Table Of ContentУДК 51(075.3)
ББК 22.1я721
Б24
Рецензент
учитель математики гос. учреждения образования «Гимназия с белорусским языком обучения № 23 г. Минска»
А. Н. Новик
Барвенов, С. А.
Б24 Математика : ЦТ за 60 уроков / С. А. Барвенов, Т. П. Бахтина. — Минск :
Аверсэв, 2019. — 304 c. : ил.
ISBN 978’985-19-3484-9.
Книга позволит старшеклассникам и абитуриентам самостоятельно и качественно под-
готовиться к централизованному тестированию. Она содержит разноуровневые задания по
22 темам курса математики, а в плане индивидуальной подготовки представлено системное
распределение этих заданий по 60 урокам. Учителям и репетиторам пособие даст возможность
проработать с учащимися все темы школьного курса математики, а также проверить предус-
мотренные программой навыки и умения.
Адресуется учащимся старших классов учреждений общего среднего образования, абиту-
риентам, учителям.
УДК 51(075.3)
ББК 22.1я721
Справочное издание
Барвенов Сергей Александрович
Бахтина Татьяна Петровна
МАТЕМАТИКА
ЦТ за 60 уроков
Изображение на обложке используется по лицензии Shutterstock.com
Дизайнеры С. Г. Скрипниченко, А. А. Яцук
Ответственный за выпуск Д. Л. Дембовский
Подписано в печать 21.12.2018. Формат 60×84 1/. Бумага газетная.
8
Печать офсетная. Усл. печ. л. 35,34. Уч.’изд. л. 30,84. Ти раж 3100 экз. Заказ
Общество с дополнительной ответственностью «Аверсэв».
Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя,
распространителя печатных изданий № 1/15 от 02.08.2013.
Ул. Н. Олешева, 1, офис 309, 220090, г. Минск.
E(cid:22)mail: [email protected]; www.aversev.by
Контактные телефоны: (017) 268’09’79, 268-08-78.
Для писем: а/я 3, 220090, г. Минск.
УПП «Витебская областная типография».
Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя,
распространителя печатных изданий № 2/19 от 26.11.2013.
Ул. Щербакова’Набережная, 4, 210015, г. Витебск.
12+
ISBN 978(cid:22)985-19-3484-9 © Барвенов С. А., Бахтина Т. П., 2019
© Оформление. ОДО «Аверсэв», 2019
Ïðåäèñëîâèå
Книга «Математика. Тренинг решения задач, используемых на централизованном тестировании» стала удобным и на-
дежным помощником для многих тысяч абитуриентов и учителей. Она смогла удовлетворить их потребность в качественном
материале для подготовки к централизованному тестированию (ЦТ). Однако программы для поступающих в вузы меняются,
и поэтому в пособие постоянно добавляются задания, которые отсутствовали в предыдущих изданиях.
Новое, усовершенствованное издание выходит под названием «Математика. ЦТ за 60 уроков». Книга по-прежнему со-
стоит из 22 тем. В каждой теме все задания систематизированы и организованы в блоки по 4 задачи. Задачи в одном блоке
объединены одной или очень близкими идеями решения.
В конце книги имеются указания к решению задачи а каждого блока. Это очень удобно для подготовки: если задачи
определенного блока вызывают затруднения, то, разобравшись в решении задачи а, можно сразу же закрепить полученный
навык на задачах б, в и г. Ко всем задачам в книге даны ответы.
В пособии представлены два параграфа по геометрии. Параграф 21 «Геометрия (часть А)» включает задачи базового
уровня сложности, соответствующие заданиям части А на ЦТ. Параграф 22 «Геометрия (часть B)» содержит более сложные
задачи.
Авторы тщательно изучили все материалы, разработанные Республиканским институтом контроля знаний, начиная
с 2004 года (учтены и все туры репетиционного тестирования). Наиболее интересные задачи, аналогичные тем, которые
предлагались на ЦТ, были включены в эту книгу. Кроме того, были проанализированы задания, которые выполняли абиту-
риенты на общегосударственных экзаменах в России и Украине.
Задачи в книге условно разделены на три уровня сложности. Задачи без каких-либо обозначений должны решать все
абитуриенты, которые намереваются получить на ЦТ более 20 баллов. Задания, помеченные одной звездочкой, ориентиро-
ваны на тех учащихся, которые не только без ошибок решают все задачи первого уровня, но и хотят получить на ЦТ более
50 баллов. Задания с двумя звездочками рассчитаны на абитуриентов, которые нацелены получить на ЦТ более 80 баллов.
В начале пособия приведен раздел «Основные определения и формулы», в который включены задачи на знание опреде-
лений. Практика показывает, что даже хорошо подготовленных учащихся часто ставят в тупик простейшие задания первого
уровня сложности. По мнению авторов, основная причина этого заключается в том, что большее внимание при подготовке
к ЦТ уделяется решению задач в ущерб изучению теоретического материала. Для недостаточно хорошо подготовленных
абитуриентов такие задачи позволят вспомнить или заново выучить азы математики.
