Цифровые методы спектрального анализа сигналов: метод. указания к лаб. работе по дисц. «Цифровая обработка сигналов» для студ. спец. 39 01 01 «Радиотехника» и 39 01 02 «Радиоэлектронные системы» всех форм обуч.

27 Pages·02.221 MB·Russian

by  Ходыко, Д. Л.

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования
«Белорусский государственный университет
информатики и радиоэлектроники»

Р
Кафедра радиотехнических систем
И

У

Г

Б

Цифровые методы спектрального анализа сигналов

а

к
Методические указания к лабораторной работе по дисциплине
е
«Цифровая обработка сигналов» для студентов специальностей
39 01 01 «Радиотехника» и 39т 01 02 «Радиоэлектронные системы»
всех форм обучения
о

и

л

б

и

Б

МИНСК 2004
УДК 621.391.2(075.8)
ББК 32.811.1 я 73
Ц 75

С о с т а в и т е л и:
Д.Л. Ходыко, С.Б. Саломатин
Р

И

У

Цифровые методы спектрального анализа сигналГов: Метод. указания к лаб.
Ц 75 работе по дисц. «Цифровая обработка сигналов» для студ. спец. 39 01 01 «Ра
Б
диотехника» и 39 01 02 «Радиоэлектронные системы» всех форм обуч./Сост.
Д.Л. Ходыко, С.Б. Саломатин, 2004.– Мн.: БГУИР, 2004.– 26 с.:ил.
а
ISBN 985-444-636-0
В методических указаниях рассматриваются цифровые методы спектрального анализа
к
сигналов с использованием текущего и унитарного непараметрического рекурсивного ме-
е
тодов преобразований. Приводятся алгоритмы спектрального оценивания, которые могут
быть использованы для решения задач обнаружения широкого класса сигналов и оценки их
т
параметров в условиях априорной неопределенности.

о
УДК 621.391.2(075.8)
и ББК 32.811.1 я 73

л

б

и

Б

© Ходыко Д.Л., Саломатин С.Б., составление, 2004
ISBN 985-444-636-0 © БГУИР, 2004
Содержание

Цель работы
1. Краткие теоретические сведения
2. Оценка параметров радиосигналов
Р
3. Моделирование алгоритмов спектрального анализа сигналов в
И
среде Matlab
Задание
У
Контрольные вопросы
Г

Литература
Б

а
к
е
т
о
и
л
б
и
Б
Цель работы

1. Изучение методов спектрального анализа сигналов.
2. Изучение алгоритмов цифрового спектрального анализа сигналов в условиях
априорной неопределенности с использованием частотно-временных преобразова-
ний.
3. Исследование частотно-временных алгоритмов спектрального анализа сиг-
налов. Р
4. Получение навыков моделирования алгоритмов ЦОС в среде MatLab.
И

