Table Of ContentA propos des objets caract(cid:19)eris(cid:19)es par une
propri(cid:19)et(cid:19)e universelle
Antoine Ducros
Octobre 2003
Introduction
Lebutdecetexteestded(cid:19)etaillerlamani(cid:18)ered’utiliserlesobjetscaract(cid:19)eris(cid:19)es
par ce que l’on appelle une propri(cid:19)et(cid:19)e universelle; vous en avez rencontr(cid:19)e sans
doute essentiellement en alg(cid:18)ebre(quotients divers, alg(cid:18)ebres de polyno^mes...) et
en topologie (compl(cid:19)et(cid:19)e d’un espace m(cid:19)etrique, espace topologique quotient...).
Pour bien les comprendre, et (cid:19)eviter de se laisser noyer dans la technique et le
formalisme, il convient de bien distinguer trois types de questions :
(cid:15) l’intuition qu’il faut se faire de ces objets : c’est (cid:19)evidemment absolument
essentiel pour arriver(cid:18)a travailler avec;
(cid:15) laconstructiondesobjets,souventtechniqueetlaborieusemaissansvraie
diÆcult(cid:19)e;
(cid:15) l’utilisation pr(cid:19)ecise de la propri(cid:19)et(cid:19)euniverselle qui les caract(cid:19)erise.
Apr(cid:18)es avoir dit quelques mots sur chacun de ces points on reviendra sur les
exemples mentionn(cid:19)es ci-dessus.
L’aspect intuitif
On est amen(cid:19)e, grosso modo, (cid:18)a introduire une propri(cid:19)et(cid:19)euniverselle (cid:18)a chaque
foisquel’onsouhaiteforcerunobjet(cid:18)asatisfairecertainescontraintes,etseule-
mentces contraintes,sansenimposerd’autres:oncherchedonc(cid:18)aconstruire
l’objet qui, parmi tous ceux satisfaisant les contraintes en question, est le plus
g(cid:19)en(cid:19)eral,celuipourlequelonn’arajout(cid:19)eaucuneautresp(cid:19)eci(cid:12)cation.C’estlefait,
exprim(cid:19)ena(cid:127)(cid:16)vement,d’^etre"leplusg(cid:19)en(cid:19)eral",quel’ontraduitrigoureusement
par la satisfaction d’une propri(cid:19)et(cid:19)euniverselle. Donnons quelques exemples :
Le quotient d’un anneau A par un id(cid:19)eal I. Il s’agit essentiellement de
construire un anneau en partant de A, puis en d(cid:19)ecr(cid:19)etant que les (cid:19)el(cid:19)ements de I
sontnulsetenn’imposantriendeplusquecequid(cid:19)ecouledecettenullit(cid:19)eetdes
propri(cid:19)et(cid:19)esg(cid:19)en(cid:19)eralesdes anneaux.
1
L’alg(cid:18)ebre de polyn^omes (cid:18)a n ind(cid:19)etermin(cid:19)ees A[X1;:::;Xn]. Elle doit
^etre vue comme la A-alg(cid:18)ebre la plus g(cid:19)en(cid:19)erale engendr(cid:19)ee par n (cid:19)el(cid:19)ements.
La construction de C (cid:18)a partir de R. Elle consiste math(cid:19)ematiquement (cid:18)a
2
consid(cid:19)ererR[X]=()X +1, mais intuitivement elle vise (cid:18)a adjoindre de force a(cid:18) R
un (cid:19)el(cid:19)ement que l’on oblige (cid:18)a avoir un carr(cid:19)e(cid:19)egal a(cid:18) -1 (et l’on se d(cid:19)ebrouille avec
ces contraintes et elles seules).
Les quotients d’anneaux de polyno^mes.Plus g(cid:19)en(cid:19)eralementsi A est un
anneau et (Pi) une famille de polyn^omes en n ind(cid:19)etermin(cid:19)ees X1;:::;Xn sur A
alorsA[X1;:::;Xn]=(Pi)doit^etrevucommel’alg(cid:18)ebrelaplusg(cid:19)en(cid:19)eraleengendr(cid:19)ee
par n (cid:19)el(cid:19)ements en lesquels s’annulent les Pi.
Lequotientd’unespacetopologiqueparunerelationd’(cid:19)equivalence.
