Table Of ContentIISSSSNN 1999-6691
2008
Июль -
сентябрь
COMPUTATIONAL
CONTINUUM
MECHANICS
Том 1
№ 3
Пермь
ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
УРАЛЬСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯМЕХАНИКА
СПЛОШНЫХСРЕД
Том № Июль сентябрь
Пермь
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
Журналоснованвмартегода
Выходитраза вгод
Журналпубликуетстатьи содержащиеновыерезультатывобластимеханикисплошныхсред
Тематикажурналавключаеттеоретическиеичисленныеметодырешениязадачмеханикидеформируемого
твердоготелаимеханикижидкостей эффективныеприложенияэтихметодовкисследованиямприродных
итехногенныхявленийтехнологических процессов поведениямашинконструкций исооружений
В журнале также будут публиковаться работы связанные с теоретическими и прикладными аспектами
численных методов сходимостью устойчивостью оценкой погрешности и тп построением
конечномерных аналогов сплошной среды и дискретизацией областей применением современных
высокопроизводительных компьютеров и развитием параллельных вычислений сравнительным анализом
возможностейразличныхпакетовприкладныхпрограмм
Одной из главных целей журнала является содействие разработке новых вычислительных технологий
механикисплошныхсредиихвнедрениювпрактикуповседневныхнаучныхисследований
Журнал предназначен для научных и научно технических работников преподавателей аспирантов и
студентов
Главныйредактор Заместительглавногоредактора
ВПМатвеенко НАТруфанов
Редакционнаяколлегия
БабешкоВА КукуджановВН РайхерЮЛ
БаженовВГ ЛипановАМ РоговойАА
БуренинАА ЛюбимовДВ СтружановВВ
ВахрушевАВ ЛюбимоваТП ТрусовПВ
ГольдштейнРВ МанжировАВ ФоминВМ
ГорячеваИГ МорозовНФ ФрикПГ
ЕрофеевВИ НаймаркОБ ЦаплинаГС отвсекретарь
ИндейцевДА ПобедряБЕ ШардаковИН
Краткоеруководствоавторам
Журнал Вычислительная механика сплошных На печатном экземпляре должны стоять подписи
сред публикует результаты оригинальных всехсоавторов
исследований соответствующих научному
Крукописинеобходимоприложить
профилю журнала которые нигде ранее не - письмо направление подписанное
опубликованыинепереданывдругиежурналы
руководителем и заверенное гербовой
Рукопись представляется в редакцию в виде печатью организации где выполнялась
электронного и печатного вариантов работа
выполненныхвсоответствиистребованиями см - экспертное заключение о возможности
сайтжурнала опубликования результатов в открытой
Каждыйизвариантоввключает печати
- резюменарусскомианглийскомязыках
- название статьи фамилии авторов
Адресредакции
названия организаций где выполнена
работа Редакцияжурнала
- основнойтекст безиллюстраций Вычислительная механика сплошных сред
- комплект иллюстраций в графическом ИМССУрОРАНул АкадемикаКоролёвад
формате Пермь Россия
- подписикрисункам
- комплекттаблиц Тел
- сведенияобавторахсуказаниемавторадля
переписки
©ИнститутмеханикисплошныхсредУрОРАН
Вычислительнаямеханикасплошныхсред Т №
СОДЕРЖАНИЕ
Гранично элементное моделирование на основе квадратур сверток
динамическогосостояния составных упругихтел
АВАменицкий ААБелов ЛАИгумнов СЮЛитвинчук
Нижний Новгород
Двухуровневая модель стационарных процессов упругопластического
деформированияЧасть Алгоритм
ВНАшихмин П ВТрусов А ИШвейкин Пермь
Панельный флаттер вращающихся круговых оболочек обтекаемых
сверхзвуковымпотоком газа
САБочкарёв В ПМатвеенко Пермь
Вероятностный анализ Моделирования распределения структурных
характеристик сформированных в газовой фазе композиционных
наночастиц
АВВахрушев А ЮФедотов Ижевск
Расчеты динамики несжимаемой упругой среды при антиплоском и
скручивающем ударе
ЕАГерасименко А В Завертан Владивосток
Применение итерационно интерполяционного метода для решения
задачматематическойфизики
АМ Гришин В ИЗинченкоК НЕфимов А СЯкимов Томск
Обогащение природного газа гелием при нестационарных
диффузионно сорбционныхпроцессах вслое стеклянныхмикросфер
СВДолгушев В М Фомин Новосибирск
Моделирование деформирования и разрушения фибриллярных
структур
ВАКузькин А М Кривцов Санкт Петербург
Численное моделирование влияния магнитного поля на процесс
выращиваниякристалловвертикальным методом Бриджмена
ТПЛюбимова И СФайзрахманова Пермь
О решениях для внутренних захваченных волн с условиями
прилипанияна стенке
СВСмирнов Владивосток
Итерационный метод и устойчивость в задаче о растяжении с
кручением упругопластической детали в конструкции при её мягком
нагружении
ВВСтружанов Е ЮПросвиряков Екатеринбург