В первой части пособия авторы сознательно предлагают задачи без выбора вариантов ответа. Это позволит абитури-
енту научиться осознанно решать задачи и не бояться заданий части B на ЦТ. Эффективной работе при решении заданий
части А посвящен отдельный параграф «Стратегия подготовки к ЦТ и советы абитуриенту».
Во второй части книги приведены модельные варианты тестов с выбором вариантов ответа, как на ЦТ.
Замечания, предложения и отзывы просим присылать на электронный адрес [email protected].
3
© (cid:584)(cid:574)(cid:584) «(cid:570)(cid:604)(cid:607)(cid:618)(cid:619)(cid:631)(cid:604)»
ÌÎÉ ËÈ×ÍÛÉ ÏËÀÍ ÏÎÄÃÎÒÎÂÊÈ Ê ÖÒ
№ за-
ЗАДАНИЕ Дата Примечания
нятия
№ 0.1—0.62
1
Алгебра: основные определения, простейшие вычисления
№ 1.1—1.25
2
Алгебра: вычисления
№ 0.63—0.72, 2.1—2.29
3
Алгебра: преобразование алгебраических выражений
№ 0.91—0.135, 21.1—21.12
4
Планиметрия: часть А
№ 2.30—2.63
5
Алгебра: преобразование алгебраических выражений
№ 21.13—21.20
6
Планиметрия: часть А
№ 0.80, 3.1—3.30
7
Алгебра: линейные уравнения, неравенства, системы
№ 21.21—21.29
8
Планиметрия: часть А
№ 0.81, 4.1—4.25
9
Алгебра: квадратные уравнения и неравенства
№ 21.30—21.37
10
Планиметрия: часть А
№ 5.1—5.21
11
Алгебра: квадратный трехчлен, квадратичная функция
№ 21.38—21.45
12
Планиметрия: часть А
№ 0.82—0.84, 0.88, 6.1—6.16
13
Алгебра: функции
№ 0.85—0.87, 6.17—6.39
14
Алгебра: графики функций
№ 21.46—21.51
15
Планиметрия: часть А
№ 7.1—7.28
16
Алгебра: рациональные уравнения
№ 0.90, 8.1—8.19
17
Алгебра: рациональные неравенства, метод интервалов
№ 21.52—21.57
18
Планиметрия: часть А
№ 0.76—0.81, 9.1—9.10
19
Алгебра: системы уравнений
№ 9.11—9.17
20
Алгебра: системы уравнений
№ 0.89, 10.1—10.14
21
Текстовые задачи: задачи на проценты
№ 21.58—21.60
22
Стереометрия: часть А
№ 10.15—10.19
23
Текстовые задачи: задачи на смеси и сплавы
№ 21.61—21.67
24
Стереометрия: часть А
№ 10.20—10.37
25
Текстовые задачи: задачи на движение
№ 21.68—21.76
26
Стереометрия: часть А
№ 10.38—10.49
27 Текстовые задачи: задачи на работу, задачи на числа, за-
дачи повышенной сложности
4
Ìîé ëè÷íûé ïëàí ïîäãîòîâêè ê ÖÒ
© (cid:584)(cid:574)(cid:584) «(cid:570)(cid:604)(cid:607)(cid:618)(cid:619)(cid:631)(cid:604)»
№ за-
ЗАДАНИЕ Дата Примечания
нятия
№ 21.77—21.85
28
Стереометрия: часть А
№ 0.73—0.75, 11.1—11.14
29
Алгебра: последовательности, арифметическая прогрессия
№ 11.15—11.26
30
Алгебра: геометрическая прогрессия
№ 22.1—22.22
31
Планиметрия: часть В
№ 0.48—0.50, 12.1—12.24
32 Алгебра: уравнения, содержащие переменную под зна-
ком модуля
№ 22.23—22.48
33
Планиметрия: часть В
№ 13.1—13.23
34 Алгебра: неравенства, содержащие переменную под зна-
ком модуля
№ 22.49—22.67
35
Планиметрия: часть В
№ 14.1—14.23
36
Алгебра: иррациональные уравнения
№ 22.68—22.75
37
Стереометрия: часть В
№ 0.38, 0.62, 0.69, 0.70, 16.1—16.30
38 Алгебра: преобразование показательных и логарифми-
ческих выражений
№ 22.76—22.85
39
Стереометрия: часть В
№ 0.78, 17.1—17.29
40
Алгебра: показательные уравнения, неравенства, системы
№ 22.86—22.97
41
Стереометрия: часть В
№ 18.1—18.31
42 Алгебра: логарифмические уравнения, неравенства, си-
стемы
№ 22.98—22.103
43
Стереометрия: часть В
№ 19.1—19.31
44 Тригонометрия: преобразование тригонометрических
выражений
№ 0.77, 0.79, 20.1—20.40
45
Тригонометрия: тригонометрические уравнения
46 Тренировочный вариант 1
47 Тренировочный вариант 2
48 Тренировочный вариант 3
49 Тренировочный вариант 4
50 Тренировочный вариант 5
51 Тренировочный вариант 6
52 Тренировочный вариант 7
53 Тренировочный вариант 8
54 Тренировочный вариант 9
55 Тренировочный вариант 10
56 Тренировочный вариант 11
57 Тренировочный вариант 12
58 Тренировочный вариант 13
59 Тренировочный вариант 14
60 Тренировочный вариант 15
5
© (cid:584)(cid:574)(cid:584) «(cid:570)(cid:604)(cid:607)(cid:618)(cid:619)(cid:631)(cid:604)»
ÑÒÐÀÒÅÃÈß ÏÎÄÃÎÒÎÂÊÈ Ê ÖÒ È ÑÎÂÅÒÛ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÓ
Даже твердые знания, как это ни парадоксально, не га- если вы можете в короткий срок осуществить вывод необ-
рантируют получение высокой отметки на ЦТ. В условиях ходимой формулы. Тогда затраты времени имеют смысл.
