Table Of ContentУчебное пособие для 8 класса а
учреждений общего среднего образования
т
с русским языком обучения
е
в
Под редакцией
с
профессора Л. Б. Шнепермана
а
я
Допущено
Министерством образования
а
Республики Беларусь
н
4-е издание, дисправленное и дополненное
о
р
а
Н
Минск «Народная асвета» 2015
Правообладатель Народная асвета
УДК 512(075.3=161.1)
ББК 22.14я721
А45
а
Авторы:
т
Е. П. Кузнецова, Г. Л. Муравьева, Л. Б. Шнеперман, Б. Ю. Ящин
е
в
Рецензент
с
кафедра «Высшая математика № 3» Белорусского национального техни-
ческого университета (кандидат педагогиаческих наук, доцент кафедры
Е. Л. Ерошевская)
я
а
н
Алгебра : удчеб. пособие для 8-го кл. учреждений
А45 общ. сред. образования с рус. яз. обучения / Е. П. Куз-
о
нецова [и др.] ; под ред. проф. Л. Б. Шнепермана. —
4-е издр., испр. и доп. — Минск : Народная асвета,
2015. — 310 с. : ил.
IаSBN 978-985-03-2390-3.
Предыдущее издание вышло в 2010 г.
Н
УДК 512(075.3=161.1)
ББК 22.14я721
ISBN 978-985-03-2390-3 © Оформление. УП «Народная асвета»,
2015
Правообладатель Народная асвета
а
От авторов
т
В 8-м классе мы продолжим изучение алгебры и позна-
е
комимся с очень важными для всей математики понятиями:
в
«неравенство», «иррациональное число», «действительное чис-
ло», «квадратное уравнение», «квадратичная функция».
с
Как и в учебном пособии для 7-го класса, упражнения в
этой книге нумеруются по главам. Чисало, стоящее перед точ-
кой, обозначает номер главы, число после точки — номер уп-
ражнения в этой главе. Напримеря, 3.59 — это 59-е упражне-
ние из 3-й главы.
Среди упражнений встречааются номера с кружком (на-
пример, 1.35°), номера со звездочкой (например, 5.21*) и но-
н
мера без пометок (например, 6.58). Кружком отмечены уп-
ражнения, которые должен уметь решать каждый учащийся.
д
Все остальные упражнения предназначены для желающих
углубить свои знаноия. Наиболее сложные из них отмечены
звездочкой. Значительная часть заданий повышенного уров-
р
ня сложности содержится в сборнике задач.
Пояснениая к преобразованиям, которые даются по ходу
решения примера (их не надо записывать в тетради), заклю-
Н
чаются между двумя вертикальными стрелками ( ... или
... ); направление стрелок указывает, какое именно преоб-
разование поясняется.
Окончание доказательства утверждения отмечается свет-
лым квадратиком с диагоналями (cid:54).
Материал, выделенный треугольниками ▲, предназначен
для тех, кто собирается серьезно изучать математику.
Материал, на который следует обратить особое внимание,
отмечен восклицательным знаком .
Правообладатель Народная асвета
4 ОТ АВТОРОВ
Весы нарисованы там, где сравниваются варианты
доказательств, решений или их оформления.
Исторические сведения, встречающиеся в книге, выделе-
ны знаком .
а
Знаком отмечены вопросы, которые приведены после
каждого пункта; они помогают осмыслить и птовторить но-
вый материал, выделить в нем главное.
е
Материал для повторения отмечен знаком .
в
На форзацах и в конце учебного пособия помещены спра-
вочные материалы. В книге есть предметный указатель.
с
а
я
а
н
д
о
р
а
Н
Правообладатель Народная асвета
Глава 1
ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА
1.1. Числовые неравенства
а
Понятия положительного и отрицательного чисел позво-
т
ляют сравнивать рациональные числа, т. е. устанавливать,
что одно рациональное число больше или меньшее другого.
Определим понятия «больше» и «меньше» для рациональ-
в
ных чисел.
Определение. Пусть а и b — рациоснальные числа. Го-
ворят, что а больше b (пишут а (cid:42) b), если разность а – b поло-
жительное число, и что а меньше b (паишут а (cid:43) b), если раз-
ность а – b отрицательное число.
