Aantekeningen over tensoren [Lecture notes]

21 Pages·2000·0.195 MB·Dutch

by  Erik P. van den Ban

Aantekeningen over tensoren
E.P. van den Ban
Najaar 2000
Contents
1 Lineaire ruimten en hun duale 1
2 Het tensorprodukt van lineaire ruimten 5
3 Tensoren en componenten 10
4 Transformatie van tensoren onder afbeeldingen 15
5 Tensorbundels en tensorvelden 17
1 Lineaire ruimten en hun duale
In dit hoofdstuk veronderstellen we dat k een lichaam is. Voor de toepassin-
gen zullen we alleen k = R en k = C nodig hebben.
(cid:3)
Is E een lineaire ruimte over k; dan noteren we met E de ruimte van
(cid:3)
lineaire afbeeldingen E ! k: De lineaire ruimte E heet de lineaire duale
van E:
LaatF eentweedelineaireruimteoverk zijn,danschrijvenweHom(E;F)
voor de ruimte van lineaire afbeeldingen A : E ! F: Zij A 2 Hom(E;F);
(cid:3) (cid:3) (cid:3)
dan induceert A de afbeelding A : F ! E , gede(cid:12)nieerd door
(cid:3) (cid:3)
A (cid:17) = (cid:17)(cid:14)A ((cid:17) 2 F ):
(cid:3) (cid:3)
Deze afbeelding is weer lineair en behoort dus tot Hom(F ;E ): Hij heet de
getransponeerde van A: Merk op dat de getransponeerde van de identiteit
1
IE : E ! E; x 7! x gegeven wordt door
(cid:3)
(IE) = IE(cid:3): (1)
Is B : F ! G een tweede lineaire afbeelding, dan is
(cid:3) (cid:3) (cid:3)
(B(cid:14)A) = A (cid:14)B : (2)
Opmerking 1.1 Wegens de eigenschappen (1) en (2) heet de toevoeging
(cid:3) (cid:3)
E ; E wel een functor. De functor E ; E heet contravariant, omdat
hij afbeeldingspijlen omkeert: aan een homomor(cid:12)sme A : E ! F wordt een
(cid:3) (cid:3) (cid:3)
homomor(cid:12)sme A : E F toegevoegd. De (triviale) functor E ; E; die
aan een lineaireruimteE zichzelftoevoegt, behoudt de richtingvan pijlenen
(cid:3)(cid:3)
heet daarom covariant. Verderop zullen we de covariante functor E ; E
die aan een ruimte zijn dubbelduale toevoegt bestuderen. Voor de precieze
de(cid:12)nitie van een functor verwijzen we naar de paragraaf over categori(cid:127)en-
1
theorie in [Lang1, Ch. I, x7] .
Is A : E ! F een lineair isomor(cid:12)sme, dan volgt uit de functori(cid:127)ele eigen-
(cid:0)1 (cid:3) (cid:3) (cid:0)1 (cid:3) (cid:3) (cid:0)1 (cid:3) (cid:0)1 (cid:3)
schappen dat (A ) (cid:14)A = [A(cid:14)A ] = IF(cid:3); terwijl A (cid:14)(A ) = [A (cid:14)A] =
(cid:3) (cid:3) (cid:3)
IE(cid:3); dus A : F ! E is ook een lineair isomor(cid:12)sme en de inverse wordt
gegeven door:
(cid:3) (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:3)
(A ) = (A ) :
We veronderstellen nu dat E eindig dimensionaal is. Zij d = dimE en zij
1 d
e1;:::;ed een basis van E: We de(cid:12)ni(cid:127)eren de lineaire functionalen e ;:::;e 2
(cid:3)
E door
i i
e (ej) = (cid:14)j: (3)
i
Hierin is (cid:14)j het Kronecker symbool: het is gelijk aan 1 als i = j; en gelijk
aan 0 als i 6= j:
Lemma 1.2 Is E eindig dimensionaal, en is e1;:::;ed een basis van E; dan
1 d (cid:3) (cid:3)
is e ;:::;e een basis van E : In het bijzonder heeft de ruimte E dezelfde
dimensie als E:
P
1 d d i
Bewijs. Decollectiee ;:::;e islineaironafhankelijk. Immersis i=1(cid:21)ie =
0; dan volgt uit evalueren op ej dat (cid:21)j = 0; voor alle 1 (cid:20) j (cid:20) n:
1
S. Lang; Algebra, Addison-Wesley, 1965
2
1 d (cid:3) (cid:3)
De collectie e ;:::;e spant E op. Immers is (cid:24) 2 E ; dan is
d
X
i
(cid:24) = (cid:24)(ei)e :
i=1
Men ziet dit gemakkelijk in door beide leden in elk der basisvectoren ej te
1 d (cid:3)
evalueren. We concluderen dat de collectie e ;:::;e een basis van E is.
