Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers

2143 Pages·2001·8.15 MB·English

by  Sean Mauch

Introduction to Methods of Applied Mathematics
or
Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers
Sean Mauch
April 26, 2001
Contents
1 Anti-Copyright 22
2 Preface 23
2.1 Advice to Teachers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Warnings and Disclaimers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Suggested Use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 About the Title . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I Algebra 1
3 Sets and Functions 2
3.1 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2 Single Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3 Inverses and Multi-Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.4 Transforming Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Vectors 11
4.1 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1
4.1.1 Scalars and Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1.2 The Kronecker Delta and Einstein Summation Convention . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.1.3 The Dot and Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Sets of Vectors in n Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
II Calculus 36
5 Differential Calculus 37
5.1 Limits of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3 The Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4 Implicit Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.5 Maxima and Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.6 Mean Value Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.6.1 Application: Using Taylor’s Theorem to Approximate Functions. . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.6.2 Application: Finite Difference Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.7 L’Hospital’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.10 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6 Integral Calculus 100
6.1 The Indefinite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.2 The Definite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2
6.3 The Fundamental Theorem of Integral Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.4 Techniques of Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.4.1 Partial Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.5 Improper Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.7 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7 Vector Calculus 134
7.1 Vector Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.2 Gradient, Divergence and Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.4 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
III Functions of a Complex Variable 150
8 Complex Numbers 151
8.1 Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.2 The Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.3 Polar Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.4 Arithmetic and Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.5 Integer Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.6 Rational Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3
9 Functions of a Complex Variable 202
9.1 Curves and Regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.2 Cartesian and Modulus-Argument Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9.3 Graphing Functions of a Complex Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.4 Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
9.5 Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.6 Branch Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
9.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
10 Analytic Functions 303
10.1 Complex Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
10.2 Cauchy-Riemann Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
10.3 Harmonic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
10.4 Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
10.4.1 Categorization of Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
10.4.2 Isolated and Non-Isolated Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
10.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
10.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
10.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
11 Analytic Continuation 356
11.1 Analytic Continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
11.2 Analytic Continuation of Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
11.3 Analytic Functions Defined in Terms of Real Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
11.3.1 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
11.3.2 Analytic Functions Defined in Terms of Their Real or Imaginary Parts . . . . . . . . . . . 369
11.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
11.5 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
4
11.6 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
12 Contour Integration and Cauchy’s Theorem 381
12.1 Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
12.2 Under Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
12.3 Cauchy’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
12.4 Indefinite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
12.5 Contour Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
12.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
12.7 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
12.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
13 Cauchy’s Integral Formula 403
13.1 Cauchy’s Integral Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
13.2 The Argument Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
13.3 Rouche’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
13.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
13.5 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
13.6 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
14 Series and Convergence 422
14.1 Series of Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
14.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
14.1.2 Special Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
14.1.3 Convergence Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
14.2 Uniform Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
14.2.1 Tests for Uniform Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
14.2.2 Uniform Convergence and Continuous Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
14.3 Uniformly Convergent Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
14.4 Integration and Differentiation of Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
5
14.5 Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
14.5.1 Newton’s Binomial Formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
14.6 Laurent Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
14.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
14.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
14.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
15 The Residue Theorem 490
15.1 The Residue Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
15.2 Cauchy Principal Value for Real Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
15.2.1 The Cauchy Principal Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
15.3 Cauchy Principal Value for Contour Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
15.4 Integrals on the Real Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
15.5 Fourier Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
15.6 Fourier Cosine and Sine Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
15.7 Contour Integration and Branch Cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
15.8 Exploiting Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
15.8.1 Wedge Contours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
15.8.2 Box Contours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
15.9 Definite Integrals Involving Sine and Cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
15.10Infinite Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
15.11Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
15.12Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
15.13Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
IV Ordinary Differential Equations 634
16 First Order Differential Equations 635
16.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635
6
16.2 One Parameter Families of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637
16.3 Exact Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639
16.3.1 Separable Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643
16.3.2 Homogeneous Coefficient Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
16.4 The First Order, Linear Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649
16.4.1 Homogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649
16.4.2 Inhomogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
16.4.3 Variation of Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
16.5 Initial Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653
16.5.1 Piecewise Continuous Coefficients and Inhomogeneities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
16.6 Well-Posed Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659
16.7 Equations in the Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661
16.7.1 Ordinary Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661
16.7.2 Regular Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664
16.7.3 Irregular Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
16.7.4 The Point at Infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
16.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674
16.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
16.10Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
17 First Order Systems of Differential Equations 705
17.1 Matrices and Jordan Canonical Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
17.2 Systems of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713
17.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719
17.4 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725
17.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727
18 Theory of Linear Ordinary Differential Equations 757
18.1 Nature of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758
18.2 Transformation to a First Order System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761
7
18.3 The Wronskian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762
18.3.1 Derivative of a Determinant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762
18.3.2 The Wronskian of a Set of Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763
18.3.3 The Wronskian of the Solutions to a Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765
18.4 Well-Posed Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768
18.5 The Fundamental Set of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770
18.6 Adjoint Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773
18.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776
18.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778
18.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780
19 Techniques for Linear Differential Equations 786
19.1 Constant Coefficient Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786
19.1.1 Second Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787
19.1.2 Higher Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791
19.1.3 Real-Valued Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793
19.2 Euler Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795
19.2.1 Real-Valued Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798
19.3 Exact Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801
19.4 Equations Without Explicit Dependence on y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802
19.5 Reduction of Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803
19.6 *Reduction of Order and the Adjoint Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804
19.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807
19.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814
19.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817
20 Techniques for Nonlinear Differential Equations 842
20.1 Bernoulli Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842
20.2 Riccati Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844
20.3 Exchanging the Dependent and Independent Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848
8
20.4 Autonomous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 850
20.5 *Equidimensional-in-x Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854
20.6 *Equidimensional-in-y Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856
20.7 *Scale-Invariant Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859
20.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860
20.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864
20.10Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866
21 Transformations and Canonical Forms 878
21.1 The Constant Coefficient Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878
21.2 Normal Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881
21.2.1 Second Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881
21.2.2 Higher Order Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883
21.3 Transformations of the Independent Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885
21.3.1 Transformation to the form u” + a(x) u = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885
21.3.2 Transformation to a Constant Coefficient Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886
21.4 Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888
21.4.1 Initial Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889
21.4.2 Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891
21.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894
21.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896
21.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897
22 The Dirac Delta Function 904
22.1 Derivative of the Heaviside Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904
22.2 The Delta Function as a Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906
22.3 Higher Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908
22.4 Non-Rectangular Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908
22.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910
22.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911
9