akıllı ve uyarlamalı kontrol sistemleri

35 Pages·2013·8.21 MB·Turkish

Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya

AKILLI VE UYARLAMALI

KONTROL SİSTEMLERİ
96
Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya
Uyarlanabilir Sinirsel Bulanık Çıkarım Sistemi (ANFIS) ile
Küçük Bir Turboprop Motor Üzerinde Yakıt Akışı Kontrol
Sistemi Modellenmesi

Işıl Yazar1, Emre Kıyak2, Fikret Çalışkan3, Kerim Kahraman4

1Mekatronik Bölümü
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, Eskişehir
[email protected]

2Havacılık Elektrik ve Elektroniği Bölümü
Anadolu Üniversitesi, Eskişehir
[email protected]

3Kontrol Mühendisliği Bölümü
İstanbul Teknik Üniversitesi, İstanbul
[email protected]

4TEI Tusaş Motor Sanayii A.Ş., Eskişehir
[email protected]

kompresör elemanının dönme hareketini sağlar. Türbinde
Özetçe
atmosfer basınç değerine kadar genleşen gaz kütlesi egzozdan
Ülkemizde son dönemlerde savunma sanayii alanında ciddi dışarı atıldığında hava aracı için gerekli olan itkinin oluşması
gelişmeler kaydedilmektedir. Gelişen teknolojiye bağlı olarak sağlanır.
tasarlanmakta olan hava araçları da buna paralel olarak Turboprop motorlar literatürde iki başlık altında
çeşitlilik göstermektedir. Özellikle İHA’lar (İnsansız Hava incelenmektedirler [2, 3]. Bunlar sırasıyla tek şaftlı turboprop
Araçları) üzerinde ciddi çalışmalar yürütülmektedir. motorlar ve serbest türbinli turboprop motorlardır. Tek şaftlı
Savunma, eğitim, gözlem gibi alanlarda kullanılan bu tip hava turboprop motorlarda pervane, kompresör-türbin yapısını da
araçlarının itki ihtiyacını karşılamak için küçük tipte çeviren ortak bir şaft tarafından döndürülmektedir. Serbest
turboprop motorlara gereksinim duyulmaktadır. Turboprop türbinli turboprop motorlarda ise halihazırdaki türbin
motorlar, düşük ve orta irtifa için kullanımı ekonomik, sessiz yapısından ayrı olarak güç türbini olarak isimlendirilen bir
çalışan gaz türbinli motorlardır. Çalışmada, TEI tarafından yapı pervane hareketinden sorumludur. Her iki yapıda da
geliştirilen bir turboprop motorun verileri kullanılarak ANFIS türbin pervaneden daha hızlı döndüğü için pervanenin devir
(Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System) arayüzü sayısı şaft üzerinde bulunan dişli kutusu yardımı ile
yardımıyla yakıt akışı kontrolü sağlanmıştır. Modelde hem ayarlanmaktadır. Şekil.1’de AIRBUS firmasına ait askeri
geçici durum hem de kararlı durum süreçleri için yakıt akışı nakliye uçağı A400M’in TP400 Turboprop motoru modeli
durumu incelenmiştir. görülmektedir [4].
1. Giriş
Günümüzde gaz türbinli motorların hem endüstri alanında
hem de havacılık sektöründe geniş bir kullanım alanı
bulunmaktadır. Endüstri alanındaki kullanımı ile enerji eldesi
sağlanırken, havacılık sektöründeki kullanımı ile hava aracı
için gereken itki sağlanmaktadır. Hava araçlarında kullanılan
gaz türbinli motorlar şu şekilde sınıflandırılabilir: Turbojet,
Turbofan, Ramjet, Pulsejet, Turboprop, Propfan [1]. Gaz
türbinli motorlar kendi aralarında yapısal olarak farklılık
gösterse de temel çalışma prensibi hepsinde aynıdır. Hava
alığından içeri alınan havanın hızı düşürülerek basıncı bir
miktar artırılır. Daha sonra kompresör içerisine geçen havanın
sabit sıcaklıkta sıkıştırılma yoluyla basıncı artırılır. Basıncı
artırılmış hava kütlesi yanma odasında sabit basınç altında
yüksek sıcaklık değerlerinde yakılır. Yanma olayı sonucu elde
edilmiş gaz kütlesi türbin kademelerinden geçerken genleşir
ve türbinin dönme hareketine neden olur. Türbinde meydana Şekil 1: AIRBUS firmasına ait askeri nakliye uçağı A400M’in
gelen dönme hareketi aynı zamanda aynı şafta bağlı TP400 Turboprop motor modeli [4]
97
Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya
2. Motor Kontrolü kullanmış olduğu ölçülen değişkenlerden bazıları
görülmektedir.
Günümüzde değişen ve gelişen teknoloji, hava araçlarını hem

yapısal anlamda hem de sistemsel anlamda değişime
Tablo 1: Uçak Motorlarında Kullanılan Bazı Kontrol
zorlamaktadır. Bu değişimde öncelik ise hız, verim, maliyet
Değişkenleri [9]
gibi parametrelere dayandırılmaktadır. Uçak motorları da uzun

