Table Of ContentЛ. А. Латоцін, Б. Д. Чабатарэўскі
а
т
е
в
Вучэбны дапаможнік для 9 класа
ўстаноў агульнай сярэдняй асдукацыі
з беларускай мовай навучання
а
я
Дапушчана
Міністэрстваам адукацыі
Рэспублікі Беларусь
н
д
4-е выданне, выпраўленае і дапоўненае
о
р
а
Н
Мінск «Народная асвета» 2014
Правообладатель Народная асвета
УДК 51(075.3=161.3)
ББК 22.1я721
Л27
Рэцэнзент
доктар педагагічных навук, прафесар кафедры матэматычнай
кібернетыкі Беларускага дзяржаўнага ўніверсітэта
А. І. Мельнікаў а
т
е
в
с
а
я
а
н
д
о
р
а
Н
ISBN 978-985-03-2196-1 © Латоцін Л. А., Чабатарэўскі Б. Д.,
2005
© Латоцін Л. А., Чабатарэўскі Б. Д.,
2014, са змяненнямі
© Афармленне. УП «Народная асве-
та», 2014
Правообладатель Народная асвета
Дарагія сябры!
а
Дзявяты клас з’яўляецца ў пэўным сэнсе этапнтым у
вашым навучанні. Вас чакаюць экзамены, пасля якіх
е
вы бу дзеце выбіраць свой далейшы шлях.
Гэты вучэбны дапаможнік забяспечваев вывучэнне
матэматыкі ў адпаведнасці з праграмай навучання.
Падвядзенню вынікаў таго, што вывсучалася раней,
дапаўненню і абагульненню вашых ведаў прысвечаны
а
апошні раздзел вучэбнага дапаможніка, а таксам а да-
ведачны матэ рыял. Матэрыял апошняга раздзела дае
ўяўленне пра тое, як уладкавана школьная матэма-
я
тыка. Значная ўвага пры гэтым надаецца выніковаму
паўтарэнню. а
Гэты вучэбны дапаможнік арганізаваны гэтаксама,
як і ў папярэдніх класанх. Кожны параграф пачынаец-
ца з абмеркавання таго пытання, што абазначана ў на-
зве параграфа. Сэнсдавыя блокі ў кожным параграфе
абазначаны літарамі А, Б, В, Г, Д. Найбольш важнае
о
вылучана спецыяльнымі шрыфтамі. Новыя паняцці
вылучаны паўтлустым шрыфтам. Правілы і сцвер-
р
джанні вылучаны паўтлустым курсівам, а паняцці
і факты, на якія варта звярнуць увагу, але неабавязко-
а
ва запамінаць, — курсівам.
МаНтэрыял, не прызначаны для абавязковага кант-
ролю, вылучаны з двух бакоў (cid:83).
Пасля тлумачальнага тэксту ідуць кантрольныя пы-
танні, пазначаныя знакам ?. Яны прызначаны для пра-
веркі таго, як вы засвоілі змест тлумачальнага тэксту.
Калі на тое ці іншае пытанне вы не змаглі адказаць, трэ-
ба вярнуцца да тлумачальнага тэксту і з яго дапамогай
паспрабаваць адказаць на гэтае пытанне зноў.
Практыкаванні, што ідуць пасля кантрольных пы-
танняў, раздзелены на тры групы.
Практыкаванні першай групы прысвечаны тым пы-
танням, якія абмяркоўваліся ў тлумачальным тэксце.
3
Правообладатель Народная асвета
Яны маюць у асноўным трэніровачны характар, хаця
сярод іх могуць сустрэцца і больш складаныя.
Другую групу пасля раздзяляльнай гарызанталь-
най рысы складаюць разнастайныя практыкаванні на
паў та рэнне. Пры іх выкананні вам трэба будзе прымя-
няць веды, набытыя раней, у тым ліку і ў папярэдніх
класах.
Задачы трэцяй групы, якія ідуць пасля трох раз-
а
дзяляльных зорачак, з’яўляюцца ў чымсьці нестан-
дартнымі. Яны патрабуюць творчых падыходаў, сама-
т
стойнасці ў разважаннях. Разам з тым для іх рашэння
ў вас дастаткова ведаў. е
Тыя практыкаванні, нумары якіх набраны паўтлу-
в
стым курсівам, прызначаны для паглыблення набы-
тых вамі ведаў.
с
Жадаем вам поспехаў!
а Аўтары
я
а
н
д
о
р
а
Н
Правообладатель Народная асвета
1. Функцыя
а
А) Вы ўжо неаднаразова сустракаліся з залежнасцямі па-
т
між велічынямі.
Прыклад 1. Плошча квадрата залежыць ад деаўжыні яго
стараны. Кожнаму значэнню a даўжыні стараны квадрата ад-
в
павядае адзінае значэнне S яго плошчы (рыс. 1), што коратка
выражаецца формулай
с
S = a2.
