Курс математического анализа. В 2 ч. Ч. 2

519 Pages·2016·4.384 MB·Russian

by  Максименко В.Н., Меграбов А.Г., Павшок Л.В.

Ó÷åáíèêè ÍÃÒÓ
Ñåðèÿ îñíîâàíà â 2001 ãîäó
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
СЕРИИ «УЧЕБНИКИ НГТУ»

д-р техн. наук, проф. (председатель) Н.В. Пустовой
д-р техн. наук, проф. (зам. председателя) Г.И. Расторгуев

д-р техн. наук, проф. А.А. Батаев
д-р техн. наук, проф. А.Г. Вострецов
д-р техн. наук, проф. В.А. Жмудь
д-р техн. наук, проф. В.А. Гридчин
д-р техн. наук, проф. В.И. Денисов
д-р физ.-мат. наук, проф. В.Г. Дубровский
д-р экон. наук, проф. К.Т. Джурабаев
д-р филос. наук, проф. В.И. Игнатьев
д-р филос. наук, проф. В.В. Крюков
д-р техн. наук, проф. Х.М. Рахимянов
д-р филос. наук, проф. М.В. Ромм
д-р техн. наук, проф. Ю.Г. Соловейчик
д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Селезнев
д-р техн. наук, проф. А.А. Спектор
д-р юрид. наук, доц. В.Л. Толстых
д-р техн. наук, проф. А.Г. Фишов
д-р экон. наук, проф. М.В. Хайруллина
д-р техн. наук, проф. А.Ф. Шевченко
д-р техн. наук, проф. Н.И. Щуров
В.Н. МАКСИМЕНКО, А.Г. МЕГРАБОВ,

Л.В. ПАВШОК

КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
Часть 2
НОВОСИБИРСК
2 0 1 6
УДК 517(075.8)
М 171

Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, профессор Г.Г. Черных
д-р физ.-мат. наук, профессор А.В. Пожидаев
доцент Э.Б. Шварц
д-р техн. наук, профессор В.В. Адищев

Работа подготовлена на кафедре инженерной математики НГТУ
для студентов I курса технических специальностей
всех форм обучения

Максименко В.Н.
М 171 Курс математического анализа : учебник / В.Н. Максимен-
ко, А.Г. Меграбов, Л.В. Павшок. – Ч. 2. – Новосибирск :
Изд-во НГТУ, 2015 – 2016. – (Серия «Учебники НГТУ»).
ISBN 978-5-7782-2779-8
Ч. 2 : – 2016. – 519 с.
ISBN 978-5-7782-2914-3
Книга написана в соответствии с учебной программой курса
математического анализа для вузов. Издается в двух частях. Во
вторую часть включены разделы: дифференциальное и интеграль-
ное исчисление функций нескольких переменных, их геометриче-
ские и механические приложения, обыкновенные дифференциаль-
ные уравнения, элементы векторного анализа (теория поля), чис-
ловые и функциональные ряды, ряды и интегралы Фурье. Объем и
содержание тем в основном соответствуют рабочей программе для
студентов I курса технических специальностей. Цель написания
учебника – помочь студентам в осмыслении основных понятий и
методов математического анализа и в грамотном их применении.

УДК 517(075.8)

ISBN 978-5-7782-2914-3 (Ч. 2) © Максименко В.Н., Меграбов А.Г.,
ISBN 978-5-7782-2779-8 Павшок Л.В., 2016
© Новосибиpский государственный
технический университет, 2016
4
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ
Настоящий учебник представляет собой расширенное изложение
курса лекций, читаемых авторами – сотрудниками кафедры инже-
нерной математики НГТУ в течение ряда лет студентам различных
факультетов университета. Материал адаптирован по объему и со-
держанию теоретических вопросов и по подбору примеров и прило-
жений в основном к рабочей программе для студентов I курса техни-
ческих специальностей высших технических учебных заведений.
Вторая часть книги содержит следующие крупные разделы:
дифференциальное исчисление функций нескольких перемен-
ных (глава 1); интегральное исчисление функций нескольких пере-
менных (кратные и криволинейные интегралы) и их геометрические
и механические приложения (глава 2); обыкновенные дифференци-
альные уравнения (глава 3); элементы векторного анализа (теории
поля) (глава 4); числовые и функциональные ряды (глава 5); ряды
Фурье и интегралы Фурье (глава 6). Для более вдумчивого и углуб-
ленного изучения некоторых вопросов читатель может обратиться к
библиографическому списку.
При создании учебника авторы старались выполнить три требо-
вания, предъявляемых к учебникам для втузов: относительную
краткость (по сравнению с университетским курсом), достаточную
полноту и строгость математических формулировок и доказа-
тельств и сопровождение каждого теоретического вопроса приме-
рами.
Авторы выражают искреннюю признательность доценту кафед-
ры инженерной математики НГТУ Э.Б. Шварцу и доктору техниче-
ских наук, профессору кафедры высшей математики НГАСУ
В.В. Адищеву за ценную, трудоемкую работу и за множество важ-
ных замечаний и уточнений, которые были учтены авторами и спо-
собствовали улучшению текста.
5
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß
 – знак логического следования
 – знак равносильности (эквивалентности)
 – знак принадлежности
: – равно по определению; это есть
 – квантор общности
 – квантор существования
 ! – «существует точно один»
{a,b,c,} – множество, состоящее из элементов a,b,c,
 – пустое множество
AB – объединение множеств
AB – пересечение множеств
A\B – разность множеств
A, U \ A – дополнение множества А до универсального мно-
жества U
A B – множество А является подмножеством множества В
A B – множество А является собственным подмножест-
вом множества В