(cid:3)
Hieruit blijkt dat dim(E ) = d = dimE: (cid:3)
1 d (cid:3)
De in hetbovenstaande gede(cid:12)nieerdebasis e ;:::;e van E staat bekend
(cid:3)
als de basis van E die duaal is aan de basis e1;:::;ed van E:
Opmerking 1.3 Is (cid:24) 2 E; dan noteren we met mat(cid:24) de matrix van (cid:24) ten
opzichte van de basis feig van E: Merk op dat deze matrix een rijvector met
i (cid:3) i i
lengte d is. Merk op dat e het element van E is met matrix ((cid:14)1;:::;(cid:14)d):
d
InhetvervolghanterenwedeconventiedatR bestaat uitkolomvectoren.
d p
De reden hiervoor is dat een lineaire afbeelding A : R ! R gegeven wordt
door de matrixvermenigvuldiging met matA; de matrix van A ten aanzien
d
van destandaardbases. Metanderewoorden Ax = matA(cid:1)xvoor allex 2 R :
d p
Op deze wijze identi(cid:12)ceren we L(R ;R ) met de p (cid:2) d matrices met re(cid:127)ele
d (cid:3)
co(cid:127)e(cid:14)ci(cid:127)enten. In het bijzonder identi(cid:12)ceren we (R ) met de 1(cid:2)d matrices,
d.w.z. met de rijvectoren met lengte d:
Opmerking 1.4 Is de lineaire ruimte E re(cid:127)eel en voorzien van een posi-
(cid:3)
tief de(cid:12)niet inprodukt h(cid:1) ; (cid:1)i; dan kunnen we een afbeelding i : E ! E
de(cid:12)ni(cid:127)eren door i(v)(w) = hv; wi; voor v;w 2 E: Men ziet direkt dat i
lineair is en een triviale kern heeft; de afbeelding is derhalve een lineair iso-
mor(cid:12)sme. Men gaat gemakkelijk na dat een basis fejg orthonormaal is ten
aanzien van het gegeven inprodukt dan en slechts dan als fi(ej)g de duale
(cid:3) (cid:3)
basis van E is. Vaak identi(cid:12)ceert men de ruimte E met zijn duale E door
middel van de afbeelding i; men dient zich daarbij te realizeren dat de iden-
ti(cid:12)catie afhankelijk is van de keuze van het inprodukt.
Opmerking 1.5 In de analyse treden rijvectoren en kolomvectorenbijvoor-
n
beeld als volgt op. Is c : I ! R een di(cid:11)erentieerbare kromme, dan is, voor
0 n
iedere t 2 I; de snelheidsvector c(t) een kolomvector in R : Is een scalaire
3
n
funktie f : R ! R di(cid:11)erentieerbaar in het punt a; dan is de afgeleide
n (cid:3)
df(a) = Df(a) een element van (R ) ; dus een rijmatrix.
n
Laat gradf(a) de unieke vector in R zijn met i(gradf(a)) = Df(a);
hierin is i als in de voorgaande opmerking gede(cid:12)nieerd ten aanzien van het
n
standaardinprodukt. Dan is gradf(a) de kolomvector in R met componen-
ten @if(a); 1 (cid:20) i (cid:20) n: Om typogra(cid:12)sche redenen noteren we de gradient
toch vaak als rijvector. Strikt genomen zou het beter zijn om de notatie
T
(v1;:::;vn) voor de kolomvector met componenten v1;:::;vn te gebruiken;
hierbij staat T voor transpositie.
