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Euler olhou em 1750 para onde todos tinham olha
do e viu o que ninguém tinha visto. Assim nasceu a
sua pérola, uma das equações mais belas da Ma
temática: a Fórmula de Euler para os poliedros.
A irreal Fórmula de Euler parece possuir vida e in
teligência próprias, contendo mUito mais do que
o ser humano nela poderia ter colocado. Richeson
revela-nos toda a riqueza desta pérola: observada
à luz correcta, ela revela camadas sucessivas de
ideias cada vez mais fascinantes, entre as quais a
moderna Topologia - a «geometria das folhas de
borracha».
Das pontes de Kõnigsberg ao mundo dos nós, das
bolas de futebol às cúpulas geodésicas, da Topolo
gia à Conjectura de Poincaré, Richeson conduz-nos
de forma brilhante - e quase sem equações! - por
uma viagem que fascinará qualquer amante da
·M atemática. Contemple a pérola!
DAVID S. RICHESON
-
A FÓRMULA DOS POLIEDROS
E O NASCIMENTO DA TOPOLOGIA
TRADUÇÃO
CARLOS FLORENTINO
REVISÃO CIENTÍFICA
JORGE BUESCU
Título original Euler's gem: The polyhedron formula and the birtlz of topology
© Princeton University Press, 2008
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste livro pode ser reprodu
zida ou transmitida sob qualquer forma ou por quaisquer meios, electró
nicos ou mecânicos, incluindo a fotocópia, a gravação ou qualquer outro
sistema de armazenamento e recuperação de informação, sem a prévia
autorização escrita do editor.
Tradução Carlos Florentino
Revisão científica Jorge Buescu
Revisão de texto Sandra Flores
Capa Armando Lopes (concepção gráfica)/© Thinkstock (imagens)
Fotocomposição, impressão e acabamento Multitipo-Artes Gráficas, L.dª
Reservados os direitos para a língua portuguesa, excepto o Brasil, por
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1.' edição Março de 2015
Depósito legal 388 307 /2015
ISBN 978-989-616-634-2
gradiva
Editor GUILHERME VALENTE
Colecção «O Prazer da Matemática»
dirigida por
JORGE BUESCU
Criada e dirigida por Guilherme Valente, a colecção «O Prazer da Matemática»
passou a ser dirigida a partir do n.º 39 por Jorge Buescu.
Dedicado ao Be11 e à Nora
As vossas faces
E as vossas arestas
Amo-vos dos vértices aos pés
,
Indice
Prefácío................................................................................................................... 9
Introdução.............................................................................................................. 13
1. Leonhard Euler e os seus Três «Grandes» Amigos ............................. 23
2. O que é um Poliedro?................................................................................. 39
3. Os Cinco Sólidos Perfeitos........................................................................ 43
4. A Fraternidade Pitagórica e a Teoria Atómica de Platão.................... 48
5. Euclides e o seu Ele111entos........................................................................ 56
6. O Universo Poliédrico de Kepler............................................................. 63
7. A Pérola de Euler........................................................................................ 75
8. Sólidos Platónicos, Bolas de Golfe, Fulerenos e Cúpulas Geodésicas... 88
9. Ultrapassado por Descartes?..................................................................... 94
10. A Demonstração de Legendre .................................................................. 100
11. Um Passeio por Kõnigsberg ..................................................................... 113
12. Os Poliedros Achatados de Cauchy........................................................ 126
13. Grafos, Geoplanos e Couves-de-bruxelas.............................................. 133
14. É um Mundo Colorido ............................................................................... 146
15.Novos Problemas e Novas Demonstrações ........................................... 161
16. Membranas de Borracha, Donuts Ocos e Garrafas Loucas................ 173
17. São Iguais, ou são Diferentes?................................................................. 191
7
18. Um Problema Enredado............................................................................. 205
19. Penteando o Pêlo de um Coco.................................................................. 222
20. Quando a Topologia Condiciona a Geometria ..................................... 240
21. A Topologia das Superfícies Curvas....................................................... 254
22. Navegando em n Dimensões.................................................................... 264
23. Henri Poincaré e o Desenvolvimento da Topologia ........................... 277
Epz1ogo - O Problema que Vale um Milhão de dólares ..................................... 290
Agradecimentos ..................................................................................................... 299
Apêndice A - Construa os seus Próprios Poliedros e Superfícies...................... 300
Apêndice B - Leituras Recomendadas .......................................... ,. .................... 310
Créditos das Ilustrações ......................................................................................... 313
Notas ...................................................................................................................... 314
Bibliografia ............................................................................................................. 322
Índice Re1nissivo .................................................................................................... 337
Prefácio
Um matemático é uma máquina que transforma café em teoremas.