реального конкурсного экзамена важную роль играет и пси- Обязательно потратьте первые 3—5 минут после по-
хологическая подготовка абитуриента. лучения варианта на то, чтобы отметить для себя задачи
В этом параграфе остановимся на стратегиях поведения из обеих частей теста, алгоритмы решения которых вам
на тестировании по математике и в процессе подготовки известны. Стоит даже сделать краткие пометки в самом
к нему. листике с заданиями (например, написать около задачи «за-
мена», «однородность» или «разложить на множители»).
Ìåòîäèêà âûïîëíåíèÿ òåñòà
Учитывайте, что при проверке работ каждая задача
Считается, что задания в тесте размещаются по возрас- имеет свою «цену». Задания части В правильно решает
танию уровня сложности и выполнять их нужно по поряд- меньшее число абитуриентов, поэтому при выставлении
ку. Тем не менее понятие сложности — довольно субъектив- окончательной оценки они «имеют немного болQ ьший вес»,
ное, и, возможно, некоторые задания из части B именно для чем задачи из части А.
вас не будут трудными. Сложилось мнение, что все задачи части В сложные
Полезно заранее решить для себя, в какой примерно или, по крайней мере, более сложные, чем любое задание
последовательности вы будете решать тестовые задания: части А. Это не так. В любом варианте, предложенном на
сначала простые — потом сложные или наоборот. тестировании, будет 3—5 заданий в части А, правильно ре-
Для выработки своей стратегии необходимо за неделю шить которые не очень просто, и 2—4 задачи в части В, ко-
решить 4—5 тестов (на каждый отводить по 180 минут), торые составители вполне могли бы включить и в часть А.
желательно соответствующих таким, которые РИКЗ пред- Не допускайте нелепых ошибок во время вычисления зна-
лагал на централизованном тестировании в прошлые годы, чения, которое надо указать в ответе. Безусловно, такие
и отмечать у каждой задачи время начала и завершения ее ошибки — самые обидные. Не забывайте, что 0 — целое
решения. Анализируя затем результат выполнения каждого число, но не натуральное, 1 — не простое и не составное
теста, обратите внимание, в каких заданиях вы допускали число. Повторите классификацию чисел (натуральные, чет-
больше ошибок: в тех, что решали в начале своей работы ные, нечетные, простые, составные, целые, рациональные,
или в конце. Постарайтесь понять, учитывая ваш уровень иррациональные, действительные, положительные, отрица-
владения предметом, что лучше: решать более сложные тельные, неположительные, неотрицательные) (с. 9).
задачи в начале (когда вы еще не устали) или в конце от- В централизованном тестировании, в отличие от лю-
веденного времени. Возможно, что в уставшем состоянии бого сборника задач, не бывает неграмотно составленных
вы допускаете много досадных ошибок при решении совсем заданий, а тем более ошибок в заданиях или ответах. Все
элементарных задач. В этом случае для вас будет лучшей задания проходят тщательную проверку многих экспертов.
стратегией решить сразу же 8—10 первых задач теста и за- Поэтому если ваш ответ в задании части А не совпадает
тем переходить к остальным заданиям, будучи уверенным, ни с одним из предложенных или в задании части В полу-
что хорошую оценку вы уже заработали. Но для некоторых чается не целый ответ, то ищите ошибку в своем решении
наиболее подготовленных абитуриентов возможна и другая и вычислениях. Часто она связана с простой невниматель-
стратегия: взяться сразу за решение сложных задач (А15— ностью. Однако и не спешите радоваться, если в процессе
А18 и В8—В12), чтобы не волноваться по поводу оставше- решения задачи из части А вы получили ответ, который
гося времени, и только потом перейти к решению элемен- есть среди вариантов ответа. Это еще не означает, что имен-
тарных задач А1—А10. В дальнейшем придерживайтесь но он и есть правильный. Составители тестовых заданий
выбранного плана решения теста и помните, что 180 минут тщательно просчитывают также и неправильные варианты
достаточно для решения всех предложенных задач, если ответа. Все они получаются в результате наиболее типич-
правильно распределить время. В среднем на каждую из ных ошибок школьников.
