801 Ejercicios Resueltos - Integral Indefinida

242 Pages·2002·1.573 MB·Spanish

by  Italo Cortés, Carlos Sánchez

Universidad Nacional Experimental del Táchira
INDICE
INTRODUCCION.............................................................................................................................................5
INSTRUCCIONES............................................................................................................................................6
ABREVIATURAS DE USO FRECUENTE...................................................................................................7
IDENTIFICACIONES USUALES.................................................................................................................7
IDENTIDADES ALGEBRAICAS..................................................................................................................7
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.......................................................................................................8
FORMULAS FUNDAMENTALES.................................................................................................................10
CAPITULO 1...................................................................................................................................................12
INTEGRALES ELEMENTALES................................................................................................................12
EJERCICIOS DESARROLLADOS.............................................................................................................12
EJERCICIOS PROPUESTOS......................................................................................................................20
RESPUESTAS..............................................................................................................................................21
CAPITULO 2...................................................................................................................................................29
INTEGRACION POR SUSTITUCION........................................................................................................29
EJERCICIOS DESARROLLADOS.............................................................................................................29
EJERCICIOS PROPUESTOS......................................................................................................................39
RESPUESTAS..............................................................................................................................................41
CAPITULO 3...................................................................................................................................................59
INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.......................................................................59
EJERCICIOS DESARROLLADOS.............................................................................................................59
EJERCICIOS PROPUESTOS......................................................................................................................66
RESPUESTAS..............................................................................................................................................67
CAPITULO 4...................................................................................................................................................77
INTEGRACION POR PARTES...................................................................................................................77
EJERCICIOS DESARROLLADOS.............................................................................................................77
EJERCICIOS PROPUESTOS......................................................................................................................88
RESPUESTAS..............................................................................................................................................89
CAPITULO 5.................................................................................................................................................111
INTEGRACION DE FUNCIONES CUADRATICAS...............................................................................111
EJERCICIOS DESARROLLADOS...........................................................................................................111
EJERCICIOS PROPUESTOS....................................................................................................................116
RESPUESTAS............................................................................................................................................117
CAPITULO 6.................................................................................................................................................126
INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA.................................................................126
EJERCICIOS DESARROLLADOS...........................................................................................................126
EJERCICIOS PROPUESTOS:...................................................................................................................135
RESPUESTAS............................................................................................................................................137
CAPITULO 7.................................................................................................................................................154
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES..................................................................................154
EJERCICIOS DESARROLLADOS...........................................................................................................154
EJERCICICOS PROPUESTOS..................................................................................................................162
RESPUESTAS............................................................................................................................................163
CAPITULO 8.................................................................................................................................................188
2
INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES D SENO Y COSENO...............................................188
EJERCICIOS DESARROLLADOS...........................................................................................................188
EJERCICIOS PROPUESTOS....................................................................................................................195
RESPUESTAS............................................................................................................................................195
CAPITULO 9.................................................................................................................................................199
INTEGRACION DE FUNCONES IRRACIONALES...............................................................................199
EJERCICIOS DESARROLLADOS...........................................................................................................199
EJERCICIOS PROPUESTOS....................................................................................................................203
RESPUESTAS............................................................................................................................................203
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS........................................................................................................208
RESPUESTAS............................................................................................................................................210
BIBLIOGRAFIA............................................................................................................................................242

3
A Patricia. / A Ana Zoraida.

A los que van quedando en el camino,

Compañeros de ayer,

De hoy y de siempre.

4
INTRODUCCION

El libro que os ofrecemos, no es un libro auto contenido, sino un instrumento
de complementación, para la práctica indispensable en el tópico relativo a las
integrales indefinidas. En este contexto, el buen uso que se haga del mismo
llevará a hacer una realidad, el sabio principio que unifica la teoría con la práctica.

El trabajo compartido de los autores de “801 ejercicios resueltos” es una
experiencia que esperamos sea positiva, en el espíritu universitario de la
activación de las contrapartes, en todo caso será el usuario quien de su veredicto
al respecto, ya sea por medio del consejo oportuno, la crítica constructiva o la
observación fraterna, por lo cual desde ya agradecemos todo comentario al
respecto.

Nos es grato hacer un reconocimiento a la cooperación prestada por los
estudiantes de UNET: Jhonny Bonilla y Omar Umaña.

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INSTRUCCIONES

Para un adecuado uso de este problemario, nos permitimos recomendar lo
siguiente:
a) Estudie la teoría pertinente en forma previa.
b) Ejercite la técnica de aprehender con los casos resueltos.
c) Trate de resolver sin ayuda, los ejercicios propuestos.
d) En caso de discrepancia consulte la solución respectiva.
e) En caso de mantener la discrepancia, recurre a la consulta de algún
profesor.
f) Al final, hay una cantidad grande de ejercicios sin especificar técnica
alguna. Proceda en forma en forma análoga.
g) El no poder hacer un ejercicio, no es razón para frustrarse. Adelante
y éxito.

6
ABREVIATURAS DE USO FRECUENTE

e: Base de logaritmos neperianos.
(cid:65)η: Logaritmo natural o neperiano.
(cid:65)og : Logaritmo vulgar o de briggs.
sen: Seno.
arcsen: Arco seno.
cos: Coseno.
arccos: Arco coseno.
arccos: Arco coseno.
τg: Tangente.
arctg : Arco tangente.
coτg Cotangente.
arccotg Arco cotangente.
sec: Secante.
arcsec: Arco secante.
cosec: Cosecante.
arcsec: Arco cosecante.
exp: Exponencial.
dx: Diferencial de x.
x : Valor absoluto de x.
m.c.m: Mínimo común múltiplo.