(cid:3)(cid:3)
Door een tweede keer te dualiseren verkrijgen we de dubbelduale E :=
(cid:3) (cid:3)
(E ) van de lineaire ruimte E: Er is een natuurlijke lineaire afbeelding (cid:19) :
(cid:3)(cid:3)
E ! E ; is x 2 E; dan wordt (cid:19)(x) gegeven door
(cid:3)
(cid:19)(x)((cid:24)) = (cid:24)(x) ((cid:24) 2 E ):
(cid:3)
Is (cid:19)(x) = 0; dan is (cid:24)(x) = 0 voor alle (cid:24) 2 E ; waaruit we a(cid:13)eiden dat x = 0:
Hieruit volgt dat (cid:19) een injectieve lineaire afbeelding is. We noemen (cid:19) wel de
(cid:3)(cid:3)
kanonieke inbedding van E in de dubbelduale E :
Lemma 1.6 Zij E een eindig dimensionale lineaire ruimte over het lichaam
(cid:3)(cid:3)
k: Dan is de canonieke inbedding (cid:19) : E ! E een lineair isomor(cid:12)sme.
(cid:3)(cid:3) (cid:3)
Bewijs. Delineaireafbeelding(cid:19)isinjectief. Aangeziendim(E ) = dimE =
dimE; is (cid:19) tevens surjectief. (cid:3)
(cid:3)(cid:3)
In het vervolg zullen we de dubbelduale E van een eindig dimensionale
lineaire ruimte E via het isomor(cid:12)sme (cid:19) identi(cid:12)ceren met E:
1 d
VerondersteldatE eindigdimensionaalismetbasise1;:::;ed:Zije ;:::;e
(cid:3) (cid:3)(cid:3)
de duale basis van E : De hierbij behorende duale basis van E correspon-
deert onder de genoemde identi(cid:12)catie precies met de oorspronkelijke basis
j j j
e1;:::;ed: Immers: (cid:19)(ei)(e ) = e (ei) = (cid:14)i voor alle 1 (cid:20) i;j (cid:20) n:
Laat F een tweede eindig dimensionale lineaire ruimte zijn, met basis
1 p (cid:3)
f1;:::;fp: Zij f ;:::;f de bijbehorende duale basis van F : De matrix van
een lineaire afbeelding A : E ! F ten opzichte van de gekozen bases heeft
P
i i
elementen Aj 2 k die bepaald zijn door de formule A(ej) = iAjfi: Door
i
hierop f te laten werken zien we dat
i i
Aj = f (Aej): (4)
4
De matrix van A ten aanzien van de genoemde bases noteren we met matA;
T
diens gespiegelde met (matA) :
(cid:3) T
Lemma 1.7 mat(A ) = (matA)
Bewijs. Er geldt dat
i i (cid:3) i (cid:3) i (cid:3) j
Aj = f (A(ej)) = [A (f )](ej) = ej(A (f )) = (A )i:
(cid:3)
2 Het tensorprodukt van lineaire ruimten
Voor k-lineaire ruimten E1;:::;En en F noteren we met
n
L (E1;:::;En;F)
de lineaire ruimte van n(cid:0)multilineaire afbeeldingen f : E1 (cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)En ! F
(n(cid:0)multilineariteit betekent dat f in elk van zijn n variabelen lineair is).
(cid:3)
Merk op dat in het bijzonder voor een lineaire ruimte E geldt dat E =
1 (cid:3)(cid:3)
L (E;k): Is E eindig dimensionaal, dan volgt uit de identi(cid:12)catie E = E
1 (cid:3)
dat E = L (E ;k):
De(cid:12)nitie 2.1 Laten E1;:::;En eindig dimensionale lineaire ruimten over k
zijn (n (cid:21) 1):
n (cid:3) (cid:3)
(a) We de(cid:12)ni(cid:127)eren E1 (cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)En := L (E1;:::;En;k):
(b) Voor (x1;:::;xn) 2 E1(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)En de(cid:12)ni(cid:127)erenwe hetelementx1(cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)xn
van E1(cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)En door
[x1(cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)xn]((cid:24)1;:::;(cid:24)n) := (cid:24)1(x1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:24)n(xn): (5)
(cid:3)(cid:3)
Opmerking 2.2 Zij (cid:19)k : Ek ! Ek de natuurlijke inbeddinQg, voor 1 (cid:20) k (cid:20)
n
n: Dan kan het rechterlid van (5) herschreven worden als k=1(cid:19)k(xk)((cid:24)k):
In het bijzonder is de bovenstaande de(cid:12)nitie voor n = 1 compatibel met de
1 (cid:3)
identi(cid:12)catie L (E1;k) = E1:
5
Opmerking 2.3 Men veri(cid:12)eertgemakkelijkdat de afbeelding (cid:23) : E1(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
En ! E1(cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)En gegevendoor (cid:23)(x1;:::;xn) = x1(cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)xn multilineairis.