zamandan beri belirtilen bu değişim sürecinde olup, daha
önceleri motor kontrol ünitesi dahi olmayan uçaklarda artık
gelişmiş bir motor kontrol sistemi kullanılmaktadır. Kontrol Değişken TFE731 F100 F110 GE90
kavramının sisteme dahil olmasıyla birlikte eskiden kullanılan
hidromekanik sistemlerin yerini günümüzde elektronik kontrol
sistemleri almıştır. FADEC (Full Authority Digital Engine Fan Girişi X X X X
Control) adı verilen bu sistemler, uçakta yer alan diğer Toplam
sistemlerle koordineli olarak çalışarak durgun durum ve geçiş Sıcaklık
hallerinde motor kontrolü sağlamaktadır. Ana fonksiyonu
kontrollü ve güvenli uçuş operasyonu için uygun yakıt akışını
sağlamaktır [5]. FADEC sistemi [6], hidromekanik sistemlere Fan Girişi X X X
göre daha operasyonel esneklik sağlayan ve daha güvenilir bir Basınç
sistemdir. sistemlere geçiş yapılmıştır.
FADEC sistemi genel olarak iki kısımdan oluşur: Bunlar
sırasıyla Elektronik Kontrol Ünitesi (EKÜ) ve Hidromekanik Kompresör X
Ünite (HMU)’leridir. HMU kontrol ünitesinden gelen Giriş
elektriksel sinyalleri hidromekanik basınca dönüştürerek, Basıncı
motor üzerindeki valfleri ve eyleyicileri sürer. Bu iki ünite
dışında motor üzerinde pek çok sensör bulunur. Sensörlerin bir
kısmı doğrudan kontrol ünitesine bağlı olarak çalışırken, bir Kompresör X
diğer kısmı da sistem durumunu görüntülemek için geri Giriş
besleme amaçlı olarak kullanılır [7]. Şekil 2’de uçak motoru Sıcaklığı
kontrol sistemi basit bir yapıda özetlenmiştir.
Kompresör X X X
Çıkış
Basıncı
Kompresör X
Bleed
Basıncı
Egzoz X
Çıkış
Şekil 2: Uçak Motoru Kontrol Sistemi Sıcaklığı
Uçak motoru üreticileri, gaz türbinli motorlardaki kontrol
algoritmalarının geliştirilmesi için öncelikli olarak motor Düşük X X X X
termodinamik modeline ihtiyaç duymaktadırlar. Bu modeller, Basınç
termodinamik yasalar, enerjinin korunumu kanunu ve ampirik Türbini
(tecrübeye dayalı) olarak hazırlanan bazı fonksiyonlar Devir
kullanılarak oluşturulmakta ve daha sonra hazırlanacak Sayısı
kontrol algoritması için temel teşkil etmektedir. Oluşturulan
termodinamik modelin verileri kullanılarak sistemde yer
alacak eyleyici, dönüştürücü gibi diğer enstrümanların da Yüksek X X X X
dahil edilmesiyle hazırlanacak olan tasarım motor Basınç
modellemesi ise üç farklı şekilde yapılabilmektedir [8]: Türbini
Dinamik Karakteristik, Doğrusal Dinamik Modeller ve Gerçek Devir
Zamanlı Modeller’dir. Sayısı
Kontrol algoritmaları oluşturulurken kullanılacak kontrol
değişkenleri ve ölçülen değişkenler üreticiden üreticiye ve
motor tipine göre değişiklik göstermektedir. Kontrol
sisteminin komplekslik seviyesi bu parametrelerin ve ölçümü
alınan diğer parametrelerin sayısına göre belirlenmektedir [9].
Tablo 1’de dünyanın önde gelen uçak motoru üreticilerinin

98
Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya
3. ANFIS Yapısı x giriş, i düğüm noktası sayısı ve Ai ise bu düğüm
noktasının bulanık kümesidir. Her bir düğümde üyelik
Doğrusal olmayan sistemlerin modellenmesi, sistemin doğası fonksiyonu olarak en çoğu 1 ve en azı 0 olan çan eğrisi üyelik
gereği çok zordur. Bu tip sistemlerin modellenmesinde girişi ve fonksiyonları kullanılır [8]. Fonksiyondaki sabitler ANFIS’de
çıkışı haritalayan metotlar kullanmak uygun olmaktadır [10]. öncül (premise) parametreler olarak isimlendirilmektedir [13].
Günümüzde Uyarlanır Sinirsel Bulanık Çıkarım Sistemi
2.Katman: Bu katmanda, düğüm noktasına gelen gelen üyelik
(ANFIS) olarak bilinen, bulanık mantık sınıflandırması ile
fonksiyonları birbirleriyle çarpılmaktadır. Her düğüm noktası
yapay sinir ağları öğrenme mantığının birleştiği yapı giriş-
çıktısı bir kural için o kuralın tetikleme veya ateşleme ağırlığı
çıkış haritalama işini başarılı bir şekilde yapmaktadır. Bu
(firing strength of a rule) olarak tanımlanmaktadır [13].
çalışmada, ANFIS arayüzü yardımıyla pervane devir sayısı,
w  (x) (y), i1,2. (2)
motor devir sayısı ve egzoz çıkış sıcaklığı değerleri baz i Ai Bi
alınarak uçak motoru yakıt akış kontrolü modellenmiştir. Daha sonra normalize edilmiş kural tetikleme veya ateşleme
Hazırlanan modelde, TEI Tusaş tarafından sağlanan küçük bir ağırlık değerleri ilgili düğüm noktasının tetikleme veya ateşleme
turboprop motora ait 3 farklı değişken verisi kullanılmıştır. ağırlık değerinin tüm kuralların tetikleme veya ateşleme ağırlık
Kullanılan değişkenler hemen her tip motor için ölçümü alınan değerinin toplamına oranı alınarak denklem (3)’teki gibi
kritik değişkenlerdir. Bununla beraber modellemelerde hesaplanır.
kullanılacak değişkenler, motor tipine bağlı olarak veya elde w
ekstra ölçüm verisi olmasına göre farklılık gösterebilir. wi  i , i1,2. (3)
w w
ANFIS arayüzü temel olarak iki bölümden oluşmaktadır: 1 2
3.Katman: Bu katmanın çıkış fonksiyonu denklem (4)’deki gibi
Bunlar sırasıyla FIS (Fuzzy Inherence System) yapısının
oluşturulduğu bölüm ve FIS yapısının eğitildiği bölümlerdir. tanımlanmaktadır. {pi, qi, ri} parametreleri ANFIS’de soncul
(consequent) parametreler olarak tanımlanmaktadır [13].
FIS yapısının oluşturulduğu bölümde, MATLAB iki çeşit

kümeleme metodu sunmaktadır: grid bölümleme (Grid
Partitioning) ve eksiltici kümeleme (Subtractive Clustering) Oi3wifi wi(pixqiyri) (4)

