Table Of ContentЦЕНТР ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАСТЕРСТВА
МОСКОВСКИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
РЕГАТЫ
Часть 2
2006–2013
Составитель
А.Д.Блинков
Электронноеиздание
Москва
ИздательствоМЦНМО
2016
УДК 51
ББК 22.1
M82
Московскиематематическиерегаты.Часть2.2006–2013
Сост.А.Д.Блинков.
Электронноеиздание.
М.:МЦНМО,2016.
318с.
ISBN978-5-4439-2373-4
Математическаярегата—соревнованиедляшкольныхкоманд,
проводящеесяежегодно.Вовторойчастикнигисобраныматериа-
лывсехмосковскихматематическихрегатc2006/07по2012/13гг.
Имеетсярубрикаторзадач.Книжкаадресованаучителямсредней
школы, методистам, школьникам и может быть интересна всем
любителямматематики.
Подготовлено на основе книги: Московские математические регаты.
Часть 2. 2006–2013 / Сост. А.Д.Блинков. — М.: МЦНМО, 2014. —
320с.ISBN978-5-4439-0330-9.
ИздательствоМосковскогоцентра
непрерывногоматематическогообразования
119002,Москва,БольшойВласьевскийпер.,11
тел.(499)241–08–04
http://www.mccme.ru
ISBN978-5-4439-2373-4 ffiМЦНМО,2016
Оглавление
Отсоставителя ...................................... 6
Правиламатематическойрегатыитехнологияеепроведения . 7
Подготовкарегаты ...................................10
7класс Условия Решения
2006/2007учебныйгод ..................... 13 65
2007/2008учебныйгод ..................... 14 70
2008/2009учебныйгод ..................... 15 77
2009/2010учебныйгод ..................... 17 81
2010/2011учебныйгод ..................... 18 85
2011/2012учебныйгод ..................... 19 89
2012/2013учебныйгод ..................... 21 93
8класс Условия Решения
2006/2007учебныйгод ..................... 23 99
2007/2008учебныйгод ..................... 24 106
2008/2009учебныйгод ..................... 25 112
2009/2010учебныйгод ..................... 26 117
2010/2011учебныйгод ..................... 28 123
2011/2012учебныйгод ..................... 29 129
2012/2013учебныйгод ..................... 30 134
9класс Условия Решения
2006/2007учебныйгод ..................... 32 139
2007/2008учебныйгод ..................... 33 146
2008/2009учебныйгод ..................... 35 153
2009/2010учебныйгод ..................... 36 161
2010/2011учебныйгод ..................... 38 168
2011/2012учебныйгод ..................... 39 175
2012/2013учебныйгод ..................... 41 183
10класс Условия Решения
2006/2007учебныйгод ..................... 43 188
2007/2008учебныйгод ..................... 44 198
2008/2009учебныйгод ..................... 46 207
2009/2010учебныйгод ..................... 47 215
2010/2011учебныйгод ..................... 49 224
4 Оглавление
2011/2012учебныйгод ..................... 50 231
2012/2013учебныйгод ..................... 52 238
11класс Условия Решения
2006/2007учебныйгод ..................... 54 247
2007/2008учебныйгод ..................... 55 254
2008/2009учебныйгод ..................... 57 263
2009/2010учебныйгод ..................... 58 273
2010/2011учебныйгод ..................... 60 282
2011/2012учебныйгод ..................... 61 291
2012/2013учебныйгод ..................... 62 298
Тематическийуказатель ...............................305
Литература .........................................314
Оматематическихрегатах .............................316
ПамятиАлександраЗахариевичаГурвица,
вместескоторыммыэтоначинали
От составителя
Со времени прошлого издания книжки о математических регатах
прошло семь лет, а это значит, что в Москве прошло еще 30 регат,
материалыкоторыхмыипубликуемотдельнойкнигой.Заэтовремя
не произошло существенных организационных изменений: регаты
по-прежнему проходят в Московском дворце детского (юношеского)
творчества, поддерживаются Департаментом образования г.Москвы
иМосковскимцентромнепрерывногоматематическогообразования.
