Table Of ContentгосудАРстввнньй униввРситвт
вьсшАяшколАэкономику
Рекомешдовано
евтромметодики
предвузовской подготовкп
Факультет довуовской подготовки
Бпомощьабитуриентамгувпэ
мАтшмАтикА
чебнометодическое пособие
емаьпчислеппте ипримеение производнойстр
емаБьтплслление шощадейшоскихфццр стр ь
емарафинескцеметодь стр ъ
естьпдпясамостоятелпьнойработьпстр
ААБьков твть
йосква
пдислевиепРоизводьтхлементарныхфуякций €еминар
Бьтчисениепроиводньхэлеентарпьх
функций приштенение производньх для
йсстледования свойств ипостроенуяграфиков
асательная ипроиводная
онятиекасательнойкграфикуфупкции
онятиехордьграфпкаикасательной какпредельногополохетия
хордь
арисуйтехоРдьокРухостиконцькотоРьхнаходятся вточкахоуо
утууооооиоуогцээтуруц
пуаоуоээуэ
тээу
арисуйтехордьокрухности концькоторыхлехатвукааныхтовкасо
тууйранцРдгиокрухвостистягиваемой хордой
уа
уаЁ
т у а
с
едитесь втомчтокасательная куказашвойокрухностивточке
оуо Ф тб бьтьопредедеа какпредегьное шолокениехоРдь
секущеипроходящей черездветочкиокрухност ААтпуФ
мР тупристремденит уо
асательная кокРухности
Ёарисуйтекасательнуо кокрукностивукаавпой товкесоставьте
касательной
уравеие
уоФФ пух
уусоуу
су оус
тпууо€ т
о соуфтз
с
о
Ёарисуйтекасательнуюкграфтткууказанойфункциивуказаннойточке
составьтеуравнение касательвой
у соуоФФ
уцш о цФ
уо
асательная кпараболекакпредельноеполохение хордь
о
жэР
ьчпотеплдепропводтьхэемептарпьлхфудстй
оставьтеуравепиеРямойпРоходящей черезточкискооРддпаталдв
иьь уа
€оставьте уравеншехордьпараболь ппРоходящей череточкпс
координатмпаопьь о
проститеполученое вьрахешие аооо
тредельноешолохепдехордьтсоответствует оБыполпитеэту
шодстатовку аопо
тытиштитеРоизводуюфункции овточкесо
йе уравевиеотауРавнепие
касательной кграфикуфункции пвточкепо
оставьтеуравнешиехордшкуияескойпарабольт опроходящей
чеРеточкиекоорднатами осиьь а
проститетолучетное вьтрахешие омо
редельноеполохение хордьсоотвествуетаьтполнитеэту
подстановку аёа
Бьттислите проиводную фушкцииус вточкепо
еуравепиеуаауравнецие
касатегтьнойкграфикуфупкции овточкео Ф
гловойкоэффициент ссательной
Ёайдитеугловьекоэффициенть касательпыхкоторьеылипостроевыв
предьдщихрадеах этогопарагрфа
онятиепроиводнойфункциивточкешонятие
дифферецируемой функции
Бсгивточкеосуществуеткасатедьнаякграфикуфушкцииуоп
этакасательпаяеявляетФвертикаьой прямойтовэтойтчкесуществует
проиводнафупкции упичисовоеначепиепроизводной равно
угловомукоэффициентукасательной
Бсттивточкес осущесгвуетпроиводпая функции у атовэтой
точкесуществует касатеьнаякгрфикуфупкцииуиэтакасатепьная
неявляетсявертикаьойпрямойисловоезцачениепроизводной равшо
угловомукоэффициентукасательной
вноеуравнениекасательпой такиморазомимеетвид
уа
причемзначениепроизводпой вточке
спользуяявоеуравнеяиекасательной пайдитепРоиводныеуказапвой