а
я
а
н
д
о
Рыс. 1
р
Прыклад 2. Маса меднага прутка залежыць ад яго аб’ ёму.
Кожнаму значэнню аб’ёму V прутка адпавядае адзінае зна-
а
чэнне яго масы m (рыс. 2), што выражаецца формулай
Н m = 8,96V.
Рыс. 2
5
Правообладатель Народная асвета
Прыклад 3. Кожнаму значэнню зменнай c адпавядае
адзінае значэнне u выразу 2c – 3. Напрыклад,
калі c = 4, то u = 2 (cid:10) 4 – 3 = 5;
калі c = –5, то u = 2 (cid:10) (–5) – 3 = –13;
калі c = –4,7, то u = 2 (cid:10) (–4,7) – 3 = –12,4.
Залежнасць зменнай u ад зменнай c запісваецца формулай
u = 2c – 3. а
Залежнасць адной зменнай y ад другой x, прты якой кож-
наму значэнню зменнай x з пэўнага мноства D адпавядае адзі-
е
нае значэнне зменнай y, называецца функцыянальнай залеж-
насцю або функцыяй зменнай x. в
Калі зменная y з’яўляецца функцыяй зменнай x, то змен-
ную x называюць незалежнай зменснай або аргументам, а
зменную y — залежнай зменнай. а
Мноства тых значэнняў, якія можа прымаць аргумент
функцыі, называецца абсягам вызначэння функцыі, а мно-
я
ства тых значэнняў, якія можа набываць залежная змен-
ная, — абсягам значэнняў функцыі.
а
Напрыклад, плошча S квадрата з’яўляецца функцыяй
даўжыні a яго старанын. Абсягам вызначэння гэтай функцыі
з’яў ляецца мноства дадатных рэчаісных лікаў.
Маса m меднагда прутка з’яўляецца функцыяй яго аб’-
ё му V. Абсяг вызначэння гэтай функцыі — таксама мноства
о
дадатных рэчаісных лікаў.
Зменнаяр u з прыкладу 3 з’яўляецца функцыяй зменнай c.
Яе абсяг вызначэння — мноства ўсіх рэчаісных лікаў.
Б) Фаункцыі могуць задавацца рознымі спосабамі. Часта
гэта робяць з дапамогай формулы. Мы ўжо ўказвалі на функ-
Н
цыянальныя залежнасці, зададзеныя формуламі:
S = a2, m = 8,96V, u = 2c – 3.
Формула дае магчымасць для любога значэння аргумен-
та з абсягу вызначэння знайсці адпаведнае значэнне фун к-
цыі.
Прыклад 4. Знойдзем значэнні функцыі S = a2 для значэнняў
аргумента a, роўных 7 і 32:
калі a = 7, то S = 72 = 49;
калі a = 32, то S = 322 = 1024.
6
Правообладатель Народная асвета
Вынікі падобных вылічэнняў зручна афармляць табліцай.
Складзём табліцу значэнняў функцыі S = a2 для значэнняў
аргумента a з прамежку [0; 2] з крокам 0,2.
a 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
S 0 0,04 0,16 0,36 0,64 1 1,44 1,96 2,56 3,24 4
а
Формульнае заданне функцыі дазваляе знаходзіць значэн-
ні аргумента, якім адпавядае дадзенае значэнне фунткцыі.
Прыклад 5. Функцыя зададзена формулай r = 2b2 – b – 10.
е
Знойдзем, пры якім значэнні аргумента b функцыя r прымае
значэнне, роўнае 5. Для гэтага ў формулу r =в 2b2 – b – 10 за-
мест r падставім лік 5. Атрымаем ураўненне са зменнай b:
с
5 = 2b2 – b – 10.
а
Рэшым яго:
1± 1+120
b = ;
4 я
b = −21 аабо b = 3.
2
Значыць, r = 5 пры b = −н21 і пры b = 3.
2
Калі функцыя зададдзена формулай і пры гэтым не ўка-
заны абсяг яе вызначэння, то лічаць, што гэты абсяг ёсць
о
мноства ўсіх значэнняў аргумента, пры якіх выраз з правай
часткі формулы рмае значэнне. Напрыклад, абсяг вызначэння
функцыі y = 7 — гэта мноства ўсіх рэчаісных лікаў, акра-
аt−4
мя ліку 4.
Н
Прыклад 6. Знойдзем абсяг вызначэння функцыі:
а) y = t+3;
б) z = 3x+12 − x .
1−x
а) Паколькі выраз A мае значэнні пры неадмоўных зна-
чэннях A, то для знаходжання абсягу вызначэння трэба ра-
шыць няроўнасць t + 3 (cid:44) 0. Яе рашэнні можна запісаць ня-
роўнасцю −3 (cid:45) t. Значыць, абсягам вызначэння функцыі
y = t+3 з’яўляецца прамежак [−3; +(cid:88)).