On cherche intuitivement (cid:18)a forcer tout point (cid:18)a co(cid:127)(cid:16)ncider avec tous les autres
points de sa classe d’(cid:19)equivalence, et seulement avec ceux-ci.
La construction
Lorsque vous pensez (cid:18)a un objet d(cid:19)e(cid:12)ni par une propri(cid:19)et(cid:19)e universelle il vaut
mieuxsefondersurladescriptionintuitivedonn(cid:19)eeci-dessusquesurlaconstruc-
tion elle-m^eme. Celle-ci est cependant utile pour deux raisons :
-ellepermettoutd’aborddes’assurerdel’existencedel’objetsatisfaisant
la propri(cid:19)et(cid:19)e universelle en question, existence qui n’est pas (cid:19)evidente a priori
(reportez vous ainsi au paragrapheintitul(cid:19)e contre-exemple (cid:18)a la (cid:12)n de ce texte).
Pourlesobjetsquevousavezrencontr(cid:19)esjusquel(cid:18)al’existenceneposepasder(cid:19)eels
probl(cid:18)emes, et la construction, quoique technique, est en g(cid:19)en(cid:19)eral (cid:19)el(cid:19)ementaire :
on se contente le plus souvent de faire "ce qu’il faut" pour que la propri(cid:19)et(cid:19)e
souhait(cid:19)eesoit v(cid:19)eri(cid:12)(cid:19)ee.Mais il y a en math(cid:19)ematiques des th(cid:19)eor(cid:18)emesd’existence
d’objets satisfaisant une propri(cid:19)et(cid:19)e universelle qui sont extr^emement diÆciles (cid:18)a
d(cid:19)emontrer.
-elle permet ensuite d’(cid:19)etablir certains faits importants concernant l’objet
construitqui ne d(cid:19)ecoulent pas directement de la propri(cid:19)et(cid:19)e universelle.
Par exemple le fait que le morphisme quotient A ! A=I soit surjectif et de
noyau I se d(cid:19)emontre (cid:18)a l’aide de la d(cid:19)e(cid:12)nition pr(cid:19)ecise du quotient comme en-
semble des classes d’(cid:19)equivalence. De m^eme le fait que dans A[X1;:::;Xn] tout
i1 in
(cid:19)el(cid:19)ement ait une unique (cid:19)ecriture sous la forme Pai1;:::;inX1 :::Xn d(cid:19)ecoule de
la construction de A[X1;:::;Xn].
La propri(cid:19)et(cid:19)e universelle elle-m^eme
Ellesepr(cid:19)esentetoujourssouslam^emeforme:sil’onappelleB l’objetsatis-
faisant la propri(cid:19)et(cid:19)e universelle celle-ci consiste a(cid:18) fournir une bijection explicite
2
pour tout objet C de m^eme nature entre l’ensemble des morphismes de B vers
C (ou parfois de C vers B) et un certain autre ensemble.
Ainsilapropri(cid:19)et(cid:19)euniverselleduquotientd’un anneauAparun id(cid:19)ealI peut
^etre (cid:19)enonc(cid:19)ee comme suit : si p d(cid:19)esigne le morphisme quotient A ! A=I et
si C est un anneau alors g 7! gÆp (cid:19)etablit une bijection entre l’ensemble des
morphismes d’anneaux de A=I vers C et l’ensemble des morphismes d’anneaux
de A vers C s’annulant sur I.
Remarque. On peut se demander ce qui se passe si l’on remplace I par une
partie quelconque de A qui ne soit pas forc(cid:19)ement un id(cid:19)eal. Plus pr(cid:19)ecis(cid:19)ement si
P est un sous-ensembke de A on peut chercher (cid:18)a construire un objet B et un
morphisme p : A ! B satisfaisant la propri(cid:19)et(cid:19)e suivante : si C est un anneau
alors g7!gÆp (cid:19)etablit une bijection entre l’ensemble des morphismes d’anneaux
de B vers C et l’ensemble des morphismes d’anneaux de A vers C s’annulant
sur P. Un tel couple (B;p) existe e(cid:11)ectivement : il suÆt de prendre pour B le
quotient A=(P) ou(cid:18) (P) est l’id(cid:19)eal engendr(cid:19)e par P. La (cid:13)(cid:18)eche p:A!A=(P) est
surjective et de noyau (P).