30 задач можно тратить только 6 минут. Понятно, что зада- Последние 10—15 минут посвятите последней проверке
чи первого и второго уровня сложности необходимо решать правильности заполнения бланка ответов. Отметим, что,
намного быстрее. в отличие от письменного экзамена, где ошибки делятся
Для поступления на подавляющее число специаль- на грубые и негрубые, в централизованном тестировании
ностей в вуз (кроме нескольких, самых престижных) нет любая ошибка в ответе (в том числе описка, допущенная
необходимости сдавать централизованное тестирование в момент заполнения бланка) приводит к тому, что задача
по математике на 70—100 баллов. Поэтому если вы сра- считается нерешенной.
зу не видите, как нужно решать самые сложные задачи Учитывая вышесказанное, не спешите заполнять бланк
(В9—В12), то и не нужно на них тратить много времени, ответов. Помните, что отменить можно только 6 ошибоч-
поскольку для решения этих заданий обычно требуется ных меток в части А. Вообще, отнеситесь к заполнению
знание многих специальных приемов, которые применя- бланка со всей серьезностью и внимательностью. Поста-
ются при решении задач, отмеченных двумя звездочками райтесь заранее приучить себя правильно ставить метку
в нашей книге. Лучше перепроверить ответы уже решенных (крестик) и правильно писать цифры (особенно единицу
задач, чем напрасно тратить время, пытаясь разобраться и семерку). Мы рекомендуем все полученные вами отве-
с совершенно непонятным для вас заданием. ты помечать карандашом прямо в задании и лишь в конце
Если вы не можете решить задачу из-за незнания ка- тестирования, когда все равно вряд ли вы сможете решить
кой-либо формулы, то не теряйте время на попытки ее еще хоть одну задачу, заполнять бланк ответов.
вспомнить. В стрессовой ситуации конкурсного экзамена Все задачи в тестировании рассчитаны на 5—10-минут-
она, скорее всего, вспомнится неправильно. Другое дело, ное решение, и в них не может быть громоздких вычисле-
6
Ñòðàòåãèÿ ïîäãîòîâêè ê ÖÒ è ñîâåòû àáèòóðèåíòó
© (cid:584)(cid:574)(cid:584) «(cid:570)(cid:604)(cid:607)(cid:618)(cid:619)(cid:631)(cid:604)»
ний. Поэтому, если в процессе решения какой-либо задачи кращенного умножения, применение которых позволит
уже выполнено 4—5 операций, а она все еще не решена, упростить задачу.
значит, вы сделали вычислительную ошибку или выбрали • Существенно помогает упростить задачу замена перемен-
нерациональный способ решения. Скорее всего, вы не за- ной. Также не упустите возможности воспользоваться
метили подходящей замены переменных, не использовали однородностью выражения.
подходящую формулу сокращенного умножения или не • Не стоит работать с десятичными дробями (кроме случая,
заметили однородности выражения. Помните, что замена когда все числа заданы в таком виде). Переходите от де-
переменной эффективна не только при решении уравнений, сятичной дроби к обыкновенной. При этом полезно пом-
но и даже при преобразовании выражений. нить наизусть, что 0,2=1;0,5=1;0,25=1;0,125=1.
5 2 4 8
Ðåêîìåíäàöèè ïî ðåøåíèþ çàäà÷ • Бесконечные периодические дроби представьте в виде
обыкновенных. При этом полезно помнить наизусть, что
Начинать решение конкретной задачи можно только
тогда, когда ясно условие. К сожалению, многие абитуриен- 0,(1)=1, 0,(10)=10.
ты не в состоянии решить даже элементарные математиче- 9 99
ские задачи, когда вопрос в них сформулирован необычным • Не работайте со смешанными дробями. Если можно без
образом. особых сложностей перейти к обыкновенной дроби, то
1 1 25
Задача Возможная формулировка этой задачи сделайте это (2 =2+ = ). В противном случае надо
12 12 12
Найдите, в каких точках пересекаются гра- их записать в виде суммы целого числа и обыкновенной
Решите урав- фики функций y=f(x) и y=g(x); дроби: −117 2 =−⎛⎜117+ 2 ⎞⎟.
нение: 13 ⎝ 13⎠
f(x)=g(x), при каких значениях х график функции • Если в выражении присутствует несколько близкорас-
y=t(x) пересекает ось абсцисс;
h(x)=C, положенных больших чисел, то стоит одно из них обо-
t(x)=0. при каких значениях х график функции значить, например, буквой а, остальные выразить через а
y=h(x) пересекает прямую y=C. и заняться упрощением полученного выражения.
• Полезно квадратные трехчлены раскладывать на мно-
При каких значениях аргумента совпада-
жители. Это очень часто помогает упростить выражение.
ют значения функций f(x) и g(x)?
При этом не забывайте проверить, что вы произвели раз-
Решите урав- При каких значениях аргумента функция ложение верно: перемножьте скобки — должен получить-
нение: h(x) принимает значение, равное С? ся исходный трехчлен.
f(x)=g(x), • При приведении дробей к общему знаменателю ищите
h(x)=C, Найдите нули функции t(x). наименьший общий знаменатель. Для этого сначала раз-
t(x)=0. ложите все знаменатели дробей на множители.