Met andere woorden, het tensorprodukt voldoet aan de volgende rekenregel,
0
voor x1 2 E1;:::;xn 2 En; en voor xj 2 Ej;(cid:21) 2 k :
0
x1 (cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)(xj +(cid:21)xj)(cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)xn =
0
= (x1 (cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)xj (cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)xn) + (cid:21) (x1 (cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)xj (cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)xn)
In het vervolg veronderstellenwe steeds dat E1;:::;En eindig dimension-
ale lineaire ruimten over k zijn.
Lemma 2.4 Laat voor iedere 1 (cid:20) k (cid:20) n een basis ek;1:::ek;dk van Ek
gegeven zijn. Zij I de collectie van rijtjes i = (i(1);:::;i(n)) met i(k) 2
f1;:::;dkg; voor alle 1 (cid:20) k (cid:20) n: Dan is de collectie
fe1;i(1)(cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)en;i(n) j i 2 Ig
een basis van E1 (cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)En:
(cid:3) 1 dk
Bewijs. Voor 1 (cid:20) k (cid:20) n noteren we de duale basis van E met e ;:::;e :
k k k
i i(1) i(dk)
Voor i 2 I noteren we met e(cid:1) het rijtje vectoren (e1 ;:::;en ): Zij t 2
E1(cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)En; dan volgt uit de multilineariteitvan t dat t = 0 dan en slechts
i
dan als t(e(cid:1)) = 0 voor alle i 2 I:
Voor i 2 I noteren we met ((cid:10)e)i de vector e1;i(1)(cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)en;i(n) uit E1 (cid:10)
j
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)En: Is ook j 2 I; dan is ((cid:10)e)i(e(cid:1)) gelijk aan 1 als i = j; en gelijk aan
i
0 als i 6= j: Laat nu voor iedere i 2 I een scalar (cid:21) 2 k gegeven zijn en
P
i
veronderstel dat i2I(cid:21) ((cid:10)e)i = 0: Door evalueren van beide leden in het
j j
rijtje e(cid:1) volgt dat (cid:21) = 0 voor alle j 2 I: De vectoren ((cid:10)e)i; i 2 I zijn dus
lineair onafhankelijk.
i i
Zij tenslotte t 2 E1 (cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)En: Schrijf t = t(e(cid:1)); voor i 2 I: Dan geldt
X
i
t = t ((cid:10)e)i:
i2I
j
Ditblijktdoor beideledenvan dezegelijkheidop elkrijtjevectorene ; j 2 I;
(cid:1)
te evalueren. Hieruitvolgt dat de vectoren((cid:10)e)i; i 2 I; de ruimteE1(cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)
En opspannen. (cid:3)
6
Stelling 2.5 Zij E1;:::;En een stel eindig dimensionale lineaire ruimten.
Dan voldoet de multilineaire afbeelding (cid:23) : E1 (cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)En ! E1 (cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)En
aan de volgende universele eigenschap.
Voor iedere lineaire ruimte F en iedere multilineaire afbeelding f : E1 (cid:2)
(cid:22)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)En ! F bestaat er precies(cid:19)e(cid:19)en lineaireafbeelding f : E1(cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)En ! F
zo dat het volgende diagram commuteert:
f
E1 (cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)En (cid:0)! F
(cid:23) # % f(cid:22)
E1 (cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)En
Bewijs. In het vervolg gebruiken we de notaties uit Lemma 2.4 en haar
bewijs. Dan is f((cid:10)e)i j i 2 Ig een basis van E1 (cid:10) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:10) En: Zij f 2
n (cid:22)
L (E1;:::;En;F):Daniserprecies(cid:19)e(cid:19)enlineaireafbeeldingf : E1(cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)En !
