Abelsche Funktionen und Algebraische Geometrie

286 Pages·1956·7.974 MB·German

by  Fabio Conforto (auth.), W. Gröbner, A. Andreotti, M. Rosati (eds.)

DIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER
BERUCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE
HERAUSGEGEBEN VON
R. GRAMMEL· E. HOPF . H. HOPF . F. K. SCHMIDT
B. L. VAN DER W AERDEN
BAND LXXXIV
ABELSCHE FUNKTIONEN
UND ALGEBRAISCHE GEOMETRIE
VON
FABIO CONFORTO f
S PRI N G E R-VERLAG
BERLIN· GOTTINGEN . HEIDELBERG
1956
ABELSCHE FUNKTIONEN
UND ALGEBRAISCHE GEOMETRIE
VON
FABIO CONFORTO f
AUS DEM NACHLASS BEARBEITET
UND HERAUSGEGEBEN
VON
W. GROBNER· A. ANDREOTTI UND M. ROSATI
MIT 8 TEXTABBILDUNGEN
SPRINGER-VERLAG
BERLIN· GOTTINGEN· HEIDELBERG
1956
ALLE RECHTE. INSBESONDERE DAS DER UBERSETZUNG
IN FREMDE SPRACHEN. VORBEHALTEN
OHNE AUSDRUCKLICHE GENEHMIGUNG DES VERLAGES 1ST ES AUCH NICHT
GESTATTET. DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS AUF PHOTOMECHANISCHEM
WEGE (PHOTOKOPIE. MIKROKOPIE) ZU VERVIELFALTIGEN
© BY SPRINGER-VERLAG OHG.
BERLIN. GOTTINGEN • HEIDELBERG 1956
SOFTCOVER REPRINT OF THE HARDCOVER 1ST EDITION 1956
ISBN-13: 978-3-642-94670-7 e-ISBN-13: 978-3-642-94669-1
DOl: 10.1007/978-3-642-94669-1
BRUHLSCHE UNIVERSITATSDRUCKEREI GIESSEN
Vorwort
Schon vor fUnf J ahren hatte ich mit meinem inzwischen verstorbenen
Freunde FABIO CONFORTO (1909-1954) vereinbart, eine deutsche Be
arbeitung seiner Vorlesungen uber ABELsche Funktionen *), die er im
Studienjahr 1940/41 in Rom gehalten hat, herauszugeben. Da aber
eine grundliche Oberarbeitung des aus dem Jahre 1942 stammenden
Textes notwendig erschien, die CONFORTO selbst besorgen wollte**),
wurde die Verwirklichung dieses Planes zunachst noch hinausgeschoben.
Aber bald nach dem AbschluB des Vertrages mit dem Verleger wurde
CONFORTO von einer unerbittlichen Krankheit befallen, die ihn innerhalb
J ahresfrist zwang, die Feder fUr immer aus der Hand zu legen, noch
beY~r er mit diesem Werk hatte beginnen k6nnen. So blieb mir dessen
Gestaltung und Vollendung als Vermachtnis zuruck, das ich im Sinne
und Geiste meines verstorbenen Freundes bestens durchzufUhren be
strebt war, urn so mehr, als ich damit hoffen durfte, eine wirkliche
Lucke auszufUllen und den heute Lebenden eines der reizvollsten Gebiete
der klassischen Mathematik naherzubringen, das seit dem Aussterben
der alten Mathematikergeneration, zu der auch noch mein verehrter
Lehrer W. WIRTINGER geh6rt hatte, beinahe vergessen worden ist.
Dabei war ich glucklich, in A. ANDREOTTI und M. ROSATI zwei aus
gezeichnete Mitarbeiter zu finden, die als ehemalige Schuler CONFORTOs
sehr gut mit seinen Absichten und Planen vertraut waren und so ent
scheidend zuJ? Gelingen des Werkes beigetragen haben. Aus den letzten
Jahren lag auch noch eine vervielfaltigte Vorlesung***) CONFORTOs vor,
deren erstes Kapitel in das vorliegende Buch hineinverarbeitet werden
konnte.
