A Matemática do Ensino Médio Volume 3

247 Pages·2005·8.05 MB·portuguese

by  Elon Lages Lima

A
Matemática
do Ensino Médio
Volume 3
Elon Lages Lima
Paulo Cezar Pinto Carvalho
Eduardo Wagner
Augusto Cézar Morgado
COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA
A Matemática
do Ensino Médio
Volume 3
COMPRA
Quinta Edição
Elon Lages Lima
Paulo Cezar Pinto Carvalho
Eduardo Wagner
Augusto César Morgado
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SOCIEDADE
BRASILEIRA
DE MATEMÁTICA
umverstdade de Fortaleza
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Copyright 2005, 2004, 2001, 1999, 1998 by Élon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho,
Eduardo Wagner e Augusto Cesar Morgado
Direitos reservados, 1998 pela Sociedade Brasileira de Matemática
Estrada Dona Castorina, 110 - Horto
22460-320, Rio de Janeiro - RJ
Impresso no Brasil / Printed in Brazil
Coleção do Professor de Matemática
Capa: Rodolfo Capeto
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ISBN: 85-85818- 12-3 (3$13LrOTECA CENTRAI
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Prefácio
Com este terceiro volume da série "A Matemática do Ensino Médio",
completamos a apresentação dos principais temas matemáticos que se
ensinam nesses três anos finais da Educação Básica em nosso país.
Os quatro capítulos iniciais são dedicados ao uso de coordenadas
no plano e no espaço, fazendo uma introdução à Geometria Analítica a
duas e três dimensões, seguida de um estudo de sistemas de equações
lineares, matrizes e determinantes.
Procuramos sempre pôr em relevo as conexões entre os métodos
algébricos e os conceitos geométricos. Este ponto de vista prossegue
no capítulo de números complexos, onde é dada uma ênfase especial
ao significado geométrico das operações com aqueles números, inclu-
sive com uma aplicação às transformações geométricas de inversão. O
capítulo final retoma o estudo dos polinômios iniciado no Volume 1, ad-
mitindo agora polinômios complexos e abordando mais detalhadamente
as equações algébricas de grau qualquer.
O material exposto nestes três volumes foi apresentado no pro-
grama de aperfeiçoamento para professores de Matemática do Ensino
Médio, que se vem realizando no IMPA desde 1996, com o apoio da
CAPES e da FAPERJ.
Os quatro primeiros capítulos do presente livro foram redigidos por
Elon Lages Lima e Eduardo Wagner, o quinto por Augusto César Mor-
gado e o sexto por Paulo Cezar P. Carvalho. Na realidade, porém, todos
nós discutimos longamente os assuntos tratados nos três volumes e so-
mos igualmente responsáveis por todos eles.
Rio de Janeiro, setembro, 1998
Elon Lages Lima
Paulo Cezar P. Carvalho
Eduardo Wagner
Augusto César Morgado
Universidade de Fortaleza
BIBLIOTECA CENTRAI.
Conteúdo
Capítulo 1 - Geometria Analítica Plana
1. Introdução 1
2. Coordenadas na reta 1
3. Coordenadas no plano 5
4. A distância entre dois pontos 13
5. Escolhendo o sistema de coordenadas 19
6. As equações da reta 23
7. Ângulo entre duas retas 32
8. Distância de um ponto a uma reta 33
9. Área de um triângulo 39
10. Equação da circunferência 40
11. Vetores no plano 54
Exercícios 67
Capítulo 2 - Geometria Analítica Espacial
1. Introdução 73
2. Coordenadas no espaço 73
3. As equações paramétricas de uma reta 75
4. Distância entre dois pontos no espaço 77
5. Vetores no espaço 83
6. Equação do plano 87
7. Distância de um ponto a um plano 90
Exercícios 91
Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares
1. Sistemas com duas incógnitas 97
2. Duas equações com três incógnitas 100
3. Três equações com três incógnitas 104
4. Escalonamento (eliminação gaussiana) 117
Exercício 126
Capítulo 4 - Matrizes e Determinantes
1. Introdução 130
2. Multiplicação de matrizes 131
3. Determinantes 137
4. A regra de Cramer 143
5. O determinante do produto de duas matrizes 146
6. Caracterização das matrizes invertíveis 152
Exercícios
Capítulo 5 - Números Complexos
1. Introdução 160
2. A forma algébrica 161
3. A forma trigonométrica 168
4. Raízes da unidade 182
5. Inversão 190
Capítulo 6— Equações Algébricas
1. Introdução 198
2. Polinômios complexos 200
3. Divisão de polinômios 204
4. Divisão de um polinômio por x- a 210
5. Reduzindo o grau de uma equação algébrica 215
6. O teorema fundamental da Álgebra 218
7. Relações entre coeficientes e raízes 221
8. Equações algébricas com coeficientes reais 225
9. Demonstrando o Teorema Fundamental da Álgebra 229
10. Resolução numérica de equações 239
Exercícios 244
Capítulo 1
Geometria Analítica Plana
1. Introdução
Neste capítulo é feita uma breve apresentação da Geometria Ana-
lí tica do plano, com ênfase nos princípios básicos que determinam
o uso de coordenadas. Não há nenhuma preocupação de comple-
