Table Of Content4 Уральское отделение Российской академии наук ISSN 1998-2097
1
0
2 ВЕСТНИК
ПЕРМСКОГО
2
№
НАУЧНОГО ЦЕНТРА
АПРЕЛЬ – ИЮНЬ 2/2014
А
Р
Т
Н
Е
Ц
О
Г
О
Н
Ч
У
А
Н
О
Г
О
К
С
М
Р
Е
П
К
И
Н
Т
С
Е
В
Уральское отделение Российской академии наук
№ 2 АПРЕЛЬ – ИЮНЬ 2014
Научно-популярный журнал
Основан в 2008 году
Выходит 4 раза в год
ISSN 1998-2097
Главный редактор
академик РАН В.П. Матвеенко
Редакционная коллегия
академик РАН В.Н. Анциферов д-р техн. наук В.Ю. Петров
канд. экон. наук А.Г. Андреев д-р экон. наук А.Н. Пыткин
д-р техн. наук А.А. Барях д-р физ.-мат. наук Ю.Л. Райхер
д-р истор. наук А.М. Белавин д-р физ.-мат. наук А.А. Роговой
чл.-корр. РАН В.А. Демаков д-р техн. наук В.Н. Стрельников
чл.-корр. РАН И.Б. Ившина чл.-корр. РАН М.И. Соколовский
д-р техн. наук А.А. Иноземцев д-р физ.-мат. наук А.А. Ташкинов
д-р техн. наук В.В. Маланин
Ответственный секретарь
канд. техн. наук В.П. Приходченко
Адрес редакции журнала:
614900, г. Пермь, ул. Ленина, 13А
тел.: (342) 212-43-75
e-mail: [email protected]
─────────────────────────────────────────────
© Пермский научный центр УрО РАН, 2014
СОДЕРЖАНИЕ
АПРЕЛЬ – ИЮНЬ 2/2014
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
ИССЛЕДОВАНИЯ: ТЕОРИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТ
Севодина Н.В., Федоров А.Ю.
Совершенствование методов определения прочности клеевых соединений
на основе численного моделирования ...................................................................... 4
Корепанов В.В.
Численный анализ экспериментальных схем по обнаружению моментных
эффектов при статических и динамических внешних воздействиях ................... 13
Гаришин О.К.
Атомно-силовая микроскопия как эффективный инструмент исследования
структуры и механических свойств полимерных материалов
на микро- и наноуровне ............................................................................................ 23
Роздяловская Т.А.
Применение расплавленных катализаторов для утилизации токсичных
отходов сельскохозяйственных предприятий ........................................................ 34
Горбунова М.Н., Крайнова Г.Ф.
Тритерпенсодержащие полимерные конструкции:
синтез и биологическая активность ........................................................................ 44
Егорова Д.О.
Новые физиологические и молекулярно-биологические свойства
бактерий-деструкторов (хлор)ароматических соединений ................................... 53
Зуев А.Л., Мишланов В.Ю., Судаков А.И., Шакиров Н.В.
Изучение ионных, молекулярных и клеточных механизмов формирования
электрического импеданса в биологических жидкостях и тканях ....................... 69
Сыромятникова Л.И., Ронзин А.В., Мишланов В.Ю.,
Владимирский В.Е., Половинкина Т.А.
Липидвысвобождающая и белоксинтезирующая активность лейкоцитов
у больных атеросклерозом ....................................................................................... 79
Мишланов В.Ю., Владимирский В.Е., Сыромятникова Л.И., Савкин В.В.,
Зуев А.Л., Судаков А.И., Шакиров Н.В., Езов С.Г.
Новые патофизиологические механизмы актуальных респираторных
и сердечно-сосудистых заболеваний и перспективы разработки методов
диагностики на основе измерения электрического импеданса органов
грудной клетки .......................................................................................................... 87
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
На обложке – в окрестности железнодорожной станции Дивья
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА 2/2014
УДК 539.3
Н.В. Севодина, А.Ю. Федоров,
Институт механики сплошных Институт механики сплошных
сред УрО РАН сред УрО РАН
-
Рассмотрены различные варианты испытаний на прочность клеевых соеди
-
нений и проведен численный анализ напряженного состояния в образцах, ис
-
пользуемых в этих испытаниях. Произведено сравнение полученных результа
-
тов с принятыми методиками оценки напряженного состояния. На основе по
-
ставленной оптимизационной задачи предложены оптимальные варианты гео
-
метрии в окрестности особых точек образцов. Подтвержден качественный вы
-
вод о том, что у оптимальных поверхностей имеются общие признаки, связан
-
ные со структурой решения в вершине соответствующего составного клина, ко
торое определяет характер сингулярных решений в точках поверхности, где
имеет место соединение различных материалов с различными условиями на
поверхности контакта – идеальное прилипание, сухое трение, скольжение.