1. Краткие теоретические сведения
У

Классификация методов спектрального анализа. ВГ настоящее время извест-
ны различные методы спектрального анализа, которые можно разбить на две груп-
Б
пы: параметрические и непараметрические.
Алгоритмы, реализующие параметрические методы спектрального анализа, ос-
а
нованы на моделях исследуемых процессов.
Непараметрические методы непосредственно используют дискретные отсчеты
к
сигнала (периодограммный метод) или вычисленные по ним автокорреляционные
е
функции (АКФ) (коррелограммный метод). Коррелограммный метод вычисляет
оценку спектральной плотности тмощности (СПМ) сигнала. Алгоритмы непарамет-
рического спектрального анализа выполняются с использованием Фурье- преобразо-
вания. о
Метод, использующий АКФ, называется косвенным, а метод, использующий
и
дискретные значения сигнала, – прямым. Автокорреляционные значения сигнала
могут рассматривлаться как коэффициенты промежуточного состояния, вычисленные
при переходе из временной области в спектральную.
б
Недостатком непараметрических методов можно считать появление боковых
и
лепестков и появление ложных максимумов из-за ограниченности временной вы-
борБки.
К достоинствам можно отнести простоту метода и удобства вычислений.
Методы спектрального анализа случайных сигналов. Модель принимаемого
случайного радиосигнала на фоне белого шума (t) с нулевым средним и мощно-
стью 2 можно представить в следующем виде:
ш
x(t) A(t,T ,T )sin(2f t(t))(t), (1.1)
0 П 0
где (t)– случайная фаза радиосигнала; A(t,T ,T ) – закон модуляции несущего ко-
0 П
лебания.
Параметры модулирующего сигнала на приемной стороне: длительность T , пе-
0
риод повторения T и центральная частота f модулируемого колебания – могут на-
П 0
ходиться в пределах
T [T ...T ],
0 0min 0max
T [T ...T ],
П Пmin Пmax (1.2)
f [ f ... f ].
0 0min 0max Р
Здесь T ,T , T , T , f , f – возможные минимальные и максимальные
0min 0max Пmin Пmax 0min 0max
И
значения длительности, периода повторения и центральной частоты радиосигнала
соответственно.
У
Выбранная модель сигнала учитывает априорную неопределенность парамет-
ров сигнала в плоскости «частота – время». В этом случае Гспектральный анализ
удобно проводить с помощью частотно-временных преобразований.
Б
Понятие частотно-временного преобразования. Под частотно-временным
преобразованием понимается некоторая совместная ф ункция времени и частоты, ха-
а
рактеризующая распределение спектра в частотно-временной плоскости. Простым
примером является текущее преобразование Фурье:
к
F[k,n] L1x[nеm]ej2kLm , (1.3)
m0
т
где x[n]– дискретные отсчеты сигнала; n,k– индексы дискретных отсчетов по вре-
мени и частоте соответственно; L– длина дискретного преобразования Фурье.
о
Результат F[k,n] вычисляется в координатах частота – время. Текущее преобра-
зование Фурье можно допоилнить, умножив сигнал на весовое окно w[l]:
л L1 j2kl
F[k,n]w[l]x[nl]e L . (1.4)
t
б l0
Желательно выбирать такие весовые окна, преобразование Фурье от которых
и
положительно во всей области частот. Применение окна позволяет снизить уровень
боковых лепестков в частотной области.
Б
Рекурсивное преобразование Фурье. Для новой выборки данных x[n1] те-
кущее преобразование Фурье определяется выражением
L1 j2km
F[n1,k]x[n1m]e L , (1.5)
m0
где число выборок L неизменно.
В выражении (1.5) сделаем замену индекса m на m1 и перепишем в виде
Fn1,kL xn1(m1)ej2k(mL1) . (1.6)
m1
После несложных математических преобразований со слагаемыми (1.6) и учи-
тывая (1.3), получим следующую запись для рекурсивно обновляемого спектра:
k Lk
j2 j2
Fn 1,k xn 1 e Ltд  Fn,k xn  (L 1)e Ltд . (1.7)
Заметим, что число вычислений на частотную выборку требуется значительно
меньше, по сравнению с быстрым преобразованием Фурье (БПФ) типа «бабочка».
Унитарное преобразование матрицы ДЭФ. Пусть имеется вектор входных
отсчетов сигнала x длиной N . Произведем над x преобразование следуюРщего ви-
n n
да:
И
y T x, (1.8)
где T – матрица преобразования размерностью M N,M  KN,K 1,2,...;y– вектор
У
длиной M .
Г
Строками матрицы T являются линейно независимые векторы длиной N . Из-
вестно [3], что матрица T может быть разбита на K пБодматриц T(0),T(1),...,T(K1) раз-
мерностью NN , где верхний индекс q 0...K1 используется для обозначения но-

мера подматрицы.
а
Если W есть матрица дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ) NN ,
N
к
тогда матрицу T(q) размером NN можно представить в следующем виде:
е
T(q) W R(q), (1.9)
N
т
где R(q)– ортогональная матрица.
Произведение (1.9) называется унитарным преобразованием матрицы ДЭФ.
Если элементами R(qо) являются экспоненциальные функции, то матрицу R(q)
можно представить в вииде
 2lq 
л j
R(q) diage M  . (1.10)
  