- Alfréd Rényi, frase frequentemente repetida por Paul Erdõs1•
Na Primavera do meu último ano de universidade, disse a um meu
conhecido que tencionava inscrever-me num programa de doutoramento
em matemática no Outono seguinte. Ele perguntou-me: «O que vais fazer
realmente, estudar números enormes, ou calcular mais alguns dígitos de pi?»
A minha experiência é de que o grande público tem uma ideia muito
vaga do que é a matemática e certamente não tem noção do que significa
a investigação em matemática. As pessoas ficam estupefactas ao descobrir
que há matemática nova que está ainda a ser desenvolvida. Pensam que
a matemática é apenas o estudo de números ou que é uma sequência de
disciplinas que termina no cálculo.
A verdade é que nunca me interessei muito por números. A aritmética
mental não é o meu ponto forte. Consigo dividir a factura e calcular a gor
jeta num restaurante sem ter que usar uma calculadora, mas faço isso com
a mesma rapidez que qualquer outra pessoa. E o cálculo foi a disciplina
matemática que menos me entusiasmou na faculdade.
Eu gosto de olhar para padrões - quanto mais visuais melhor - e ana
lisar argumentos lógicos intrincados. As prateleiras do meu gabinete
• As notas numeradas estão agrupadas, por capítulo, no final do livto, a partir da página 314. As
notas de autor e de tradutor estão assinaladas com asterisco e encontram-se em rodapé. (N. do E.)
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estão cheias de livros de enigmas e quebra-cabeças com os meus aponta
mentos de infância, nas margens, a lápis. Mover três fósforos de modo a
formar um certo padrão, encontrar um caminho através duma rede que
satisfaz uma dada lista de regras, cortar esta forma e reorganizá-la para
se tornar um quadrado, adicionar três linhas a esta imagem para criar
nove triângulos, e outros quebra-cabeças. Para mim, ísto é matemática.
Devido ao meu gosto por enigmas espaciais, visuais, e lógicos, a geo
metria sempre me cativou. Mas, no meu último ano da faculdade, desco
bri o campo fascinante da topologia, geralmente entendido como sendo
o cshldo das formas não rígidas. A combinação de belas teorias abstrac
tas com manipulações espaciais concretas ajustou-se perfeitamente às
minhas preferências matemáticas. A visão topológica maleável e flexível
do mundo assentou-me como uma luva. Em comparação, a geometria
parecia cerimoniosa e conservadora. Se a geometria se veste com um fato,
a topologia veste-se de jeans e T-shirt.
Este livro é uma história e uma celebração da topologia. A história
começa com a respectiva pré-história - a geometria dos matemáticos
gregos e dos renascentistas, e o seu estudo dos poliedros. Atravessa
os séculos xvm e x1x, altura em que os estudiosos tentaram entender
a ideia de forma e de como classificar objectos sem as rígidas condi
ções impostas pela geometria. A história culmina na moderna área
da topologia, que foi desenvolvida nos primeiros anos do século xx.