teza. Para um tratamento mais extenso, o leitor pode consultar
o livro "Coordenadas no Plano", da Coleção do Professor de Ma-
temática da SBM.
2. Coordenadas na reta
Admitimos fixada, de uma vez por todas, uma unidade de com-
primento. Dados os pontos A, B quaisquer, o comprimento do
segmento de reta AB chama-se a distância entre os pontos A e
B. Escrevemos d(A, B) para indicar essa distância, que é um
número real. Convencionaremos pôr d(A, A) = O. Se A B,
tem-se d(A, B) > O. Além disso, vale
d(A, C) + d(C,B) = d(A, B)
se, e somente se, o ponto C pertence ao segmento de reta AB. É
claro também que d(A, B) = d(B, A).
A noção de distância permite introduzir coordenadas sobre
uma reta, ou seja, representar os pontos da reta por meio de
números reais. Para fazer isto, será necessário orientar a reta
e escolher um dos seus pontos como origem.
Seguem-se os detalhes desse procedimento.
2 Geometria Analítica Plana
Uma reta diz-se orientada quando sobre ela se escolheu um
sentido de percurso, chamado positivo; o sentido inverso chama-se
negativo. Numa reta orientada, diz-se que o ponto B está à direita
do ponto A (portanto A está à esquerda de B) quando o sentido de
percurso de A para B é positivo.
Um eixo é uma reta orientada na qual se fixou um ponto O,
chamado a origem.
Todo eixo E pode ser posto, de modo natural, em correspon-
dência biunívoca com o conjunto IR dos números reais, do seguinte
modo. À origem O do eixo faz-se corresponder o número zero. A
cada ponto X de E situado à direita de O corresponde o número real
positivo x = d( O, X) = distância de X à origem = comprimento
do segmento de reta OX. Aos pontos situados à esquerda de O
correspondem números _reais negativos, cujos valores absolutos
medem as distâncias deses pontos à origem.
Portanto, a cada ponto X no eixo E corresponde o número real
x = d( O , X) se X está à direita de O e x —d( O, X) se X está à
esquerda de O.
O número real x, que corresponde ao ponto X do eixo E da
maneira acima indicada, chama-se a coordenada desse ponto.
XI X
xl o
Figura 1: x = d(0, X) x' = —d(0, X')
Se x e y são respectivamente as coordenadas dos pontos X e Y
do eixo E então tem-se x < y se, e somente se, X está à esquerda
de Y. Além disso, tem-se d(X, Y) = Ix — y I.
A importante igualdade d(X, Y) = I se demonstra usando
(além da relação evidente d(A, B) = d(B, A)) o fato de que se A, B,
C são pontos de uma reta tais que C está situado entre A e B então
d(A, B) = d(A, C) + d(C, B).
Com efeito, dados os pontos X e Y sobre o eixo E, com coordena-
A Matemática do Ensino Médio, Volume 3 3
das respectivas x e y, sem perda de generalidade podemos supor.
que X esteja à esquerda de Y. Então há 3 casos possíveis:
(a) O está entre X e Y (logo x < O < y);
(b) Y está entre X e O (logo x < y <O);
(c) X está entre O e Y (logo O < x < y).
No primeiro caso, tem-se
d(X,Y) = d(X, O) d(0,Y) =—x+bJ =
No segundo caso,
d(0, X) = d(0,Y) + d(Y, X),
ou seja, —x = + d(X, Y), donde
Finalmente, no terceiro caso,
d(0,Y) = d(0, X) + d(X,Y),
isto é, y = x + d(X, Y), donde
d(X,Y)=ij—x=x—j.
Y X Y
d(X,Y), d(X,0)±d(0,Y) d(0,X)=d(0,Y)-Ed(Y,X)
O X
d(0,Y), d(0,X)±d(X,Y)
Figura 2
Se A e B são pontos do eixo E, com A à esquerda de B, e suas
coordenadas respectivas são a e b, então a coordenada x de um
ponto arbitrário X do segmento de reta AB é um número x tal que
a(x(b. Noutras palavras, ao segmento de reta AB c E corres-
ponde o intervalo [a, b] c R.
4 Geometria Analítica Plana
Para cada ponto X do segmento de reta AB, tem-se eviden-
temente d(A, X)cd(A, B), logo a razão t = d(A, X)/d(A, B) é um
número real compreendido entre O e 1. Quando X = A tem-se t = O
e, quando X = B, vale t = 1. Se, para cada t E [O, 1], chamarmos
de X. o ponto do segmento de reta AB tal que d(A, Xt)/d(A, B) =t,
veremos que a coordenada xt do ponto Xt está relacionada com as
coordenadas a e b dos pontos A e B pela igualdade (xt— a)/ (b — a) =
t, ou seja,
xt = (1 — t)a + tb = a + t(b — a).
A Xt
a xt
T=d (A, Xt) /d(A,B)=(xt —a)/(b—a)
Figura 3
Quando t = 1/2, Xt = Xi /2 é o ponto médio do segmento AB e
sua coordenada
1 1
x112= - a+ —b
2 2
é a média aritmética entre as coordenadas a e b dos pontos A e B.
Noutro exemplo, tomando t = 1/3, obtemos o ponto X =- X1 /3
cuja coordenada
3 3 3 3
é o número que separa o intervalo [a, b] em dois subintervalos [a, x]
e [x, b] com (x— a)/(b — a) = 1/3.
Observação 1. Quando, no Volume 1, estudamos os números
reais, fizemos a cada x E IR corresponder um ponto X sobre o eixo E.
Em Geometria Analítica, o processo é inverso: procura-se associar
a cada ponto do eixo E um número, chamado sua coordenada. Para
isso, estamos admitindo que exista a noção de distância entre dois