En termes imag(cid:19)es si l’on force les (cid:19)el(cid:19)ements de P (cid:18)a ^etre nuls alors tous ceux
de (P) le deviennent (cid:19)egalement.
Remarque.Bienquel’onviennedel’(cid:19)etendre(cid:18)atouslessous-ensemblesdeAla
notiondequotientparunid(cid:19)ealrestetr(cid:18)esutile:ene(cid:11)etm^emesiP estunepartie
quelconque de A l’objet satisfaisant la propri(cid:19)et(cid:19)e universelle correspondante est
construit comme un quotient par un id(cid:19)eal.
Utilisation de la propri(cid:19)et(cid:19)e universelle
Vous devez utiliser syst(cid:19)ematiquementles propri(cid:19)et(cid:19)esuniverselles pour d(cid:19)e(cid:12)nir
des morphismes depuis (ou parfois vers) les objets qu’elles caract(cid:19)erisent. Elles
doivent ^etre connues par c(cid:27)ur et s’en servir doit devenir un automa-
tisme.Parexemple(cid:18)achaquefoisquevousdevezconstruireunmorphismed’un
quotient A=I vers un anneau C vous devez d’abord avoir le r(cid:19)e(cid:13)exe de dire :
"cela revient (cid:18)a construire un morphisme de A vers C s’annulant sur I". C’est
seulement ensuite que vous devez commencer (cid:18)a r(cid:19)e(cid:13)(cid:19)echir.
L’unicit(cid:19)e (cid:18)a unique isomorphisme pr(cid:18)es
Le cas g(cid:19)en(cid:19)eral
La propri(cid:19)et(cid:19)e universelle permet (cid:19)egalement de montrer que l’objet construit
estunique(cid:18)a uniqueisomorphismepr(cid:18)es(l’isomorphismeenquestiondevant
^etre "compatible (cid:18)a la propri(cid:19)et(cid:19)e universelle" dans un sens que le lecteur est
invit(cid:19)e(cid:18)a pr(cid:19)eciserdans chaque cas). Le proc(cid:19)ed(cid:19)eest toujours le m^eme; r(cid:19)esumons-
0
le grossi(cid:18)erement : on se donne deux objets B et B satisfaisant tous deux une
certainepropri(cid:19)et(cid:19)euniverselle.Le fait que B la satisfasseassurel’existence d’un
0
unique morphisme f de B vers B compatible a(cid:18) la propri(cid:19)et(cid:19)e universelle, le fait
3
0 0
que B la satisfasse assure l’existence d’un unique morphisme g de B vers B
compatible (cid:18)a la propri(cid:19)et(cid:19)e universelle. L’application gf est un morphisme de B
danslui-m^eme,compatible(cid:18)alapropri(cid:19)et(cid:19)euniverselle,etcommec’estaussilecas
del’identit(cid:19)elapartie"unicit(cid:19)e"(ou"injection")danslad(cid:19)e(cid:12)nitiondelapropri(cid:19)et(cid:19)e
universelle permet de conclure que gf est l’identit(cid:19)e; on montre de m^eme que
fg est l’identit(cid:19)e. En cons(cid:19)equence f est un isomorphisme, et on a vu qu’il (cid:19)etait
unique.
Un exemple
Voyonsplus pr(cid:19)ecis(cid:19)ementcomment cela fonctionne, parexemple avecun an-
neau de polyn^omes (cid:18)a une variable. On se donne donc un anneau A, une A-
alg(cid:18)ebreB munie d’un(cid:19)el(cid:19)ementX telle que pourtoute A-alg(cid:18)ebreC l’application
f 7!f(X)soitunebijectionentreHomA(B;C)etC;dem^emeonsedonneune
0
A-alg(cid:18)ebreB munie d’un(cid:19)el(cid:19)ementY telle que pour toute A-alg(cid:18)ebreC l’applica-
0
tionf 7!f(Y)soitunebijectionentreHomA(B ;C)etC.Onveutmontrerqu’il
0
existe un unique isomorphisme de A-alg(cid:18)ebresde B vers B qui envoie X sur Y
(c’esticilesens(cid:18)adonner(cid:18)al’expression"compatiblea(cid:18)lapropri(cid:19)et(cid:19)euniverselle").