{x P(x)} – множество элементов x, удовлетворяющих усло-
вию P(x)

f : X Y – функция, отображающая множество X в (на)
множество Y

1
f :Y  X – функция, обратная к функции f , отображающая
множество Y на множество X

6
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß
D(f) – область определения функции f
f g – композиция функций f и g, т. е. сложная функция,
составленная из функций f и g
[a,b] – замкнутый промежуток (отрезок, сегмент; числовой
отрезок) с началом a и концом b, ab
(a, b) – открытый промежуток (интервал; открытый чис-
ловой отрезок) с началом a и концом b, ab
[a,b) – полуоткрытый промежуток (полуинтервал; чис-
ловой отрезок, открытый справа) с началом a и

концом b, ab

(a,b] – полуоткрытый промежуток (полуинтервал; чис-
ловой отрезок, открытый слева) с началом a и

концом b, ab

[a;), (;a] – бесконечные промежутки (числовые лучи)
(a;), (;a) – бесконечные промежутки (открытые число-
вые лучи)

o((x)) – бесконечно малая функция более высокого порядка,
чем (x)
O (a){x xa } – -окрестность точки a


O (a){x 0 xa } – -окрестность точки a c выколотой

точкой а

O (a0){x 0ax} – левая -окрестность точки a

O (a0){x 0 xa} – правая -окрестность точки a

Re z – действительная часть комплексного числа z
Im z – мнимая часть комплексного числа z
z – число, сопряженное комплексному числу z
Arg z – аргумент комплексного числа z
arg z – главное значение аргумента комплексного числа z
{u } – последовательность с n-м членом u
n n
N – множество натуральных чисел
7
Z – множество целых чисел
Q – множество рациональных чисел
R – множество действительных чисел
C – множество комплексных чисел
 – начало доказательства теоремы
# – окончание доказательства теоремы
8
§ 1.1. ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ Rn
Ãëàâà 1
ÔÓÍÊÖÈÈ ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕ ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕ

§ 1.1. ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ Rn. ÏÎÍßÒÈÅ ÔÓÍÊÖÈÈ
ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕ ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕ
1.1.1. ÀÐÈÔÌÅÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÒÎ×Å×ÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ Rn
В дифференциальном и интегральном исчислении функций не-
скольких переменных используется понятие n-мерного арифмети-
ческого пространства.
Определение. Множество всех упорядоченных наборов
(x , x ,..., x ) действительных чисел x , x ,..., x называется п-
1 2 n 1 2 n
мерным арифметическим точечным пространством и обознача-
ется Rn, а его элементы – точками пространства Rn (п-мерными
точками). Числа x , x ,..., x при этом называют координатами
1 2 n
точки (x , x ,..., x ).
1 2 n
Как и в случае n3, точки пространства Rn будем обозначать
прописными буквами латинского алфавита, например Р
(x , x ,..., x ). Точку О(0,0,...,0) назовем началом координат.
1 2 n
По аналогии с тем, как это делается в случае одно-, двух- или
трехмерного пространства, для случая n-мерного пространства
(nN) вводят понятие расстояния между двумя точками (метрику
пространства Rn).
Определение. Расстоянием (P,P) между двумя точками
P(x , x ,..., x ) и Px, x,..., x  п-мерного пространства называ-
1 2 n 1 2 n
ется число
n
(P, P) x x2 x x 2 ...x x 2  x x2. (1)
1 1 2 2 n n i i
i1
9
Ãëàâà 1. ÔÓÍÊÖÈÈ ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕ ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕ
Если в формуле (1) положить п = 2 или п = 3, получим фор-
мулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоско-
сти или в пространстве соответственно, а при п = 1 – формулу
расстояния между двумя точками на прямой: (P,P) x x .
1 1
Арифметическое n-мерное пространство, в котором определено
расстояние между двумя точками, называют метрическим про-
странством Rn.
При п = 1, 2, 3 между точками пространства Rn и числовой
прямой R (координатной плоскостью R2, координатным про-
странством R3) было установлено взаимно однозначное соответ-
ствие, позволившее изучать реальные геометрические объекты ана-
литически. При n3 пространство Rn является удобной абстрак-
цией, при которой можно рассматривать произвольные подмноже-
ства этого пространства, удовлетворяющие некоторым условиям,
как определенные «фигуры». Будем задавать их аналитически так
же, как в R2 и R3, т. е. с помощью уравнений, неравенств и их си-
стем, которым удовлетворяют координаты этих точек. Приведем
определения таких фигур (подмножеств Rn).
Определение. Множество точек P(x , x ,..., x )Rn, рас-
1 2 n
стояние от каждой из которых до фиксированной точки
P x0, x0,..., x0 не превосходит положительного числа r:
0 1 2 n
 n  02  02  02 2
(P,P )r PR x x  x x ... x x r ,
0 1 1 2 2 n n
 
называют п-мерным замкнутым шаром радиусом r с центром
в точкеP .
0
В частности, при п = 1
(P, P )r xR xx rx r  x x r,
0 0 0 0
т. е. одномерный замкнутый шар – это отрезок длиной 2r с цен-
тром в точке x ;
0
при n = 2
 
(P,P )r  P(x, y)R2 (xx )2 (y y )2 r2
0 0 0
– круг радиусом r с центром в точке P (x , y );
0 0 0
10