При каких значениях х не имеет смысла
• Не стоит в процессе вычислений значений дробей пере-
1
выражение ? множать числа в числителе и знаменателе. Лучше разло-
f(x)−g(x) жить их на множители. Чаще всего эти числа подобраны
так, что полученные в результате преобразований дроби
Найдите, при каких значениях х имеет
являются сократимыми.
смысл (определено) выражение t(x),
• Избавляйтесь от иррациональности в знаменателе вы-
lg(h(x)−C), 1 . ражений.
h(x)−C • Если в выражении присутствует корень под знаком
Найдите, при каких значениях х график корня (например, 3+2 2 или 37+5 2), то пробуйте
Решите нера- функции y=f(x) лежит выше графика преобразовывать подкоренное выражение с целью
венство: функции y=g(x); получить полный квадрат либо куб. Помните, что
f(x)>g(x), a2 =4a4 =6a6 = a, 3a3 =5a5 =a, 3−a=−3a.
при каких значениях х график функции
h(x)>C, y=h(x) лежит выше, чем прямая y (cid:32) C; • В задачах с модулями анализируйте знаки выражений,
t(x)≥0. находящихся под знаком модуля при допустимых значе-
при каких значениях х график функции ниях переменных. Это позволит преобразовать выраже-
y=t(x) лежит не ниже оси абсцисс. ния по определению модуля.
При решении уравнений и неравенств стоит придер-
Найдите, при каких значениях х функция живаться следующих рекомендаций.
h(x) принимает значения, большие, чем С.
• Используйте, где это только возможно, графическую
интерп ретацию задачи. Используйте свойства функций,
Решите неравенство t(x) ≤t(x).
которые участвуют в записи условия задачи, а именно:
характер четности, ограниченность, монотонность, пе-
Если школьник ни разу не встречал таких задач за
риодичность.
время подготовки к экзамену, то ему сложно понять, что
• Не забывайте выписать ОДЗ переменной и условия, при
от него требуют.
которых задача может иметь решения. Иногда это позво-
При вычислениях, преобразованиях и упрощениях вы- ляет упростить условие и решение задачи. Проверьте,
ражений советуем следовать следующим рекомендациям. удовлетворяют ли выписанным ограничениям получен-
• Прежде чем начинать любые вычисления и преобразова- ные в результате решения ответы.
ния, упростите выражение: вынесите общий множитель • Помните, что вы потратите значительно меньше усилий
за скобки, приведите подобные слагаемые. при решении, если воспользуетесь, например, замечен-
• Проанализируйте внешний вид выражения. Возможно, ной однородностью выражений или возможностью вы-
вы распознаете фрагменты известных вам формул со- полнить замену переменной.
7
© (cid:584)(cid:574)(cid:584) «(cid:570)(cid:604)(cid:607)(cid:618)(cid:619)(cid:631)(cid:604)»
• Если имеется 4, 6, 8, … множителей или слагаемых, то вочном тесте 2 обратить внимание на то, что выражение,
стоит попробовать сгруппировать эти множители (сла- которое надо найти ( a(cid:16)1(cid:16) a), принимает только отри-
гаемые) по парам и перемножить (сложить) их. Может цательные значения, то становится ясно, что варианты от-
быть, появится возможность сделать замену переменной. вета 1, 4 и 5 не подходят. Значит, даже после такого неслож-
• Если в процессе своего решения вы получили уравнение ного рассуждения можно уже наудачу выбирать 2-й или
3-й или 4-й степени, то, скорее всего, на каком-то этапе
3-й вариант ответа с 50 % вероятностью угадать верный
решения вы не заметили замену переменной или возмож-
ответ.
ности разложения на множители.
Иногда наличие ответов помогает в поиске идеи реше-
• Для вычисления суммы или произведения корней квадрат-
ния задачи или вообще позволяют не решать ее, но ука-
ного уравнения используйте теорему Виета. Это поможет
зать верный ответ. Например, если стоит задача выделить
сэкономить время. Но необходимо помнить, что она приме-
полный квадрат в квадратном трехчлене или разложить
нима только при положительном дискриминанте.
на множители многочлен, то быстрее можно узнать номер
• Рациональные неравенства решайте только методом ин-
правильного ответа, не преобразуя исходное выражение,
тервалов. Не стоит придумывать собственные «методы»!
а, наоборот, перебрав варианты ответа и выяснив, который
• В процессе решения задачи ни в коем случае не «вычер-
из них тождественно равен исходному выражению. Такая
кивайте» одинаковые множители в обеих частях уравне-
ситуация смоделирована, например, в задании А13 трени-
ния или неравенства. При этом можно потерять корни.
ровочного теста 3. Более того, если стоит задача упростить
Выносите общий множитель за скобки и анализируйте
некоторое выражение, то часто можно просто подставить
полученное произведение.
и в исходное выражение, и в варианты ответов вместо пе-
• Приучите себя проверять найденные значения х непо-
ременной какое-то ее допустимое значение (например,
средственной подстановкой в исходное уравнение (если
x (cid:32) 0), и тогда сразу ясно, какие варианты ответов не явля-
х — рациональное число). Таким образом вы всегда смо-
ются верными. Это позволяет сэкономить немало времени
жете обнаружить посторонние корни.