Ayrıca, daha önceden oluşturulmuş bir FIS yapısı da doğrudan
4.Katman: En son katmanda sistemin çıkışı hesaplanmaktadır.
arayüze yüklenerek kullanılabilmektedir. FIS yapısının eğitimi
Sistem çıkışı denklem (5)’teki gibi bir önceki düğüm
için de yine MATLAB iki yöntem sunmaktadır: Bunlar geri
noktasından gelen verilerin tümünün toplanması ile elde
yayılım tabanlı öğrenme ve geri yayılım + en küçük kareler
edilmektedir.
yöntemi kombinasyonundan meydana gelen hibrit öğrenme
metodudur [11]. Çalışmamızda kullanmış olduğumuz ANFIS w f
i i
yapısı aşağıdaki gibidir [10]: Sistem Çıkışı = O4 w f  i (5)
Modellenecek sistemin x, y şeklinde iki giriş, bir çıkış i i i w
i i
değeri olduğu varsayılarak ve bu değerler kullanılarak Takagi ve
i
Sugeno tipi iki kural oluşturulduğunda [12]:
Hibrit öğrenme iki prosedürden oluşmaktadır: Bunlar
1. Kural: Eğer x A1 ise ve y B1 ise, çıkış değeri f1=p1x+q1y+r1 sırasıyla İleri Geçiş ve Geri Geçiş Prosedürleri’dir [10]:
2. Kural: Eğer x A2 ise ve y B2 ise, çıkış değeri f2=p2x+q2y+r2
şeklinde olur.
Tablo 2: Hibrit Öğrenme Algoritması [10, 11]
1.Katman: Bu katmandaki her düğüm noktasının denklem

(1)’deki gibi bir üyelik fonksiyonu mevcuttur. Bu fonksiyon
İleri Geçiş Geri Geçiş
aynı zamanda düğüm noktası çıkış fonksiyonudur.
Öncül Geri yayılım
Sabit
Oi1A(x) (1) Parametreler Gradyen Azalma
i Soncul En Küçük Kareler
Sabit
Parametreler Tahmini
Düğüm Noktası
Sinyaller Hata Oranları
Çıktıları

İleri geçiş prosedüründe, giriş ve ilgili sinyaller 3. katmana
kadar bir önceki bölümde bahsedilen işlemlerden geçerek gelir
ve en küçük kareler yöntemi aracılığıyla soncul parametreler
tahmin edilmeye çalışılır. Geri geçiş prosedüründe ise, gradyen
azalma yöntemi kullanılarak çıkıştan girişe tüm düğüm
noktalarının hata oranları toplanarak öncül parametrelerin
değerleri tekrar güncellenir [10].
4. Simülasyon Sonuçları
Uçak motoru yakıt akışı kontrolü modeli TEI Tusaş Motor
Sanayii A. Ş. tarafından tasarlanan küçük bir turboprop
motorun motor devir sayısı, pervane devir sayısı, egzoz çıkış

sıcaklığı ve yakıt akış verileri kullanılarak
Şekil 3: Örnek bir ANFIS Yapısı MATLAB/Simulink üzerinde ANFIS arayüzü aracılığıyla
oluşturulmuştur. Elde herhangi bir matematiksel model
olmamasına rağmen yalnızca test verileri kullanılarak yakıt
99
Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya
akış miktarı hesaplanmaya çalışılmıştır. 981 adet verinin
% 80’i eğitim, kalan % 20’lik kısmı ise test verisi olacak
şekilde rasgele gruplandırılmıştır. FIS yapısının
oluşturulmasında ANFIS arayüzü üzerinde tanımlı eksiltici
kümeleme kullanılmıştır. Veri sayısının fazlalığı, artan üyelik
fonksiyonu sayısının iterasyon sayısını dolayısıyla işlem
süresini uzatması ve artan bu süreye bağlı olarak optimum
üyelik fonksiyonu sayısının hesaplanamaması sebebiyle grid
bölümleme yöntemi tercih edilmemiştir [14, 15]. Eksiltici
kümeleme yöntemi ile en düşük hatayı veren en uygun üyelik
fonksiyonu sayısı hesaplanmıştır. Öğrenme metodu olarak da
hibrit öğrenme yöntemi kullanılmıştır. Şekil 4’de oluşturulan
MATLAB/Simulink modeli, Şekil 5 ve 6’da optimum sayıdaki

üyelik fonksiyonuna göre hazırlanmış eğitim verisi ve test
verisi orijinal çıktılarının ve ANFIS çıktılarının
Şekil 6: Test Verisi ile ANFIS Çıktısının Karşılaştırılması
karşılaştırılması, Tablo 3’de ise farklı etki alanı ve üyelik
(Etki Alanı: 0.2, Üyelik Fonksiyonu Sayısı:8 için)
fonksiyonlarında elde edilen ortalama eğitim ve test veri
hataları görülmektedir. Eğitim veri seti için optimum hata her
Tablo 3: Eğitim ve Test Verileri Ortalama Hata Tablosu
giriş için 10 üyelik fonksiyonu ataması yapıldığında
hesaplanmıştır. Test veri seti için optimum hata her giriş için 8
üyelik fonksiyonu ataması yapıldığında hesaplanmıştır. Etki Etki Üyelik Ortalama Ortalama
alanı arttıkça üyelik fonksiyonu sayısı azalmaktadır. Bunun Alanı Fonksiyonu Eğitim Verisi Test Verisi
nedeni, her verinin çevresinde bulunan veri yoğunluğuna bağlı Sayısı Hatası Hatası
olarak potansiyel bir kümelenme merkezi durumunda olması
ve etki alanı yarıçapı arttıkça yoğunluğa bağlı olarak
kümelenme merkezi seçilen noktanın çevresinde bulunan 0.1 10 4.7722 4.5192
diğer verilerin de bu verinin sınıfına dahil edilecek olması ve
böylece toplam üyelik sayısının azalmasıdır [16]. Uygun
üyelik fonksiyonu sayısı işleminin bulunmasını ANFIS, etki 0.15 10 4.5011 4.5618
alanı kullanıcı tarafından tanımlandığında otomatik olarak
yapmaktadır.
0.2 8 4.7592 4.3686
0.25 7 4.6662 4.394
0.3 7 4.6413 4.3822
0.35 7 4.652 4.3868

0.40 5 5.1591 4.8675
Şekil 4: Simülasyon Modeli

0.45 4 5.8822 5.0731
0.50 3 5.8461 5.0814
0.55 3 5.7024 4.9618
0.60 3 5.5889 4.8737
0.65 3 5.4786 4.7989

