meccanica quantistica", e che
suscita l’interesse di molti (cid:12)sici. A tale proposito, riteniamo utile menzionare
nel seguito un breve percorso di argomenti e applicazioni, anche se alcuni di
questi sono poco o per nulla sviluppati nel nostro lavoro di tesi, che tuttavia
hanno avuto ed hanno ancora un’importanza nella \storia" della Geometria
Noncommutativa.
Assegnata l’algebra A come ingrediente fondamentale, (cid:18)e possibile estendere
agli spazi noncommutativi molte delle strutture note in geometria classica.
2
Cos(cid:19)(cid:16), la teoria dei (cid:12)brati vettoriali e delle connessioni, indispensabile per lo
studio delle teorie di gauge, sara(cid:18) generalizzata mediante l’utilizzo di moduli
proiettivi di tipo (cid:12)nito su A, ovvero di algebre di matrici su A, mentre il
calcolo di(cid:11)erenziale sara(cid:18) basato sulla nozione di \tripla spettrale" (A;H;D),
dove A (cid:18)e una *-algebra rappresentata sullo spazio di Hilbert H, e D (cid:18)e un
operatore autoaggiunto su H con opportune proprieta(cid:18) che contiene tutte le
informazioni \geometriche", e che generalizza il classico operatore di Dirac
i(cid:13)(cid:22)@ . Una prima applicazione di tali tecniche fu al Modello Standard delle
(cid:22)
particelle elementari: in [CL90], Connes e Lott proposero un’azione di Yang-
Millsperunospazio-tempo(euclideo) Y datodalprodottodiunavarieta(cid:18)
M(cid:2)
Riemanniana dotata di spin per un spazio interno \discreto" Y che con-
M
siste di due punti. Il risultato (cid:18)e una lagrangiana che riproduce il Modello
Standard col settore di Higgs con autointerazione tipo ’4 che rompe la sim-
metria e termine di Yukawa per i fermioni che viola la parita(cid:18). L’aspetto
interessante (cid:18)e che anche il campo di Higgs ha una interpretazione geometrica
come campo di gauge nella direzione interna, e che il meccanismo di rottura
della simmetria (cid:18)e contenuto nell’azione a livello geometrico.
Un’altro (cid:12)lone di pensiero tenta di descrivere, mediante la Geometria Non-
commutativa, la gravita(cid:18) di Einstein alla scala di Planck. In [DFR95], lavoro
che(cid:18)e diventato un classico del settore, gli autoripropongono l’impossibilta(cid:18) di
localizzare un evento nello spazio-tempo con arbitraria precisione, previo un
collasso gravitazionale. Come conseguenza delle relazioni di Heisenberg, in-
fatti, la misura di una coordinata spazio-temporale con accuratezza a causa
un’incertezza nel momento dell’ordine a(cid:0)1, e quindi una concentrazione di
energia in una regione localizzata. Per le equazioni di Einstein, tale energia
genera un campo gravitazionale, che, alla scala di Planck, puo(cid:19) essere tal-
mente intenso da impedire alla luce o ad altri segnali di lasciare la regione in
questione, rendendo cos(cid:19)(cid:16) impossibile associare un signi(cid:12)cato operazionale al
concetto di localizzazione nello spazio-tempo di un evento. A tale proposito
vi (cid:18)e la proposta di sostituire lo spazio-tempo di Minkowski con una varieta(cid:18)
noncommutativa, e cio(cid:18)e un’algebra non commutativa, generata da elementi
le cui regole di commutazione implichino l’indeterminazione sulle coordinate
alla scala di Planck, e sulla quale agisca ancora il gruppo di Poincar(cid:18)e. E(cid:18)
possibile, inoltre, su tale \spazio-tempo quantistico", costruire una teoria
quantistica di campo, de(cid:12)nendo campi liberi e matrice S: si mostra, inoltre,
che uno dei vantaggi (cid:18)e dato dall’assenza di alcune divergenze ultraviolette
causata dalla struttura stessa dello spazio-tempo, che gioca cos(cid:19)(cid:16) lo stesso
ruolo di un cut-o(cid:11), senza pero(cid:19) distruggere le simmetrie presenti.