в преобразованиях тригонометрических выражений. На-
• При решении задач с модулями используйте геометри-
пример, при решении задания А12 тренировочного теста 5
ческий смысл модуля и его свойства.
можно подставить (cid:68) (cid:32) (cid:83).
• Если выражения, стоящие под знаками модулей, гро-
Часто формулировка в тестовом задании включает
моздкие, то проанализируйте внешний вид уравнения
в себя подсказки, которые, конечно же, стоит использо-
(неравенства). Возможно, вы заметите некие ограниче- ( )
вать. Например, если в задании сказано: «Если x ;y ,
ния на значения переменной, которые позволят одно- 1 1
( )
x ;y — решения системы уравнений, то чему равно зна-
значно избавиться от знаков модулей. 2 2
• Задачи на нахождение множества значений функции (на- чение выражения x1y2(cid:14)x2y1?», то понятно, что система
хождение минимальных и максимальных значений) чаще должна иметь два решения. Если задание имеет вид «Ре-
всего надо решать, анализируя график этой функции. шите уравнение и укажите в ответе значение выражения
Для этого необходимо знать графики основных элемен- 3x0, где x — наименьший корень», то понятно, что не надо
0
тарных функций и порядок геометрических преобразо- находить значение x . Достаточно вычислить значение вы-
0
ваний графиков. ражения 3x0.
• При отборе корней тригонометрических уравнений ис- Очень часто предлагают задачи, в которых ответ проще по-
пользуйте единичную окружность или графики триго- лучить подбором. Напомним, что уравнения вида f(x)(cid:32)g(x)
нометрических функций. и h(x)(cid:32)c, где h(x) — монотонная функция, f(x) — возрас-
Для решения геометрических задач дадим только один тающая функция, g(x) — убывающая функция, имеют не
совет, а именно: правильный чертеж — залог правильного более одного решения и его часто можно угадать или найти,
решения геометрической задачи. Поэтому обязательно ис- используя графическую интерпретацию задачи. Например,
пользуйте паспорт или край листика с заданиями в качестве при решении уравнения 614+x+ x+350=44 единствен-
линейки. При построении чертежа старайтесь сохранять ный корень x(cid:32)11 легче подобрать, чем решать уравнение
пропорции данных в условии элементов. Обычно первый любым из методов.
чертеж позволяет увидеть только общую картину взаим-
Çàêëþ÷èòåëüíûå çàìå÷àíèÿ
ного размещения объектов. Уточняйте чертеж до тех пор,
пока он не станет легко читаемым. Обозначайте данные При подготовке к централизованному тестированию не
и уже найденные элементы прямо на чертеже. Одинако- гонитесь за количеством решенных задач. Качество подбо-
вые углы обозначайте не только одинаковыми дужками, но рок задач значительно важнее.
и одинаковыми буквами, например (cid:68). Возможно, удастся Подводя итог, отметим, что разговоры о «задачах-ло-
составить уравнение, где неизвестной будет именно угол (cid:68). вушках» в централизованном тестировании, как и вообще
о сложности этого вида экзаменов, немного преувеличены.
Èñïîëüçîâàíèå ñïåöèôèêè òåñòîâîãî êîíòðîëÿ
Лучше психологически настроиться на то, что именно те-
çíàíèé. Êàê óãàäàòü ïðàâèëüíûé îòâåò? стирование, в отличие от остальных форм контроля знаний,
После того как вам стало понятно, что дано в задаче позволяет выявить даже минимальное владение предметом.
и что требуется получить в ответе, не спешите сразу же Безусловно, в условиях стресса и ограниченного времени
преобразовывать уравнение (неравенство, систему). Вни- успешное выполнение тестовых заданий возможно только
мательно изучите предложенные варианты ответов. Воз- при условии уверенного владения школьным материалом.
можно, анализируя их, можно понять, что большинство Однако мы глубоко убеждены, что успевающий школьник
ответов (а в идеале все, кроме одного) не подходят. Тогда способен сдать централизованное тестирование по матема-
шанс угадать правильный ответ повышается до 100 %. На- тике на неплохую оценку даже без дополнительных заня-
пример, если до начала решения задания А10 в трениро- тий с репетитором.
8
Ñòðàòåãèÿ ïîäãîòîâêè ê ÖÒ è ñîâåòû àáèòóðèåíòó
© (cid:584)(cid:574)(cid:584) «(cid:570)(cid:604)(cid:607)(cid:618)(cid:619)(cid:631)(cid:604)»
ÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÇÀÄÀÍÈß
0. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß È ÔÎÐÌÓËÛ
Натуральные числа N={1,2,3,...} Числа называются противоположными, если их сумма
Целые числа Z={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...} равнЧаи 0с.л На анпарзиымваеюр,т 3с яи о–б3р.атными, если их произведение
1
Число 0 — целое число, но не натуральное. равно 1. Например, 2 и 0,5; –3 и – .