La propri(cid:19)et(cid:19)e universelle de B entra^(cid:16)ne l’existence d’un unique morphisme de
0 0
A-alg(cid:18)ebres f de B vers B qui envoie X sur Y ; de m^eme celle de B entra^(cid:16)ne
0
l’existenced’ununiquemorphismedeA-alg(cid:18)ebresgdeB versBquienvoieY sur
X. On en d(cid:19)eduit que gf est un morphisme de A-alg(cid:18)ebres de B dans lui-m^eme
qui envoie X sur X; comme c’est le cas de l’identit(cid:19)e la partie "injection" de la
propri(cid:19)et(cid:19)e universelle de B assure que gf est l’identit(cid:19)e; on le montre de m^eme
pour fg. Les applications f et g sont donc toutes deux des isomorphismes, et
"sont uniques".
A titre d’exercice le lecteur est invit(cid:19)e (cid:18)a (cid:19)enoncer puis (cid:18)a prouver l’unicit(cid:19)e (cid:18)a
unique isomorphisme pr(cid:18)es du quotient d’un anneau par un id(cid:19)eal.
Exemples d(cid:19)etaill(cid:19)es
Dans ce qui suit on se propose de donner, pour toute une s(cid:19)erie d’objets
d(cid:19)e(cid:12)nis par des propri(cid:19)et(cid:19)esuniverselles, les renseignements suivants :
-l’intuition qu’il convient de se faire de cet objet.
-l’(cid:19)enonc(cid:19)epr(cid:19)ecis de sa propri(cid:19)et(cid:19)euniverselle.
-(cid:19)eventuellement certains r(cid:19)esultats int(cid:19)eressants que l’on ne d(cid:19)eduit pas direc-
tement de la propri(cid:19)et(cid:19)euniverselle, et que l’on(cid:19)etablit gr^ace(cid:18)a la construction de
l’objet en question.
-l’(cid:19)enonc(cid:19)e de la propri(cid:19)et(cid:19)euniverselle comprend toujours la description d’une
bijection : on donnera explicitement la bijection r(cid:19)eciproque.
4
Le quotient d’un anneau A par l’id(cid:19)eal (P) engendr(cid:19)e par une
partie P de A.
Description intuitive
On fabrique (cid:18)a partir de A un anneau dans lequel tous les (cid:19)el(cid:19)ements de P
sontd(cid:19)ecr(cid:19)et(cid:19)esnuls; onnerajouteaucuneautrecontraintequecellesli(cid:19)ees(cid:18)acette
nullit(cid:19)e et aux propri(cid:19)et(cid:19)esg(cid:19)en(cid:19)eralesdes anneaux.
Enonc(cid:19)e de la propri(cid:19)et(cid:19)e universelle
Le quotient A=(P) est un anneau muni d’un morphisme p : A ! A=(P)
tel que pour tout anneau C l’application g 7! g Æ p (cid:19)etablisse une bijection
entrel’ensemblesdes morphismes d’anneauxde A=(P)versC etl’ensembledes
morphismes d’anneaux de A vers C s’annulant sur P.
Propri(cid:19)et(cid:19)es obtenues gr^ace (cid:18)a la construction de A=(P)
La (cid:13)(cid:18)eche p : A ! A=(P) est surjective de noyau (P). On en d(cid:19)eduit que
si A ! B est un morphisme s’annulant sur P alors le morphisme A=(P) ! B
correspondantam^emeimagequeA!B,etqu’ilestinjectifsietseulementsile
noyaudeA!B estexactement(P).Enparticuliertoutmorphismed’anneaux
’:A!B induit un isomorphisme A=Ker’ et Im’.
R(cid:19)eciproque de la bijection
Soit f : A ! C un morphisme d’anneaux s’annulant sur P. Soit x ap-
partenant (cid:18)a A=(P). Comme p est surjectif il existe y appartenant (cid:18)a A tel que
p(y)=x;siz estunautre(cid:19)el(cid:19)ementdeAtelquep(z)=xalorsp(y(cid:0)z)=0donc
y(cid:0)z appartient (cid:18)a (P) d’ou(cid:18) il d(cid:19)ecoule que f(y)= f(z); la valeur commune de
f sur tous les ant(cid:19)ec(cid:19)edents de x est not(cid:19)ee g(x). L’application g ainsi construite
est telle que gÆp=f (et c’est la seule).