функцишвутазапной точке
ьгщшешепхизводыхшедФтпарньх функлцй епллшар
ут оуо€
уха ъоуоФхэ
у т оуо
у оуо
ФФ
у оуо
йутоФэ
римерьтнедифференцруемьлх функций
окаяитечтоуказавкьефувкциивуказанпыхточкахнеимеюткасательной
истедоватеьпо неимеотпроизводнойсшользуйте графинескийметод
о
ухс
ууоо
у о
окшкитечтоук€вантые функциивуказаыхточкахимеот
вертикаьнуто касательцуюоеимеютпроизводнойспользуйте
грфинескийметод
у Б
ишу о
Бьтчисзлениешроиводнойстепеннойфункщии
роизводная функцту ав
роизводпая фувкцпиаовлтоойточкераввао
с
кахитефупкцитопроизводпая которойвточке Равпа
Б уъэуоус А уп
Б у
ЁомерответаБо о
роизводная функпу у
роизводная функции оравшаз
с
троиэзводнБаяцфункБциио Бввточке равна
ЁомерответаБ о
роизводная функцу
т
роизводнаяфункции
роизводттая функции у вточкетРавна
оьоь в Б о
Ёомерответазо
роизводная функцуту ппс
роизводная функции п€ равнаупсп
Бспип€ птопроизводнаяфункции уравнаут
роизводваяфуткцши учвточкеоРавна
в саэБт
вБ
нр
укакитефуункциюпроизуводнаякоторуойвтвочкесуравна
ЁомерответаБ о с
броизводньетригогометрических функций
кыкитегроизводуофункции зтлп
впаР зптБсовсБ сооаБ ьв
омерответаБоу
кахитепроиводвуюфупкгиисовс
впсвпоБ соБ совоБ св
омеротвегаБ о увдс
кахитепроизводую функции созш
БсовсБ вьо
ЁомерБ впо
ьтчисгтение шроизводной сумшьраности
произведения частного
Фсновньтеправиладифференцирования
слифункцитлусу ухъточкеоимеютпроиводные то
Роизводнаяфувкцииу сувэтойтчкеравнаа
производная функции уусвэтойтоткеравна
о
ьтлсуение цропводьхэледевтарь т €еминар
опстопроизводая функцииу вэтойточкеравна
с
у
роизводная квадратного трехчлена
роизводнаяфункции оъвсравнааш
роизводнаяфункции ус свточкеоРавна
т э Бз
Бь
ЁомербтвегаБо
роизводная дробнолинейнойфункции
оп ас
роизводттая функцииу араватФ
роизводнаяфункщуи ут
Б
роизводпая фукцииу равта та
какитефункциюпроиводнаякоторойвукавадтпойтонкеравпа
Б узгвточкес
роизводная функци у а
роизводпая функции ус равпао
€ешр
Бьпцтсзлениецропводых штеептаРвьх фулцлрй
кахитефункцитопроиводакоторойвуказаннойтонкеравпа
свточкео
вточкес
Б у ке у
усвточкес
Б усвточке
омерответаБо увюткев
асательттаякгрфикуфункцииу пвточкеш тересекает
ось вточке
Бс пп Бо Ао Ба
ЁомеротвегаБо уие
роизводая слознойфункции
зегвроизводваяфункцииураввауо
пкпыкитепроизводнуюфункции утт
ут пФ
т
ь т
омерответа о Ф
утт
рименение проиводнойдляисседов€шия
уонотонности функщии
остатотное усшовиеворастанияфункциина
промеутке
Бспинапромекутке т€ опроизводная функции ус ольшеттуля
тонаэтомромекуткефункцияу строговорасег
сгипапромехутке п€ ашроизводнаяфупкции у меньшенуля
тонаэтомпромехуткефункцияустрогоуьтвает
Бсгинапромеуткес€ афункцияуявляетслнеубывалощей те
опцивовсехточкахэтогопромехутка
производпая функцииуссуществует тововсехточкахэтого