Wenn es auch notwendig war, den Text aus dem Jahre 1942 sehr
grundlich umzuarbeiten, so war doch unser vorzuglichstes Bestreben
*) Es existiert eine nur mehr in wenigen Exemplaren vorhandene photo
mechanische Vervielfaltigung dieser Vorlesungen:
CONFORTO, FABIO: Funzioni Abeliane e Matrici di RIEMANN. 304 S. Rom:
Libreria dell'Universita 1942.
**) DaB CONFORTO diese Absicht hatte, geht auch aus der folgenden Stelle
seines Briefes an F. K. SCHMIDT yom 29. Dezember 1951 hervor: ,,10 mi propongo
certamente di riscrivere tutto il testo ancora una volta ex-novo, usufruendo
soltanto in piccola parte della mia redazione del 1942, la quale rimane tuttavia
in certo senso come il nucleo, intorno al quale si sviluppa la nuova trattazione."
***) CONFORTO, FABIO: Funzioni Abeliane modulari. Lezioni raccolte dal
Dott. MARIO ROSATI. 454 S. Rom: DOCET, Edizioni Universitarie 1951.
VI Vorwort
darauf gerichtet, daB der Charakter des Buches mit seinen vielfach
anerkannten Vorziigen voll erhalten bleibe: das heiBt, es sollte eine
anschauliche und verstandliche, durch moderne Abstraktionen *) nicht
allzu beschwerte Darstellung der klassischen Theorien von RIEMANN,
WEIERSTRASS, KLEIN, HURWITZ, POINCARE, ApPELL, FROBENIUS,
WIRTlNGER, HUMBERT darbieten, die in allgemeiner Form erstmals
von CONFORTO zusammengefaBt worden sind. Wenn damit auch Verzicht
auf die gr6Btm6gliche Allgemeingiiltigkeit der Satze geleistet wird, so
bleiben dafUr die Entwicklungen naher der geometrischen Anschaulich
keit, auf welche sich einer der hauptsachlichsten Vorziige von CONFORTOs
V orlesungen griindet.
So ist das Buch aber auch besser fUr das Studium geeignet, da kein
ausgedehntes Spezialwissen vorausgesetzt werden muB. Urn es lesen
und verstehen zu k6nnen, geniigen als Vorkenntnisse die Theorie der
analytischen Funktionen einer komplexen Variablen, die projektive
Geometrie und die Matrizenrechnung. Die wichtigsten Tatsachen iiber
meromorphe Funktionen von mehreren Variablen sowie der grundlegende
Satz von COUSIN werden im Anhang des Buches bewiesen. AuBerdem
ist nur an einigen Stellen im zweiten Kapitel, wo es unerlaBlich war,
urn den geometrischen Inhalt einiger Satze, wie z. B. des Theorems von
ApPELL-HuMBERT und der daraus abgeleiteten Folgerungen, prazise
definieren und exakt beweisen zu k6nnen, von den Begriffen und Satzen
der Idealtheorie und deren Anwendungen in der algebraischen Geometrie
Gebrauch gemacht worden **).
Ganz neu hinzugefiigt wurden auGer dem bereits erwahnten Anhang
iiber meromorphe Funktionen mehrerer komplexer Variablen im erst en
Kapitel die Abschnitte Nr. 37 und 38 iiber allgemeine Thetafunktionen
mit Charakteristiken und Thetafunktionen h6herer Ordnung, im zweiten
Kapitel der Beweis fUr die algebraische N atur der ABELschen Mannig
faltigkeiten und vor allem die Konstruktion eines singularitatenfreien
Modells der PICARDschen Mannigfaltigkeit, die ich einer freundlichen
brieflichen Mitteilung von Prof. C. L. SIEGEL verdanke.
Auch alle iibrigen Beweise des zweiten Kapitels muBten neu auf
gebaut werden, damit sie den Anforderungen einer exakten Beweis
fiihrung geniigen. Da in vielen Fallen noch keine Ansatze und Vor
arbeiten dafUr vorlagen, muBten hier mehrmals ganz neue Wege ein
geschlagen werden, die auch zu neuen Erkenntnissen fiihrten, wie z. B.
*) So sind z. B. alle Funktionenkorper grundsatzlich tiber dem Korper der
komplexen Zahlen aufgebaut.