(cid:22)
F metf(((cid:10)e)i) = f(e1;i(1);:::;en;i(n)) voor alle i 2 I: Men gaat nu gemakke-
(cid:22)
lijk na dat f(cid:14)(cid:23) = f op elk rijtje (e1;i(1);:::;en;e(n)); i 2 I: Wegens de mul-
(cid:22) (cid:22)
tilineariteit van beide leden volgt hieruit dat f(cid:14)(cid:23) = f: De uniciteit van f is
een direkt gevolg van Lemma 2.4. (cid:3)
Opmerking 2.6 Door ' 7! '(cid:14)(cid:23) wordt een lineaire afbeelding
n
Hom(E1 (cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)En;F) (cid:0)! L (E1;:::;En;F)
gede(cid:12)nieerd. Het existentiegedeeltevan de universeleeigenschap zegt precies
dat de bovenstaande afbeelding surjectief is. Het uniciteitsgedeeltedrukt uit
dat de bovenstaande afbeelding injectief is. De bovenstaande natuurlijke
afbeelding is derhalve een lineair isomor(cid:12)sme.
Voorbeeld 2.7 Is X een verzameling,dan noteren we metF(X) de lineaire
ruimte van alle funkties X ! k: Is a 2 X dan schrijven we ea voor het
elementvan F(X) dat gegeven wordt door ea(x) = 0 als x 6= a en ea(a) = 1:
Is X eindig dan vormen de ea; a 2 X; een basis van F(X): De duale basis
a a
wordt gegeven door e ; a 2 X; met e : f 7! f(a):
Laat Y een tweede eindige verzameling zijn. We zullen aantonen dat het
tensorprodukt F(X)(cid:10)F(Y) op natuurlijke wijze isomorf is met F(X (cid:2)Y):
Daartoe beschouwen we de bilineaireafbeelding ' : F(X)(cid:2)F(Y) ! F(X(cid:2)
7
Y) die gegeven wordt door '(f;g)(x;y) = f(x)g(y): Wegens de universele
eigenschap factoriseert de afbeelding ' naar een lineaire afbeelding
'(cid:22) : F(X)(cid:10)F(Y) ! F(X (cid:2)Y):
Deze afbeelding voert de basis fea (cid:10) eb j a 2 X;b 2 Yg over in de basis
fe(a;b) j (a;b) 2 X (cid:2)Yg van F(X (cid:2)Y) en is dus een lineair isomor(cid:12)sme.
In het vervolg identi(cid:12)ceren we F(X) (cid:10) F(Y) met F(X (cid:2) Y) via het
natuurlijke isomor(cid:12)sme '(cid:22): In het bijzonder noteren we, voor f 2 F(X) en
g 2 F(Y); de funktie (x;y) 7! f(x)g(y) met f (cid:10)g:
De bovenstaande situatie treedt bijvoorbeeld op bij de combinatie van
twee quantummechanische systemen A en B met eindig vele quantumtoes-
tanden. Laten de quantumtoestanden van A gelabeld zijn door de verza-
meling X en die van B door Y: Dan zijn F(X) en F(Y) de toestand-
sruimten van A en B: De toestandsruimte van het gecombineerde systeem is
F(X (cid:2)Y) = F(X)(cid:10)F(Y):
De universele eigenschap in Stelling 2.5 motiveert ons tot de volgende
de(cid:12)nitie.
De(cid:12)nitie 2.8 OndereentensorproduktvandelineaireruimtenE1;:::;En
n
verstaanweeenlineaireruimteG;metdaarbijeenafbeeldingg 2 L (E1;:::;En;G)
zo dat de volgende universele eigenschap geldt: Voor iedere lineaire ruimte
F en iedere multilineaireafbeelding f : E1(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)En ! F bestaat er precies
(cid:22)
(cid:19)e(cid:19)en lineaire afbeelding f : G ! F zo dat het volgende diagram commuteert:
f
E1 (cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)En (cid:0)! F
g # % f(cid:22)
G
Opmerking 2.9 Na deze de(cid:12)nitie kunnen we Stelling 2.5 als volgt herfor-
muleren: Het paar E1 (cid:10) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:10) En;(cid:23) is een tensorprodukt van de lineaire
ruimten E1;:::;En:
Hetvolgendelemmabrengt tot uitdrukkingdat alletensor produkten van
E1;:::;En op natuurlijke wijze isomorfzijn metE1(cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)En: In het vervolg
zullen we daarom spreken over het tensorprodukt E1 (cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)En:
8
0 0
Lemma 2.10 Laten G;g enG;g tweetensorprodukten vanE1;:::;En zijn.
0
Dan bestaat er een unieke lineaireafbeelding h : G ! G zo dat het volgende
diagram commuteert:
0
G
%
E1 (cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)En " : (6)
&
G
De afbeelding h is een lineair isomor(cid:12)sme.