0.70 3 5.3952 4.7679
Şekil 5: Eğitim Verisi ile ANFIS Çıktısının Karşılaştırılması
(Etki Alanı: 0.15, Üyelik Fonksiyonu Sayısı:10 için)
100
Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya
[6] D. Esler, “FADEC's Benefits Today and Tomorrow”,
0.75 3 5.322 4.7404 Business & Commercial Aviation, Cilt: 97, No: 5, 2005.
[7] S. Koçak, Gaz Türbinli Motorlarda FADEC Sisteminin
Ayrıntılı Olarak İncelenmesi, Lisans Bitirme Tezi,
0.80 3 5.2969 4.7789 Anadolu Üniversitesi, 2012
[8] G.G. Kulikov, H.A. Thompson, Dynamic Modelling of
Gas Turbines, Springer, 2005.
0.85 3 5.2744 4.8175
[9] L.C. Jaw, J.D. Mattingly, Aircraft Engine Controls, AIAA
Education Series, 2009.
[10] J.R. Jang, “ANFIS: Adaptive-Network-Based Fuzzy
0.90 3 5.2549 4.8523
Inference System”, IEEE Transactions on Systems, Man,
and Cybernetics, 23, 3, 665-685, 1993.
0.95 3 5.2686 4.9164 [11]http://www.mathworks.com/help/fuzzy/anfis-and-the
anfis-editor-gui.html#bq97_i_
[12] T. Takagi, M. Sugeno, “Derivation of fuzzy control rules
1 3 5.2704 4.9632 from human operator’s control actions”, Proceedings of
IFAC Symposium on Fuzzy Information, Knowledge
Representation and Decision Analysis, 55- 60, 1983.

[13] O. Kaynar, M. Zontul, F. Demirkoparan, “Ham petrol
Fiyatlarının ANFIS ile Tahmini”, ABMYO Dergisi,
5. Sonuçlar
Cilt:17, 3-14, 2010.
[14] M.R. Minaz, A. Gün, M. Kurban, N. İmal, “Bilecik İlinin
Bu çalışmada, pratikte havacılıkta kullanılan FADEC
Farklı Yöntemler Kullanılarak Basınç, Sıcaklık ve Rüzgâr
sisteminin sorumlu olduğu yakıt akışı kontrolünün daha
Hızı Tahmini”, Gaziosmanpaşa Bilimsel Araştırma
sadeleştirilmiş olan yapısı MATLAB/Simulink üzerinde
Dergisi, Cilt: 3, 2013.
ANFIS arayüzü kullanılarak modellenmiştir. Kontrol
parametresi olarak kullanılan giriş verileri egzoz çıkış [15]S. Chiu, “Fuzzy Model Identification Based on Cluster
sıcaklığı, pervane devir sayısı ve motor devir sayısı verileri Estimation”, Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, 2, 3,
kullanılarak uygun yakıt akışı değeri elde edilmeye 1994.
çalışılmıştır. Grid bölümleme metodunda üyelik fonksiyonu [16] M. Wei, B. Bai, A. H. Sung, Q. Liu, J. Wang, M. E.
sayısı arttıkça iterasyon süresi uzamış ve optimum üyelik Cather, “Predicting injection profiles using ANFIS”,
fonksiyonu değeri hesaplanamamıştır. Dolayısıyla diğer Information Sciences, 177, 4445–4461, 2007.
yöntem olan eksiltici kümeleme yöntemi farklı etki alanlarına
bağlı olarak denenmiş ve farklı sayıda oluşturulan üyelik
fonksiyonlarına bağlı olarak optimum üyelik fonksiyonu sayısı
hesaplanmıştır. Hesaplamalar sonucunda gerçek motor yakıt
akışı değerlerinin oldukça yaklaşık değerlerle ANFIS üzerinde
kontrol parametrelerine bağlı olarak elde edilebildiği
gözlemlenmiş ve ANFIS üzerinde model için kullanılabilecek
en uygun üyelik fonksiyonu değeri tanımlanabilmiştir.
Teşekkür
Çalışmaya vermiş oldukları teknik destekten dolayı TEI Tusaş
Motor Sanayii A. Ş.’ye teşekkür ederiz.
Kaynakça
[1] H. Karakoç, E.T. Turgut, Gaz Türbinli Motor Sistemleri,
T.C. Anadolu Üniversitesi Yayınları, 2008.
[2] H. Aydın, Ö. Turan, A. Midilli, T. H. Karakoc,