Ключевые слова: концентрация напряжений, сингулярность напряжений, упру-
гость, оптимизация геометрии, методы определения прочности, клеевые соединения.
ВВЕДЕНИЕ
Склеивание, как один из традицион- штабное использование клеевых соедине-
ных методов скрепления различных эле- ний объясняется простотой их изготовле-
ментов конструкций, используется в тече- ния, низкими материальными и времен-
ние многих веков. Клеевые соединения ными затратами, высокой коррозийной и
применяются в различных отраслях про- усталостной стойкостью, трещиностой-
мышленности: судостроении, авиацион- костью, хорошими характеристиками
ной промышленности, ракетно-космиче- демпфирования, меньшим весом по срав-
ской отрасли, автомобилестроении, робо- нению с другими методами скрепления. В
тотехнике, электронике, промышленно- качестве примера можно упомянуть о на-
сти строительных материалов, легкой блюдавшемся вплоть до 2009 года интен-
промышленности. Такое широкомас- сивном увеличении спроса на клеи, при-
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-96017-р_урал_а).
4
ИССЛЕДОВАНИЯ: ТЕОРИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТ
меняющиеся в автомобилестроении. То- Все это привело к тому, что методы
гда среднее потребление клеев и гермети- соединения листовых материалов получи-
ков составило приблизительно 20 кг на ли стремительное развитие. Эти методы
одно транспортное средство [1]. В авиа- позволяют скреплять новейшие материа-
космической отрасли все большее коли- лы, которые могут быть разнородными,
чество клеев используется в гражданской плохо свариваемыми или иметь покрытие
авиации, достигая наибольшего уровня в (краска, лак, грунтовка и т.д.). Одним из
новых авиалайнерах Boeing 787 Dream- таких методов является склеивание, пре-
liner и Airbus A350, которые более чем имуществом которого является обеспече-
наполовину изготовлены из клеевых ние непрерывного распределения напря-
структур (композиционных материалов) жений по всей поверхности соединения.
[2]. С увеличением спроса на энергоэко- Прочностные свойства клееных конст-
номичные средства доставки, а позже и рукций в значительной мере определяют-
на энергоэкономичные транспортные ся прочностью их клеевых соединений.
средства, возросла потребность в проек- Однако теоретические основы, техноло-
тировании облегченных конструкций, та- гия склеивания и оценки прочности клее-
ких как элементы кузова автомобилей и вых соединений получили значительное
фюзеляжа воздушных судов. развитие лишь в последние 70 лет [3–5].
1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПРОЧНОСТИ КЛЕЕВЫХ
СОЕДИНЕНИЙ
Для оценки прочности клеевых соеди- ния прочности клеевых соединений мож-
нений при склеивании как одинаковых, но условно разделить, например, по виду
так и разных материалов существуют нагружения (отрыв, сдвиг, отслаивание,
стандартные методы, определенные рос- расслаивание) или по типу склеиваемых
сийскими государственными стандартами материалов (одинаковые, разные) (рис. 1).
(ГОСТами) и зарубежными (международ- Образцы, используемые для определе-
ными и национальными, такими как меж- ния прочности клеевых соединений (как по
дународный ISO, британский BSI, фран- российским, так и по зарубежным стандар-
цузский AFNOR, немецкий DIN, амери- там), имеют различные формы и размеры.