б  l0..N1
2lq
j
Расисматривая все элементы e M с позиции алгебраической системы, можно
заметить, что они образуют мультипликативную абелеву группу . Из рассмотрен-
Б
ного множества  можно выделить подмножество, которое образует подгруппу g.
Произведение элемента группы  на подгруппу образует смежный класс по под-
группе g.
lq
j2
В нашем случае произвольным элементом  является e M с заданным q, а
подгруппой g – матрица W , тогда q-й смежный класс для унитарного преобразо-
N
вания (1.8) будет вычисляться как
lq
j2
T(q) W e M . (1.11)
N
В соответствии со сказанным выше унитарные преобразования образуют раз-
биение группы  на классы. Каждый элемент принадлежит одному и только одному
смежному классу. Всего получается K смежных классов.
Связь дискретного преобразования Фурье и унитарного преобразования мат-
рицы ДЭФ. Переходя от матричного представления вычисления спектра к дискрет-
ному преобразованию Фурье, в q-м смежном классе спектр сигнала имеет вид
F(q)[k,n] N1xnlej2lNkej2Mlq . (Р1.12)
l0
После упрощения (1.9) получим компактную форму вычисления
И
F(q)[k,n]N1xnlej2lqKNkK . (1.13)
У
l0
Пример. Определим все значения частот заданного смежного класса q5 с
Г
параметрами: L8, K 10, k 0...7, t 1мкс. По формуле
д
Б
qkK
f  (1.14)
k KLt

д
получаем: а
qkK 5k10
f   {62,5 187,5 312,5 4к37,5 562,5 687,5 812,5 937,5} Гц.
k KLt 1080,001
д
е
Полученное выражение (1.10) позволяет построить метод спектрального анали-
за в смежных классах на основе текущтего преобразования Фурье.
Связь рекурсивного преобразования Фурье и унитарного преобразования мат-
рицы ДЭФ. Рекурсивное преоброазование Фурье (1.7) после подстановки (1.13) может
быть приведено к виду
и
qkK qkK
F(q)n1,k xлn1ej2 KL  F(q)n,kxn(L1)ej2N KL . (1.15)
Выражение (1.12) позволяет получить спектр сигнала в смежных классах с ми-
б
нимальными вычислительными затратами.
Метод илокализации распределения энергии сигнала. Для получения частотно-
временного распределения энергетических характеристик сигнала одновременно на
Б
единичном временном и единичном частотном интервалах используют АКФ иссле-
дуемого процесса. Такой подход позволяет локализовать распределение энергии
сигнала в частотно-временном преобразовании.
Обозначим совместное времячастотное распределение как [k,n], где k,n–
индексы дискретных отсчетов по частоте и времени соответственно. Функция [k,n]
определяет мощность сигнала в дискретный момент n на дискретной частоте k.
Пример функции [k,n] представлен на рис. 1.1.
Р
И

Рис. 1.1. Вид времячастотной функции распределения
У

С другой стороны, частотно-временную функцию[k,n] можно трактовать как
Г
мгновенный спектр мощности, который в дискретном виде удовлетворяет следую-
Б
щим условиям:
[k,n] x[n] 2,
k а
[k,n] S[k]2, (1.16)
к
n
где x[n]2– интенсивность на единицеу времени в дискретный момент времени n;
S[k]2–интенсивность на единицут частоты на дискретной частоте k.
Величина полной энергии Э, выраженная через распределение [k,n], опреде-
о
ляется выражением
и Э[k,n]. (1.17)
n k
Функцию [лk,n] можно рассматривать как спектральную плотность мощ-
ности, которая связана с АКФ сигнала через теорему Винера – Хинчена следую-
б
щим образом:
и
L1M1 j2kl L1 j2kl
[k,n]x[nm]x[nml]e L r[n,l]e L , (1.18)
Б
l0 m0 l0
где r[n,l]– АКФ исследуемого сигнала длиной M .
Частотно-временные преобразования на основе вычисления СПМ позволяют
локализовать распределение энергии в частотно-временной области и провести
оценку параметров сигнала.
Основным фактором, определяющим точность вычисления оценки СПМ, явля-
ется интервал наблюдения  L*t , где t – интервал дискретизации сигнала; L–
д д
число отсчетов обрабатываемого сигнала.
Унитарное рекурсивное непараметрическое оценивание СПМ. Запишем
уравнение взвешенных оценок АКФ
 n
r[n,l] w[nm,l]x[nl]x[nml], (1.19)
m
где w[nm,l]– весовая функция.