“Transient Performance of an Experimental Turboprop

Engine: An Energetic Evaluation”, The Fourth
International Conference on Applied Energy
(ICAE2012), 2012.
[3] Introduction to Turboprop Engine Types
http://www.skybrary.aero/bookshelf/books/1626.pdf
[4] I. Moir, A. Seabridge, Aircraft Systems, John Wiley &
Sons Ltd., 2008.
[5] Xicoy Electronica XL, FADEC System-Autostart 06 User
Guide.
101
Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya
˘ ˙ ˙ ˙
DOGRUSAL OLMAYAN SISTEMLER IÇIN RUNGE-KUTTA
˙ ˙
MODEL-TABANLI UYARLAMALI PID DENETLEYICI
MeriçÇETI˙N1,SelamiBEYHAN2,SerdarI˙PLI˙KÇI˙2
1BilgisayarMühendislig˘iBölümü
PamukkaleÜniversitesi,20070,Denizli-Türkiye
{mcetin}@pau.edu.tr
2ElektrikElektronikMühendislig˘iBölümü
PamukkaleÜniversitesi,20070,Denizli-Türkiye
{sbeyhan}@pau.edu.tr,{iplikci}@pau.edu.tr
Özetçe tercih edilmektedir. Tasarımı PID denetleyicilerden daha zor
Bu çalıs¸mada, Runge-Kutta model-tabanlı model-öngörülü olsadagünümüzdemikrois¸lemcileregömülerekendüstrideçok
uyarlamalı Oransal-˙Integral-Türevsel (PID) denetleyici (RK- kullanılmaktadır. Model-öngörülü denetleyicilerin giris¸-çıkıs¸
PID) tanıtılmıs¸ ve dog˘rusal olmayan sistemlerin kontrolünde kestirimufuklarısayesindeileriyeyönelikhataküçüklemesiile
kullanılmıs¸tır. Önerilen denetleyici, sürekli-zamanlı bir siste- sistemperformansıoldukçaiyidir.Fakatgradyantemellidenet-
min Runge-Kutta ayrıklas¸tırılmıs¸ modeli ile model-öngörülü leyiciolmalarındandolayıgürültüvebozucuetkilerekars¸ıda-
performans kriterini azaltacak biçimde PID denetleyici pa- yanıklıdeg˘ildir.MPCyöntemlerininzamandomenindeformule
rametrelerini uyarlamaktadır. Sisteme uygulanan giris¸ is¸areti, edilebiliyorolması,ilerleyen-ufuközellig˘ivedurumvekontrol
uyarlamalı PID denetleyici ve model-öngörülü denetleyici ile kısıtlarınıkolaycadikkatealabilmegibiüstünözelliklerisayı-
eldeedilendüzeltmeterimlerindenolus¸maktadır.ÖnerilenRK- labilir.
PID denetleyici, sürekli-zamanlı dog˘rusal-olmayan bioreaktör
sistemi üzerinde test edilmis¸tir. Elde edilen denetleme sonuç- 4. mertebeden Runge-Kutta (RK) algoritması, dog˘rulug˘u
ları,önerilendenetleyicinindog˘rusal-olmayansistemlerinkont- ve kararlı davranıs¸ları nedeniyle dog˘rusal-olmayan sürekli-
rolündeoldukçabas¸arılıoldug˘unugöstermis¸tir. zamanlısistemlerinayrıklas¸tırmasındakullanılır.Runge-Kutta
(RK)modeliolarakbilinenbuyapı,uyarlamalıdog˘rusalolma-
1. Giris¸ yan model-öngörülü denetleme, tahminleme, Jacobian hesabı,
durum ve parametre kestirimi gibi pek çok uygulamada kul-
Kontrolmühendislig˘inde,PIDtüründekidenetleyicilerkolayta- lanılmıs¸tır[9,10,11,12].Buçalıs¸madaisedog˘rusal-olmayan
sarımıvegürbüzperformanslarınedeniyledig˘erdenetleyiciler sürekli-zamanlısistemlerindenetlenmesindePIDparametrele-
içinde en çok tercih edilen denetleyicidir. Dog˘rusal zamanla rininayarlanmasıiçinsisteminRKmodeliilemodel-öngörülü
deg˘is¸meyen sistemlerde PID parametrelerinin tasarımı için li- hataperformansıkullanılarakPIDparametreleriuyarlanmıs¸tır.
teratürde pek çok yöntem vardır [1, 2, 3]. Fakat dog˘rusal za- Bununyanındareferansvesistemdinamiklerinindeg˘is¸tig˘inok-
manladeg˘is¸ensistemlervereferanssinyalinindeg˘is¸tig˘iuygu- talaraPIDdenetleyicisininyetersizolacag˘ıdüs¸ünülerekmodel-
lamalarda,PIDdenetleyiciparametrelerininiyibirreferansta- öngörülüdenetleyiciileüretilmis¸düzeltmeterimitasarlanmıs¸-
kibi yapabilmesi için uyarlanması gerekmektedir. Bunun ya- tır. Düzeltme terimi K− adımlık bir tahminleme hatasının en
nında dog˘rusal-olmayan sistemler için PID denetleyici tasarı- küçükyapılmasıylaeldeedilir.
mındadog˘rullas¸tırmayaparakdengenoktalarındaklasikayar-
lama yöntemleri ile parametreler ayarlanmalıdır. Fakat denge
Çalıs¸manın devamında: Bölüm 2’de önerilen RK model-
noktasısüreklideg˘is¸ebileceg˘indenbuyöntemkullanıs¸lıdeg˘il-
tabanlıPIDyapısıdetaylıbirs¸ekildeanlatılacaktır.Tasarlanan
dir.
dog˘rusal-olmayandenetleyiciyapısınınölçütsistemeuygulan-
Dog˘rusallas¸tırmayapmadandog˘rusal-olmayanPIDdenet-
masıileeldeedilensonuçlar,Bölüm3’degösterilmektedir.Bö-
leme yapılacak ise uyarlamalı PID denetleyicisi kullanılır. Li-
lüm4’deiseçalıs¸manınsonuçlarıverilmektedir.
teratürde, belirsiz sistemler için kayan-kip uyarlamalı PID
[4],matematikselmodelibilinmeyensistemleriçinuyarlamalı
yapay-sinirag˘ıileuyarlamalıPID[5]vedestek-vektörmeka-
nizmalı uyarlamalı PID [6] denetleyicileri önerilmis¸tir. Bun- 2. ÖnerilenRunge-KuttaModel-Tabanlı
ların yanında [7, 8] çalıs¸malarında, PID parametreleri model- UyarlamalıPIDDenetleyici
öngörülükontrolmetodukullanılarakamaçfonksiyonununen
küçüklenmesiyleayarlanmıs¸tır.
Dog˘rusal ve dog˘rusal-olmayan sistemlerin kontrolünde Bubölümde,RKayrıklas¸tırmasıveönerilenRKmodel-tabanlı
model-öngörülü denetleyiciler hızlılık ve dog˘ruluk açısından model-öngörülüuyarlanabilirPIDdenetleyicianlatılacaktır.
102
Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya
2.1. Runge-KuttaAyrıklas¸tırması s¸eklindedir.(3)denklemias¸ag˘ıdakigibivektörelformdayazıla-
bilir.
As¸ag˘ıdakigibikapalıformda ˆx =ˆf(ˆx ,u ),
n+1 n n
=ˆx +k (5)
x˙ =f(x,u), n+1 n
ˆy =g(ˆx ,u ).
y=g(x,u), (1) n+1 n n
burada
u∈U,x∈ X,∀t≥0
 
