Table Of Content18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Modélisation du couplage chimico-mécanique
pour calculer une structure en béton atteinte de réaction sulfatique interne
Nizar BAGHDADI1, Jean-François SEIGNOL2 & François TOUTLEMONDE1
1 LCPC, 58, boulevard Lefebvre 75732 Paris Cedex 15
2 LRPC de Clermont-Ferrand, 8-10 rue Bernard Palissy, 63017 Clermont-Ferrand Cedex 2
email de l’auteur à contacter :[email protected]
Résumé :
La réaction sulfatique interne (RSI) correspond à la formation tardive d’ettringite qui provoque un gonflement du
béton, incompatible avec la rigidité du matériau et sa faible capacité en extension, ce qui engendre des fissurations
dans la structure.
Dans cet article on présente une modélisation chimico-mécanique, formulée à l’échelle macroscopique, qui permet
de prédire le comportement du béton dégradé par la RSI. Ce modèle est basé sur une approche thermodynamique
décrivant la formation de l’ettringite à l’intérieur d’un milieu poreux. Il tient compte de l’histoire thermique au
jeune âge du béton et des conditions environnementales (température et humidité). Le modèle est également écrit
pour tenir compte de l’effet des contraintes sur l’anisotropie du gonflement, qui constitue un phénomène important à
l’échelle des ouvrages atteints.
Astract :
Delayed ettringite formation (DEF) is a pathology which affects especially concrete exposed to heat treatment at
early age. It induces concrete expansion incompatible with the material stiffness and low tensile capacity which
generates cracking within structures.
The aim of this work is to present a model formulated on a macroscopic level of observation, to predict the swelling
evolution of DEF affected concrete. The proposed modelling is based on thermodynamic theory describing the
formation of ettringite in a porous media. It takes into account the early age temperature in concrete and
environmental conditions (temperature and moisture). This modelling is also able to represent the influence of
compressive stresses on DEF induced swelling anisotropy, which is a significant issue at structural scale.
Mots-clefs : Réaction sulfatique interne ; Modélisation ; Couplage chimico-mécanique
1 Introduction
La réaction sulfatique interne (RSI) est une pathologie qui affecte certains bétons hydrauliques. Elle est
due à la formation tardive d’ettringite qui provoque un gonflement du matériau, ce qui engendre des
fissurations multidirectionnelles, des contraintes et des déformations incompatibles avec le
fonctionnement d’ouvrage: Divet (2001).
Ce phénomène, découvert pour la première fois sur des éléments préfabriqués, Heinz et al. (1989), affecte
aussi les parties massives de structures du génie civil.
La modélisation doit permettre de répondre à plusieurs questions cruciales.
Quel est le degré d’avancement de la réaction dans le béton ?
Comment le comportement mécanique de la structure va-t-il évoluer ?
Comment prévoir l’effet d’une éventuelle réparation sur la structure ?
Aussi est-il primordial de disposer d’un outil d’expertise numérique pour l’évaluation de l’état des
ouvrages atteints. Cet outil doit prendre en compte les paramètres les plus importants qui gouvernent la
cinétique de la réaction et le comportement mécanique de la structure, tout en restant suffisamment simple
pour être utilisable par le gestionnaire d’un parc d’ouvrages d’art qui n’a accès qu’à un nombre restreint
de données sur le matériau.
Le présent article décrit les choix et les hypothèses adoptés dans le cadre du travail de thèse de
N. Baghdadi au LCPC pour mettre au point un tel outil. La programmation de ce modèle dans le code
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CESAR-LCPC, Humbert et al. (2005), doit permettre d’enrichir les travaux de Li et al. (2004) et de
constituer un outil d’expertise plus complet pour les structures atteintes de réactions de gonflement
interne, en support de la méthodologie développée au sein du réseau des Laboratoires des Ponts et
Chaussées : LPC (2003).
2 Modélisation de la cinétique du gonflement
Afin de modéliser la cinétique d’avancement de la réaction en lien avec sa conséquence mécanique on a
recours à des courbes de déformation en fonction du temps issues d’essais d’expansion libre réalisés en
laboratoire dans des conditions environnementales standardisées.