**) Tatsachlich scheint auGer der Idealtheorie keine andere Theorie die hier
notwendigen Begriffe und Beweismethoden in der erforderlichen Differenziertheit
und Scharfe zu enthalten.
Vorwort VII
zur Tatsache, daB der Integritatsbereich aller zu einer RIEMANNSchen
Matrix gehorigen intermediaren Funktionen ein( ZPE-Ring ist, eine
Tatsache, die neues Licht nicht nur auf die funktimlentheoretische,
sondern auch auf die geometrische Seite der Theorie wirft und in ihren
weiteren Auswirkungen noch gar nicht ausgewertet werden konnte.
Die von CONFORTO erstmals im Jahre 1942 ausgearbeitete EinfUhrung
in die Theorie der ABELschen Funktionen hat gegeniiber alteren Dar
stellungen den Vorzug eines liickenlosen logischen Aufbaues: Ausgehend
von der Definition der ABELschen Funktionen als meromorpher Funk
tionen von p Variablen mit 2p unabhangigen Perioden werden zunachst
- unter Voraussetzung der Existenz einer ABELschen Funktion -
die notwendigen Eigenschaften der von den Perioden gebildeten
RIEMANNSchen Matrix, das sind die sog. Periodenrelationen, ermittelt.
Diese Eigenschaften erweisen sich sodann auch umgekehrt als hin
reichend, da gezeigt wird, daB zu einer diese Bedingungen erfiillenden
Periodenmatrix immer zugehorige ABELsche Funktionen konstruiert
werden konnen, die im wesentlichen als Quotienten von Thetareihen
darstellbar sind, so daB hier die Thetareihen nicht ein kiinstlich heran
gezogenes Hilfsmittel der Theorie sind, sondern aus den urspriinglichen
Ansatzen als notwendig sich ergebendes Resultat folgen.
Die (im zweiten Kapitel behandelte) geometrische Bedeutung der
ABELschen Funktionen ergibt sich aus der Tatsache, daB Parameter
darstellungen mittels ABELscher Funktionen zu p-dimensionalen alge
braischen Mannigfaltigkeiten fUhren, deren Eigenschaften zufolge dieser
Darstellung leicht untersucht werden konnen. Besonders wichtig sind
die PICARDschen Mannigfaltigkeiten, deren Punkte umkehrbar eindeutig
den Punkten des Periodenparallelotops, das ist ein verallgemeinerter
Torus, entsprechen. Die rationalen und birationalen Transformationen
einer PICARDschen Mannigfaltigkeit lassen sich von der funktionen
theoretischen Seite her leicht diskutieren; die geometrische Interpretation
ist auBerordentlich interessant und liefert wichtige neue Erkenntnisse
fUr die Theorie der irregularen algebraischen Mannigfaltigkeiten.
Dieser letzte Teil der Theorie steht noch ganz im Bereich der weiter
dringenden Forschung; es kann wohl nicht erwartet werden, daB in der
vorliegenden Einfiihrung bereits abschlieBende Ergebnisse aufgezeigt
werden *). Dagegen muB mit Bedauern eingestanden und der mensch
lichen Unzulanglichkeit sowie dem Mangel an Zeit und Raum zugute
gehalten werden, daB manche Abschnitte der klassisch gereiften Theorie,
die etwa in diesem Buch gesucht werden diirften, nicht mehr verarbeitet
*) Vnter anderem liegt im NachlaB CONFORTOS auch ein unvollendetes Manu
skript "Le varieta superficialmente irregolari" vor, das bisher nicht veroffentlicht
ist und auch in unsere Bearbeitung nicht mit aufgenommen werden konnte.
VIII Vorwort
worden sind; vor aHem wird man die Behandlung der speziellen ABEL
schen Funktionen sowie des JACoBIschen Umkehrproblems vermissen.
CONFORTO hatte allerdings noch viele weitere Plane, mit denen diese
Lucken gefiillt worden waren, aber wie weit diese in einer naheren oder
ferneren Zukunft werden fortgesetzt werden konnen, das wird wesent
lich davon abhangen, ob es dem vorliegenden Buche gelingt, das
Interesse der gegenwartigen Mathematikergeneration auf dieses Gebiet
der algebraischen Geometrie hinzulenken.
