403.04.01 Tez Danısmanları

94 Pages·2009·0.33 MB·Turkish

EGEÜNI˙VERSI˙TESI˙ FENBI˙LI˙MLERI˙ ENSTI˙TÜSÜ
(DOKTORATEZI˙)
KAFESLERDE TÜMLEYENLER
SultanEylemTOKSOY
Matematik Anabilim Dalı
Bilim Dalı Kodu: 403.04.01
Sunus¸ Tarihi: 12/09/2008
Tez Danıs¸manları:
Prof. Dr. Gülhan ASLIM
Prof. Dr. Rafail AL˙IZADE
Bornova-˙IZM˙IR
III
Sayın Sultan Eylem TOKSOY tarafından DOKTORA TEZ˙I olarak
sunulan “KAFESLERDE TÜMLEYENLER” bas¸lıklı bu çalıs¸ma
E.Ü. Lisansüstü Eg˘itim ve Ög˘retim Yönetmelig˘i ile E.Ü. Fen Bilimleri
Enstitüsü Eg˘itim ve Ög˘retim Yönergesinin ilgili hükümleri uyarınca
tarafımızdan deg˘erlendirilerek savunmaya deg˘er bulunmus¸ ve 12.09.2008
tarihinde yapılan tez savunma sınavında aday oybirlig˘i/oyçoklug˘u ile
bas¸arılıbulunmus¸tur.
JüriÜyeleri: ˙Imza
JüriBas¸kanı: Prof. Dr. GülhanASLIM ............................
RaportörÜye: Prof. Dr. RafailAL˙IZADE ............................
Üye: Prof. Dr. MehmetTERZ˙ILER ............................
Üye: Prof. Dr. NurcanARGAÇ ............................
Üye: Prof. Dr. AliPANCAR ............................
Üye: Yard. Doç. Dr. EnginMERMUT ............................
V
ÖZET
KAFESLERDE TÜMLEYENLER
TOKSOY,SultanEylem
DoktoraTezi,MatematikBölümü
TezDanıs¸manı: Prof. Dr. GülhanASLIM,Prof. Dr. RafailAL˙IZADE
Eylül2008,82sayfa
Bu tezde temel olarak tümlenmis¸, zayıf tümlenmis¸, bol tümlenmis¸, es¸-
sonlu tümlenmis¸, es¸sonlu zayıf tümlenmis¸ ve bol es¸sonlu tümlenmis¸ mo-
düllerhakkındabilinensonuçlarınkafesteorisinegenelles¸tirilmesiüzerine
çalıs¸ılması amaçlanmıs¸tır. L, en büyük elemanı 1 en küçük elemanı 0
olan tam modüler bir kafes olsun. Bir modülün herhangi bir küçük alt
modülünün bir modül homomorfizması altındaki görüntüsü de küçük alt
modüldür. Bu özellik kafeslerde her zaman dog˘ru deg˘ildir. Bir modü-
lün alt modülleri kafesi pseudo-bütünlenmis¸tir. Bu özellik her kafes için
sag˘lanmak zorunda deg˘ildir. 1/a ve a/0 bölüm alt kafesleri zayıf tüm-
lenmis¸tir ve a’nın L’de bir zayıf tümleyeni varsa L kafesi de zayıf tüm-
lenmis¸tir. L kafesinin bol tümlenmis¸ olması için gerek ve yeter kos¸ul
zayıf tümlenmis¸ olması ve L’nin her elemanının L’de bir es¸kapanıs¸ının
var olmasıdır. L kafesinin es¸sonlu tümlenmis¸ (zayıf tümlenmis¸) olması
için gerek ve yeter kos¸ul her maksimal elemanının L’de bir tümleyeninin
(zayıf tümleyeninin) olmasıdır. Sonlu sayıda es¸sonlu tümlenmis¸ (zayıf
tümlenmis¸) kafeslerin supremumu da es¸sonlu tümlenmis¸tir (zayıf tümlen-
mis¸tir). a/0, L’nin es¸sonlu tümlenmis¸ (zayıf tümlenmis¸) bir alt kafesi ve
1/a’dahiçmaksimalelemanyokiseLkafesidees¸sonlutümlenmis¸tir(za-
yıftümlenmis¸tir). Kompaktüretilmis¸ kafeslerdees¸sonluelemanlarınzayıf
tümleyenleri kompakt elemanlar olarak kabul edilebilir. Bu özellik kom-
pakt üretilmis¸ olmayan kafesler için dog˘ru deg˘ildir. L kafesinin bol es¸-
VI
sonlutümlenmis¸olmasıiçingerekveyeterkos¸ulhermaksimalelemanının
L’de bol tümleyenlerinin olmasıdır. Kompakt bir L kafesinin bol tümlen-
mis¸ olması için gerek ve yeter kos¸ul her maksimal elemanının L’de bol
tümleyenlerininolmasıdır.