Заметим, что если а − b = 0, тяо а = b.
Теорема 1. Для чисел аа и b верно одно и только одно
из трех соотношений:
н
а (cid:42) b, а (cid:43) b, а = b.
д
▲ Доказательство. Разность а – b либо положительное
число, либо отрицаотельное число, либо равна нулю, поэтому
либо а (cid:42) b, либо а (cid:43) b, либо а = b. (cid:55) ▲
р
Понятия «больше» и «меньше» взаимосвязаны:
если а а(cid:42) b, то b (cid:43) а, и наоборот, если b (cid:43) а, то а (cid:42) b.
ПримНер 1. Какое из двух чисел больше: 4 или 5 ?
9 11
4 5
Решение. Вычтем из числа число и определим
9 11
знак этой разности:
4 5 4(cid:10)11 5(cid:10)9 44−45 −1
− = − = = .
9 11 9(cid:10)11 11(cid:10)9 99 99
4 5
Получили, что разность − — отрицательное число,
9 11
значит, 4 (cid:43) 5 .
9 11
5
Ответ: .
11
Правообладатель Народная асвета
6 Глава 1
11 7
Пример 2. Сравнить числа и .
300 225
Решение. Рассмотрим разность этих чисел:
11 − 7 = 11 − 7 = 11(cid:10)3−7(cid:10)4 = 33−28 == 5 .
300 225 52(cid:10)3(cid:10)22 52(cid:10)32 52(cid:10)32(cid:10)22 52(cid:10)32(cid:10)22 52(cid:10)32(cid:10)22
Поскольку эта разность положительна, то 11 (cid:42)а7 .
300 225
Пример 3. Доказать, что если и — любое тчисло, a t —
положительное число, то:
а) и + t (cid:42) и; б) и − t (cid:43) и. е
Доказательство. а) Рассмотрим разнвость (и + t) − и и оп-
ределим ее знак:
(и + t) − и = и + t − си = t.
По условию t — положительное число. Следовательно,
а
u + t (cid:42) u.
Утверждение б) докажите сам остоятельно. (cid:55)
Пример 4. Доказать, что:я
а) если u — положительное число, то u (cid:42) 0;
б) если u — отрицательаное число, то u (cid:43) 0.
Доказательство. а) Поскольку разность u − 0 — поло-
н
жительное число, то по определению u (cid:42) 0.
Утверждение б) докажите самостоятельно. (cid:55)
д
Любое число изображается точкой
о на координатной прямой. Из двух чи-
сел больше то, которое изображается
р
точкой, лежащей правее (рис. 1).
Рис. 1 Напомним, что
а
вместо слов «точка М с координатой а» говорят:
Н
«точка М соответствует числу а», «точка М изобра-
жает число а» или даже просто «точка а».
Пусть a — некоторое число. Отметим штриховкой часть
координатной прямой левее точки a (рис. 2). Чтобы под-
черкнуть, что точка a не принадлежит заштрихованной час-
ти координатной прямой, выделим
эту точку светлым (незакрашенным)
кружком.
Если точка x лежит на координат-
Рис. 2 ной прямой левее точки a, то x (cid:43) a.
Правообладатель Народная асвета
ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА 7
Наоборот, если x (cid:43) a, то точка x
лежит на координатной прямой ле-
вее точки a.
На рисунке 3 штриховкой вы-
делена часть координатной прямой
Рис. 3
правее точки a и отмечена точка x
а
такая, что x (cid:42) a (точка а, выделенная светлым кружком,
не принадлежит заштрихованной части прямой). т
Определение. Неравенство — это два выражения А
е
и В (числовые или с переменными), соединенные одним из
знаков «(cid:43)» или «(cid:42)». Выражение А называювт левой частью
неравенства А (cid:43) В (А (cid:42) В), а выражение В — его правой
частью. с
Неравенства А (cid:43) В и С (cid:43) D (а также А (cid:42) В и С (cid:42) D) назы-
а
вают неравенствами одного знака, а неравенства А (cid:43) В и
С (cid:42) D — неравенствами разных з наков. Знаки неравенств
«(cid:43)» и «(cid:42)» называют противополяожными.
