Table Of ContentМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
А. И. Кочаев
2D-наноакустика
Ульяновск
УлГТУ
2014
УДК 534-16+534.212
ББК 22.37
К 87
Рецензенты:
д-р техн. наук, директор Ульяновского филиала Института радио-
техники и электроники им. В. А. Котельникова РАН В. А. Сергеев;
канд. техн. наук, доцент кафедры физики Ульяновского государст-
венного педагогического университета им. И. Н. Ульянова
В. П. Бондина
Научный редактор:
д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой физики Ульяновского государст-
венного технического университета Р. А. Браже
УДК 534-16+534.212
Кочаев, А. И.
2D-наноакустика / А. И. Кочаев; под науч. ред. Р. А. Браже. –
Ульяновск : УлГТУ, 2014. – 76 с.
Изложены основы акустики графеновых и графеноподобных
материалов – двумерных наноразмерных материалов. Представлены
атомные модели углеродных и кремниевых 2D-супракристаллов.
Сочетанием методов ab initio и сильной связи рассчитаны упругие
постоянные таких материалов. С использованием оригинальных ме-
тодов были найдены характерные скорости распространения чисто
продольных, чисто поперечных и изгибных упругих волн в графене
и супракристаллах. Исследованы способы возбуждения упругих
волн в наноразмерных пьезоэлектрических материалах.
Монография предназначена для исследователей, аспирантов и
студентов, специализирующихся в области акустики наноразмер-
ных материалов.
© Кочаев А. И., 2014
ISBN 978-5-9795-1337-9 © Оформление. УлГТУ, 2014
ОГЛАВЛЕНИЕ
Список основных обозначений ......................................................................... 4
Предисловие ......................................................................................................... 7
Введение ................................................................................................................ 9
Глава 1. Графеноподобные 2D-супракристаллические
материалы и их физические свойства ............................................................ 13
1.1. Строение и симметрия ................................................................................ 13
1.2. Термодинамическая устойчивость ............................................................ 15
1.3. Упругие характеристики ............................................................................ 18
1.4. Теплопроводность ....................................................................................... 32
1.5. Электропроводность ................................................................................... 38
Глава 2. Распространение упругих волн в 2D-супракристаллах .............. 42
2.1. Чисто продольные и чисто поперечные упругие волны
в 2D-супракристаллах ................................................................................. 42
2.2. Изгибные упругие волны в 2D-супракристаллах .................................... 47
Глава 3. Возможности практического использования упругих
волн в 2D-супракристаллах .............................................................................. 54
3.1. Способы возбуждения и приема упругих волн ........................................ 54
3.2. Пьезоэлектрические преобразователи на основе
периодически перфорированных графеноподобных
структур ........................................................................................................ 56
Заключение ........................................................................................................... 70
Библиографический список .............................................................................. 71
3
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
4mm, 6mm – класс симметрии;
a – характерный радиус-вектор сферической системы координат;
a – боровский радиус;
0
a – направляющие косинусы подвижной системы координат относитель-
i
но кристаллофизической;
с …с – компоненты тензора модулей упругости;
11 66
с – тензор модулей упругости;
iklm
c – «ужесточенный» тензор модулей упругости;
iklm
[c ] – матрица эффективных модулей упругости;
11
I – сила тока;
D – диаметр нанотрубки;
D – двумерный модуль изгиба;
2
d – длина ребра супраячейки;
E – двумерный модуль Юнга;
2
E – энергия образования связи;
BF
E – энергия, приходящаяся на один атом;
atom
E – энергия, приходящаяся на одну связь;
bond
E – ширина запрещенной зоны;
g
E – энергия металлической связи;
