4 Analytische Funktionen

23 Pages·2008·0.15 MB·German

Kapitel 4: Analytische Funktionen
4 Analytische Funktionen
4.1 Komplexe Differenzierbarkeit
Fragen:
Wie differenziert man (sinnvollerweise) komplexe Funktionen?
•
Wie definiert man Grenzwerte im Komplexen?
•
Was bedeutet Stetigkeit einer komplexen Funktionen?
•
C
Ansatz: Sei f(z) : D eine komplexe Funktion mit
→ f(z) = u(z) + iv(z)
R
wobei u, v : D reellwertig. Setze weiterhin z = x + iy, so dass
f(→z) f(x, y) u(z) u(x, y) v(z) v(x, y).
≡ ≡ ≡
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Kapitel 4: Analytische Funktionen
Komplexe Differentiale.
Voraussetzungen:
Sei z = x + iy ein fester Punkt im Definitionsbereich D(f) von f.
0 0 0
•
Es gebe eine (offene) Umgebung um z , in denen die reellen Funktionen
0
•
u u(x, y), v v(x, y) jeweils stetige partielle Ableitungen nach x, y haben,
≡ ≡
d.h. die partiellen Ableitungen u , u , v und v sind stetig um (x , y ).
x y x y 0 0
Dann gilt:
Es existieren die (totalen) Differentiale du und dv in (x , y ).
0 0
•
Mit dx = x − x und dy = y − y gilt (aus der reellen Analysis)
0 0
•
du = u (x , y )dx + u (x , y )dy
x 0 0 y 0 0
dv = v (x , y )dx + v (x , y )dy.
x 0 0 y 0 0
Definition: Unter dem Differential der Funktion f = u + iv im Punkt
z = x + iy verstehen wir die (in dx und dy) lineare Funktion
0 0 0
df = du + idv.
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Kapitel 4: Analytische Funktionen
Differentiale und partielle Ableitungen.
Mit df = du + idv hat das Differential von f in z die Form
0
df = [u (x , y ) + iv (x , y )] dx + [u (x , y ) + iv (x , y )] dy.
x 0 0 x 0 0 y 0 0 y 0 0
Wir stellen die Koeffizienten von df (bez. dx und dy) nun durch entsprechende
partielle Ableitungen f , f von f dar. Es gilt
x y
f(x + h, y ) − f(x , y )
0 0 0 0
f (x , y ) = lim , h 0
x 0 0
h
h 0
u(x + h, y ) − u(x , y ) + i [v(x + h, y ) − v(x , y )]
→
→ 0 0 0 0 0 0 0 0
= lim
h
h 0
u(x + h, y ) − u(x , y ) [v(x + h, y ) − v(x , y )]
→ 0 0 0 0 0 0 0 0
= lim + i lim
h h
h 0 h 0
und somit gilt → →
f (x , y ) = u (x , y ) + iv (x , y ).
x 0 0 x 0 0 x 0 0
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Kapitel 4: Analytische Funktionen
Zur weiteren Form des Differentials.
Entsprechend gilt
f (x , y ) = u (x , y ) + iv (x , y )
y 0 0 y 0 0 y 0 0
und somit bekommen wir insgesamt
df = f (x , y )dx + f (x , y )dy.
x 0 0 y 0 0
Nun: Stelle df in Abh¨angigkeit von dz (statt von dx und dy) dar. Schreibe dazu
dz = z − z = (x + iy) − (x + iy ) = dx + idy.
0 0 0
Beachte: Es gilt
dz = z − z = dx − idy
0
und somit
1 1
dx = dz + dz und dy = dz − dz .
2 2i
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
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Kapitel 4: Analytische Funktionen
Komplexe Differenzierbarkeit.
Damit bekommen wir weiterhin die Darstellung
df = Adz + Bdz,
wobei
1 1
A = (f (z ) − if (z )) und B = (f (z ) + if (z ))
x 0 y 0 x 0 y 0
2 2
und es gilt
f(z) − f(z ) − df
0
lim = 0.
dz
z 0
Definition: Die Funktion f →heißt komplex differenzierbar in z , falls
0
1
df = (f (z ) − if (z ))dz
x 0 y 0
2
(cid:3)
d.h. falls B = 0.
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Kapitel 4: Analytische Funktionen
Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen.