Их популярность не снижается, наоборот, они привлекают все боль-
ше команд из других городов; в частности, команды из Костромы
и Санкт-Петербурга стали уже постоянными участниками всех мос-
ковскихрегат.Отдельныерегаты(особеннов7и8классах)собирают
около90команд-участниц(желающихещебольше,нозалдляпрове-
дениярегатитакзаполняетсядоотказа).Выросуровеньтехнического
обеспечения: разбор задач и результатысинхронно демонстрируются
начетырехэкранах.
Помимо условий и решений задач, для удобства использования
этихматериаловвконцекнигиприведенрубрикаторзадач.Расширен
список литературы, использованной при подготовке заданий, и до-
полненабиблиография.
За прошедшийпериод существенно обновился коллективсостави-
телей,ежегоднообновляетсяигруппаобеспечениярегат:закончивших
ВУЗы заменяют младшекурсники, которые еще недавно сами были
участникамирегат.
Среди тех, кто внес свой вклад в подготовку и проведение регат
этого периода (и не упомянут в предыдущем издании), хочется осо-
бо отметить А.Банникову, Ю.Блинкова, С.Беляева, В.Евдокимову,
Н.Медведя,П.Мельничука,Н.Наконечного,Д.Прокопенко,А.Птахи-
на,И.Раскину,А.Садовникова,А.Сгибнева,Д.Селегея,М.Тихомиро-
ва,И.Феофилактова,Д.Шноля.
По традиции при подготовке книги к печати, помимо материалов
организаторов регат, были использованы отдельные особо удачные
решенияшкольников.
Правила математической регаты
и технология ее проведения
1. В математической регате участвуют команды учащихся одной
параллели. В составе каждой команды—4 человека. Участие непол-
ныхкомандсогласовываетсясорганизаторамипередначаломрегаты.
Если школа (город, кружок) представлены на регате несколькими
командами, то к названию команды добавляется буквенный индекс.
В виде исключения допускается участие сборных команд, название
которых сообщаетсяорганизаторамзаранее,и команд,составленных
изшкольниковболеемладшейпараллели.
2. Соревнованиепроводитсявчетыретура(дляучащихся7–8клас-
сов) или в пять туров (для учащихся 9–11 классов). Каждый тур
представляет собой коллективное письменное решение трех задач.
Любаязадачаоформляетсяисдаетсявжюринаотдельномлисте.Эти
листы раздаются командам перед началом каждого тура. На каж-
дом таком листе указаны: номер тура, «ценность» задач этого тура
в баллах, время, отведенное командам для решения, двойной индекс
задачии ееусловие.Получив листысзаданиями,команда вписывает
на каждый из листов свое название, а затем приступает к решению
задач.Каждаякомандаимеетправосдатьтолькопоодномуварианту
решениякаждойиззадач,неподписанныеработы—непроверяются.
Использование какой-либо математической литературы или кальку-
ляторовзапрещено.Мобильныетелефоныдолжныбытьотключены.
3. Проведением регаты руководит группа координаторов. Пред-
ставители этой группы организуют раздачу заданий и сбор листов
с решениями; отвечают на вопросы по условиям задач; проводят
разборзадачидемонстрируютитогипроверки.
4. Проверкарешенийосуществляетсяжюрипослеокончаниякаждо-
готура.Жюрисостоитизтрехкомиссий,специализирующихсянапро-
веркезадач№1,№2и№3каждоготура.Критериипроверкикаждаяко-
миссиявырабатываетсамостоятельно.Вкаждойкомиссиивыделяется
ответственныйчленжюри,организующийработуэтойкомиссии.Он
полномоченприниматьокончательныерешениявспорныхситуациях.