L’alg(cid:18)ebre de polyno^mes A[X1;:::;Xn]
Description intuitive
C’est la A-alg(cid:18)ebrela plus g(cid:19)en(cid:19)eraleengendr(cid:19)ee par n(cid:19)el(cid:19)ements.
Enonc(cid:19)e de la propri(cid:19)et(cid:19)e universelle
Pour toute A-alg(cid:18)ebre B l’application f 7! (f(X1);:::;f(Xn)) (cid:19)etablit une
bijection entre l’ensemble des morphismes de A-alg(cid:18)ebres de A[X1;:::;Xn] vers
n
B et l’ensemble B .
5
Propri(cid:19)et(cid:19)es obtenues gr^ace (cid:18)a la construction de A[X1;:::;Xn]
Tout (cid:19)el(cid:19)ement de A[X1;:::;Xn] a une unique(cid:19)ecriture sous la forme
i1 in
Xai1;:::;inX1 :::Xn
avec les ai1;:::;in dans A.
R(cid:19)eciproque de la bijection
n
Soit(b1;:::;bn)un(cid:19)el(cid:19)ementdeB .L’uniquemorphismef deA[X1;:::;Xn]
i1 in
vers B quiiv1aut biinen Xi est donn(cid:19)e par la formule f(Pai1;:::;inX1 :::Xn ) =
Pai1;:::;inb1 :::bn .
Remarque. Le morphisme f ci-dessus est souvent not(cid:19)eP 7!P(b1;:::;bn) et
est appel(cid:19)e(cid:19)evaluation de P en (b1;:::;bn).
Un quotient A[X1;:::;Xn]=(Pi) d’une alg(cid:18)ebre de polyn^omes
(combinaison des deux cas pr(cid:19)ec(cid:19)edents)
Description intuitive
C’est la A-alg(cid:18)ebrela plus g(cid:19)en(cid:19)eraleengendr(cid:19)ee par n (cid:19)el(cid:19)ements en lesquels les
Pi s’annulent.
Enonc(cid:19)e de la propri(cid:19)et(cid:19)e universelle
Pour toute A-alg(cid:18)ebre B l’application f 7! (f(X1);:::;f(Xn)) (cid:19)etablit une
bijection entrel’ensemble des morphismesdeA-alg(cid:18)ebresde A[X1;:::;Xn]=(Pi)
n
versBetlesous-ensembledeB form(cid:19)edesn-upletsenlesquelslesPi s’annulent.
Propri(cid:19)et(cid:19)es obtenues gr^ace (cid:18)a la construction de A[X1;:::;Xn]=(Pi)
Tout (cid:19)el(cid:19)ement de A[X1;:::;Xn]=(Pi) a une (cid:19)ecriture sous la forme
i1 in
Xai1;:::;inX1 :::Xn
avec les ai1;:::;in dans A; deux telles (cid:19)ecritures
i1 in
Xai1;:::;inX1 :::Xn
et
i1 in
Xbi1;:::;inX1 :::Xn
sont(cid:19)egales si et seulement si le polyn^ome
i1 in
X(ai1;:::;in (cid:0)bi1;:::;in)X1 :::Xn
appartient (cid:18)a l’id(cid:19)eal (Pi).
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R(cid:19)eciproque de la bijection
n
Soit (b1;:::;bn) un (cid:19)el(cid:19)ement de B en lequel tous les Pi s’annulent. Si
i1 in
Xai1;:::;inX1 :::Xn
i1 in
appartient (cid:18)a (Pi1i) aloinrs Pai1;:::;inb1 :::bn est nul. On en d(cid:19)eduitiq1ue laivnaleur
de Pai1;:::;inb1 :::bn ne d(cid:19)epend que dei1la classiende Pai1;:::;inX1 :::Xn mo-
dulo (Pi), et donc que de ai1;:::;inX1 :::Xn ; on peut donc d(cid:19)esigner sans
P i1 in
ambigu(cid:127)(cid:16)t(cid:19)ecettevaleurparlanotationf( ai1;:::;inX1 :::Xn ). L’application
P
f ainsi construite est l’unique morphisme de A[X1;:::;Xn]=(Pi) versB tel que
f(Xi)=bi pour tout i.
Module libre M de base (ei)i2I sur un anneau A
Description intuitive
C’estleA-moduleleplusg(cid:19)en(cid:19)eralengendr(cid:19)eparunefamilled’(cid:19)el(cid:19)ementsindex(cid:19)ee
par I.