Falls f in z komplex differenzierbar, so gilt (mit B = 0)
0
f (z ) + if (z ) = 0
x 0 y 0
somit
u (z ) + iv (z ) + i[u (z ) + iv (z )] = 0
x 0 x 0 y 0 y 0
bzw.
u (z ) − v (z ) + i[u (z ) + v (z )] = 0.
x 0 y 0 y 0 x 0
Trennt man nach Real- und Imagin¨arteil, so bekommt man die
Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
u = v und u = −v .
x y y x
Fazit: Die Funktion f = u + iv ist genau dann in z komplex differenzierbar,
0
(cid:3)
wenn u und v in z die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfu¨llen.
0
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Kapitel 4: Analytische Funktionen
Punktweise Differenzierbarkeit.
Beobachtung: Falls f in z komplex differenzierbar, so gilt
0
df = Adz mit A = (f (z ) − if (z ))/2
x 0 y 0
und daher gilt fu¨r den komplexen Zuwachs dz = ℓ
f(z + ℓ) − f(z ) = Aℓ + Φ(ℓ)
0 0
mit
Φ(ℓ) f(z + ℓ) − f(z )
0 0
lim = 0 bzw. lim = A.
ℓ ℓ
ℓ 0 ℓ 0
Definition: D→er Grenzwert →
f(z + ℓ) − f(z )
0 0
lim
ℓ
ℓ 0
heißt die Ableitung von f in z , kurz
→
0
df
′
f (z ), (z ), Df(z )
0 0 0
dz
(cid:3)
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Kapitel 4: Analytische Funktionen
Komplexe Differenzierbarkeit und Ableitungen.
Bemerkungen:
Wir bilden Ableitungen einer komplexen Funktion wie im Reellen,
•
n¨amlich unter Verwendung von Differenzenquotienten.
Im Reellen l¨asst sich die Ableitung geometrisch als Tangentensteigung
•
interpretieren. Wie verh¨alt sich dies im Komplexen? (Antwort sp¨ater!)
Aus der komplexen Differenzierbarkeit folgt die Existenz einer Ableitung.
•
Umgekehrt: Aus der Existenz einer Ableitung folgt die Differenzierbarkeit.
•
Denn: Aus der Existenz der Ableitung in z = x + iy folgt insbesondere
0 0 0
f(x + h, y ) − f(x , y )
′ 0 0 0 0
f (z ) = lim = f (z )
0 x 0
h
h 0
f(x , y + h) − f(x , y ) 1
′ → 0 0 0 0
f (z ) = lim = f (z )
0 y 0
ih i
h 0
und somit (B = 0) →
f (z ) = −if (z )
x 0 y 0
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Kapitel 4: Analytische Funktionen
Zusammenfassung der bisherigen Diskussion.
Satz: Sei f = u + iv eine komplexe Funktion mit Definitionsbreich D(f).
Weiterhin sei z D(f), so dass u, v in einer Umgebung von z stetig partiell
0 0
∈
nach x, y differenzierbar sind. Dann sind die folgenden Aussagen ¨aquivalent.
(a) f ist komplex differenzierbar in z;
(b) u und v genu¨gen den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen;
(c) Die Ableitung von f existiert in z .
0
(cid:3)
Bemerkung: Weiterhin folgt (aus der bisherigen Diskussion) die Beziehung
′
df = f (z )dz
0
falls f in z komplex differenzierbar. Schließlich gilt
0
′
f (z ) = u (z ) + iv (z ).
0 x 0 x 0
(cid:3)
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Kapitel 4: Analytische Funktionen
Beispiel.
Fu¨r f(z) = z2 gilt
2 2 2 2
f(x, y) = f(z) = z = (x + iy) = x − y + 2ixy
und somit
f (x, y) = 2x + 2iy und f (x, y) = −2y + 2ix = if (x, y)
x y x
Fu¨r jedes z = z gilt B = 0 und A = 2z , d.h.
0 0
df = 2z dz.
0
Somit ist f(z) in z komplex differenzierbar, und es gilt
0
′ C
f (z ) = 2z fu¨r z .
0 0 0
∈
Etwas direkter:
f(z + ℓ) − f(z ) (z + ℓ)2 − z2 2z ℓ + ℓ2
0 0 = 0 0 = 0 = 2z + ℓ − 2z fu¨r ℓ 0.
0 0
ℓ ℓ ℓ
(cid:3)
→ →
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