k +2k +2k +k
11 12 13 14
verilenbirsistemindenetlenebilmesiiçinenuygunkontrolis¸a- 1 k21+2k22+2k23+k24 
retininbulunmasıamaçlanmaktadır.Buradakidurumdenklem- kn =6 .. 
leri . (6)
k +2k +2k +k
N1 N2 N3 N4
X ={x ∈ℜ|x ≤x ≤x ,i=1,...,N} 1
Ui={u∈i ℜ|u imi≤n u≤iu im}ax (2) = 6(k1+2k2+2k3+k4)
min max
s¸eklindedir.Buas¸amadansonrat = nT örneklemeanındaki
s
s¸eklinde kısıtlara bag˘lıdır. Sürekli zamanlı dog˘rusal-olmayan durumdeg˘is¸kenlerix ,··· ,x vegiris¸büyüklüg˘üu veril-
1n Nn n
N-boyutlu bir sistemin durum denklemleri vektörel formda dig˘indebirsonrakiörneklemeanındaki(t+T =(n+1)T )
s s
(1) s¸eklinde verilmis¸tir. Burada x(t) ∈ ℜN, u(t) ∈ ℜ ve çıkıs¸ı(5)kullanılarakbulunabilir.Artıksürekli-zamanlıbirsis-
y(t)∈ ℜolmaküzere,denklemlerdeukontrolis¸aretini,xdu- teminayrık-zamanlıRKyapısındaönerilenuyarlanabilirdenet-
rumvektörünü,yçıkıs¸sinyalinigöstermektedir.fivegfonksi- leyicimekanizmasındakullanılabilirhalegelir.
yonları;kontrolis¸aretivedurumvektörüdeg˘erlerinegöredina-
mikleribilinen,süreklizamanlıvetürevialınabilenfonksiyon- 2.2. Runge-KuttaModel-TabanlıUyarlamalıPID
lardır.x ,··· ,x anlıkdurumlarıveu anlıkgiris¸igöster-
1n Nn n
meküzeresisteminn.anındakideg˘erleridir.n,t=nT zama-
s
nındakiörneklemeanınıgösterir.Birsonrakiörneklemeanın-
dakisistemeaitx vey s¸eklindeverilendurumveçıkıs¸
in+1 in+1
deg˘erlerias¸ag˘ıdakies¸itliklerdeverilen4.mertebedenRKalgo-
ritmasıileöngörülebilir.Bualgoritmadig˘erintegrasyonmetot-
larıiçindedahakesinvekararlıoldug˘uiçindog˘rusalolmayan
süreklizamanlısisteminayrıklas¸tırılmasıis¸lemindetercihedil-
mis¸tir.
xˆ =xˆ +k /6+k /3+k /3+k /6,
1n+1 1n 11n 12n 13n 14n
.
.
.
xˆ =xˆ +k /6+k /3+k /3+k /6,
Nn+1 Nn N1n N2n N3n N4n
yˆ =g(xˆ ,...,xˆ ,u )
n+1 1n+1 Nn+1 n
(3)
burada S¸ekil1:Runge-Kuttamodel-tabanlıPIDdenetleyici
k =T f (xˆ ,··· ,xˆ ,u ),
11n s 1 1n Nn n
. Önerilen yöntemde, (5) denklemi ile verilen sistemin RK
.
. modeli, model-tabanlı PID yapısı içinde S¸ekil 1’de görüldüg˘ü
kN1n =TsfN(xˆ1n,··· ,xˆNn,un), gibi kullanılmıs¸tır. Burada yˆn modelin çıkıs¸ı, y˜ sistem çıkıs¸ı
k =T f (xˆ +0.5k ,··· ,xˆ +0.5k ,u ), y’nin takip etmesi istenen referans is¸areti, en n. örnekleme
12n s 1 1n 11n Nn N1n n anında istenen ve ölçülen çıkıs¸ arasındaki hata, u kontrol
n+1
.
.. is¸aretiveδun+1 düzeltmeterimidir.UyarlamalıRK-PIDdön-
güsü, RK modeli, uyarlamalı PID blog˘u ve iki adet Jacobian
k =T f (xˆ +0.5k ,··· ,xˆ +0.5k ,u ),
N2n s N 1n 11n Nn N1n n blog˘undan olus¸ur. Yapı içindeki Jacobian bloklarından birisi
k13n =Tsf1(xˆ1n +0.5k12n,··· ,xˆNn +0.5kN2n,un), kontrol sinyalini düzeltir, dig˘eri ise parametre ayarlamasında
.. kullanılır.PIDdenetleyici,en hatasınıbarındıranveas¸ag˘ıdaki
. formdaverilenu s¸eklindekikontrolis¸aretiniüretir.
n+1
k =T f (xˆ +0.5k ,··· ,xˆ +0.5k ,u ),
N3n s N 1n 12n Nn N2n n un+1 =un+KP(en−en(cid:0)1)+KIen
k =T f (xˆ +k ,··· ,xˆ +k ,u ), (7)
14n s 1 1n 13n Nn N3n n +KD(en−2en(cid:0)1+en(cid:0)2)
.
.
. Burada K , K ve K en uygun biçimde ayarlanması ge-
P I D
k =T f (xˆ +k ,··· ,xˆ +k ,u ). rekenPIDparametreleridir.Buparametrelerindenetlemeis¸le-
N4n s N 1n 13n Nn N3n n
(4) minebas¸lamadanöncekibas¸langıçkos¸ullarısıfırdır.PIDpara-
103
Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya
metreleribas¸langıçdeg˘erleriiledenetlemeis¸lemigerçekles¸tiri- yetersizkalabilir.Bazımodellemehatalarıveharicibozucula-
lemedig˘iiçinenuygundeg˘erlerineayarlanmalıdır.Buamaçla, rın kontrol hareketinin üzerindeki olumsuz etkilerden kurtul-
sistemin RK modeli kullanılır. Bu model, sistemin K− adım makiçinδu gibibirdüzeltmeterimineihtiyaçduyulur.RK
n+1
sonraki gelecek davranıs¸larını tahmin ettig˘i biles¸enlerden olu- model-tabanlıPIDyapısıiçindekidüzeltmeblog˘ununamacı(8)
s¸an[yˆ ,yˆ ,...,yˆ ]s¸eklindebiryörüngevektörüüre- denklemindeki amaç fonksiyonunu en küçük yapacak uygun
n+1 n+2 n+K
tir.Buvektörolus¸turulurkenPIDdenetleyicisiileüretilenu δu terimini bulmaktır. Farklı bir deyis¸le, düzeltme blog˘u
n+1 n+1
kontrol is¸areti RK modeline K kere uygulanır. Bu tahminlere amaçfonksiyonuF’yi2.derecedenTayloryaklas¸ımınadaya-
dayanarakPIDdenetleyisininparametreleri,K−adımsonraki narakδu teriminegöreenküçükyapmayaçalıs¸ır:
n+1
tahminleme hatalarının kareleri toplamını en küçük yapmayı
amaçlayan bir maliyet fonksiyonu ile belirlenir. Dig˘er bir de- F(un+1+δun+1)∼=F(un+1)+ ∂∂F(u(un+1))δun+1
yis¸le as¸ag˘ıdaki formda verilen amaç fonksiyonu F en küçük n+1
(14)
yapılmayaçalıs¸ılır. + 1∂2F(un+1)(δu )2
2 ∂u2 n+1
∑K n+1
1 1
F(un+1)= 2 (y˜n+k−yˆn+k)2+ 2λ(un+1−un)2 Amaçfonksiyonunuenküçükyapanδun+1terimiarandıg˘ıiçin
k=1 F’ninδun+1’egöretürevialınıpsıfıraes¸itlenirse;
(8)
burada K kestirim ufku ve λ cezalandırma terimidir. PID pa- @F
rametreleriningüncellenmesiveamaçfonksiyonununenküçük δun+1 =−@@u2nF+1 (15)
yapılmasıiçinLevenberg-Marquardt(LM)kuralıkullanılmıs¸tır. @u2
n+1
∆KPID =−(JTJ+µI)(cid:0)1JTeˆ (9) (15)denkleminegöreamaçfonksiyonununδun+1’egöre1.ve
2. türevlerinin hesaplanması gerekmektedir. Ancak 2. derece-
   