Bewijs. Hetbestaanendeuniciteitvanhvolgenuitdeuniverseleeigenschap
0 0 0
van G;g (er geldt dat h = g(cid:22)). Uit de universele eigenschap van G;g volgt
0 0
verder het bestaan van een unieke lineaire afbeelding h : G ! G zo dat het
volgende diagram commuteert:
G
%
E1 (cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)En " : (7)
& 0
G
Uit de commutativiteit van de diagrammen (6) en (7) blijkt dat het vol-
gende diagram commutatiefis als voor de verticale afbeelding de compositie
0
h(cid:14)h genomen wordt; anderzijds is het ook commutatief als de identiteit IG
genomen wordt:
G
%
E1 (cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)En " :
&
G
0
Hetuniciteitsgedeeltevandeuniverseleeigenschapleertonsnudath(cid:14)h = IG:
0
Opsoortgelijkewijzeconcluderenwedath(cid:14)h = IG0:Dushiseenisomor(cid:12)sme.
(cid:3)
We merken op dat De(cid:12)nitie 2.8 en Lemma 2.10 ook geldig zijn in het
geval de ruimtenE1;:::;En niet noodzakelijkerwijseindig dimensionaalzijn.
n
In dat geval is L (E1;:::;En;k) echter geen tensorprodukt meer. Daarom
hebben we voor de bovenstaande de(cid:12)nitie door middel van de universele
eigenschap gekozen. Het aantonen van het bestaan van een tensorprodukt
is nu een probleem dat op een andere manier opgelost kan worden. Het
bovenstaande lemma garandeert de uniciteit op lineaire isomor(cid:12)e na.
Deze aanpak werkt ook in de algemenere context van het tensorprodukt
van modulen E1;:::;En over een commutatieve ring met eenheid. Voor
details verwijzen we de lezer naar [Lang1, Ch. XVI].
We eindigen deze paragraaf met een nuttig lemma.
9
Lemma 2.11 Zij E1;:::;En een stel eindig dimensionale lineaire ruimten
over k: Dan is er een natuurlijk isomor(cid:12)sme
(cid:3) (cid:3) (cid:3)
(E1 (cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)En) ' E1 (cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)En:
(cid:3) n
Bewijs. Ergeldtdat(E1(cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)En) = Hom(E1(cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)En;k) ' L (E1;:::;En;k);
zie Opmerking 2.6. Wegens Lemma 1.6 is de laatste ruimte op natuurlijke
n (cid:3)(cid:3) (cid:3)(cid:3) (cid:3) (cid:3)
wijze isomorf met L (E ;:::;E ;k) = E (cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)E : (cid:3)
1 n 1 n
3 Tensoren en componenten
In het vervolg veronderstellen we dat E een eindig dimensionale lineaire
(cid:3)
ruimte over k is, met basis e1;:::;ed: De duale basis van E noteren we met
1 d
e ;:::;e : Is x 2 E; dan schrijven we
d
X
i
x = x ei;
i=1
i i (cid:3)
de coe(cid:14)ci(cid:127)enten hierin worden gegeven door x = e (x): Is (cid:24) 2 E ; dan schri-
jven we
d
X
i
(cid:24) = (cid:24)ie ;
i=1
de co(cid:127)e(cid:14)ci(cid:127)enten worden nu gegeven door (cid:24)i = (cid:24)(ei):
We behandelen nu een nuttig voorbeeld van een tensorprodukt. Zij F
een tweede eindig dimensionale lineaire ruimte over k; met basis f1;:::;fp:
We gebruikende notatie Hom(E;F)voor de ruimtevan lineaireafbeeldingen
E ! F:
(cid:3)
Lemma 3.1 Er is een unieke lineaire afbeelding ' : F (cid:10)E ! Hom(E;F)
(cid:3)
waarbij voor (cid:24) 2 E ;y 2 F het element'(y(cid:10)(cid:24)) 2 Hom(E;F)gegeven wordt
door
'(y (cid:10)(cid:24)) : E ! F; x 7! (cid:24)(x)y:
De lineaire afbeelding ' is een isomor(cid:12)sme.
2 (cid:3)
Bewijs. Zij f 2 L (F;E ;Hom(E;F)) gede(cid:12)nieerd door f(y;(cid:24)) : x 7!
(cid:3)
(cid:24)(x)y;E ! F voor (cid:24) 2 E ;y 2 F: Wegens de universele eigenschap van het
10