3
Целые числа могут быть четными (делятся нацело на 2 Рациональные числа — те, что можно представить в виде
и могут быть обозначены как 2n) либо нечетными (делятся
m
на 2 с остатком 1 и могут быть обозначены как 2n + 1). дроби , где m — целое число, n — натуральное. Множество
n
Однозначные числа — целые числа из промежутка ⎧m ⎫
[–9; 9], двузначные имеют в своей записи две цифры (на- рациональных чисел Q=⎨⎩n m∈Z,n∈N⎬⎭ состоит из конеч-
пример, 10, 67, –89), трехзначные — три цифры и т. д.
ных десятичных дробей и бесконечных периодических деся-
тичных дробей.
Натуральные числа
Иррациональные числа — те, что не являются рацио-
Простые Составные
нальными, то есть бесконечные непериодические десятич-
Имеют ровно два натураль- Имеют более двух натураль- ные дроби. Примеры: (cid:83), 2, 3, 0,101001000100001000001… .
ных делителя, то есть де- ных делителей. Действительные числа — объединение множеств ра-
лятся нацело только на себя Их можно записать в виде
цио нальных и иррациональных чисел.
и на 1. произведения простых чи- Прямую линию с выбранным на ней началом отсчета,
сел (разложить на простые единичным отрезком и направлением называют коорди-
множители). натной прямой. Каждому действительному числу можно
Например: 2, 3, 5, 7, 11, 97. Например, 6=2⋅3, поставить в соответствие единственную точку на коорди-
Таких чисел бесконечное 12=2⋅2⋅3, 91=7⋅13, натной прямой. Больше то число, которое расположено на
количество. 143=11⋅13. координатной прямой правее.
Число называется:
Число 1 — не простое и не составное число. • положительным, если оно больше нуля;
• отрицательным, если оно меньше нуля;
Если натуральное число A делится на натуральное чис- • неположительным, если оно меньше либо равно нулю;
ло B с остатком r, то это значит, что A=B⋅n+r, где A — де- • неотрицательным, если оно больше либо равно нулю.
лимое, B — делитель, n — неполное частное, r — остаток Напомним названия разрядов чисел на примере числа
(r=0,1,2,...,B−1). 1 234 567,89:
Если r=0, то говорят, что A кратно B или A де лится 9 — разряд сотых,
нацело на B, а число B является делителем числа A. 8 — разряд десятых,
7 — разряд единиц,
Нуль делится на любое натуральное число.
6 — разряд десятков,
1 является делителем любого числа. Любое число делит-
5 — разряд сотен,
ся на 1. Любое число кратно 1.
4 — разряд тысяч,
Любое число делится на само себя. Любое число кратно
3 — разряд десятков тысяч,
самому себе.
Взаимно простые натуральные числа — это числа, для 2 — разряд сотен тысяч,
1 — разряд миллионов.
которых НОД(a, b) (cid:32)(cid:3)1, то есть при разложении на простые
множители a и b не имеют одинаковых простых множителей. Округление числа — замена его на приближенное зна-
Например, 9 и 8 взаимно простые числа. Любое натуральное чение, записанное с меньшим количеством значащих цифр.
число либо делится на простое, либо взаимно просто с ним. При округлении числа до какого-нибудь разряда все следу-
Любые два простых числа взаимно просты. ющие за ним цифры заменяются нулями; если первая сле-
Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) не- дующая за этим разрядом цифра меньше 5, то последнюю
скольких натуральных чисел, надо разложить каждое из оставшуюся цифру не изменяют, а если первая следующая
этих чисел на простые множители, выделить максимально за этим разрядом цифра больше или равна 5, то последнюю
возможный комплект множителей, которые присутствуют оставшуюся цифру увеличивают на единицу. Например,
в записи каждого из чисел, и перемножить их между собой. с точностью до десятков 14 994 (cid:124) 14 990, 14 995 (cid:124) 15 000.
Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) не- Если при округлении десятичной дроби последней из остав-
скольких натуральных чисел, надо разложить каждое из этих шихся цифр в дробной части окажется 0, то отбрасывать его
чисел на простые множители и вычислить произведение всех нельзя. В этом случае 0 в конце дробной части показывает,
записанных простых множителей, взяв каждый из них с наи- до какого разряда округлено число. Например, 12,796 (cid:124) 12,80
большим (из имеющихся) показателем. округлили до сотых.
НОД(a, b) · НОК(a, b) (cid:32) a · b для любых двух чисел, Стандартный вид числа — запись его в виде m⋅10k, где
НОК(a, b) (cid:116) a и НОК(a, b) (cid:116) b, m∈[1;10). При этом m называется мантиссой, а целое чис-
НОД(a, b) (cid:100) а и НОД(a, b) (cid:100) b. ло k — порядок числа.
9
0. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è ôîðìóëû
© (cid:584)(cid:574)(cid:584) «(cid:570)(cid:604)(cid:607)(cid:618)(cid:619)(cid:631)(cid:604)»
Одночлен — произведение чисел и переменных в нату- Решением, или корнем, уравнения f(x)=g(x) называ-
xy5
ральных степенях. Например: 112, , 12x5(3y6z)2. ется такое число х0, при подстановке которого вместо x в обе
3 части уравнения получается верное числовое равенство, то
Многочленом называется сумма конечного числа одно- есть при х обе части уравнения определены (одновременно
членов. Например, 2abc (cid:14) 1 – x. имеют смы0сл) и их значения совпадают. Решить уравне-
Стандартный вид одночлена — это запись одночлена ние — значит найти все его корни (решения) или доказать,
в виде произведения числового множителя (коэффициент что оно решений не имеет.