K K dentürevlerinhesaplamakarmas¸ıklıg˘ınedeniylebutürevlerye-
P P
 K ⇐= K +∆K (10) rineJacobianyaklas¸ıklıklarıkullanılabilir.(K+1)×1boyutlu
I I PID
KD KD JmJacobianmatrisi,
briutmraadlaarµı apraarsaımndeatreuszilaSs¸tmeeapessatg˘-DlaeysacnenbtirveteGrimaudsisr-.NIe,w3to×n3algboo-- Jm =−[ @@uyˆnn++11 @@uyˆnn++21 ··· @@yˆunn++K1 √λ ]T
yutundaki birim matris olup J ise (K +1)×3 boyutundaki (16)
Jacobianmatrisidir. s¸eklindeise1.ve2.derecedentürevlerJmvektörükullanılarak
  as¸ag˘ıdakis¸ekildetanımlanır.
@eˆn+1 @eˆn+1 @eˆn+1
 @@eˆKn+P2 @@eˆKn+I2 @@eˆKn+D2  ∂F∂u(unn++11) =2JTmeˆ ve ∂2∂Fu(2nu+n1+1) ∼=2JTmJm (17)
J= @K...P @K...I @K...D  Buas¸amadansonradüzeltmeterimias¸ag˘ıdakigibiyazılabilir.
 
 @eˆn+K @eˆn+K @eˆn+K  JTeˆ
 @KP @KI @KD  δu =− m (18)
  n+1 JTJ
p p p m m
@ (cid:21)(un+1(cid:0)un) @ (cid:21)(un+1(cid:0)un) @ (cid:21)(un+1(cid:0)un)
@KP @KI @KD (18)ifadesindendegörüldüg˘ügibiartık1.derecedentürevlere
  (11) ihtiyaçduyulur.Budurumda(12)denklemindekiJacobianmat-
@yˆn+1 @yˆn+1 @yˆn+1
 @KP @KI @KD  risizincirkuralındanfaydalanılarakas¸ag˘ıdakigibi2farklımat-
  riss¸eklindeyazılabilir.
=− @@@@yˆyˆnKKn...++PPK2 @@y@@ˆyˆnKKn...++IIK2 @@@@yˆyˆKKnn...++DDK2   @@@@uuyyˆˆnnnn++++2111 [ ]
veeˆtahmin√haλta@l∆a@rKuınPv+e1ktör√üoλlm@∆a@ukKnüI+z1ere:√λ@∆@KunD+1 (12) J=− @@yˆunn...++K1  @@uKn+P1 @@uKn+I1 @@uKn+D1 (19)
√
   
eˆ y˜ −yˆ λ
n+1 n+1 n+1
 ..   ..  =JmJc
eˆ= . = .  (13)
 √eˆn+K   √y˜n+K−yˆn+K  burada Jc vektörü, un+1’in PID parametrelerine göre parçalı
λ∆u λ(u −u ) türevleridir.Butürevlersadeceizleyicihatasıkullanılarakas¸a-
n+1 n+1 n
g˘ıdakiformdayazılabilir:
Bu as¸amada artık PID parametreleri her adımda güncellenir.
 
