A Formação da Matemática Contemporânea

284 Pages·1990·4.934 MB·Portuguese

by  Jean Dieudonné

ClbctANOVA
8
.
\
·· Jean Dieudon:né
AfoRMAçÃo ·
DA
MATEMÁTICA
,.
CONTEMPORÂNEA
- -publfcaç6eactomqubcote - -
AfoRMAçÃo
8
DA MATEMÁTICA
CONTEMPORÂNEA
«Jean Dieudonné descreve-nos
um «panorama» das matemáticas actuais
em que transparece uma unidade profunda
por detrás da variedade
dos métodos e dos problemas.»
Maurice Arvonny
«Jean Dieudonné
é um dos maiores matemáticos
do nosso tempo.»
Cristian Colombani, Le Mande
' .
ISEN 972-20-0797-1
11111111111111111 IIII Ili
9 789722 007979
~NOVA
A
Formação da Matemática Contemporânea, de
Jean Dieudonné, é um livro que procura explicar o que
é a matemática através da descrição daquilo que os
matemáticos fazem dos prob'lemas que eles se colticam
e das ideias que inventam para os resolver. Trata-se de
uma obra simultaneamente acessível e de referência,
que constituirá uma excelente introdução ao conheci
mento desse campo do saber que tem tanto a ver com
a arte como com o rigor científico.
Jean Dieudonné, um dos mais reputados matemáticos
franceses contemporâneos, é membro fundador do
grupo que, ao longo dos últimos cinquenta an9s, gera-
. ção após geração, tem assegurado a redacção dos Ele
mentos de Matemática de Nicolas Bourbaki, obra que
pretende refundir totalmente o edifício matemático so
bre bases axiomáticas, dando especial relevo ao con
ceito de estrutura·como forma abstracta, e que repre
senta para a ciência de hoje o que os Elementos de
Euclides foram para a ciência clássica.
Capa: Fernando Felgueiras
- ' .1
!_l.__._.:
. j, ... _· ~- ... • \ -----
1. O HOMEM NEURONAL
Jean-Pierre Changeux
2. A LÓGICA DA VIDA (2.ª ed.)
François Jacob
3. NATUREZA E ESPfRITO
Gregory Bateson
4. DA PEDRA À ESTRELA
Claude Allegre
5. O SEXO E A MORTE
Jacques Ruffié
6. PSICOGÉNESE
E HISTÓRIA DAS CIÊNCIAS
Jean Piaget e Rolando Garciaa
7. A HERANÇA DA LIBERDADE
Albert Jacquard ·
8. A FORMAÇ~O •
DA MATEMATICA CONTEMPORANEA
Jean Dieudonné
Próximo título:
OS SEGREDOS DO GENE
François Gros
A FORMAÇÃO
DA MATEMÁTICA
CONTEMPORÂNEA
JEAN DIEUDONNÉ
A FORMAÇAO
DA MATEMÁTICA
CONTEMPORÂNEA
Tradudçeã o
J.H .v onH afPee rez
Revitséãcon diec a
J.C .T iagoO ldiev eira
daU niversNiodvadade Le i sboa
PUBLICAÇÕDEOSM QUIXOTE
LISBOA
1 9 9 O
Publicações Dom Quixote, Lda.
Rua Luciano Cordeiro, 116-2.0
1098 Lisboa Codex - Portugal
Reservados todos os direitos
de acordo com a legislação em vigor
© 1987, Hachette
Título original: Pour l'honneur de l'espril humain - Les mathématiques aujourd'hui
1. • edir;:ão: Marr;:o de 1990
Depósito legal n.0 37405/90
Fotocomposir;:ão: ZERO-Estúdio Técnico de Desenho, Lda. - PORTO
Impressão e acabamento: Imprensa Portuguesa - PORTO
Distribuir;:ão:
Dlgllvro - Rua Ilha do Pico, 3-B, Pontinha, Lisboa
Movillvro - Rua Gomes Leal, 93, Porto
ISBN: 972 - 20 -0775 -O
« ... O Senhor Fourier era de opinião de que o principal fim das
matemáticas era a utilidade pública e a explicação dos fenóme
nos naturais: mas um filósofo como ele deveria ter sabido que
a finalidade única da ciência é a homa do espírito humano, e
que, deste ponto de vista, uma questão de números vale tanto
como uma questão do sistema do mundo.»
e. G. 1. JACOBI, carta (em francês) a
Legendre, de 2 de Julho de 1830.
Gesammelte Werke, Vol. I, Berlim
(Reimer), 1881, p. 454.
A Odette e Françoise
ÍNDICE
APRESENTAÇÃO .................................................................................. 13
BIBLIOGRAFIA COMENTADA............................................................ 17
CAPITULO I: MATEMÁTICAS E MATEMÁTICOS............................ 19
1. A concepção das matemáticas ... ........ .. . . .. . . ... .... .. . . . . . . .................. 19
2. A vida dos matemáticos . .. . . . . . .. . ... . . . .. . . . . . . . . . . .. ............ ... . . . . . .. . . . . .. . . . 20
3. O trabalho dos matemáticos e a comunidade matemática.......... 24
4. Mestres e escolas ........................................................................ 26
CAPITULO II: A NA TIJREZA DOS PROBLEMAS
DAS MATEMÁTICAS .......... .................................................. 31
1. Matemáticas «puras» e matemáticas «aplicadas» ...................... 31
2. Física teórica e matemática ........................................................ 33
3. As aplicações das matemáticas na Idade Clássica...................... 33
4. ()s ataques utilitaristas ................................................................ 37
5. ()s dogmas que são moda ........ .......... ... .. .. . ... ......... ..... .... ....... .. .. . . 3 8
6. Conclusões .................................................................................. 40
CAPITULO ID: OBJECTOS E MÉTODOS
DAS MATEMÁTICAS CLÁSSICAS...................................... 43