5. Разбор задач для учащихся осуществляется параллельно с про-
веркой.Итогипроверкиобъявляютсятолькопослеокончанияэтого
разбора.Послеобъявленияитоговтура,команды,несогласныестем,
как оценены их решения, имеют право подать заявки на апелляции.
В случае получения такой заявки, комиссия проверявшая решение,
8 Правиламатематическойрегатыитехнологияеепроведения
осуществляет повторную проверку, после которой может изменить
свою оценку. Если оценка не изменена, то сам процесс апелляции
эта же комиссия осуществляет после окончания всех туров регаты,
но до окончательного подведения итогов. В результате любой апел-
ляции оценка решения может быть как повышена, так и понижена,
или же оставлена без изменения. В спорных случаях окончательное
решениеобитогахпроверкипринимаетпредседательжюри.
6. Команды—победителиипризерырегатыопределяютсяпосумме
баллов,набранныхкаждойкомандойвовсехтурах.Награждениепобе-
дителейипризеровпроисходитсразупослеподведенияитоговрегаты.
Приведенные правила дают основное представление о том, как
проходит регата. Имеет смысл добавить, что все команды и члены
жюри находятся в одном помещении. Столы в этом помещении рас-
ставляютсятак, чтобы каждая командасидела за отдельным столом,
и учащиеся могли вести обсуждение, не мешая другим командам.
Рассадка команд производится в соответствии с заранее заготовлен-
нымиирасставленныминастолахтабличкамисназваниямикоманд,
причемстолыкомандизоднойшколынерасполагаютсярядом.Члены
жюри размещаются компактно (на некотором расстоянии от столов
школьников), но для работы каждой из трех комиссий выделяются
отдельные места. Для разбора решений задач и для демонстрации
итогов проверки вначале использовались две классные доски. Впо-
следствиионибылизамененыноутбуками,мультимедиапроекторами
иэкранаминаштативах.
Жюри состоит большей частью из преподавателей участвующих
школ и студентов математических факультетов вузов. В каждую ко-
миссиюжюримогутвходитьот5до15человек,взависимостиотколи-
честваучастниковрегаты.Возглавляеткомиссию,какправило,один
из тех организаторов, кто готовил тексты решений. Председателем
жюриявляетсяодинизавторитетныхчленовжюри,попредваритель-
нойдоговоренности.
Численность группы координаторов колеблется от 6 до 12 чело-
век (также в зависимости от количества участников регаты). Часть
из нихвыполняет роль «ласточек», тоесть раздает задания, собирает
решения,следитзапорядком.Тричеловекасидятзакомпьютерами.
Изнихдвоеотвечаютзасинхроннуюдемонстрациюрешенийнадвух
экранах,аещеодин—ведетэлектронныйпротоколрегаты.
Обязанностиосновноговедущегорегатыберетнасебяодинизор-
ганизаторов,принимавшихактивноеучастиевподготовкезадач.Наи-
болееответственнаячастьегоработы—подробныйразборрешений
Правиламатематическойрегатыитехнологияеепроведения 9
задач для школьников (в некоторых случаях разбирается несколько
возможных способов решения), который проводится после каждого
тураизанимаетот10до20минут.Этоговремениобычнохватаетко-
миссиямжюри,чтобызавершитьпроверкуработивнестирезультаты
вотдельныепротоколы.Померезавершенияпроверки,результатыко-
мандпокаждойиззадачтурапереносятсявэлектронныйпротоколи
послеокончанияразборазадачдемонстрируютсякомандам.Послепо-
явлениянадоскерезультатовпроверки,команды,несогласныесоцен-
койихработы,могутзаявитьобэтомподнятиемтабличексназванием
(по команде ведущего). Эти апелляции первоначально рассматрива-
ются комиссиями жюри без участия школьников, поскольку те в это
время уже решают задачи следующего тура. Иногда какие-то из оце-
нок изменяются на этом этапе, чаще—этого не происходит, но за
командамиостаетсяправоналичнуюапелляцию,которуюпокаждой
иззадачможетосуществлятьтолькоодинизпредставителейкоманды.