Güncellenenparametrelerherzamankabuledilebilirbirkont- en−en(cid:0)1 T
rol üretebilecek kadar uygun bir deg˘erde olmayabilir. Bu du- J = e  (20)
c n
rumdabukontrolhareketisistemiistenenyörüngeyegötürmede en−2en(cid:0)1+en(cid:0)2
104
Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya
Sonuçta, J vektörü, PID parametrelerini güncellemek için s¸eklindedir.Ayrıca(24)denklemiiçingerekenkontrolis¸aretine
m
(12)denklemindekiJacobianmatrisininhesabındaveayrıcadü- göreRKmodel-tabanlıparçalıtürevleriseas¸ag˘ıdakigibidir:
zeltme terimini bulmada (15) kullanılır. Uygun bir δu he-
n+1 (cid:12)
dsaepnladnodlıag˘yıındJa amveakçtöforünnküsniyoynaupnıuiçeinndkeükçiüektkyisaipmaçaıköçzaelglöig˘rüinl-- @u@nk+11 =Ts@@fu(xn;+u1) =Ts@u@nf+1(cid:12)(cid:12)x=x (29)
m
mektedir.Buçalıs¸mada,J vektörüçalıs¸masındaönerilenRK
modeliilehesaplanmaktadmır. @u@nk+21 =Ts@f(x@+u0n:+51k1;u)
RKmSiostdeemliisnaKye−sinaddeımdeinlekrlieymed(5o)g˘irlueoitlearnaçtiıfkbıs¸ilras¸reınkıinldkeegsetirrçimeki-, =Ts(@f@((xx++00:5:5kk11;)u)@(x@+un0+:51k1) + @u@nf+1(cid:12)(cid:12)(cid:12)x=x+0:5k1)
( (cid:12) (cid:12) )
lvees¸ktitröirlüirn.üBnu(raudna)(d[etg˘+is¸mTsetdi+g˘iKvaTrssa]y)ıplmeraikytoadduırn.dBaöaydleacyekiolenrtiryoel =Ts 0:5@@xf(cid:12)(cid:12)x=x+0:5k1@u@nk+11 + @u@nf+1(cid:12)(cid:12)x=x+0:5k1
(30)
yönelikkestirimler[yˆ ,...,yˆ ]s¸eklindeolur.J Jaco-
bkiuarnalıvyekartödrımün∂ıüyyˆlaolgues¸ntuenrl+aon∂1laTr@@gauyˆk(cid:12)(cid:12)nn++11n,+.K..,@∂@yˆuxˆnn++K1 terimlermi zincir @u@nk+31 ==TTss((@f@(f@x((x@+xu++(cid:12)0n:+050:1k5:52kk;22u;))u)@(x@+un0+:51k2) + @(cid:12)u@nf+1(cid:12)(cid:12)(cid:12)x=x+)0:5k2)
∂unn++K1 = ∂x (cid:12)x=xˆ[n+k]∂unn++k1, (21) =Ts 0:5@@xf(cid:12)(cid:12)x=x+0:5k2@u@nk+21 + @u@nf+1(cid:12)(cid:12)x=x+0:5k2
(31)
es¸esakslinhdeseahpelasnapmlaansıırg.e(r2e1k)eens¸i@tlxˆign˘+inkdeifa@@dTxegletreiraims¸aig˘sıdabakititigr.ibBiuardaıdma @u@nk+41 =Ts(@f(x@u+n+k13;u) (cid:12) )
adımbulunur. @un+1 =Ts @f@((xx++kk33;)u)@(@xu+n+k13) + @u@nf+1(cid:12)(cid:12)x=x+k3 (32)
( (cid:12) (cid:12) )
∂xˆn+k = ∂^f(cid:12)(cid:12)(cid:12) ∂xˆn+k(cid:0)1 + ∂^f (cid:12)(cid:12)(cid:12) =Ts @@xf(cid:12)(cid:12)x=x+k3@u@nk+31 + @u@nf+1(cid:12)(cid:12)x=x+k3
∂u ∂x x=xˆ[n+k(cid:0)1] ∂u ∂u x=xˆ[n+k(cid:0)1]
n+1 un+1=un+1 n+1 n+1 un+1=un+1 s¸eklindedir.
(22)
burada
3. ÖlçütSistemveBenzetimSonuçları
@^f @(x+k)
= RK-PID yapısı, MATLAB benzetim ortamında dog˘rusal-
@xn @xn (23)
=I+ 1@k1 + 1@k2 + 1@k3 + 1@k4: olmayan, sürekli-zamanlı ve matematiksel dinamikleri bilinen
6@xn 3@xn 3@xn 6@xn bioreaktörsistemineuygulanmıs¸tır.Dog˘rusal-olmayanbioreak-
törsistemdinamikleri,
ve
@^f @(x+k) @k c˙ (t)=−c (t)u(t)+c (t)(1−c (t))ec2(t)=(cid:13),
= = 1 1 1 2
@un+1 = 16@@uu@nnk++111 + 13@@uu@n+nk+211 + 13@u@nk+31 + 16@u@nk+41 (24) c˙2(t)=−c2(t)u(t)+c1(t)(1−c2(t))ec2(t)=(cid:13)1+1β+−βc(23(3t))
s¸eklindedir.(23)denklemindekidurumlaragörehesaplananRK s¸eklindedir.Buradau(t)akıs¸debisinigöstermeküzerekontrol
model-tabanlıparçalıtürevler: is¸aretidir. c1(t) hücre yog˘unlug˘u ve c2(t) birim hacim bas¸ına
düs¸enbesinmiktarıolupy(t) = c (t)s¸eklindedir.Bioreaktör
(cid:12) 1
@@xkn1 =Ts@f@(xxn;u) =Ts@@xfn(cid:12)(cid:12)uxnn+=1x=nun+1 (25) sdiisrt.eKmoinntirnolnois¸marientainlipnatreapmeedtreeg˘leerril,erγiu=mi0n.4=8,0βve=u0m.a0x2=gib2i-,
örneklemesüresiiseτ = τ = 0.01saralıg˘ındatutul-
@@xkn2 =Ts@f(x+@x0:n5k1;u) mus¸tur. RK-PID denetmleiynicisinimnaaxmacı, akıs¸ debisini kontrol
=Ts@(f(@xx++00::55kk11;u)@(x+@x0n:5k1) ) (26) ederÇekalrıes¸fmeraadnasbies¸anrzeettiinmitsaoknipuçeltamrıebkitrikr.açkestirimufkuiçinde-
=Ts @@xfn(cid:12)(cid:12)(cid:12)uxnn+=1x=nu+n0+:51k1(I+0:5@@xkn1) npeanrammies¸ttirrelaenrciaikçienneilydiesoenduilçmKis¸ti=r. K10v<ec1e0zadteeg˘reimrleirλi i=çin0.i0le0r1i
yönlü düzeltmenin kısa olmasından dolayı PID parametreleri
@@xkn3 =Ts@f(x+@x0:n5k2;u) dog˘ru bir s¸ekilde ayarlanamamaktadır. Bu durum çıkıs¸ is¸are-
=Ts@(f(@xx++00::55kk22;u)@(x+@x0n:5k2) ) (27) tindeKsa>lını1m0ladreag˘enreldeerinioçilnmiaykitlaeds¸tıirr.meolmaklaberaberönemli
=Ts @@xfn(cid:12)(cid:12)(cid:12)uxnn+=1x=nu+n0+:51k2(I+0:5@@xkn2) olarnaancdaakbtiürrdeevg˘iiss¸¸ilmemyloerkituarr.ttBıg˘uıniuçninyhanesınadpalaKma−saüdreımsiiuçzinamheaskatpa--
dır.BuyüzdenenuygunKdeg˘eri10olarakseçilmis¸tir.λpara-
@@xkn4 =Ts@f(x@+xnk3;u) metresinin0.001’denküçükdeg˘erleriiçinkontrolis¸aretindeki
=Ts@(f(@xx++kk33;u)@(x@+xnk3) ) (28) cteedziarl.aλndı>rma0.k0ü0ç1ükdeog˘lderulg˘euriiiçlienddaahhaagheızçlıizilzelmemeeyaypaıplaılbmilamseınka-
(cid:12) rag˘men kontrol is¸aretinde osilasyona neden oldug˘undan siste-
=Ts @@xfn(cid:12)(cid:12)uxnn+=1x=nu+nk+31(I+ @@xkn3) mindahageçoturmasınanedenolmaktadır.
105