IDENTIFICACIONES USUALES

senn x=(senx)n sen−1x=arcsenx
(cid:65)ηnx=((cid:65)ηx)n (cid:65)ognx=((cid:65)ogx)n
(cid:65)ogx=(cid:65)og x

IDENTIDADES ALGEBRAICAS

1. Sean a, b: bases; m, n números naturales.
aman =am+n (am)n =amn
am (ab)n =anbn
=am−n,a≠0
an
⎛a⎞n an amn = n am =(n a)m
= ,b≠0
⎜ ⎟
⎝b⎠ bn

1 a0 =1,a≠0
a−n =
an
7
2. Sean a, b ,c: bases; m, n números naturales
(a±b)2 =a2 +2ab+b2 (a±b)3 =a3±3a2b+3ab2 +b3
(a±b)4 =a4 ±4a3b+6a2b2 ±4ab3+b4 a2 −b2 =(a+b)(a−b)
a2n −b2n =(an +bn)(an −bn) a3±b3 =(a±b)(a2 ∓ab±b2)
(a+b+c)2 =a2 +b2 +c2 +2(ab+ac+bc)

3. Sean b, n, x, y, z: números naturales
⎛ x⎞
(cid:65)og =(cid:65)og x−(cid:65)og y
(cid:65)og(xyz)=(cid:65)ogbx+(cid:65)ogby+(cid:65)ogbz b⎜⎝ y⎟⎠ b b
(cid:65)og xn =n(cid:65)og x 1
b b (cid:65)og n x = (cid:65)og x
b n b
(cid:65)og 1=0 (cid:65)og b=1
b b

(cid:65)ηe=1 (cid:65)ηexpx= x =x
(cid:65)ηex = x e(cid:65)ηx = x
exp((cid:65)ηx)= x

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
1.
1 1
sen = cosθ=
cosecθ secθ

senθ 1
τgθ= τgθ=
cosθ coτgθ
sen2θ+cos2θ=1 1+τg2θ=sec2θ

1+coτg2θ=cosec2θ cosθcosecθ=coτgθ

cosθτgθ=senθ

2.
(a)
sen(α+β)=senαcosβ+cosαsenβ sen2α=2senαcosα
senα=± 1−cosα sen2α=1−cos2α
2 2 2

sen(α−β)=senαcosβ−cosαsenβ

8
(b)

α 1+cosα
cos(α+β)=cosαcosβ−senαsenβ cos =±
2 2
1+cos2α cos(α−β)=cosαcosβ+senαsenβ
cos2α=
2
cos2α=cos2α−sen2α=1−2sen2α=2cos2α−1

(c)
τgα+τgβ 2τgα
τg(α+β)= τg2α=
1−τgατgβ 1−τg2α
1−cos2α τgα−τgβ
τg2α= τg(α−β)=
1+cos2α 1+τgατgβ
α 1−cosα senα 1−cosα
τg =± = =
2 1+cosα 1+cosα senα

(d)
1 1
senαcosβ= [sen(α+β)+sen(α−β)] cosαsenβ= [sen(α+β)−sen(α−β)]
2 2
1 1
cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α−β)] senαsenβ=− [cos(α+β)−cos(α−β)]
2 2
α+β α−β α+β α−β
senα+senβ=2sen cos senα−senβ=2cos sen
2 2 2 2
α+β α−β α+β α−β
cosα+cosβ=2cos cos cosα−cosβ=−2sen sen
2 2 2 2

(e)
arcsen(senx)= x arccos(cosx)= x
arcτg(τgx)= x arccoτg(coτgx)= x
arcsec(secx)= x arccosec(cosecx)= x

9
FORMULAS FUNDAMENTALES

Diferenciales Integrales
du 1.-∫du =u+c
1.-du = dx
u
2.-d(au)=adu 2.-∫adu =a∫du
3.-d(u+v)=du+dv 3.-∫(du+dv)=∫du+∫dv
4.-d(un)=nun−1du un+1
4.-∫undu = +c(n≠−1)
n+1
du du
5.-d((cid:65)ηu)= 5.-∫ =(cid:65)ηu +c
u u
6.-d(eu)=eudu 6.-∫eudu =eu +c
7.-d(au)=au(cid:65)ηadu au
7.-∫audu = +c
(cid:65)ηa
8.-d(senu)=cosudu 8.-∫cosudu =senu+c
9.-d(cosu)=−senudu 9.-∫senudu =−cosu+c
10.-d(τgu)=sec2udu 10.-∫sec2udu =τgu+c
11.-d(coτgu)=−cosec2udu 11.-∫cosec2udu =−coτgu+c
12.-d(secu)=secuτgudu 12.-∫secuτgudu =secu+c
13.-d(cosecu)=−cosecucoτgudu 13.-∫cosecucoτgudu =−cosecu+c
du du
14.-d(arcsenu)= 14.-∫ =arcsenu+c
1−u2 1−u2
−du du
15.-d(arccosu)= 15.-∫ =−arccosu+c
1−u2 1−u2
du du
16.-d(arcτgu)= 16.-∫ =arcτgu+c
1+u2 1+u2
−du du
17.-d(arccoτgu)= 17.-∫ =−arccoτgu+c
1+u2 1+u2
du du ⎧ arcsecu+c;u >0
18.-d(arcsecu)= 18.-∫ =⎨
u u2 −1 u u2 −1 ⎩−arcsecu+c;u<0
−du −du ⎧−arccosecu+c;u >0
19.-d(arccosecu)= 19.-∫ =⎨
u u2 −1 u u2 −1 ⎩ arccosecu+c;u<0

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