Enonc(cid:19)e de la propri(cid:19)et(cid:19)e universelle
Pour tout A-module N l’application f 7!(f(ei)) (cid:19)etablit une bijection entre
I
l’ensemble des applications A-lin(cid:19)eaires de M vers N et l’ensemble N des fa-
milles d’(cid:19)el(cid:19)ements de N index(cid:19)es par I.
Propri(cid:19)et(cid:19)e obtenue gr^ace (cid:18)a la construction de M
Tout (cid:19)el(cid:19)ement de M a une unique (cid:19)ecriture sous la forme aiei ou(cid:18) les ai
P
appartiennent (cid:18)a A et sont tous nuls sauf un nombre (cid:12)ni.
R(cid:19)eciproque de la bijection
Soit N un A-module et soit (ni) une famille index(cid:19)eeparI d’(cid:19)el(cid:19)ementsde N.
L’uniqueapplicationA-lin(cid:19)eairedeM versN quienvoieei surni pourtoutiest
celle qui associe (cid:18)a un (cid:19)el(cid:19)ement m de M la somme aimi, ou(cid:18) (ai) est l’unique
P
famille de scalaires telle que m= aiei.
P
b
Le compl(cid:19)et(cid:19)e X d’un espace m(cid:19)etrique X
Description intuitive
On rendX completen luiadjoignantdeforceleslimitesdetoutes sessuites
de Cauchy.
7
Enonc(cid:19)e de la propri(cid:19)et(cid:19)e universelle
L’espaceX estmuni d’une isom(cid:19)etriei:X ,!X. Pourtout espace m(cid:19)etrique
b b
complet Y l’application f 7! f Æi (cid:19)etablit une bijection entre l’ensemble des
isom(cid:19)etriesde X vers Y et l’ensemble des isom(cid:19)etries de X vers Y.
b
Propri(cid:19)et(cid:19)e obtenue gr^ace (cid:18)a la construction de X
b
L’isom(cid:19)etrie i identi(cid:12)e X (cid:18)a un sous-espace dense de X.
b
R(cid:19)eciproque de la bijection
Soit’uneisom(cid:19)etriedeX versunespacecompletY etsoitxunpointdeX.
CommeX estdensedansX lepointx estlimite d’une suite(xn)d’(cid:19)el(cid:19)ementsdbe
b
X n(cid:19)ecessairement de Cauchy puisque convergente. Comme ’ est une isom(cid:19)etrie
lasuite (’(xn))estdeCauchyetdoncconvergeversun certainy puisqueY est
complet.Onv(cid:19)eri(cid:12)equey ned(cid:19)ependpasdelasuite(xn)choisie,etl’application
f :x7!y est l’unique isom(cid:19)etrie de X vers Y telle que f Æi=’.
b
Le quotient d’un espace topologique X par une relation
d’(cid:19)equivalence R
Description intuitive
OnveutforcertoutpointdeX (cid:18)aco(cid:127)(cid:16)ncideraveclesautrespointsdesaclasse
d’(cid:19)equivalence, et seulement avec ceux-ci.
Enonc(cid:19)e de la propri(cid:19)et(cid:19)e universelle
Le quotient X=R est muni d’une application continue p : X ! X=R. Pour
tout espacetopologiqueY l’application f 7!fÆp(cid:19)etablit unebijection entreles
applications continues de X=R vers Y et les applications continues de X vers
Y constantes sur les classes de R.
Propri(cid:19)et(cid:19)es obtenues gr^ace (cid:18)a la construction de X=R
La(cid:13)(cid:18)echeX !X=R estsurjective;deuxpointsxety ontm^emeimagedans
X=R si et seulement si xRy. Une partie de X=R est ouverte si et seulement si
son image r(cid:19)eciproquepar p est ouverte.
Bijection r(cid:19)eciproque
SoitY unespacetopologiqueetsoit’uneapplicationcontinuedeX versY
constantesurles classesde R.Soit xun pointdeX=R.Commepest surjective
il existe y tel que p(y) =x. Si z est un point de X tel que p(z)=x alors zRy
d’apr(cid:18)es ce qui pr(cid:19)ec(cid:18)ede, et donc ’(z) = ’(y). Notons f(x) la valeur commune
de ’ sur tous les ant(cid:19)ec(cid:19)edents de x; l’application f ainsi d(cid:19)e(cid:12)nie est l’unique
application continue de X=R vers Y telle que f Æp=’.