Неравенство называется числовым, если каждая из его
а
частей является числовым выражением. Числовое неравен-
ство А (cid:43) В называется верным, если значение его левой час-
н
ти меньше значения его правой части.
Аналогичное определение дается для А (cid:42) В.
д
Например, 3 (cid:43) 5 и −2 (cid:43) 6 — верные числовые неравенства
одного знака, а 3 (cid:43)о 5 и 6 (cid:42) 4 — верные числовые неравенства
разных знаков. Неравенства
р
13 (cid:43) 8; −7 + 2 (cid:10) 5 (cid:43) −9; 24 (cid:42) 32
— неверныеа числовые неравенства.
В Нэтом пункте, а также в п. 1.2—1.5, формулируя свой-
ства числовых неравенств, мы будем говорить только
о верных числовых неравенствах.
Теорема 2. Если a (cid:43) b и b (cid:43) с, то a (cid:43) с.
Доказательство. Способ 1. Так как a (cid:43) b и b (cid:43) с, то
a − b и b − с — отрицательные числа. Сумма отрицатель-
ных чисел является отрицательным числом, следователь-
но, (a − b) + (b − с) — отрицательное число. Но (a − b) + (b − с) =
= а − с, поэтому а − с — отрицательное число. А это означает,
что а (cid:43) с. (cid:55)
Правообладатель Народная асвета
8 Глава 1
Способ 2. Рассмотрим разность а − с и определим ее
знак:
а − с = а − с + b − b = (a − b) + (b − с).
Так как по условию a (cid:43) b и b (cid:43) с, то числа a − b и b − с от-
рицательные, а сумма отрицательных чисел — отрицательное
число. Таким образом, а − с (cid:43) 0, т. е. а (cid:43) с. (cid:55) а
Теорема сформулирована для соотношения «меньше».
т
Не составит труда переформулировать ее для соотношения
«больше»:
е
если с (cid:42) b и b (cid:42) а, то с (cid:42) a.
в
Для точек на координатной прямой доказанная теорема
с
означает, что
а
если точка а лежит левее точки b и точка b ле-
жит левее точки с, то т очка а лежит левее точки с
(рис. 4). я
Рис. 4 а
В этой главе теоремны будут формулироваться и доказы-
ваться только для одного из соотношений: «меньше» или
д
«больше». А для другого соотношения вы можете сделать это
самостоятельно.
о
Пример 5. О числах а и b известно, что а (cid:43) b. Доказать, что:
р
а) если а — положительное число, то и b — положительно;
б) если b — отрицательное число, то и а — отрицательно.
а
Доказательство. а) По условию а (cid:42) 0. Это значит, что
0 (cid:43) а.Н А так как а (cid:43) b, то согласно теореме 2 получим 0 (cid:43) b ,
т. е. b (cid:42) 0. Другими словами, b — положительное число. (cid:55)
Утверждение б) доказывается аналогично.
Пример 6. Верно ли, что:
а) если 6a−7 (cid:43)0, то 6а − 7 (cid:43) 0;
23a4+1
б) если (3а + 16)(−а2 − 3) (cid:42) 0, то 3а + 16 (cid:43) 0?
Решение. а) Так как знаменатель дроби 23а4 + 1 положи-
телен, а дробь по условию отрицательна, то ее числитель 6а − 7
должен быть отрицательным числом, значит, 6а − 7 (cid:43) 0.
Правообладатель Народная асвета
ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА 9
б) Так как по условию произведение двух множителей по-
ложительно, а множитель (−а2 − 3) отрицателен, то и второй
множитель должен быть отрицательным, значит, 3а + 16 (cid:43) 0.
Ответ: а) верно; б) верно.
▲ Пример 7. Доказать, что
1 + 1 + 1 +...+ 1 (cid:43) 1. а
5(cid:10)6 6(cid:10)7 7(cid:10)8 98(cid:10)99 5
т
Доказательство. Рассмотрим следующие верные число-
вые равенства: е
1 = 1 − 1; 1 = 1 − 1; 1 = 1в− 1;
5(cid:10)6 5 6 6(cid:10)7 6 7 7(cid:10)8 7 8
1 = 1 − 1; ...; 1 = с1 − 1 .