Le modèle proposé par Brunetaud (2006) est une évolution du modèle de Larive (1998). En effet selon les
observations de bétons atteints de RSI, l’expansion ne tend pas vers une valeur asymptotique pour un
temps très grand, mais elle continue de croitre à une vitesse qui devient constante. Ce qui est décrit par
l’équation suivante:
(cid:13)
(cid:11)(cid:12)(cid:14)(cid:15)(cid:16) (cid:26)
1(cid:9)(cid:10) (cid:23)(cid:24)(cid:25)
(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:1)(cid:7) (cid:13) (cid:14)(cid:19) (cid:21)1(cid:17)(cid:22) (cid:26) (cid:28) (cid:3)1(cid:5)
(cid:11)(cid:12)(cid:14)(cid:15)(cid:18)(cid:14)(cid:15)(cid:16) (cid:23)(cid:24)(cid:27) (cid:17)(cid:4)
1(cid:17)(cid:10)
• α permet de jouer sur la proportion relative de la fraction sigmoïde et de la fraction
asymptotiquement linéaire de la courbe d’expansion.
• β permet de moduler l’amortissement de la fraction linéaire de la courbe. Par défaut β = 3 permet
en générale d’obtenir une bonne simulation des courbes d’expansion.
Les paramètrese0 , t 0 et t 0 sont obtenus par une méthode d’optimisation au sens des moindres carrés.
¥ c l
On retiendra ce modèle puisqu’il permet un meilleur ajustement du modèle sur les résultats
expérimentaux, en particulier en fin de réaction, comme le montre la figure 1.
1.20
1.00
%) 0.80
n ( Essais (Brunetaud 2006)
o
nsi 0.60 Modèle Brunetaud
a
p
Ex 0.40 Modèle Larive
0.20
0.00
0 200 400 600 800 1000
Temps (j)
FIG. 1 - Comparaison des deux modèles de cinétique d’expansion
3 Lois de couplage
Comme le montrent de nombreux résultats : Brunetaud (2006), Pavoine (2003), Petrov (2003)… plusieurs
facteurs physico-mécaniques viennent influencer l’amplitude et la cinétique des gonflements induits par la
RSI. Il est donc primordial de concevoir des lois de couplage qui permettent de faire la liaison entre les
paramètres des lois d’expansion et les conditions environnementales auxquelles la structure est soumise,
lors de sa construction ou bien pendant sa durée de vie.
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3.1 Couplage entre potentiel de gonflement et histoire thermique au jeune âge
D’après Famy (1999), Odler et Chen (1995), il est admis que l’une des conditions nécessaires pour qu’un
matériau cimentaire développe une expansion causée par la RSI est qu’il soit porté à plus de 65°C pendant
son hydratation.
Les expérimentations faites par Lawrence (1995), Petrov (2003), Fu et al. (1994) ont montré que plus la
température de cure est élevée et plus la durée à haute température est grande, plus l’amplitude
d’expansion finale est grande. Cette constatation semble valable pour des températures d’échauffement
comprises entre 65°C et 100°C et un temps de cure inférieur à 6 jours. Dans ces conditions nous postulons
une modulation du potentiel de gonflement par une loi de type Arrhenius avec effet de seuil. La loi
proposée est de la forme suivante :
0 ! "(cid:3)(cid:4)(cid:5)#"(cid:26)
% (
(cid:29)(cid:7) (cid:6) (cid:30) (cid:12)(cid:21)&')(cid:3)(cid:13)(cid:5)(cid:12))*+(cid:28) / (cid:3)2(cid:5)
(cid:22)$ (cid:10) -(cid:4) ! "(cid:3)(cid:4)(cid:5)."(cid:26)
Avec : )(cid:3)(cid:13)(cid:5),)*
• e amplitude maximale de gonflement du béton,
¥
• α amplitude de gonflement qui dépend de la composition du béton,
• E énergie d’activation spécifique de la RSI,
• T une température seuil à partir de laquelle on prend en compte la RSI,
0
• R constante des gaz parfaits
Cette loi serait cohérente avec la thermo-activation de la déstabilisation d’ettringite primaire que suggère
Pourchez et al. (2006).