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Exemples d’utilisation du quotient
i) Soit A un anneauet soit f un(cid:19)el(cid:19)ementde A. Montrons comment prouver
qu’il existe un isomorphisme entre A[X]=fA[X] et (A=fA)[X]. Notons
pour commencer que la propri(cid:19)et(cid:19)euniverselle de la A-alg(cid:18)ebre A[X] assure
l’existence d’un unique morphisme de A[X] vers (A=fA)[X] qui prolonge
A ! A=fA et envoie X sur X. Ce morphisme envoie par construction
i i
aiX sur aiX . Il est surjectif puisque A ! A=fA l’est. Son noyau
P P
i
est l’ensemble des polyno^mes de la forme aiX avec ai = 0 pour tout
P
i
i, c’est-(cid:18)a-dire exactement fA[X). En e(cid:11)et si un polyn^ome s’(cid:19)ecrit aiX
P
avecai =0pourtoutialorspourtoutil’(cid:19)el(cid:19)ementai deAappartient(cid:18)afA
i
etdoncs’(cid:19)ecritfbi pouruncertainbi;onvoitalorsqueP s’(cid:19)ecritf biX .
P
R(cid:19)eciproquement un polyn^ome appartenant (cid:18)a fA[X] a par construction
tous ses c(cid:27)Æcients multiples de f, donc nuls modulo fA.
On d(cid:19)eduit de tout ceci que la (cid:13)(cid:18)eche construite induit un isomorphisme
entre A[X]=fA[X] et (A=fA)[X]. Notez que cette (cid:13)(cid:18)eche envoie X sur X.
ii) Soit A un anneau et soient f et g deux (cid:19)el(cid:19)ements de A. Montrons que
A=(f;g) est isomorphe (cid:18)a (A=(f))=(g). Consid(cid:19)erons la (cid:13)(cid:18)eche compos(cid:19)ee
A ! A=(f) ! (A=(f))=(g). Comme A ! A=(f) et (A=(f))=(g) sont des
surjectionselle est surjective.Son noyauest l’ensemble des aappartenant
(cid:18)a A tel que l’(cid:19)el(cid:19)ement a de A=(f) soit nul modulo g, autrement dit c’est
l’ensemble des a pour lesquels il existe b appartenant (cid:18)a A tel que a=bf.
C’est encorel’ensemble des a appartenant(cid:18)a A tels qu’il existe b et c dans
Av(cid:19)eri(cid:12)antl’(cid:19)egalit(cid:19)ea=bf+cg.C’estdoncexactementl’id(cid:19)eal(f;g)deA.
On en d(cid:19)eduit que la (cid:13)(cid:18)eche ainsi construite(cid:19)etablit un isomorphisme entre
A=(f;g) et (A=(f))=(g).
Remarque. Les deux preuves ci-dessus utilisent aussi bien les propri(cid:19)et(cid:19)es
universelles(desquotientsetdespolyn^omes)quecellesfourniesparlesconstruc-
tions. Si cela vous amuse, vous pouvez, (cid:18)a titre d’exercice, essayer de construire
lesisomorphismes souhait(cid:19)esen utilisant uniquement les propri(cid:19)et(cid:19)es universelles.
Mais c’est un peu plus long, comme vous le constaterez...
2
Appliquonscesr(cid:19)esultats(cid:18)al’anneau(Z=pZ)[X]=(X +1),ou(cid:18) pestunnombre
2
premier.Il estisomorphed’apr(cid:18)eslei)(cid:18)a(Z[X]=pZ[X])=(X +1)et doncencore,
2
d’apr(cid:18)esleii),(cid:18)aZ[X]=(p;X +1).En appliquant (cid:18)anouveaule ii)onvoitquece
2
dernierestisomorphe(cid:18)aZ[X]=(X +1)=(p).Orl’uniqueapplicationdeZ[X]dans
l’anneauZ[i]desentiersdeGaussquienvoieXsuri,applicationdontl’existence
est assur(cid:19)ee par la propri(cid:19)et(cid:19)e universelle de Z[X],est surjective et a pour noyau
2 2
l’id(cid:19)eal engendr(cid:19)e par X +1 (prouvez-le!). Il en d(cid:19)ecoule que Z[X]=(X +1) est
isomorphe (cid:18)a Z[i].