канский ASTM, японский JIS и многими На рис. 2 представлены наиболее ти-
другими). пичные варианты образцов, которые ис-
Действующие ГОСТы для определе- пользуются при определении прочности
По виду нагружения
Прочность на отрыв Прочность на
Прочность на расслаивание
Прочность на сдвиг отслаивание ГОСТ 6768–75
Равномерный Неравномерный ГОСТ 14759–69 ГОСТ 411–77 ГОСТ 28966.1–91
отрыв отрыв ГОСТ 20182–74 ГОСТ 28966.2–91 ГОСТ 27812–2005
ГОСТ 209–75 ГОСТ 15867–79
ГОСТ 14760–69 ГОСТ 25885–83
ГОСТ 23234–2009
По материалам
Металл–Металл Одинаковые Разные Дерево–ДСП
ГГООССТТ 1144775690––6699 Полимер–Металл ГГООССТТ 2155888657––8793
Дерево–Дерево ПоГлОиСмеТр 6–7П6о8л–и7м5е р ГГООССТТ 240191––7757 Дерево–Металл
ГОСТ 27812–2005 ГОСТ 28966.1–91 ГОСТ 28966.2–91 ГОСТ 23234–2009
Рис. 1. Классификация действующих ГОСТов для определения прочности клеевых соединений
5
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА 2/2014
60 2
60
0 0
2 2R=25 2
15
40 105 2R=3 5
а б в
Рис. 2. Форма и размеры (в мм) образцов, которые используются при определении прочности
клеевого соединения по ГОСТам: одинаковые материалы, а – отрыв, б – сдвиг; различные
материалы, в – отрыв (1 – металлические диски, 2 – резина)
клеевого соединения одинаковых мате- Применение этой формулы основано
риалов на отрыв [6], сдвиг [7] и различ- на предположении о том, что распределе-
ных материалов (металл – резина) на от- ние напряжений по поверхности контакта
рыв [8]. Для этих образцов прочность при материал – клей является однородным.
отрыве и сдвиге определяется по формуле Но это предположение необоснованно,
σ = P/F, (1) что доказывается исследованием напря-
где Р – разрушающая нагрузка, F – пло- женно-деформированного состояния в
щадь склеивания. клеевом соединении.
2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛЕЕВЫХ СОЕДИНЕНИЙ
Знание напряженно-деформированно- особыми точками, бесконечных значений
го состояния в клеевом соединении важ- напряжений. К таким особым точкам от-
но для предсказания его прочности. Для носятся, например, точки на поверхности
исследования напряженного состояния тела, где нарушается гладкость поверхно-
простых соединений внахлестку сущест- сти, меняется тип краевых условий, кон-
вуют аналитические и численные методы. тактируют различные материалы, или
В работе [9] приведен обширный обзор внутренние точки, где нарушениа гладко-
литературы о существующих аналитиче- сть поверхности контакта различных ма-
ских моделях для простых и двойных териалов. Все эти точки могут иметь ме-
клеевых соединений внахлестку. Среди сто и в расчетных моделях клеевых со-
численных методов наибольшее распро- единений. Результат теории упругости о
странение получил метод конечных эле- бесконечных напряжениях в особых точ-
ментов, отличающийся своей гибкостью ках отражает наличие в реальном механи-
и универсальностью. ческом объекте ярко выраженной концен-
Как было отмечено выше, для образ- трации напряжений в окрестности особой
цов, представленных на рис. 2, предполо- точки. Как показывают эксперименталь-
жение об однородном распределении на- ные исследования, именно в зонах с ярко
пряжений по поверхности контакта ма- выраженной концентрацией напряжений
териал – клей не всегда соответствует происходит накопление повреждений и
действительности, что является следстви- начинается процесс разрушения. Наличие
ем как экспериментальных, так и теорети- сингулярного решения в рассматривае-
ческих исследований. В математической мых задачах определяется геометрией те-
теории упругости главным аргументом ла, механическими характеристиками и
этой необоснованности является то, что граничными условиями на поверхности
имеют место сингулярные решения, свя- контакта.
занные с возможностью появления в от- Для проверки и оценки правомерно-
дельных точках области, называемых сти использования предположения об од-
6
ИССЛЕДОВАНИЯ: ТЕОРИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТ
нородности распределения напряжений На первом этапе исследования напря-
по поверхности склеивания различных женно-деформированного состояния на
материалов при определении их прочно- поверхности контакта материал – клей не-
сти была получена реальная картина рас- обходимо оценить влияние толщины клее-
пределения напряжений в образцах на ос- вой прослойки на прочность соединения.