одночлена) и степеней переменных с разными основаниями. Решением неравенства с одной переменной называется
Например, 2xy⋅ z x2 запишем в стандартном виде: −2x3yz число, подстановка которого в данное неравенство обращает
−7 7 его в верное числовое неравенство. Решить неравенство —
и поэтому коэффициент одночлена равен −2. значит найти все его решения или доказать, что решений нет.
7 Два уравнения (неравенства) называются равносиль-
Степенью одночлена называется сумма показателей ными, если их множества решений совпадают. В частности,
степеней всех переменных, входящих в запись этого одно- если два уравнения (неравенства) не имеют решений, то они
члена. Если одночлен не содержит переменных, то его сте- равносильны.
пень равна нулю.
Одночлен вида 0 называется нулевым одночленом. Для Если провести на плоскости две взаимно перпендику-
него не определена степень. Его коэффициент, естественно, лярные оси Ох и Оy, то горизонтальная ось Ох называет-
равен нулю. ся осью абсцисс, а вертикальная — осью ординат. Точка
Степенью многочлена называется наибольшая степень пересечения осей О называется началом координат. Оси
одночлена, входящего в этот многочлен. координат разбивают плоскость на четыре части, которые
Многочлен называется однородным, если все одно- называют координатными четвертями (см. рис.).
члены, входящие в его запись, имеют одинаковую степень. Для каждой точки А плоскости ее координаты (x; y)
Например, x2 – 3xy – 2y2; 2a3 + ab2. определяются так: опускаем из А перпендикуляры на оси
и записываем соответствующие значения, которые отсека-
Целое выражение — это математическое выражение, ются на осях Ох и Оy соответственно.
составленное из чисел и буквенных переменных с помощью
действий сложения, вычитания и умножения. Также к це- y Ось
лым относятся выражения, которые имеют в своем составе IIчетверть Iчетовредритньат
деление на какое либо число, отличное от нуля. Произведе-
y A
ние одинаковых множителей может быть записано и в виде A
x
степени с натуральным показателем. B
кроемтоДернроноеыб снмооиде.е врыжриат ждеелнеинеи —е н эат ов ымраатжемеантиияч се сбкуокев веыннрыажмеин пиее-, коорНдиачнаалтоyBO xA B аОбссьц xи сс
IIIчетверть IVчетверть
Рациональное выражение — это сумма (разность) це-
лых и дробных выражений. Расстояние между двумя точками находится обычно
Рациональная дробь (частный случай рациональных с помощью теоремы Пифагора:
выражений) — дробь, числитель и знаменатель которой
AB = (x −x )2+(y −y )2.
многочлены. A B A B
Целое выражение имеет смысл при любых значениях
Все точки оси абсцисс имеют координату y (cid:32) 0,
переменных, которые в него входят, а дробное выражение
а все точки оси ординат имеют координату x (cid:32) 0.
может не иметь смысла, так как на 0 делить нельзя. Значения
Начало координат имеет координаты (0;0).
переменных, при которых дробное выражение будет иметь
смысл, называют допустимыми значениями переменных.
Для рациональной дроби допустимыми будут являться все
Ñèììåòðè÷íîñòü ôèãóð
значения переменных, при которых знаменатель дроби от-
личен от нуля. • Точки М и М называются симметричными относи-
1
тельно точки О, если О является серединой отрезка ММ .
1
Тождеством называется равенство двух выражений Точка О называется центром симметрии точек М и М .
1
с одной или несколькими переменными, обращающееся • Точки М и М называются симметричными относи-
1
в истинное числовое равенство при любых допустимых тельно прямой l, если прямая l проходит через середину
значениях переменных. отрезка ММ и перпендикулярна ему. Прямая l называется
1
осью симметрии точек М и М .
1
Уравнением называется равенство двух выражений с од- • Точки М и М называются симметричными отно-
1
ной или несколькими переменными. Если уравнение содер- сительно плоскости (cid:68), если плоскость (cid:68) проходит через
жит только одну переменную, то его называют уравнением середину отрезка ММ и перпендикулярна этому отрезку.
1
с одной переменной. Плоскость (cid:68) называется плоскостью симметрии точек М
Уравнения, в которых левая и правая часть являются и М .
1
целыми выражениями, называются целыми уравнениями Точка О (прямая l, плоскость (cid:68)) называется центром
с одной переменной. (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка
Рациональное уравнение, если его и левая, и правая фигуры симметрична относительно О (прямой l, плоско-
части — рациональные выражения. сти (cid:68)) некоторой точке этой же фигуры.
10
Òåìàòè÷åñêèå çàäàíèÿ
© (cid:584)(cid:574)(cid:584) «(cid:570)(cid:604)(cid:607)(cid:618)(cid:619)(cid:631)(cid:604)»