Enquanto alunos, aprendemos matemática através de manuais. Nes
tes livros, a matemática é apresentada de uma forma rigorosa e lógica:
definição, teorema, demonstração, exemplo. Mas a matemática não é
descoberta desta forma. Um assunto matemático demora muitos anos a
ser entendido de forma que um livro coerente sobre ele possa ser escrito.
A matemática é criada através de um progresso lento e incremental, às
vezes com grandes saltos, passos em falso, correcções e ligações. Este livro
mostra o emocionante processo da descoberta matemática em acção -
mentes brilhantes pensando, questionando, refinando, desenvolvendo, e
alterando o trabalho dos seus antecessores.
Em vez de apresentar uma simples história da topologia, escolhi a
fórmula para poliedros de Euler como um guia turístico. Descoberta em
1750, a fórmula de Euler marca o início do período de transição da geo
metria para a topologia. O livro persegue a fórmula de Euler e de como
ela evoluiu de uma mera curiosidade a um útil e profundo teorema.
Esta fórmula de Euler é um guia ideal, pois dá-nos acesso a maravi
lhosos quartos que raramente são vistos por outros visitantes. Seguindo a
fórmula de Euler vemos algumas das áreas mais fascinantes da matemá
tica, geometria, combinatória, teoria dos grafos, teoria dos nós, geometria
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diferencial, sistemas dinâmicos e topologia. Estes são assuntos de grande
beleza que um estudante típico, até mesmo um esh1dante de uma licen
ciatura em matemática, pode nunca encontrar.
Além disso, nesta visita eu tenho o prazer de apresentar ao leitor
alguns dos maiores matemáticos da história: Pitágoras, Euclides, Kepler,
Descartes, Euler, Cauchy, Gauss, Riemann, Poincaré, e muitos outros
- todos eles deram importantes contribuições para este tema e para a
matemática em geral.
Este livro não tem pré-requisitos formais. A matemática que um
aluno aprende na sequência típica de álgebra, trigonometria e geometria
dos programas dos primeiros três ciclos do ensino básico e no ensino
secundário é suficiente, embora a maior parte seja irrelevante para esta
discussão. O livro é auto-suficiente, e nos raros casos que serão neces
sários, eu recordarei o leitor dos factos relevantes dessas matérias de
matemática.
No entanto, não se iluda - algumas das ideias aqui apresentadas são
muito sofisticadas, abstractas e difíceis de visualizar. O leitor deve estar
disposto a ler cuidadosamente através de argumentos lógicos e a pensar
abstractamente. Ler matemática não é como ler um romance. O leitor
deve estar preparado para parar e reflectir, por si próprio, sobre cada
frase; para voltar a ler um argumento, tentar chegar a outros exemplos,
examinar cuidadosamente as figuras que acompanham o texto, procurar e
distinguir as ideias fundamentais, e usar o índice remissivo para perceber
o significado exacto de cada termo técnico.
É claro que não existe nenhum trabalho de casa nem exame no final
deste livro. Não há grande problema se saltar as partes mais difíceis. Se
um argumento particularmente complicado se revela difícil de entender,
salte para o próximo tópico. Se o fizer, não estará a prejudicar a leitura
de outras partes do livro. O leitor pode também optar por marcar uma
página mais sofisticada e voltar a ela mais tarde.
É minha convicção que o público-alvo deste livro é auto-selectivo.
Qualquer pessoa que o quiser ler, será capaz de lê-lo. O livro não é para
todos, mas aqueles que não compreendem e não apreciam a matemática
são precisamente aqueles que nunca o iriam escolher para ler.
Eu tive a preciosa vantagem de não ter escrito um manual. Claro que
fiz todos os esforços para ser correcto e rigoroso nas minhas descrições da
matemática, mas tive a liberdade de passar por cima de alguns detalhes
técnicos que confundem mais do que iluminam. Dessa forma eu pude
escrever num nível elevado e concentrar-me em ideias, intuição e na visão
geral dos assuntos. Necessariamente, apenas consegui dar um tratamento
superficial de muitas das ideias fascinantes deste livro. Quem estiver
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