Innsbruck, den 30. Dezember 1955
W. GROBNER
Inhaltsverzeidmis
Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Erklarung der Bezeichnungen ........ . 4
Erstes Kapitel. Die intermediiren Funktionen und das Existenztheorem fiir
die ABELSchen Funktionen
I. Die Perioden meromorpher Funktionen. RIEMANNsche Matrizen 5
1. Aligemeines iiber periodische Funktionen . 5
2. Lineare Transformationen der Variablen. Unabh1i.ngige Perioden 6
3. Infinitesimale Perioden. 7
4. Ausgeartete Funktionen . . 8
5. Reell unabh1i.ngige Perioden. 12
6. Definition der ABELschen Funktionen 13
7. Konstruktion eines primitiven Systems von Perioden 15
8. Ober die Gesamtheit aller primitiven Systeme von Perioden 18
9. Die Modulgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10. Verhalten einer Periodenmatrix bei !inearen Transformationen der
Variablen. 21
11. Erste elementare Eigenschaften der RIEMANNSchen Matrizen 22
12. Reduzierle Form einer RIEMANNschen Matrix. 25
II. Die intermediii.ren (oder ]ACoBlschen) Funktionen 25
13. Der Satz von COUSIN 25
14. Darstellung einer ABELschen Funktion als Quotient von zwei ganzen
Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 27
15. Bedingungen fiir die Losbarkeit des Systems (14.9) von Diffe-
renzengleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
16. LOsung einer speziellen Differenzengleichung. . . . . . . . 30
17. Forlsetzung. Methode von HURWITZ fiir die Losung der gestellten
Differenzengleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
18. Nachweis der gleichmii.Bigen Konvergenz fiir die gefundene Reihe 35
19. LOsung des allgemeinen Differenzenproblems . . . . 39
20. Ein zweites Differenzenproblem. . . . . . . . . . . . . . . 44
21. Vertraglichkeitsbedingungen fiir das gestellte Problem . . . . . 47
22. Hilfssatz iiber die Entwicklung einer ganzen periodischen Funktion in
eine FOURIER-Reihe . . . . . . . . . . . . . . 50
23. Formale LOsung des zweiten Differenzenproblems . 52
24. Konvergenz der Reihe, welche die LOsung darstellt 54
III. Das Existenztheorem der ABELSchen Funktionen 56
25. Determinante und charakteristische Zahlen einer intermediaren
Funktion ................ . . . . . . . 56
26. Verhalten von N und d beim Obergang zu einer aquivalenten RIEMANN-
schen Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
27. Das Nichtverschwinden der Determinante Idl. . . . . . . . . 62
28 Die fiir eine RIEMANNsche Matrix charakteristischen Relationen 67
29. Geometrische Interpretation der RIEMANNschen Matrizen. 71
30. Matrizensatz von FROBENIUS . . . . . . . . . . . . . . . . 75
x
Inhaltsverzeichnis
31. Hedeitung der elementaren Eigenschaften einer Periodenmatrix aus
der Existenz einer Prinzipalmatrix. . . . 81
32. Bestimmung der charakteristischen Matrix 82
33. Bestimmung der zweiten Periodenmatrix . 83
34. Verschiedene Typen von Normalformen f1ir die Periodenmatrizen 88
35. Konstruktion der intermediaren Funktionen 91
36. Definition und Konvergenz der Thetareihen. . . 96
37. Allgemeine Thetafunktionen mit Charakteristiken 100
38. Thetafunktionen hoherer Ordnung ...... 104
39. Konstruktion der ABELSchen Funktionen. Ein Hilfssatz 108
40. Beweis des Existenzsatzes der ABELSchen Funktionen . 112
41. ABELsche Funktionenkorper . . . . . . . . 116
42. Ausgeartete intermediare Funktionen. Singulare ABELsche Funktionen-
korper ............................ 118
43. Klassifikation der ABELSchen Funktionenkorper ........: 120
44. Geometrische Darstellung fiir die RIEMANNschen Matrizen der Xormal-
form ......................... 122
45. Existenz von RIEMANNschen Matrizen mit einer einzigen Prinzipal-
matrix. . . . . . . . . . . . . .. . .......... 124
46. SchluBfolgerung fiir die Klassifikation der ABELschen Funktioncn"
korper. . . . . . . .. . ................ 129