Вычислительнаямеханикасплошныхсред Т № С
ГРАНИЧНО ЭЛЕМЕНТНОЕМОДЕЛИРОВАНИЕ
НАОСНОВЕ КВАДРАТУР СВЕРТОК ДИНАМИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ
СОСТАВНЫХУПРУГИХ ТЕЛ
АВАменицкий А А БеловЛ АИгумнов СЮ Литвинчук
Научно исследовательскийинститутмеханикиНижегородскогогосударственногоуниверситета
им НИЛобачевского НижнийНовгород Россия
В статье представлен подход метода граничных элементов МГЭ с явным учетом переменной
временипорешениютрехмерных динамических задачтеорииупругостидлясоставных тел Использована
гранично элементная техника построения дискретного аналога в сочетании с методом квадратур сверток
Построена оригинальная схема метода квадратур сверток Приведены результаты МГЭ расчетов
ПродемонстрированавысокаяточностьразработаннойМГЭ схемы
Введение
Подобно статическим или стационарным динамическим задачам нестационарные
задачи трехмерной теории упругости могут решаться методом граничных интегральных
уравнений ГИУ Гранично элементные методы поиска решений соответствующих
ГИУ позволяют строить компьютерные модели динамики составных упругих тел
Детальный обзор работ по упругодинамическим аспектам граничных элементов можно
найтив
Существующие методики решения задач упругодинамики с использованием МГЭ
укладываются главным образом в два возможных подхода прямой подход во
временной области или подход с использованием обратного преобразования Лапласа
Все численные формулы обращения зависят от надлежащего выбора их параметров а все
пошаговые процедуры требуют адекватного выбора шага по времени и как правило
приемовулучшенияустойчивостипошаговой формулировки
Представлен подход с использованием МГЭ во времени в рамках метода квадратур
сверток Рассматриваемая гранично временная формулировка является вариацией
подходаиспользующего метод квадратур сверток
АВ АменицкийА А БеловЛ А ИгумновС Ю Литвинчук
Вычислительнаямеханикасплошныхсред Т № С
Волновые потенциалы теорииупругости
Имеется замкнутая поверхность класса С α α > разделяющая пространство
на области Ω+ внутреннюю и Ω− внешнюю Смещение точки =
упругой среды занимающей области Ω+ или Ω− в момент времени определяется
вектор функцией = с компонентами = = Кроме того
вводятсяобозначения ± =Ω±× + Σ= × Σ+ = × + + = ∞
Граница считается многообразием класса ∞ локально выпрямленным при
помощи невырожденных ∞ преобразований координат Соответствующие
интегральные представления для вектора перемещений впервые построены в работах
и других при условии что известна матрица фундаментальных
решенийстолбцыкоторой = при > = и удовлетворяютуравнениям
∂ − ∂ =δ δ ⋅
гдеδфункция Дирака орт ойосикоординат статический оператор
Запаздывающие потенциалы простого и двойного слоев с плотностями α
β определяются соответственноформулами
α = ∫ − −τ α τ τ
Σ+
β = ∫ − −τ β τ τ
ν
Σ+
где оператор сингулярного решения νединичная нормаль , знак
ν
вещественного скалярного произведения Оба потенциала удовлетворяют в ±
исходному уравнению и нулевым начальным условиям При гладких плотностях
справедливы формулы скачков потенциалов при переходе точки
через Σ+ При обозначении через ±β и β соответственно предельных значений
потенциала βиз ±и егопрямого значения на Σ+получается
±β=∓ β+ β
±
Вводятсяоператоры согласно формулам
± ±υ =∂ + ε ε υ= γ± = γ±
Ω± (cid:65) (cid:65) Ω±
Здесь γ±оператор следа
Основой для получения разрешающих уравнений прямого подхода служат
равенства
± − ± =±Ι
АВ Аменицкий АА БеловЛ А Игумновидр Гранично элементноемоделирование
где тождес твенный оператор Записанные соотношения справедливы для кусочно
гладких поверхностей класса С являющихся объединением незамкнутых
поверхностейкласса С α α>
В предположении что поверхность разделяется замкнутым контуром Γ⊂ на
две связные компоненты = ненулевой площади так что Γ =∂ =
в ± рассматриваются уравнения трехмерной анизотропной нестационарной теории
упругости с нулевыми начальными данными На части граничной поверхности
Σ+ = × + задаются смещения ± = ± на Σ+ = × +граничные усилия
± = ±Решение задачи с учетомвыражений ищетсяввиде
= β + α
Плотностиαи βсосредоточены на Σ+и Σс+оответственно
Гранично элементнаядискретизация
Для введения ГЭ дискретизации рассматривается регуляризованное уравнение без
объемныхсил иначальных деформаций тоесть
{ }
[ ]
α + ∫ ∫ −τ τ − τ − −τ τ τ =
Ω
+ ∂Ω
∈∂Ω
где ∈∂Ωназывается точкой наблюдения иликоллокационной точкой Базовый процесс