Дискретное преобразование Фурье от r[n,l] формирует оценку спектра в q-м
Р
смежном классе
 L1 j2lqkK И
S(q)[n,k] r[n,l]e  KL  , (1.20)
c
l0 У
гдеL– максимальная задержка.
Уравнения (1.19), (1.20) характеризуют два этапа непарамГетрического оценива-
ния энергетического спектра.
Б
Весовую функцию w[nm,l] удобно рассматривать как импульсную характери-
стику фильтра h[m,l], передаточную функцию H[z,l] которого можно представить в
а
виде z-преобразования
кv1
l
b[i,l]zi
 е
H[z,l] h[m,l]zm  i0 , (1.21)
p1
l
m0 т 1 a[i,l]zi
i1
где v 1, p 1– число нулей и полюсов фильтра соответственно.
l l
о
Для получения несмещенных оценок АКФ должно выполняться условие
и v1
l
b[i,l]

лh[m,l]  i0 1. (1.22)
z1 pl1
m0 a[i,l]
б
i0
Условие (1.22) ограничивает свободу выбора импульсной характеристики
и
фильтра.
Б
После подстановки выражения (1.21) в (1.19) оценку АКФ можно записать в
виде уравнения в конечных разностях:
 vl1 pl1 
r[n,l]b[i,l]x[ni]x[nil]a[i,l]r[ni,l]. (1.23)
i0 i1
Используя выражение комплексной оценки спектра (1.20) для АКФ (1.23), по-
лучим рекурсивное соотношение
 p 1
l
S(q)[n,k] A[i,k]S(q)[ni,k] B(q)[n,k], (1.24)
c c
i1
где
L1 j2kl
A[i,k]a[i,l]e L , (1.25)
l0
q 1
l
B(q)[n,k]  x[ni]B(q)[n,k], (1.26)
i
i0
L1 j2lqkK
B(q)[n,k]b[i,l] x[nil]e  KL  . (1.27)
i
l0
Заметим, что число вычислений, приходящееся на частотную выборку k, необ-
Р

ходимое для обновления оценки S (q)[n,k] в (1.24), в этом случае не зависит от L и
c
И
полюса передаточной функции H[z,l] a[i,l]a[i], 0l  L.
Несмещенная оценка СПМ определяется как У
 
  
S(q)[n,k] 2Re S(q)[n,k] r[n,0] . (1.28)
c Г
Синтез алгоритма унитарного непараметрического оценивания СПМ. Вы-
Б
берем однополюсный фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-
фильтр), импульсный отклик которого, согласно (1.21), имеет вид
а
b[1,l] 1
H[z,l]  ,
1a[1,l]z1 1z1
к
v[l]0, p[l]1. (1.29)
е
В этом случае оценки АКФ (1.23) будут определяться как
 т 
r[n,l](1)x[n]x[nl]r[n1,l]. (1.30)
По соотношению (1.20) можно определить оценку СПМ для q-го смежного
о
класса.
При рекурсивноми обновлении СПМ (1.24) запишется как

л S(q)[n,k]S(q)[n1,k]B(q)[n,k], (1.31)
c c
где B(q) вычибсляется согласно (1.26), (1.27):
n,k
B(q)[n,k]  x[n]B(q)[n,k], (1.32)
и
0
Б L1 j2lqkK
B(q)[n,k](1)x[nl]e  KL  . (1.33)
0
l0
Используя выражение (1.15) рекурсивного вычисления спектра Фурье для вре-
менного индекса отсчета n1 и подставив (1.33) в (1.32), получим:
 qkK qkK 
j2  j2 L
B(q)[n1,k] x[n1](1)x[n1]e KLtд B(q)[n,k]x[n(L1)]e KLtд . (1.34)
 
 
Два рекурсивных уравнения для обновления энергетического спектра записы-
ваются как