met
E – энергия связи на пару атомов;
pair
E – энергия отталкивания;
per
e – элементарный заряд;
e – тензор пьезоэлектрических модулей;
lik
G – универсальный квант теплопроводности;
0
G – коэффициент теплопроводности;
ph
– приведенная постоянная Планка;
4
k – волновой вектор;
k – постоянная Больцмана;
В
К – коэффициент электромеханической связи;
L – чисто продольная волна, кривизна изгиба;
L – длина нанотрубки;
0
l – межатомное расстояние, средняя длина пробега фононов;
m – плоскость симметрии, масса свободного электрона, фононная мода;
N – число Авогадро;
A
n – число ближайших соседей атома;
2
Р – вероятность;
Р – вектор электрической поляризованности;
i
R – радиус инерции оболочки относительно оси, перпендикулярной плос-
кости изгиба;
r – радиус-вектор;
S – интеграл перекрытия электронных орбиталей;
s – удельная поверхность;
2
s – тензор упругих податливостей;
ijkl
sp – тип гибридизации;
T – чисто поперечная упругая волна, поляризованная вдоль х ʹ;
2 2
T – чисто поперечная упругая волна, поляризованная вдоль х ʹ;
3 3
t – время;
U – групповая скорость изгибной волны, напряжение;
u – вектор смещения частиц (поляризации волны);
u′, v′ – внутренние смещения;
V – матричный элемент оператора энергии металлизации;
1
V – матричный элемент оператора ковалентной энергии;
2
V – матричный элемент оператора полярной энергии;
3
v – фазовая скорость волны;
5
W – энергия центрального межатомного взаимодействия;
C
W – энергия нецентрального межатомного взаимодействия;
NC
w – плотность энергии упругой волны;
Z – характеристический акустический импеданс;
0
(X, Y, Z) – кристаллографическая система координат;
(x , x , x ) – кристаллофизическая система координат;
1 2 3
(x ′, x ′, x ′) – произвольная подвижная ортогональная система координат;
1 2 3
α – константа центрального межатомного взаимодействия;
α – степень ковалентности;
с
β – константа нецентрального межатомного взаимодействия;
δ – расстояние между слоями в графене;
δ(kw) – безразмерное активное сопротивление;
γ – тензор деформаций;
lm
∆ – оператор Лапласа;
ε – тензор диэлектрических проницаемостей;
rs
– угол поворота каждой из входящих в σ-связь орбиталей;
η – коэффициент, зависящий от типа гибридизации;
2
λ – коэффициент, который выражается через матричные элементы опера-
тора ковалентной энергии между соответствующими атомными волновы-
ми функциями s- и p-состояний;
μ – молярная масса;
Ψ – волновая функция;
σ – тип связи, коэффициент Пуассона;
σ – тензор механических напряжений;
ik
ρ – плотность;
ρ – двумерная плотность;
2
φ – характерный угол сферической системы координат;
ω – циклическая частота волны.
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
Достоинством любых математических моделей распространения чи-
стых мод упругих волн является простота их применимости к различным
кристаллическим средам. Совсем недавно под таковыми понимались ис-
ключительно трехмерные (3D) природные и синтетические моно- и поли-
кристаллы. Выбором подходящих материалов и рабочих срезов достигает-
ся максимальная эффективность их использования в устройствах акусто-
электроники и акустооптики. Одним из способов расширить существую-
щие возможности работы этих приборов и обозначить принципы работы
других можно, осуществляя поиск новых, искусственно созданных струк-
тур и материалов.
Больших успехов на этом пути удалось достичь в результате синтези-
рования двумерного (2D) наноаллотропа углерода – графена и других по-
хожих планарных структур. Признанием научной общественностью цен-
ности этого открытия является присуждение Нобелевской премии по фи-
зике 2010 г. его создателям К. С. Новоселову и А. К. Гейму. Поиск новых
структур, обладающих уникальными характеристиками, продолжает оста-
ваться актуальным.
Стоит отметить, что наибольших успехов в исследовании характери-
стик наноразмерных материалов удалось достичь в изучении именно их
электрических свойств, в то время как механические, упругие и акустиче-
ские характеристики только начинают изучаться. Тем не менее, имеется
информация о чрезвычайно большой механической жесткости, обнару-
женной у графена. Поэтому вызывает большой интерес исследование
упругих и акустических свойств не только графена, но и других графено-
подобных структур, которые могут найти применение в наноакустоэлек-
тронике и наноакустооптике.