Ainsi à chaque point de la structure on associera un potentiel d’expansion calculé à partir de l’histoire
thermique dans la phase initiale d’échauffement.
Les valeurs de α et E sont des constantes à caler par des essais d’expansion libre sur des éprouvettes. Par
exemple, avec les mesures de la figure III-6 de la référence Brunetaud (2006) on obtient α=0,1, E=445
J.mol-1 et =323 K (50°C)
"(cid:26)
3.2 Modélisation de l’influence de l’apport en eau
Il ressort de l’étude bibliographique (Divet (2001)) et du retour d’expérience sur ouvrages que l’apport en
eau est un élément essentiel pour la RSI, car l’eau est à la fois le siège des réactions chimiques, le milieu
de transport des espèces ioniques et elle fait partie des réactifs.
Les travaux faits sur l’effet de l’humidité sur la RSI sont peu nombreux. On peut citer ceux de Heinz et
Ludwig (1987) qui ont montré qu’aucune expansion n’est observée en dessous de 90 % d’humidité
relative même après 780 jours. Les expansions finales sont plus élevées et les temps d’induction plus
courts lorsque les échantillons sont conservés dans l’eau plutôt qu’à 100 % d’humidité relative.
En l’absence de résultats expérimentaux suffisamment nombreux pour élaborer une fonction de couplage
propre à la RSI, nous adoptons des fonctions de couplage inspirées de celles présentées par Poyet (2003)
pour décrire l’influence de la teneur en eau sur la cinétique et l’amplitude du gonflement induit par la
réaction alcali-silice, d’autant que les deux pathologies présentent de nombreuses similitudes. Ainsi on
pondère les paramètres ,t 0 et t 0 de la loi d’avancement de Brunetaud par des fonctions α, β et γ qui
c l
dépendent du degré de s (cid:1)a(cid:7)turation. Ces fonctions sont de la forme suivante :
4 (cid:18) 67 9 (cid:18) 6; = (cid:18) 6>
312(cid:9)/125/ 312(cid:9)/12 5/ 312(cid:9)/125/
• (cid:22)(cid:3)1re2p(cid:5)ré(cid:6)se(cid:21)nte1 la(cid:9) p1a2r4(cid:26)tie (cid:28)posit i v(cid:23)e(cid:3) 1d2e(cid:5) X(cid:6) 8 1(cid:9)129(cid:26) : <(cid:3)12(cid:5)(cid:6) (cid:21) 1(cid:9)12=(cid:26) (cid:28) (cid:3)3(cid:5)
(cid:18)
3/@5/
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• sont les seuils de degré de saturation en deçà desquels les fonctions α, β et γ
de4vien9nent n=ulles.
12, 12 (cid:10)(cid:4) 12
• ont des paramètres réels définissant la non linéarité des fonctions α, β et γ.
B4, B9 (cid:10)(cid:4) B=
3.3 Influence de la température
Les quelques résultats expérimentaux disponibles ne mettent pas en évidence une influence franche de la
température sur la RSI. On peut supposer qu’elle a deux effets antagonistes : d’une part elle favorise la
pathologie par thermo-activation, d’autre part, elle la contrarie puisque la solubilité de l’ettringite
augmente avec la température, Petrov (2003), Pavoine (2003).
3.4 Modélisation de l’effet des contraintes sur l’anisotropie du gonflement
Les expériences sur béton atteint d’alcali-réaction indiquent que les réactions de gonflement dans le béton
peuvent être fortement anisotropes, Multon et Toutlemonde (2005). Cette anisotropie est due à des
directions privilégiées de formation du produit de réaction expansif. Ces directions dépendent du sens du
coulage du béton et de l’état de contrainte auquel la structure est soumise. Le modèle qu’on propose
consiste à pondérer la déformation chimique volumique par des fonctions qui tiennent compte du
déviateur de contrainte dans la structure.