нове численного моделирования. Для рас- Этому вопросу посвящен ряд исследова-
чета напряженно-деформированного со- ний, среди которых наиболее выделяются
стояния использовался метод конечных работы [10–12].
элементов (МКЭ), реализованный в паке- На рис. 3, а для образца, представлен-
те ANSYS (лицензия 392853). Эффектив- ного на рис. 2, а, приведено распределе-
ной оценкой точности полученных чис- ние отрывных напряжений по поверхно-
ленных результатов при решении задачи сти контакта материал – клей для двух
на основе принципа возможных переме- значений толщины слоя клея. Наличие в
щений является погрешность выполнения данном случае сингулярного решения
естественных краевых условий на свобод- проявляется в том, что распределение на-
ной от нагрузок боковой поверхности об- пряжений в окрестности края поверхно-
разцов и на поверхности контакта разно- сти контакта материал – клей имеет су-
родных материалов. В настоящей работе щественно неоднородный характер, а на
использовались дискретизации, обеспечи- краю поверхности напряжения асимпто-
вающие погрешность выполнения естест- тически стремятся к бесконечности при
венных краевых условий менее одного увеличении числа конечных элементов.
процента вне трех-четырех элементов, Практически это означает, что окрест-
прилегающих к особой точке. ность края поверхности контакта мате-
Необходимо отметить, что при анали- риала и клея является зоной ярко выра-
зе напряженно-деформированного со- женной концентрации напряжений. Раз-
стояния тел с особыми точками числен- меры этой зоны зависят от толщины слоя
ными методами, в том числе и МКЭ, воз- клея. На рис. 3, б приведено распределе-
никают определенные трудности, связан- ние касательных напряжений по верхней
ные с оценкой точности и сходимости ре- границе контакта материал – клей для об-
шения в окрестности этих особых точек. разца, представленного на рис. 2, б.
Использование стандартных процедур Для образца, представленного на
МКЭ требует в окрестности особых точек рис. 2, в, приведено распределение от-
существенного сгущения конечно-эле- рывных напряжений по поверхности
ментной сетки, применения сложных металл – резина, полученное без учета
адаптивных процедур ее оптимизации. клеевой прослойки (рис. 4) и при добав-
Для этого на основе пакета ANSYS были лении в расчетную схему клеевой про-
разработаны адаптивные алгоритмы по- слойки между металлом и резиной
строения сгущающихся к особым точкам (рис. 5).
конечно-элементных сеток.
z P а) xy P б)
1,4 0
3
1,2 -0,2
2
1 -0,4
1
1
0,8 -0,6
0,6 -0,8
0 0,2 0,4 0,6 0,8 r R -7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 r, мм
а б
Рис. 3. Распределение напряжений по поверхности контакта материал – клей
с учетом толщины клеевой прослойки t, мм: 1 – 0,01; 2 – 0,5; 3 – 0,15
7
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА 2/2014
P P
z z
2 2
1
1,5 1,5 2
3
1 1
0,5 0,5
0 0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 r R 0,8 0,84 0,88 0,92 0,96 r R
Рис. 4. Распределение отрывных напряжений Рис. 5. Распределение отрывных напряжений
на поверхности контакта металл – резина на поверхности контакта металл – клей
в случае бесклеевого соединения при различных значениях толщины клеевой
прослойки: 1 – 0,01 мм, 2 – 0,15 мм, 3 – 0,5 мм
Результаты расчетов, приведенные на жений в окрестности выхода клеевого
рис. 5, демонстрируют неоднородное рас- слоя на поверхность уменьшается.
пределение напряжений на поверхности Таким образом, наличие концентрации
контакта металл – клей с ярко выражен- напряжений в некоторых (особых) точках
ной концентрацией вблизи внешней боко- клеевого соединения нарушает однород-
вой поверхности. Изменение толщины ность распределения напряжений по по-
клеевой прослойки практически не ока- верхности склеивания. Именно в этих точ-
зывает влияния на распределение отрыв- ках и начинается процесс разрушения ис-
ных напряжений по поверхности контак- пытываемых образцов. Поэтому проч-
та клей – резина. На поверхности ме- ность клеевого соединения, определяемая
талл – клей при уменьшении толщины по формуле (1), применяемой в ГОСТах,
клеевого слоя зона концентрации напря- приводит к неточным значениям.
3. ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ СНИЖЕНИЯ КОНЦЕНТРАЦИИ
НАПРЯЖЕНИЙ ВБЛИЗИ ОСОБЫХ ТОЧЕК КЛЕЕВЫХ СОЕДИНЕНИЙ
Существуют различные способы, ме- рии имеют значительный эффект. При
тоды и технологические приемы, направ- этом распределение напряжений более
ленные на увеличение прочности клеевых однородно, а максимум находится на не-
соединений. В основном эти подходы котором расстоянии от угла.
связаны с изменением геометрии клеевых 2. Изменение геометрии клея. Многие
соединений и основаны на том, что исследователи показали, что использова-
напряженно-деформированное состояние ние на концах области контакта специ-
в зоне концентрации напряжений, а зна- ально сформированных излишков клея,
чит вблизи особых точек (линий), зависит обеспечивающих плавное сопряжение бо-
от формы поверхности, механических ха- ковой поверхности клея со свободными
рактеристик материала или соотношения гранями склеиваемых материалов, умень-
механических характеристик соединяе- шает концентрацию напряжений в клее и
мых материалов. Выделим несколько склеиваемом материале.
подходов: 3. Формообразование склеиваемых ма-
1. Изменение геометрии склеиваемых териалов и клея. К данному подходу от-
материалов. Примером таких изменений носятся различные изменения формы по-
служат различные конструктивные реше- верхности склеиваемых материалов в ок-
ния в области особых точек: галтели, вы- рестности особых точек: скосы, волнооб-
точки, скосы, скругления и др. Скругле- разность и т.д.
ние углов устраняет особенность, поэто- Принимая во внимание многообразие
му малые локальные изменения геомет- технических постановок и затраты, связан-
8
ИССЛЕДОВАНИЯ: ТЕОРИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТ
ные с экспериментальным путем их реше- Требуется найти поверхность S , ми-
f
ния, очевидной становится актуальность нимизирующую функционал (2) либо
задачи поиска оптимального решения пу- обеспечивающую его значение меньше
тем математического моделирования. Ма- некоторой заданной величины. Функцио-
тематически выбор того или иного подхо- нал (2) преследует цель нахождения та-
да приводит к совершенно естественной кой формы поверхности S , которая бы
f
постановке задачи оптимизации формы обеспечивала наиболее однородное рас-
поверхности в окрестности особых точек пределение напряжений σ по поверхно-
n
и поиска значений упругих постоянных, сти контакта S различных материалов.
k
при которых напряженное состояние Поэтому, используя данный функционал
удовлетворяет заданному прочностному при поиске новых форм испытательных
критерию, либо возникающие напряжения образцов для определения прочности
являются минимальными из всех возмож- клеевых соединений, можно получить об-
ных конструктивных решений. разцы, для которых применение расчет-
Рассмотрим задачу оптимизации для ной формулы (1), используемой в
кусочно-однородного тела объема ГОСТах, будет обосновано.
V = V + V и ограниченного поверхно- На основе разработанных алгоритмов
1 2
стью S = S + S . Здесь нижние индексы оптимизации был решен ряд задач по по-
1 2
обозначают принадлежность к одному из иску оптимальной формы поверхности со-
материалов. В данном случае, точки со- ставных тел в окрестности особых точек.
единения поверхностей S и S являются Решение отыскивается на ограниченном
1 2
особыми точками поверхности, где имеет классе поверхностей. В качестве образую-
место контакт двух материалов. щих для таких поверхностей могут исполь-
Для постановки задачи оптимизации в зоваться кусочно-полиномиальные или
окрестности особой точки вводится функ- другие функции, определенные по значе-
ционал ниям координат или производных рассмат-
2 риваемой функции в конечном числе узло-
FS 1 ds ds, (2) вых точек. Результаты решения оптимиза-
f n S n ционных задач показали, что во многих
S k S
k k случаях из всего многообразия видов по-
который определяет среднеквадратиче-
верхностей достаточно описания формы
скую невязку отклонения (при отрыве –
поверхности в виде кубического сплайна
нормальных, при сдвиге – касательных)
или дуги окружности, основанных на двух
напряжений σ по поверхности контакта
n узловых точках. С практической точки зре-
S материалов от их среднего значения на
k ния это означает, что изготовление изде-
этой поверхности. Здесь S – часть по-
f лий с такими формами поверхностей тех-
верхности S в окрестности особой точки,
нологически достижимо и предпочтитель-
на которую могут быть наложены ограни-
нее других видов поверхностей.