ГЭ дискретизации заключается в разбиении поверхности ∂Ω на граничных
Ε
элементов ≤ ≤ совокупностью четырехугольных и треугольных
Ε
восьмиузловых биквадратичных элементов При этом треугольные элементы
рассматриваются как вырожденные четырехугольные элементы каждый из которых
отображается на некий контрольный элемент Δ каждый Δ это либо квадрат
ξ= ξ ξ ∈[− ] либо треугольник ≤ξ +ξ ≤ ξ ≥ ξ ≥ Элемент
отображаетсяна элемент Δс помощьюуравнения
ξ =∑ ξ β = ξ∈Δ
=
где β глобальный номер узла имеющего в ом элементе локальный номер
ξ функции формы В качестве функций формы выбираются квадратичные
полиномыинтерполяции
Естественный базис метрический тензор и единичная нормаль на
записываютсякак
ξ =∑ ξ ξ = ξ ⋅ ξ
α α αβ α β
=
Вычислительнаямеханикасплошныхсред Т № С
ξ ξ = ∧ ξ = − ξ ξ∈Δ α β=
Неизвестные граничные поля интегрируются через узловые значения = и
= в интерполяционных узлах Множество интерполяционных узлов
отличается от множества геометрических узлов а множество интерполяционных
функций не совпадает с множеством функций формы Рассматривается случай
называемый согласованным интерполированием где для аппроксимации граничных
перемещений применяются билинейные элементы а для аппроксимации поверхностных
силпостоянные элементы Тогда получаются следующие выражения граничных
перемещенийиповерхностных сил внутриэлемента
=∑ ξ χ = ∈
=
= χ = ∈
Здесь ξ функции формыдлялинейного четырехугольного элемента
Упругаясвязь ойи ойподконструкций тел моделируетсясоотношением
( )
=− =−γ − =
∈ ⊂Γ =Γ ∩Γ
В качестве узлов коллокации выбираются узлы аппроксимации исходных
граничных функций В итоге формируются системы линейных алгебраических
уравненийдлякаждойподконструкции тела
−α
Ω +∑∑ ∗ χ = ∑ ∗ −∑∑ ∗ χ − χ
= = = = =
−α
Ω +∑∑ ∗ χ =∑ ∗ −∑∑ ∗ χ − χ
= = = = =
= +
Знакомобозначается операция Вольтерра по времени χ = глобальный
номер узла некоторой сопряженной подконструкции находящейся с рассматриваемой
подконструкцией в упругой связи по ому элементу номер элемента сопряженной
подконструкции где задана упругая связь число элементов границы без упругих
связей число элементовсупругойсвязью
Уравнения записываются в узлах аппроксимации перемещений уравнения
вузлахаппроксимацииусилий
[ ]
= ∫∫ ξ ξ −δ ξ δ ξ ξ ξ
χ
− −
= ∫ ∫ ξ ξ ξ ξ
− −
АВ Аменицкий АА БеловЛ А Игумновидр Гранично элементноемоделирование
= ∫ ∫ ξ ξ ξ αχχ ξ ξ ξ
− −
Дискретные аналоги уравнений приводят к системе линейных
алгебраических уравнений относительно искомых граничных функций
Решение такойсистемыпредставляется вследующем виде
= ∗
Длясистемыприменяется следующий вариантметода квадратур сверток
Δ =∑ω Δ Δ =
−
=
− − ( ( ) )
ω Δ = ∑ γ π− Δ − π−
=
γ = − + = ϕ ϕ= π−
где изображение поЛапласу функции = функция Хевисайда
Остальные детали численной схемы приводятся в книгеТрадиционная
ГЭ схема совместно с методом квадратур сверток ориентирована на использование в
качестве граничных функций однако далеко не для всех начально краевых задач в
этом есть необходимость Если краевые задачи допускают применение интегрального
преобразования по времени то метод квадратур сверток может использоваться как метод
обращенияинтегрального преобразования
На основе построенной ГЭ схемы создается программное обеспечение и
организуется численный расчет трехмерной задачи с использованием гранично
элементнойстратегии дискретизации
Гранично элементныерасчеты
Использование гранично элементной дискретизации демонстрируется на решении
двухзадач
Задача Рассматривается торцевой удар силой = Па по составному
призматическому телу квадратного сечения с жестко закрепленным концом Риси
параметрами материала плотностями ρ = кг м и ρ = кг м коэффициентами
Пуассона ν = и ν = модулями Юнга Е = ⋅ Па и Е = ⋅ Па В
однородной постановке задача имеет аналитическое решение Полная геометрическая
модель представляет собой равномерную сетку содержащую четырехугольных ГЭ
Параметры схемы квадратур сверток выбираются следующие Δ = ⋅ − с
Результаты расчетов перемещений и напряжений приводятся на рисункахи
соответственно Исследуется случай когда подобласти имеют разные параметры
материалов значение модуля Юнга у второй подобласти в два раза меньше чем у первой
подобласти то есть Е = ⋅ Па а Е = ⋅ Па На рисунке представлены
графики перемещений на свободном торце и в плоскости контакта подобластей а на
рисункеграфики напряжений в плоскости заделки и в плоскости контакта
подобластей