La déformation chimique sous contraintes peut alors s’écrire :
e SC =e L b (4)
cI c vol
cos2a cosb2
Avec b = cos2a sinb2 (5)
sin2a
e L : expansion volumique libre. e S.C. : expansion chimique sous contrainte.
c vol c
Cette écriture permet notamment d’identifier et le coefficient d’anisotropie mis en évidence par
Multon et Toutlemonde (2005) dans des gonflemDents sous contrainte en fonction du déviateur des
2(cid:4)C (cid:22)
contraintes.
4 Couplage chimico-mécanique
La démarche envisagée dans la modélisation du couplage chimico-mécanique est semblable à celle
développée par Li et al. (2004) pour la modélisation de la réaction alcali-silice. La loi de comportement du
béton atteint de réaction de gonflement interne est obtenue par la superposition des déformations chimique
et mécanique. Dans le cas d’un comportement chémo-élastique, on a :
2 (cid:27)
E (cid:6) 'F(cid:9) G+ (cid:4)H(cid:1)(cid:17)2 G(cid:1)(cid:9)3F.(cid:1)(cid:2)J(cid:3)E(cid:5) (cid:3)6(cid:5)
On peut étendre le modèle à un comport3ement élasto-plastique de béton en posant :
L M (cid:2)
(cid:1) (cid:6)(cid:1) (cid:17)(cid:1) (cid:17)(cid:1) (cid:3)7(cid:5)
Avec : Déformation élastique, Déformation plastique, Déformation chimique
L M (cid:2)
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
5 Organisation des calculs
Afin de déterminer le potentiel de gonflement en chaque point de la structure, on calcule tout d’abord son
histoire thermique au jeune âge, que l’on convertit en un potentiel selon l’équation (2). Puis, à partir des
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conditions environnementales appliquées à la structure, on détermine les champs de température et
d’humidité tout au long de la vie de l’ouvrage
Le degré d’avancement de la réaction est calculé par le biais de la loi d’avancement (1) et les lois de
couplage (équation (3)), ce qui permet d’en déduire la déformation chimique imposée en l’absence de
contrainte à chaque instant. L’influence de l’état de contrainte peut alors être prise en compte de façon
implicite ou explicite (équations (4) et (5)). L’organigramme de la figure 2 présente le déroulement des
calculs.
Calcul thermique Calcul hydrique
Calcul thermique
(Diffusion non linéaire) (Diffusion non linéaire)
au jeune âge
Potentiel de Connaître en chaque point de la structure l’état
Eq.2 gonflement thermique et hydrique
Couplage potentiel de gonflement et état
Eq.3
thermique et hydrique
Eq.1 Calcul de l’avancement
Incrément de déformation chimique
Eq.1
imposée volumique
Calcul d’anisotropie induite
Explicite ou implicite
Incrément de déformation chimique
Eq.5 Eq.4
imposée anisotrope
Calcul mécanique Eq.6-7
Contrainte, déformation
FIG. 2 – Organisation des calculs
6 Conclusion
L’objectif de ce travail est de construire un modèle permettant de recalculer des structures dégradées par
la réaction sulfatique interne. Ce modèle se place dans la continuité des travaux de modélisation d’autres
réactions de gonflement comme la réaction alcali-silice. Cette modélisation inclut deux aspect
fondamentaux : 1°) la cinétique de formation et d’expansion de l’ettringite ; 2°) la réponse mécanique du
matériau à cette expansion interne d’origine chimique. Des lois de couplage inspirées des résultats
d’expériences sur bétons atteints de RSI ou RAS sont proposées ; elles sont nécessaires pour relier les
expansions observées en conditions standards, identifiées sur le matériau étudié pour rendre compte de son
« moteur chimique » particulier et les déformations d’origine chimique dans d’autres conditions.
L’ajustement de ces lois nécessite des données expérimentales qui ne sont pas toutes actuellement
disponibles dans la littérature.
Ce modèle est destiné à être implémenté dans le logiciel de calcul CESAR-LCPC. Il sera calé sur des
résultats d’expérience en cours de réalisation au LCPC et sera validé d’une part sur des poutres fabriquées
et instrumentées au LCPC et d’autre part sur des ouvrages réels déjà atteints de RSI.
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Références
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