AnahtarSözcükler: Tümlenmis¸,zayıftümlenmis¸,boltümlenmis¸,es¸-
sonlueleman,es¸kapanıs¸,es¸sonlutümlenmis¸,es¸sonluzayıftümlenmis¸,bol
es¸sonlutümlenmis¸,kompaktüretilmis¸,kompakt.
VII
ABSTRACT
SUPPLEMENTS IN LATTICES
TOKSOY,SultanEylem
PhDinMathematics
Supervisor: Prof. Dr. GülhanASLIM,Prof. Dr. RafailAL˙IZADE
September2008,82pages
Themainpurposeofthisthesisistogeneralizesomeknownresultsabout
supplemented,weaklysupplemented,amplysupplemented,cofinitelysup-
plemented, cofinitely weak supplemented and amply cofinitely supple-
mented modules to lattices. Let L be a complete modular lattice with
smallest element 0 and greatest element 1. A homomorphic image of a
small element under a lattice homomorphism need not be small unlike the
modulecase. Itiswellknownthatthelatticeofsubmodulesofeverymod-
ule is pseudo-complemented. This fact need not be true in an arbitrary
lattice. If 1/a and a/0 are weakly supplemented and a has a weak supple-
ment in L, then L is also weakly supplemented. L is amply supplemented
ifandonlyifitisweaklysupplementedandeveryelementofLhasacoclo-
sureinL. Lisacofinitely(respectivelyweak)supplementedlatticesifand
only if every maximal element of L has a supplement (respectively weak
supplement) in L. A finite join of cofinitely supplemented (respectively
weak supplemented) lattice is cofinitely supplemented (respectively weak
supplemented). Ifa/0isacofinitelysupplemented(respectivelycofinitely
weaksupplemented)sublatticeofLand1/ahasnomaximalelement,then
L is also a cofinitely supplemented (respectively cofinitely weak supple-
mented) lattice. For compactly generated lattices, without loss of gener-
ality, weak supplements of cofinite elements can be regarded as compact
elements. This property need not be true for lattices that are not com-
pactly generated. L is amply cofinitely supplemented if and only if every
VIII
maximal element of L has ample supplements in L. A compact lattice L
is amply supplemented if and only if every maximal element has ample
supplementsin L.
Key Words: Supplemented, weakly supplemented, amply supple-
mented, cofinite element, coclosure, cofinitely supplemented, cofinitely
weaksupplemented,amplycofinitelysupplemented,compactlygenerated,
compact.
IX
TES¸EKKÜR
Bu çalıs¸ma süresince deg˘erli bilgisini, desteg˘ini ve yardımını benden
esirgemeyen, bana yol gösteren, beni cesaretlendiren tez danıs¸manlarım
sayın Prof. Dr. Rafail AL˙IZADE’ye ve sayın Prof. Dr. Gülhan ASLIM’a
sonsuztes¸ekkürlerimisunarım.
SULTAN EYLEM TOKSOY
EgeÜniversitesi
Eylül2008
XI
I˙ÇI˙NDEKI˙LER
Sayfa
ÖZET V
ABSTRACT VII
TES¸EKKÜR IX
S¸EKI˙LLERDI˙ZI˙NI˙ XIII
SI˙MGELERDI˙ZI˙NI˙ XVI
1 GI˙RI˙S¸ 1
2 GENELBI˙LGI˙LER 3
2.1 SıralıKümeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 KafeslerveTamKafesler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 KafesHomomorfizmaları . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 ModülerKafesler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 KompaktÜretilmis¸ Kafesler . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 KüçükveBüyükElemanlar . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7 Bütünlenmis¸ Kafesler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.8 Es¸küçükEs¸itsizlikler,Es¸kapalıElemanlar . . . . . . . . . 28
3 TÜMLENMI˙S¸ KAFESLER 30
3.1 Tümlenmis¸ Kafesler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 ZayıfTümlenmis¸ Kafesler . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 BolTümlenmis¸ Kafesler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
XII
4 ES¸SONLUTÜMLENMI˙S¸ KAFESLER 51
4.1 Es¸sonluTümlenmis¸ Kafesler . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Es¸sonluZayıfTümlenmis¸ Kafesler . . . . . . . . . . . . . 56
4.3 BolEs¸sonluTümlenmis¸ Kafesler . . . . . . . . . . . . . . 63
5 SONUÇ 68
KAYNAKLARDI˙ZI˙NI˙ 70
DI˙ZI˙N 78
XIII
S¸EKI˙LLER DI˙ZI˙NI˙
S¸ekil Sayfa
2.1 (A,|)ve(B,|) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1 (L,(cid:1)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58