чения конструктивного характера.
4. ОБЩЕЕ СВОЙСТВО ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
Анализ характера поведения напряже- Собственные решения в полярной сис-
ний в окрестности особой точки поверхно- теме координат с центром в вершине кли-
сти, где имеет место соединение двух ма- на имеют следующий вид:
териалов, связан с рассмотрением задачи u r,rkk,
исследования собственных решений для i i
составного клина при плоско-деформиро- где λ – собственные значения, которые
k
ванном состоянии, который образован ка- находятся из соответствующего характе-
сательными к поверхности тела в особой ристического уравнения.
точке [13, 14]. Различные варианты состав- Вопрос о возможности наличия или
ных клиньев, которые могут встречаться в отсутствия сингулярности напряжений в
клеевых соединениях, приведены на рис. 6. вершине клина решается в зависимости
9
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА 2/2014
В
γ
γ B
γ
C
γ
C
γ
A
A
180
γ
Рис. 6. Варианты составных клиньев с вершиной в особых точках
от величины действительных частей соб- без сингулярности.
ственных значений λ : если среди множе- Решение ряда оптимизационных задач
k
ства собственных значений имеется хотя позволило подтвердить данное свойство.
бы одно с действительной частью меньше Используя его, можно получить оптималь-
единицы, Re λ < 1, то в вершине клина ное решение, не ставя оптимизационную
k
возможны бесконечные напряжения. В задачу. Для этого необходимо определить
работах [15–18] предложен один из воз- границу смены характера решения.
можных методов построения сингуляр- Подтверждение данного положения
ных решений для трехмерных и двумер- было получено и при оценке прочности
ных тел, численная реализация которого клеевых соединений, работающих на от-
основана на методе конечных элементов. рыв (рис. 2, а, в) и сдвиг (рис. 2, б) в ус-
Решения для составного клина, боко- ловиях идеального контакта, идеального
вые грани которого свободны от напря- скольжения или сухого трения на склеи-
жений (например рис. 6, особые точки А ваемых поверхностях. Так, например,
и В; γ , γ соответственно равны γ, γ или при поиске оптимальной геометрии об-
1 2 A
γ, γ ), позволяют оценить характер сингу- разца для испытаний на отрыв соедине-
B
лярности напряжений в окрестности точ- ния металл – резина (рис. 2, в) вид кри-
ки поверхности, где имеет место соедине- вой для соответствующего составного
ние двух разных материалов. Аналогич- клина (особая точка типа В), которая
но, решения для точки С (рис. 6) дают разделяет решение с сингулярностью и
возможность определить характер сингу- без сингулярности, для конкретных ме-
лярности напряжений для внутренней ханических характеристик материалов
особой точки, которая может иметь место представлен на рис. 7.
в клеевых соединениях (например, при Величины углов γ и γ у найденной
B
соединении с излишками клея). оптимальной поверхности соответствуют
Ранее в ряде работ [19–21] было пока- одной из точек на кривой Re λ = 1
k
зано, что в окрестности особых точек ре- (рис. 7). Картины распределения напря-
альных конструкций оптимальные с точ- жений для геометрий, соответствующих
ки зрения снижения уровня напряжений различным точкам на кривой Re λ = 1,
k
геометрии обладают общим свойством. отличаются незначительно. Имеющая ме-
Это свойство формулируется следую- сто неединственность устраняется при
щим образом: механические характери- обеспечении достаточной точности рас-
стики материалов и оптимальные углы, чета напряженного состояния в процессе
образующие касательные к поверхно- оптимизационного поиска. При этом оп-
стям в особой точке в соответствующей тимальный вариант будет соответство-
задаче для клина, определяют границу вать точке на кривой Re λ = 1 с наиболь-
k
между решениями с сингулярностью и шим углом (в данном случае γ) у более
10