8(cid:10)9 8 9 98(cid:10)99 98 99
а
Сложив их почленно, т. е. сложив их левые части и сло-
жив их правые части, получим:
я
1 1 1 1 1
+ + + +...+ =
5(cid:10)6 6(cid:10)7 7(cid:10)8 8(cid:10)9 98(cid:10)99
а
= 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +...+ 1 − 1 =1 − 1 (cid:43) 1. (cid:55) ▲
5 6 6 7 7 8 8н9 98 99 5 99 5
Знаки неравенства «(cid:43)» и «(cid:42)» для записи результатов
д
сравнения чисел предложил английский математик
Томас Гарриоот в 1631 г. Они быстро получили всеобщее
признание. Это объясняется и тем, что в типографиях
использовралась латинская литера «V», с помощью ко-
торой легко было получить знаки «(cid:43)» и «(cid:42)». Поэтому
а
знаки неравенства сразу появились и в математиче-
ских книгах тех лет.
Н
1. В каком виде можно записать любое рациональное число?
k
2. Какое рациональное число (где k — целое число, n — нату-
n
ральное) является:
а) положительным; б) отрицательным?
3. Когда говорят, что число а больше числа b (число а меньше числа b)?
4*. Докажите, что для чисел а и b верно одно и только одно из трех
соотношений: а (cid:42) b, а (cid:43) b, а = b.
5. Как с помощью знаков «(cid:42)» и «(cid:43)» записать утверждение:
а) −3р — положительное число;
б) р−3 — отрицательное число?
Правообладатель Народная асвета
10 Глава 1
6. Пусть m (cid:43) k. Как расположены на координатной прямой относи-
тельно друг друга точки m и k?
7. Приведите пример числового неравенства. Назовите его левую
часть, правую часть.
8. Приведите примеры двух верных числовых неравенств:
а) одного знака; б) разных знаков.
9. Приведите пример неверного числового неравенства.а
10. О числах а, b, с известно, что а (cid:43) b и b (cid:43) с. Что можно утвер-
т
ждать о соотношении между а и с?
е
Упражнения
в
1.1°. 1) Расположите в порядке возрастания:
с
1 2
2 ; −3,6; −7,1; −2,8; 1 ; 2,26.
4 9 а
2) Расположите в порядке убывания:
(−6)2; 32; (−2)3; (−1)2; (−1)3я; (−4)2.
1.2°. Расположите в порядаке возрастания:
(cid:127) (cid:128)
1) 90 : (−15), −1 (cid:20)(−7) и −7 : −1 ;
7 н 7
2) −5(−0,8) : 4, −8(−4) : 16 и −25(−6) : (−15).
д
1.3. Сравните значения выражений:
о (cid:127) (cid:128)
1) 15 (cid:10) 4 и 231(−0,3) (cid:10) 0; 2) −4 −3 и 4 (cid:10) 3 (cid:10) 5 (cid:10) 0;
4
(cid:127)р(cid:128)
3) − 3 −22 и −5 (cid:10) 7(−2); 4) 9 (cid:10) 2(−0,5) (cid:10) 3 и 21 (cid:10) 2(−3).
11 9 3 7
а
Сравните числа (1.4—1.5).
Н
1 22
1.4°. 1) 2,7 и 2,07; 2) и 0,26; 3) −3,14 и − ;
4 7
5 4 5 6 5
4) − и −0,62; 5) и ; 6) − и − .
8 9 11 7 6
17 7 13 6 11 11
1.5. 1) и ; 2) и ; 3) и ;
28 34 111 11 36 48
10 10 2015 2016 2561 2562
4) и ; 5) и ; 6) и .
21 49 2016 2017 2562 2563
1.6. Сравните значения выражений А и В:
1) А = 4−1 + (−3)−2, B = (−6)−2 −5−1 +0,2− 1 ;
36
Правообладатель Народная асвета