7
Правообладатель Народная асвета
б) Улічым, што падкарэнны
выраз 3x + 12 павінен быць не-
Рыс. 3 адмоўным, а падкарэнны выраз
1 − x — дадатным, бо ён стаіць не
толькі пад коранем, але і ў назоўніку дробу. Гэта азначае,
што для знаходжання абсягу вызначэння трэба рашыць сі-
⎧3x+12(cid:44)0,
стэму няроўнасцей ⎨ Паколькі x (cid:44) –4 і x (cid:43) 1, то
⎩1−x(cid:42)0. а
абсягам вызначэння з’яўляецца прамежак [–4; 1) (рыс. 3).
т
В) Функцыя можа задавацца табліцай.
е
Прыклад 7. У наступнай табліцы ўказаны сярэднямесяч-
ныя тэмпературы паветра ў сталіцы нашвай краіны горадзе
Мінску.
с
n I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
а
t,
−6,9 −6,4 −2,2 5,3 12,6 16,0 17,8 16,2 11,6 5,6 0,0 −4,5
°C
я
Тут аргументам з’яўляецца парадкавы нумар месяца,
а значэннем функцыі —а тэмпература паветра ў градусах
Цэльсія. Напрыклад, з гэтай табліцы мы даведваемся, што
н
ў красавіку сярэднямесячная тэмпература паветра складае
5,3 °C.
д
Функцыянальная залежнасць можа выяўляцца графікам.
На рысункуо 4 паказаны графік руху цела, кінутага пад вуг-
лом у 60° да гарызонту з пачатковай скорасцю 20 м/с.
р
З дапамогай графіка функцыі можна па значэнні аргумен-
та знайсці адпаведнае значэнне функцыі. Па графіку, што на
а
рысунку 5, вызначаем, што, напрыклад, праз 2 с ад пачатку
рухуН цела знаходзілася на вышыні 15 м, а праз 3 с — на вы-
шыні 7,8 м.
Можна таксама рашыць і адваротную задачу, а менавіта:
па дадзеным значэнні a функцыі знайсці тыя значэнні ар-
гумента, пры якіх функцыя прымае гэтае значэнне a. На-
прыклад, па графіку, што на рысунку 6, знаходзім, што на
вышыні 10 м цела знаходзілася праз 0,7 с і праз 2,8 с ад па-
чатку руху.
Ёсць прылады, што вырысоўваюць графікі залежнасцей
паміж велічынямі. Гэта барографы — прылады для фік-
савання залежнасці атмасфернага ціску ад часу, тэрмогра-
8
Правообладатель Народная асвета
а
т
е
в
с
а
я
а
н
д
Рыс. 4 о Рыс. 5 Рыс. 6
р
фы — прылады для фіксавання залежнасці тэмпературы ад
часу, кардыаёграфы — прылады для графічнай рэгістрацыі
дзейнасці сэрца і інш. На рысунку 7 схематычна паказаны
тэрмографН. Яго барабан раўнамерна верціцца. Да паперы, што
наматана на барабан, датыкаецца самапісец, які ў залежнасці
ад тэмпературы паднімаецца і апускаецца і вырысоўвае на па-
перы пэўную лінію.
Г) Па формульным выяў-
ленні функцыі можна скласці
табліцу яе значэнняў для адпа-
ведных значэнняў аргумента.
Складзеная табліца дапаможа
атрымаць графічнае выяўленне
функцыі. Рыс. 7
9
Правообладатель Народная асвета
Прыклад 8. Функцыя зададзена формулай p = 10 . Скла-
t2+1
дзём табліцу значэнняў гэтай функцыі.
t −5 −4 −3 −2 −1 −0,5 0 0,5 1 2 3 4 5
p 0,38 0,59 1 2 5 8 10 8 5 2 1 0,59 0,38
Напрыклад, калі t = –5, то p = 10 = 10 = 10 ≈ 0,38.
(−5)2+1 25+1 а26
Знойдзеныя пары значэнняў зменных t і p выявім на каар-
т
дынатнай плоскасці (рыс. 8). Калі аргументу t даваць іншыя
значэнні і адзначаць на каардынатнай плоскасці адпаведныя
е
пункты, то ўсе гэтыя пункты дадуць уяўленне пра пэўную
в
лінію. Гэтая лінія з’яўляецца графікам функцыі p = 10
t2+1
(рыс. 9).
с
Графікам функцыі называецца мноства ўсіх пунктаў ка-
а
ардынатнай плоскасці, абсцысы якіх роўныя значэнням ар-
гумента, а ардынаты — адпаве дным значэнням функцыі.
я
а
н
д
о
р
а
Н
Рыс. 8
10
Правообладатель Народная асвета