Ma la noncommutativita(cid:18) delle coordinate di posizione (cid:18)e un e(cid:11)etto che si puo(cid:19)
osservare anche nei sistemi (cid:12)sici in presenza di campi magnetici molto inten-
si. Molto interessante (cid:18)e il caso di una particella carica vincolata a muoversi
3
su di un piano in presenza di un campo magnetico B: come mostreremo,
i momenti \(cid:12)sici" gauge invarianti quantizzati non commutano piu(cid:18) tra di
loro, rendendo impossibile la costruzione di uno \spazio degli impulsi". Nel
caso in cui, poi, il campo sia molto intenso, si manifesta la perdita di com-
mutativita(cid:18) tra le coordinate di posizione della particella sul piano, con un
parametrodinoncommutativita(cid:18)proporzionalead}eall’inverso dell’intensita(cid:18)
B del campo magnetico. Nello stesso contesto (cid:18)e da inquadrarsi lo studio del
toro noncommutativo, che appare spesso nell’analisi di sistemi (cid:12)sici ai quali
sono imposte condizioni periodiche dello spazio delle fasi. Tra tali sistemi
uno dei laboratori piu(cid:18) ricchi (cid:18)e certamente dato dall’e(cid:11)etto Hall quantistico:
la presenza di un potenziale periodico fa(cid:18) s(cid:19)(cid:16) che il gruppo delle traslazioni
vada sostituito con il gruppo delle \traslazioni magnetiche", che pero(cid:19) non (cid:18)e
piu(cid:18) commutativo. Inoltre, si puo(cid:19) mostrare [Con94] che le zone di Brillouin,
quando analizzate mediante le funzioni continue de(cid:12)nite su di esse, costituis-
cono un toro noncommutativo T2, in cui il parametro (cid:18) (cid:18)e proporzionale a B.
(cid:18)
Cio(cid:19) da una spiegazione dell’integralita(cid:18) della conduttivita(cid:18) Hall (cid:27) , che viene
H
misurata sperimentalmente con accuratezza eccezionale.
L’interessequasiesplosivodellaGeometriaNoncommutativanellateoriadelle
stringhe inizia dal noto articolo di Seiberg e Witten, in cui si propone che il
worldsheet della stringa aperta in presenza di un particolare tipo di campo
esterno sia una varieta(cid:18) noncommutativa, in quanto le funzioni de(cid:12)nite su di
essa vengono moltiplicate con un nuovo prodotto, indicato con ?. Lo studio
di un \prodotto star", il prodotto di Moyal, risulta molto interessante , in
quanto tale prodotto viene utilizzato per la costruzione del piano e del toro
noncommutativo, ed in generale per la quantizzazione di varieta(cid:18) su cui agisce
il gruppo di Heisenberg.
Come detto precedentemente, l’ingrediente fondamentale della Geometria
Noncommutativa (cid:18)e costituito da C(cid:3)-algebre non commutative. Come ve-
dremo in seguito, tali algebre sono sempre algebre di operatori su spazi di
Hilbert. In generale, essendo in(cid:12)nito-dimensionali, esse sono estremamente
complicate datrattare, eleloroproprieta(cid:18)sonospesso di(cid:14)cili dadeterminare.
A tale proposito, il mio lavoro di tesi consiste nello studio di un particolare
tipo di C(cid:3)-algebre chiamate algebre approssimativamente (cid:12)nite (AF). Tali
algebre sono molto interessanti, in quanto ogni elemento puo(cid:19) essere approssi-
mato in norma da una successione di matrici (cid:12)nito-dimensionali, nonostante
l’algebra di partenza sia in(cid:12)nito-dimensionale. Cio(cid:19)(cid:18)e molto vantaggioso, dato
che molte proprieta(cid:18) dell’algebra limite sono diretta conseguenza della strut-
tura delle sottoalgebre approssimanti. Inoltre esiste la possibilita(cid:18) di costru-
ire un gra(cid:12)co, chiamato diagramma di Bratteli, che de(cid:12)nisce unicamente, o
meglio a meno di isomor(cid:12)smi, l’algebra a cui (cid:18)e associato.
In particolare, abbiamo studiato in dettaglio una sottoalgebra B del toro
(cid:18)
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