Table Of ContentÀ LA POURSUITE DE 1[
Nil desperare
(Ne désespérer de rien)
Exergue du journal mathématique de Gauss
où l'auteur démontre le lien entre le calcul de 1t
et la moyenne géométrico-arithmétique
JORG ARNDT & CHRISTOPH HAENEL
TRADUCTION & ADAPTATION
HENRI LEMBERG & FRANÇOIS GUÉNARD
À LA POURSUITE DE
VUIBERT
UN LIVRE DES EDITIONS SPRINGER
Également aux éditions Vuibert :
Pierre DUGAc,
Histoire de l'analyse. Autour de la notion de limite et de ses voisinages, 432 pages
texte édité par Bernard BRU et Roger LAURENT, préface de Jean-Pierre KAHANE
Albert DUCROCQ & André WARUSFEL, Mathématiques: plaisir & nécessité, 384 pages
G. H. HARDY & E. M. WRIGHT,
Introduction à la théorie des nombres, traduit par François SAUVAGEOT,
coédition Vuibert/Springer, 448 pages
François Lo JACOMO,
Visualiser la quatrième dimension, illustré par Daniel MULLER, 128 pages
Claudine ROBERT,
Contes & décomptes de la statistique. Une initiation par l'exemple,
illustré par Yves GUÉzou, 208 pages
Sous la direction de H.-D. EBBINGHAUS,
Les nombres. Leur histoire, leur place et leur rôle,
de l'Antiquité aux recherches actuelles,
traduit de l'allemand et adapté par François GUÉNARD, 464 pages
Richard ISAAc, Une initiation aux probabilités,
traduit de l'anglais par Roger MANSUY, coédition Vuibert/Springer, 256 pages
Sous la direction de Jean-Michel KANTOR, avec le concours de Claude SABBAH,
Où en sont les mathématiques?
coédition Vuibert - Société mathématique de France, 448 pages
et des dizaines d'autres ouvrages de sciences et d'histoire des sciences:
www.vuibert.fr
Ce livre est initialement paru en allemand
sous le titre Pi. Algorithmen, Computer, Arithmetik
© Springer Verlag, Berlin Heidelberg, 1998,2000
Photographie de couverture: Michel Sittler
Couverture: Arnaud Martin
Maquette, composition & mise en page des traducteurs
Relecture et correction: Dominique Sabrier
ISBN: 2 711771709
ISBN 2007: 978-2-7117-7170-7
La loi du 11 mars 1957 n'autorisant aux termes des alinéas 2 et 3 de l'article 41, d'une part, que les
« copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation
collective» et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration,
« toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de
ses ayants droit ou ayants cause, est illicite» (alinéa 1" de l'article 40). Cette représentation ou
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articles 425 et suivants du Code pénal. Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l'accord de
l'éditeur. S'adresser au Centre français d'exploitation du droit de copie: 20 rue des Grands Augustins,
F-75006 Paris. Tél. : 01 44074770
© Vuibert, mars 2006 - 20 rue Berbier-du-Mets, F-75647 Paris cedex 13
Table des matières
1 L'état de l'art 1
1 Les records 1
2 Un peu d'histoire 5
3 Algorithmes, ordinateurs et arithmétique. 15
4 Pourquoi? ....... 17
5 De nouveaux objectifs 19
2 Dans quelle mesure 7r est-il aléatoire? 21
1 Probabilités ... 21
2 7r est-il normal? . 22
3 Et si 7r n'était pas normal? 25
4 Le phénomène 163 ..... 25
5 D'autres résultats statistiques 29
6 7r et les intuitionnistes .... 30
7 Représentation en fractions continues . 31
3 Les raccourcis vers 7r 35
1 Des approches « obscures» de 7r 35
2 Petit et beau ........ 37
3 Un crible pour approcher 7r 37
4 7r et l'aléatoire: méthodes de Monte-Carlo 38
5 Par mémorisation . 44
6 Bit par bit .. 47
7 Raffinements 48
8 7r habite à Paris. 49
VI Table des matières
4 Approximations de 7r et fractions continues 51
1 Les approximations rationnelles 51
2 Autres approximations . . . 55
3 Approximations de jeunesse 65
4 À propos des fractions continues 66
5 Les formules de l'arc tangente 11
1 La formule de John Machin . 71
2 D'autres formules liées à l'arc tangente 74
6 Les algorithmes du goutte à goutte 79
1 L'algorithme du goutte à goutte en détail 80
2 Suite d'opérations 82
3 Une variante plus rapide 84
4 Algorithme du goutte à goutte pour e 86
7 Gauss et 7r 89
1 La formule MAG pour 7r 90
2 L'algorithme MAG de Gauss 93
3 La variante de Schonhage 95
4 Histoire d'une formule 98
8 Ramanujan et 7r 107
1 Les séries de Ramanujan 108
2 La vie extraordinaire de Ramanujan 110
3 Impulsions .............. . 114
9 Les frères Borwein et 7r 117
10 L'algorithme BBP 121
1 Exponentiation binaire . . . . . . . . . . 125
2 Un programme en C pour la série BBP . 127
3 Des améliorations . . . . . . . . . . . . 130
Table des matières VII
11 L'arithmétique en grande précision 135
1 La multiplication . . . . . . . . 135
2 La multiplication de Karatsuba 136
3 La multiplication par transformation de Fourier rapide (TFR) 139
4 Division.... 149
5 Racines carrées 150
6 Racines n-ièmes 153
7 Calcul de sommes de séries 154
12 Questions diverses 157
1 Un questionnaire sur 7r ..... . 157
2 Il faut laisser les nombres parler . 158
3 Une « preuve» que 7r = 2 159
4 Le grand changement . . . 159
5 Presque mais pas tout à fait 159
6 Et pourquoi toujours plus? 161
7 7r et les hypersphères . . 161
8 Viète x Wallis =c: OsIer. 164
9 La quadrature du cercle avec des trous 166
10 L'entonnoir infini 167
13 L'histoire de 7r 169
1 Le symbole 7r 169
2 L'Antiquité. 171
3 Les polygones 174
4 Les expressions infinies 188
5 Les algorithmes ultra-performants 202
6 La chasse aux décimales individuelles de 7r 206
14 Notes historiques 211
1 La plus ancienne quadrature du cercle? 211
2 Une loi sur 7r ..... . 213
3 L'histoire de Bieberbach 215
VIII Table des matières
15 L'avenir: calculs sur le Net 217
1 L'algorithme binsplit .. 217
2 Le projet 7r sur Internet 221
16 Une collection de formules 223
17 Tables des chiffres de 7r 247
1 Cent premières décimales de quelques constantes 247
2 Décimales de 7r (de 0 à 1 800 en base 10) . . . 248
3 Décimales de 7r (de 1 801 à 3 500 en base 10) 249
4 Décimales de 7r (de 3 501 à 5 000 en base 10) 250
5 Décimales de 7r (de 0 à 1 800 en base 16) ... 251
6 Décimales de 7r (de 1 801 à 3 500 en base 16) 252
7 Décimales de 7r (de 3 501 à 5 000 en base 16) 253
8 Développement en fraction continue de 7r (éléments de 0 à 700)254
9 Développement en fraction continue de 7r (éléments de 701 à
1 400) ............................... 255
10 Développement en fraction continue de 7r (éléments de 1 401
à 2 000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 256
Bibliographie 257
Index général 267
Index des mathématiciens 271