7
Более общими планарными структурами по сравнению с графеном
или силиценом, с точки зрения их строения, являются 2D-супракристаллы,
в узлах кристаллической решетки которых находятся не отдельные атомы
или ионы, а их симметричные комплексы. Возможность их существования
была обоснована посредством квантово-механических расчетов.
Исследованию упругих и акустических свойств графеновых и графе-
ноподобных материалов и посвящена эта книга. Она ориентирована на
специалистов в области компьютерного моделирования конденсированных
сред и физических явлений, а также аспирантов и студентов.
При написании монографии мною использованы результаты совмест-
ных исследований и публикаций со своим научным руководителем
Р. А. Браже, за что я выражаю ему свою искреннюю признательность и
благодарность.
8
ВВЕДЕНИЕ
Упругие волны в кристаллах, благодаря малой по сравнению с элек-
тромагнитными волнами скорости распространения, находят широкое
применение в акустоэлектронике и акустооптике по двум причинам.
Во-первых, упругие волны ультразвуковой частоты являются эффектив-
ным средством исследования физических свойств кристаллов: молекуляр-
ной структуры, неоднородностей и дефектов. Гиперзвуковые упругие вол-
ны применяются при исследовании электронной структуры металлов,
электрон-фононных взаимодействий, механизмов фазовых переходов и не-
которых других физических явлений. Во-вторых, упругие волны нашли
важное практическое применение в таких устройствах, как акустические
линии задержки, электромеханические и пьезоэлектрические преобразова-
тели, резонаторы, усилители и генераторы электромагнитных волн сверх-
высокой частоты.
Практический интерес представляют, главным образом, чисто про-
дольные и чисто поперечные упругие волны, поскольку в таких направле-
ниях их фазовая и групповая скорости совпадают по направлению. Про-
блеме поиска чистых мод упругих волн в анизотропных средах уделялось
внимание в работах Ф. Е. Боргниса, К. Браггера, З. Р. Чанга,
В. Н. Любимова, К. Р. Пелэза, М. Дуарте и др. исследователей.
Однако, из-за математических сложностей, данная задача до сих пор
была решена для каждого класса симметрии кристаллов в отдельности,
причем для наименее симметричных кристаллов моноклинной и триклин-
ной симметрии лишь для отдельных кристаллографических направлений.
Вклад пьезоэлектрического эффекта в увеличение эффективной жесткости
кристалла также не всегда учитывался. Он, в свою очередь, зачастую обу-
словливает изменение характеристик чистых мод.
9
Появление новых двумерных (2D) наноразмерных материалов и
структур, в частности, супракристаллов, обнаружение у них интересных
с точки зрения возможностей практического применения упругих свойств
с новой остротой поставило актуальную задачу исследования процессов
распространения продольных, поперечных и изгибных упругих волн в та-
ких материалах и структурах. Таким образом, 2D-наноакустика является
частью физической акустики применительно к случаю распространения
упругих волн в твердых телах одноатомной толщины. Данная книга, со-
стоящая из трех глав и заключения, посвящена этой проблематике.
Во введении обосновывается актуальность тематики и раскрывается
краткое содержание книги.
В первой главе говорится о графеноподобных двумерных супракри-
сталлах. Описываются их строение, атомные модели и симметрия. Приво-
дятся результаты компьютерного моделирования геометрических и энерге-
тических характеристик 2D-супракристаллов с использованием ab initio
методов. Приведены расчетные значения длины связи, энергии, приходя-
щейся на один атом и энергии, приходящейся на одну связь для
2D-супракристаллов, состоящих из атомов углерода, кремния, бора и азо-
та, серы. Показано, что все рассмотренные 2D-супракристаллы могут су-
ществовать при комнатной температуре, так как энергия их связей значи-
тельно превышает тепловую энергию. В целом, наиболее устойчивыми яв-
ляются 2D-супракристаллы, составленные из атомов серы, а наименее
устойчивы кремниевые структуры. В случае одних и тех же атомов наибо-
лее устойчивыми, как правило, являются структуры, содержащие тре-
угольные ячейки вложения.
Затем исследуются упругие характеристики углеродных и кремние-
вых 2D-супракристаллов, в частности, рассчитываются компоненты тензо-
ров модулей упругости, выраженные через константы центрального и не-
10