промекутка проиводцая функцииуонеотрицатетьна ут
Ёеверное утвервдениеБсливапромеяутке € офупкцпяут
являетсяворасющей тесптпсивовсех
точкахэтогоромекуткапроиводная функцииу шсуществует тово
вссхточкахэтогоРомекутка троизводная фупкции усполокитедьпа
ус
кокитепромекуткимонотопностифункций
ьтчистление проиводтьх эееятарвых фуккцд €еминар
тс
укпРомехуткеоутпромекутке
усвозрастаетапромекутке оо
уубываешалромежутке оо
упналпромексутках иоо
патлромекутке
у оворастаетаромекуткахооиооттакахдомизих
поотдельностиноненаихоьединении
уубьтваетнашшРомехутке
Ёахокдениевершиньтпарабольспоиощьо
проиводной
аибуольпеБе зачение фаункБцииь шт Раво
Ёомеротвега уу
т Абсциссаверпиньквадратноготрехчлена
ррс р
п рр достигаетсвоего
аимепьшего наченияприр равном
р в гдц Бь
ЁомерответаБ ор
остатонное условиелокшьного аксиума
локаьногоминимума
аиольтпее значениефувкциишпнапРомехутке
с€ оо
равно
т эБз Ац
ь
омерответаБ о уу
Ёаименьштеезначеие функции ух папромехутке
с
с€ оо
равпо
зтьт зБ в и БэБ эв
нмрБ уФв
аибольтшее зтачениефункции птл на
ромекутке с€ равно
э Бз цв
ЁомерответаБ о уу
ьчистевиепроизвоттьтхэлеевтаргьхфупкций €етиинар
аименьпееначеиефункции ппРомекуке
ш
лсоо
б бравно
зцзаз ьзэутньч тзтз
пззз Б
Ёайдитенаимецьдее итдаиольтпее заетияфункции х п
ппстпж
у
омгиентарийБсписпомощьюпроизводнойэтосдедатьнеудаосьзаметьте
чтоувпагсвпс
айдитеточку вкоторойдосттгаетсянаиольтцее зтачение функции
уут шт пжуоц
омментарпй у
Ёайдитенаименьшееишаиольтшее значенияфункции совпвл
ппстпахт
оптштентарий Рсглиспомощьюпроизводпой этосделатьтеудаосьаметьте
тФвпт
Ёайдитеаимеьцее инаиольтшеезначенияфункции усозпт
по щ тпмс
омьтентарий Бслиспомощьюпроизводной этосдеатьнеудалось
ислпользуйтеявноевьтРакение черевпс
вссовавпт
в
Ёайдитепаимецьппееинаибольтеезтачеияфункцииу соБавпс
пл тоахо
айдитенаименьшее ицаиольшееаченияфунктции
со
зпш плт тагсвп
пж с
Ёайдитенаимеьццееинаибольштеезначенияфункции вп на
промеуткепстт пдущ т
а
пш ушэсу
Бьтистлепде пРоивощтьхэлемептарньтх футплттй €емипар
онотонность дробнолинейнойфункции
а
Функцияу оссмонототтнанапромехутке
са
а
имонотоннанапРомехутке с Ёамнохестве
хннаяфункциянеявляегсямонотонной
€колько функцийизчисаукаатыхявляотсмонотонымиша
н
промехутке
о
п
о
т э Бз аБь
ЁомеротвегаБо
риштенение шонятий шроиводнойи
касательной длярепения задач
остроениекасательной кграфикуспомощьго
проиводнои
о
асателБнаякгрфикуфупкции вточке пересекает
осьсвточке
пъ в ш ш Б а
в
омеротвега Фвспс
асательнаякгрфикуфушкции пвточкеш
вместесотрезкамиосейкоордпнаторазуеттРеугоьпик площацькоторого
равнта э заБь
омерответаБо уооо
птФтрезэкиквасаптеьцшыхобкрагзруаеыфтиткруеуфгоулнькнциикиплощпадькотпорогоРаввтоачках
ЁомеротБей ш заууцуо
Фстрьтйуголмедкасатедьньмикграфикуфункции
шшвточкахп и
равен
а ахсьвБагсшьвБь
Б о
Ёомеротвега