2
Onend(cid:19)eduitqueZ[X]=(X +1)=(p)estisomorphe(cid:18)aZ[i]=p.Ona(cid:12)nalement
2
(cid:19)etabli l’existence d’un isomorphisme entre (Z=pZ)[X]=(X +1) et Z[i]=p. En
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particuliercesdeux anneauxsontoubien tousdeuxint(cid:18)egres,oubientousdeux
2
non int(cid:18)egres.Or le premier est int(cid:18)egresi et seulement si X +1est irr(cid:19)eductible
dans (Z=pZ)[X] c’est-a(cid:18)-dire, puisqu’il est de degr(cid:19)e 2, si et seulement si il n’a
pasde racinesdansZ=pZ,doncsiet seulementsi(cid:0)1n’est pasun carr(cid:19)emodulo
p. Quant (cid:18)a Z[i]=p il est int(cid:18)egre, Z[i](cid:19)etant factoriel (et m^eme principal!) si et
seulement si p est irr(cid:19)eductible dans Z[i].On a (cid:12)nalement prouv(cid:19)e que Z[i]=pest
int(cid:18)egre si et seulement si (cid:0)1 n’est pas un carr(cid:19)e modulo p.
Groupes et propri(cid:19)et(cid:19)es universelles
Ce qui suit est plus diÆcile (bien que sur le principe ce soit dans la lign(cid:19)ee
de cequi pr(cid:19)ec(cid:18)ede)et doit^etrevu comme un compl(cid:19)ement culturel pourcelles et
ceux qui sont d(cid:19)ej(cid:18)a (cid:18)a l’aise avec le reste.
Groupe quotient d’un groupe par une partie quelconque
Soit G un groupe et soit P une partie de G. On cherche (cid:18)a construire un
groupe F et un morphisme p:G!F tel que pour tout groupeH l’application
f 7! f Æp (cid:19)etablisse une bijection entre l’ensemble des morphismes de groupes
de F vers H et l’ensemble des morphismes de groupes de G vers H s’annulant
sur P.
Untelcouple(F;p)existee(cid:11)ectivement(etestuniquea(cid:18)uniqueisomorphisme
pr(cid:18)es). On peut prendre par exemple (la d(cid:19)emonstration est laiss(cid:19)ee au lecteur!)
pour F le quotient de G par le plus petit sous-groupe distingu(cid:19)e de G contenant
P et pour p la (cid:13)(cid:18)eche quotient.
Remarques.SiP estlui-m^emeunsous-groupedistingu(cid:19)eonretrouvelanotion
classique de quotient. Si P est un sous-groupe non distingu(cid:19)e faites tr(cid:18)es atten-
tion : le quotient d(cid:19)e(cid:12)ni ci-dessus n’est pas le quotient habituel G=P ;
ce dernier satisfait une propri(cid:19)et(cid:19)euniverselle qui concerne les applications de G
verstouslesensembles(etpasseulementlesmorphismesdeGverslesgroupes)
et ne peut ^etre muni d’une structure de groupe faisant de la (cid:13)(cid:18)eche G ! G=P
un morphisme.
Groupes libres
Intuitivement on se (cid:12)xe un entier n et l’on souhaite construire le groupe
le plus g(cid:19)en(cid:19)eral engendr(cid:19)e par n (cid:19)el(cid:19)ements. On va traduire rigoureusement ce
souhait par la recherche d’un groupe G muni de n (cid:19)el(cid:19)ements g1;:::;gn sa-
tisfaisant la propri(cid:19)et(cid:19)e universelle suivante : pour tout groupe H l’application
f 7!(f(g1);:::;f(gn))(cid:19)etablitunebijectionentrel’ensembledesmorphismesde
n
groupes de G vers H et l’ensemble H .
Untelgroupeexiste,estunique(cid:18)auniqueisomorphismepr(cid:18)es(pr(cid:19)ecisezlesens
decetteformuledanscecontexte!)etestappel(cid:19)elegroupe libre (cid:18)a n g(cid:19)en(cid:19)erateurs.
Expliquons bri(cid:18)evement sa construction : G s’identi(cid:12)e (cid:18)a l’ensemble des mots
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