1. O nascimento das noções pré-matemáticas ................................ 45
2. A ideia de demonstração ....................... .. . ............ .. ......... .. . ... . .. .. 4 7
3. Axiomas e definições .................................................................. 49
4. A geometria, de Euclides a Hilbert ............................................ 51
5. Números e grandezas .................................................................. 55
6. A ideia de aproximação .............................................................. 60
7. A evolução da álgebra ................................................................ 62
8. O método das coordenadas ...... .. . .. . .. . . . . . . ............... ............ ... ... ..... 64
9. A noção de limite e o cálculo infinitesimal................................ 70
~1rn 1. O cálculo das razões no Livro V de Euclides ...................... 79
~1rn 11. A teoria axiomática dos números reais ................................ 80
AffiNDICH m. A aproximação das raízes reais de um polinómio . ....... ...... 8 2
~1rn IV. Os raciocínios por «exaustão» ............................................ 84
~1rn v. Aplicação dos algoritmos elementares do cálculo integral 87
CAPITULO IV: ALGUNS PROBLEMAS DAS MATEMÁTICAS
CLÁSSICAS ............................................................................ 91
I. Os problemas intratáveis e os problemas estéreis...................... 92
A. Os números perfeitos. .............................................................. 92
B. Os números de Fermat. ............................................................ 93
C. O problema das 4 cores. .......................................................... 93
D. Os problemas de geometria elementar....................................... 95
2. Os problemas proüferos .............................................................. 96
A. As somas dos quadrados. .......................................................... 96
B. As propriedades dos números primos. ...................................... 101
C. Os inícios da geometria algébrica ..................................... ,....... 106
AP~DICE I. Os números primos da forma 4k-1 ou 6k-1 .......................... 107
AffiNDICE rr. A decomposição de /; (s) em produto euleriano .................. 107
AffiNDICE m. O método de Lagrange para a resolução de
ax2+b.xy+cy2=n em números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . .... ... ... .......... ...... 109
AffiNDICE IV. Números de Bernoulli e função zero ............................ ,..... 112
CAPITULO V. NOVOS OBJECTOS E NOVOS MÉTODOS................ 117
1. Os novos cálculos........................................................................ 119
A. Os números complexos............................................................. 119
B. Os vectores. . . . . .............. .. . . . ............... .. . . .. . . .. . . ... ................. ...... 123
C. O cálculo algébrico sobre as funções......................................... 126
D. Permutações e substituições. .................................................... 127
E. Deslocainentos e afinidades. .................................................... 132
F. O cálculo das congruências de números inteiros. . . . . . . .. .......... .... 13 3
G. O cálculo das classes de formas quadráticas. ............................ 134
2. As primeiras estruturas .............................................................. 135
A. As principais propriedades das leis de composição. .................. 135
B. Os grupos de transformações. .................................................. 138
C. Os grupos «abstractos». ............................................................ 142
D. Quatemiões e álgebras ........................................................: .... 143
3. A linguagem dos conjuntos e as estruturas gerais .................... 147
A. A noção de conjunto................................................................. 147
B. A linguagem dos conjuntos....................................................... 148
C. Estruturas algébricas. .............................................................. 150
C D Grupos............................................................................... 150
e m Anéis. .•••••••••..•..............•...........•••.................................... 151
C III) Corpos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2
C IV) Anéis e corpos não comutativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •. . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2
D. Estruturas de ordem. ................................................................ 153
E. Espaços métricos e noções topológicas. .. ......... ... . . . . . . . .......... ..... 15 4
F. Sobreposição e dissociação das estruturas. ........ .. . . .... ............ .. .. 15 6