Для облегчения работы ведущего и членов жюри полные тексты
решенийвсехзадачготовятсязаранее.Каждаякомиссияжюриполу-
чаетнесколькоэкземпляроврешений«своих»задачнепосредственно
перед началом первого тура регаты и имеет возможность обсудить
предварительныекритериипроверки.Полныетекстырешенийнахо-
дятся только у ведущего (в распечатанном виде) и у ответственных
заразборзадач(ввидекомпьютернойдемонстрации).
Один из ответственных за разбор выполняет также роль второго
ведущего. Вего обязанности входит,в частности,фиксация времени,
отведенного на каждый тур. Один из ведущих объявляет о начале
и окончании каждого тура, а также предупреждает команды за две–
триминутыдоокончаниятура(втечениетурачасыдемонстрируются
наэкранах).Ведущиетакжеотвечаютнавопросыучащихсяпоусло-
виюзадачивзаимодействуютсжюри(померенеобходимости).
Послетого,какзаконченывсеапелляцииивнесенывсеизменения
впротокол,происходитпроцедуранаграждениякоманд—победите-
лейипризеров.Посложившейсятрадициикоманды-призерынаграж-
даются дипломами турнира Архимеда. Кроме того, члены каждой
команды (в порядке занятых мест) подходят к этажерке с математи-
ческойлитературойикаждыйшкольниквыбираетсебеприз.
Количествонаграждаемыхкомандзависитпреждевсегоотуспеш-
ности решения задач и составляет, как правило, 20–25 процентов
отколичествакоманд-участниц.
Подготовка регаты
Проведениерегатытребуетбольшойпредварительнойподготовки,
как организационной, так и содержательной. Опишем систему подго-
товки,сложившуюсякнастоящемумоменту.
Регистрация заявок на регату осуществляется по телефону или
электронной почте. Как правило, регистрация начинается за месяц
изаканчиваетсязанеделюдодатыпроведениярегаты.Системапред-
варительныхзаявоксвязанастем,чтокакпомещениедлярегаты,так
иматериалыдолжныбытьподготовленызаранее.Количествокоманд
отодногоучебногозаведенияобычнонеограничивается,ношколам,
впервые участвующим в регате, как правило, рекомендуется выста-
витьоднуилидвекоманды.
Обсуждение задач для конкретной регаты происходит в один
из вечеров, примерно за месяц до даты ее проведения. Заседание
являетсяоткрытым,причемпредставителишкол,традиционноучаст-
вующих в регатах, оповещаются об этом персонально. На это обсуж-
дение каждый из заинтересованных учителей приезжает со списком
задач, которые он хотел бы предложить. Кроме того существует
постоянно пополняемый «банк задач», куда включены задачи, пред-
лагавшиеся, но не использованные ранее. Так как организаторы
регат преследуют, прежде всего, учебные цели, отсутствует стремле-
ние использовать исключительно «оригинальные» задачи: главное,
чтобы участвующие школьники были не знакомы с ними. Поэтому
задача отклоняется, если кто-то из присутствующих преподавателей
говорит, что его ученики могут быть с ней знакомы. Также откло-
няются и те задачи, решение которых требует знаний выходящих
за пределы программы данного класса (при этом, организаторы
стараются учитывать имеющееся многообразие программ и учеб-
ников). В остальном действует демократический механизм приня-
тия решения о включении той или иной задачи. Принципиально
важным является обсуждение условия каждой задачи вместе с ее
предполагаемыми решениями, поскольку список задач (за редким
исключением) должен быть утвержден в этот же день. Дальнейшая
подготовительная деятельность осуществляется по электронной по-
чте. На этой же встрече преподавателей решается и ряд организаци-
онных вопросов.
Исходяизопытапроведениярегат,сформулируемосновныеприн-
ципысоставлениякомплектазадачдлякаждойрегаты:
