Table Of ContentА л г е б р а
Ю. Н. МАКАРЫЧЕВ, Н. Г. МИНДЮК,
К. С. МУРАВИН
АЛГЕБРА
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
ДЛЯ 6 -Г О КЛАССА
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
под редакцией А. И. МАРКУШЕВНЧА
Утверждено Министерством просвещения СССР
И З Д А Н И Е 4-е
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1974
7
512(075)
М15
И»1>1—118
Ы
М 03(03)-74
Глава 1
УПОТРЕБЛЕНИЕ БУКВ В АЛГЕБРЕ
§ 1. ВЫРАЖЕНИЕ Ч МНОЖЕСТВО ЕГО ЗНАЧЕНИЙ
1. Числовые выражения
С помощью чисел, знаков действий и скобок можно состав
лять различные числовые выражения. Приведем примеры чис
ловых выражений:
43:5; — 0,95 + 2,4- / - —- I ; 3 • 24
84—76 \16 12/
Если, соблюдая принятый порядок, выполнить указанные
действия, то получится число. Это число называют числовые
значением выражения или, короче, значением выражения.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Выражение 0,95 -{- 2,4 • ^ есть сумма чис
ла 0,95 и произведения 2,4 • ^ .
Чтобы найти значение этого выражения, надо сначала выпол
нить действие в скобках (пычптание), затем — умножение и,
наконец, сложение:
11 27—28 1
— — — — _ _
16 12 48 “ 48*
2) 2,4 - . А = _ 1 = _0,05;
\ 48 I10 48 20
3) 0,95+ (— 0,05) = 0,9.
аИСло 0,9 — значение выражения 0,95 + 2,4 • ^
Пример 2. Выражение 3 • 2* есть произведение числа 3 и
степени 24. Чтобы найти значение этого выражения, нужно
сначала найти значение степени 21, а затем выполнить умно
жение:
1) 24 = 2 • 2 • 2 • 2 = 16;
2) 3 • 16 = 48.
Выражение может состоять и из одного числа. В згом слу
чае эначеыие выражения есть само число.
35
Выражение не имеет числового значения, так
48 : 6 — 8
как не все указанные действия можно выполнить (деление
на нуль невозможно!). О таких выражениях говорят, что они
не имеют смысла.
Таким образом, числовое выражение может иметь или одно
значение, или не иметь значения.
1. Найдите значение выражения:
а) 2 | + х Л ; г) 1 1-1-ОД; ж) ± . ( _ 49);
б) 5 — 3 1 ; д) (-1 ,2 ) • (-0 ,6 ); з) 3 ± • 16.
7 о
в) 1 - 1 - 1 ; е) 0-17,3;
3 6
2. Вычислите:
а) 4 1 : 2; г) ( - з |) . 0 , 9 ; ж) 12 • / - | ) %
б) 15 (— 1 ) ! Д) 5 ■ 3-; з) 1 . ( _ 3)9,
в) 6,5 : (— 0,13); е) — 2 • 53;
3. Выполните действия:
а) 481,92 : 12 — (— 20,16); г) 3 1 • | + 6 1 : 2;
б) 3 7 ' (— п) +18; Д>2 ' 3‘- з • 24;
в) 9,72 : 2,4 — 1,08 • 3,5; е) 1000 — 2 • З4.
4. Составьте числовое выражение, не имеющее смысла.
5. Является ли верным равенство иде неравенство:
а) “ + Г , = 4 ;
7 7 \ 4 4/
б) 4 -Ь 1248 : (11,8 -Ь 0,2) = 108;
в) в ! :4 ~ — 5 0 < — 47;
3 3
г) (90,9 : 3,03) . , А — 1 \ > — 1?
6. Сравните выражения:
а) 1 : 3 - и 0,016 : 0,2; г) 23 и З2;
7 2
б) 8 : 2 и 21,25 : 5; д) (— З)4 и (— 4)3;
в) — — 1 — н — 1; е) 2 • 53 и 5 • 23.
18 12 9
7. Не выполняя вычислений, поставьте вместо многоточия
знак > , < или = так, чтобы получилось истинное
(верное) высказывание:
а) 1243 • | ... 1243 • 1; в) 12,69 :0,5 ... 12,69 • 0,5;
б) 6,24 • (—1) ... 6,24 :(—1); г) (—0.001)2 ... (—1000)3.
8. Подберите какое-нибудь число, которое больше одного
из данных чисел и меньше другого:
а) 5,2 и 5,3; в) —— и —;
7 8 17
б) — 3,18 и — 3,19; г) - и - .
' 9 11
2. Выражения с переменными
Значение выражения а (а + 1), содержащего переменную а%
зависит от значения этой переменной. Например, при а = 2
его значение разно 6, так как 2 • (2 + 1) = 6. При а = 8
значение этого выражения равно 72, при а — — 1 рав
но нулю, при о = 0 тоже нулю. Каждому значению пере
менной а соответствует определенное значение выражения
а (о + 1).
Значение выражения х — 2у зависит от значений перемен
ных х н у . Например, при х = 7, у = 1 значение этого выра
жения равно 5, при х = 1, у = 7 оно равно —13. Вообще,
каждой паре значений переменных х н у соответствует опре
деленное значение выражения х — 2у.
Выражение "р— при р = 3 обращается в числовое выра-
р — 3
2 3
жение -------, которое не имеет числового значения. Говорят,
3 — 3
о 2 Р
что при р — 3 выражение не имеет смысла.
р — 3
5
Выражение не имеет смысла при равных значениях
х — у
X и у.
9. Найдите значение выражения:
а) (Р + 0,6) (р — 0,6) при р = 0,2;
б) Л + - | • (к — | ) при й ;
в) 2х 3у — 5 при х — — —, у — ------;
2 3
г) 2х2 — З*/2 при х — —1, у = 2;
5
д) а — 26 + Зс при а = —10, 6 — — 5,5, с = — ;
е) (а + Ь) (Ь + с) (с + д) (й + «) при а = 0, 6 = 1,
с = 2, ^ = 3,
с = 4.
10. Значение переменной дс равно —3. Найдите соответст
вующее значение выражения:
а) 2х — 5 • (х + 5); б) (2х — 5) х 4* 5.
11. Какое значение принимает выражение а2 — 2аЪ:
а) при а = 5, 6 = 2; б) при а = 2, Ь = 5?
12. Найдите множество значений выражения 62 — 1089,
если значения переменной 6 образуют множество
Б = { —33; —11; 0; 11; 33}.
13. Переменная х принимает все значения из множества
X = {0,3; 1; 0; —6}. Найдите множество значений вы
ражения:
а) 3 х2 — 5; б) 5 — 3 — дс2.
3 3
14. Известно, что х 6 % — множество целых чисел).
Найдите множество значений выражения (2х + 4,3) • 0.
15. Заполните таблицу:
X 0 1 2 3 4 6 10
X2 — X
6
16. Периметр прямоугольника 48 дм, основание а дм. Со
ставьте выражение для площади прямоугольника. Вы
числите значения площади 8 прямоугольника (в квад
ратных дециметрах), соответствующие значениям а, ука
занным в таблице.
а 7 11 11,5 12 12,5 14 19
8
6
17. Найдите множество значений выражения х г + у 2, запол
нив таблицу с двумя входами.
18. При каких значениях переменной у не имеет смысла
выражение:
у — 5 34-у
а ) ~ 5 : 6 ) Г Г ?
19. Подберите, если возможно, пару значений переменных
а и Ъ, при которых не имеет смысла выражение:
ч 17 34 ч 13765 ч 17а {- Ь
а ) ; б ) ; в ) ; г ) ------------,
а — Ъ а-\-Ь а--|- 6* а2-{- 63+5
20. Составьте выражение для решения задачи:
а) Из села Константиново одновременно в одном на
правлении отправились велосипедист и пешеход (рис. 1).
Какое расстояние будет между ними через 4 ч, если
скорость велосипедиста о км/ч, а скорость пешехода
и км/ч?
б) Турист шел 5 ч со скоростью а км/ч и 3 ч со скоростью
Ь км/ч. Какова средняя скорость туриста?
1
1 м
Констнтинобд
Рис. 1.
§ 2. ТОЖДЕСТВЕННО РАВНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ.
ТОЖДЕСТВО
3. Тождественно равные выражения
Сравним значения выражений 2х 4- Зх2 и 5л:3 при некото
рых значениях переменной х. При х = 2 значение первого
выражения 16, а второго 40. Числа 16 и 40 — соответствен
ные значения выражений 2л: + Зл:2 и 5л:3. Некоторые пары со
ответственных значений этих выражений показаны в таблице:
X 2х + дх2 5л:3
-0 ,4 —0,32 —0,32
-0 ,1 —0,17 —0,005
0 0 0
0,1 0,23 0,005
1 б 5
2 16 40
3 33 135
Нетрудно заметить, что при одних значениях переменной
выражения 2л: + Зл:2 и 5л:3 имеют одинаковые значения, а при
других — различные.
21. Составьте таблицу соответственных значений выражений
и выясните, равны ли они при данных значениях пере
менной:
а) х 4 и 7х2 — 6л:, если х ^ { —3; 0; 1; 2};
б) х х и 7л:2 — 6л:, если х 6 { —3; 0; 1; 2; —1};
в) а (а — 1) и а 4- 8, если а 6 { —2; 4; 5};
г) у 2 4- У и у 3, если у ^ | — 0| 1; 2
22. Какими числами (равными, противоположными, обрат
ными) являются соответственные значения выражений
при любых значениях х:
а) х и —л:; в) л; — 1 и 1 — л:;
б) л:2 и (—л:)2; г) (л: — I)2 и (1 — л:)2?
8
23. Сравните соответственные значения выраженийх + 4а
и (я + 4)а при а = —3, х = 5.
21. Заполните таблицу и подчеркните те пары значений пе
ременных х и у у при которых соответственные значения
выражений х 2 4~ У2 и 6л: + равны:
X У х2 + у2 6* + 8 у
6 0
0 6
—2 4
1 1
3 —1
—3 2
25. Пусть {0; 1; 2} — множество значений переменной дг,
а {0; 2} — множество значений переменной у. Составьте
все пары (х; у) и сравните соответственные значения вы
ражений х + у и ху.
Гб. Заполните таблицу:
У 8 (У 4* 8) 5у 4- 15
—5
2
—
0
1
4 —
5
48
1200
Из таблицы видно, что при указанных значениях перемен
ной соответственные значения выражений 5 (у + 3) и Ъу + 15
равны . Будут ли они равны при других значениях у? Мы зна
ем, что для любых чисел выполняется распределительны й
9