47. Verteilung der regularen und singularen RIEMANNschen Matrizen 130
48. SchluBbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . 134
Zweites Kapitel. Die ABELschen Mannigfaltigkeiten
Einleitung. . . . . . . . . . 137
I. Die PICARDsche Mannigfaltigkeit 138
I. Aigebraische Relationen zwischen p + 2 intermediaren Funktioncn
desselben Typus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 138
2. Konstruktion von p-dimensionalen ABELschen Mannigfaltigkeiten . 141
3. Algebraische Natur der p-dimensionalen ABELschen Mannigfaltigkeitcn 146
4. Einige Hilfssatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5. Die PICARDsche Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6. Konstruktion eines singularitatenfreien Modells der PICARDschen
Mannigfaltigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7. Rationale Funktionen auf einer PICARDschen Mannigfaltigkeit. . . . 164
8. trber die Gesamtheit der ABELschen Mannigfaltigkeiten . . . . . . 166
9. Die PICARDschen Integrale 1. Gattung auf einer PICARDschen Mannig
faltigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10. Die birationalen Transformationen der PICARDschen Mannigfaltigkeit
insich ............................ 174
11. Eine charakteristische Eigenschaft der PICARDschen Mannigfaltigkeit 177
12. Das Theorem von ApPELL-HuMBERT ............... 184
13. Einige Folgerungen aus dem Theorem von ApPELL-HuMBERT ... 192
14. Die kontinuierlichen (algebraischen) Systeme von (p -I)-dimensio
nalen Mannigfaltigkeiten-auf der PICARDschen Vp . . . . . . . . . 195
15. Primitivitli.t und Imprimitivitat der Gruppe ~ aller Transformationen-
der 1. Schar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 201
16. Die Basis fiir die (p -l)-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten der
PICARDschen Vp (im nicht singularen Fall) . . . . . . . . . -202
17. Geometrische Bedeutung der Determinante einer intermediaren
Funktion ................ . . . . . . . 205
Inhaltsverzeichnis XI
18. Die WIRTINGERSchen Mannigfaltigkeiten und die KUMMERsche Flache
als Beispiele fUr ABELsche Mannigfaltigkeiten des Ranges 2 . .. 210
II. Algebraische Korrespondenzen zwischen PICARDschen Mannigfaltigkeiten 221
19. Algebraische Korrespondenzen auf einer PICARDschen Mannigfaltigkeit
und HURWITzsche Relationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
20. Algebraische Korrespondenzen zwischen zwei PICARDschen Mannig
faltigkeiten derselben Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . 225
21. HURWITZsche Relationen und RIEMANNSche Homographien. Korre-
spondenzen mit Valenz. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 230
22. Die Involutionen auf einer PICARDschen Mannigfaltigkeit Vp• die zur
Vp selbst birational aquivalent sind . . . . . . . . . . . . 233
23. Komplexe Multiplikation. . . . . . . . . . . . . . . . . 235
24. Die Transformationstheorie der RIEMANNSchen Matrizen und ABEL-
schen Funktionenk6rper . . . . . 237
25. Isomorphe RIEMANNSche Matrizen 240
26. SchluBbetrachtungen . . . . . . 242
Anhang fiber analytische und meromorphe Funktionen von mehreren kom
plexen Variablen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
1. Definition und Darstellung analytischer Funktionen von mehreren
komplexen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 245
2. Die wichtigsten allgemeinen Satze tiber analytische Funktionen von
mehreren komplexen Variablen . . . . . . . . . . . . . .. 246
3. Der WEIERSTRASssche Vorbereitungssatz. . . . . . . . . .. 249
4. Der Integritatsbereich aller in einem Punkte analytischen Funktionen 252
5. Meromorphe Funktionen . . . . . . 258
6. Die Satze von POINCARE und COUSIN 264
7. Beweis des Satzes von COUSIN 266
Literaturverzeichnis. . . . . . . 271
Namen- und Sachverzeichnis 272
Berichtigungen und Erganzungen 276