1.Düzlemde Eğik ve Dik Koordinat Sistemi

221 Pages·2009·1.06 MB·Turkish

1 Düzlemde Eğik ve Dik Koordinat Sistemleri -Düzlem Analitik Geometri-Baki Karlığa

1.Düzlemde Eğik ve Dik Koordinat Sistemi
Bu bölüme Analitik Geometrinin kuruluşuna temel teşkil eden ve adına
Nokta-Vektör eşlemesi diyeceğimiz , düzlemin afin aksiyomlarını vererek
başlamak uygun olacaktır.
Afin Aksiyomlar :
(cid:71)
1. Düzlemin herhangi A,B gibi iki noktası verildiğinde ; u = AB olacak
(cid:71)
şekilde bir tek u vektörü vardır.
(cid:71)
2. Düzlemde bir A noktası ve R2 vektör uzayının bir u vektörü
(cid:71)
verildiğinde ;u = AB olacak şekilde bir tek B noktası vardır.
1.1.Düzlemde Eğik Koordinat Sistemi
Şekil 1.1.1

(cid:71) (cid:71)
{ }
Düzlemde bir A noktası ve lineer bağımsız u,v vektör cümlesi
(cid:71) (cid:71)
verildiğinde Nokta-Vektör eşlemesinden ; u = AB,v = AC olacak şekilde
2 Düzlemde Eğik ve Dik Koordinat Sistemleri -Düzlem Analitik Geometri-Baki Karlığa

(cid:71)
B,C noktalarının varlığını biliyoruz.A noktasından geçen ve u vektörüne
(cid:71)
paralel olan doğruyu d ,v vektörüne paralel olan doğruyu da d ile
1 2
gösterelim. Düzlemin keyfi bir noktası P olsun. P noktasından d
2
doğrusuna paralel çizip d doğrusunu kestiği noktaya Q ve d doğrusuna
1 1
paralel çizip d doğrusunu kestiği noktaya da R diyelim.
2
AP = AQ+QP,QP = AR
olduğundan ve
AP = AQ+ AR
(cid:71)
AQ = x(P)u
(cid:71)
AR = y(P)v
olarak yazılabileceğinden
(cid:71) (cid:71)
AP = x(P)u + y(P)v
(cid:71) (cid:71)
bulunur. Böylece düzlemin her bir P noktasına {A,u,v} cümlesini sabit
tutarak ,(x(P),y(P)) reel sayı ikilisini karşılık tutarız.
(cid:71) (cid:71)
{ }
Tersine A,u,v cümlesi sabit kalmak üzere; bir (a,b)
reel sayı ikilisi verildiğinde
(cid:71) (cid:71)
AP = au +bv
olacak şekilde bir tek P noktasının bulunacağı , Nokta-Vektör eşlemesinden
açıktır. O halde düzlemin noktaları ile reel sayı ikililerinin cümlesi olanR2
(cid:71) (cid:71)
{ }
arasında A,u,v cümlesini sabit tutularak bire-bir eşleme kurmuş oluruz.
3 Düzlemde Bir Noktanın Yer Vektörü -Düzlem Analitik Geometri-Baki Karlığa

(cid:71) (cid:71)
{ }
Buradaki A,u,v üçlüsüne düzlemin bir eğik(afin,paralel)
koordinat sistemi ,A noktasına bu koordinat sisteminin orijini ,
(x(P), y(P)) ikilisine de bu koordinat sistemine göre P noktasının
eğik(afin,paralel) koordinatları denir. Biz bu eşleme nedeniyle düzlemin
her bir P noktası için P =(x(P),y(P)) gösterimini kullanacağız. Ayrıca
d ,d doğrularına bu koordinat sisteminin koordinat eksenleri ,
1 2
(cid:71) (cid:71) (cid:71) (cid:71)
AB =1.u+0.v,AC =0.u+1.v
olduğundan da B =(1,0),C =(0,1) noktalarına koordinat sisteminin birim
noktaları denir.
Yukarıdaki tanımlardan ; P noktasından her bir eksen üzerine , diğer
eksen doğrultusunda, paralel izdüşümler alınarak oluşturulan reel sayı
ikilisi ile , eğik koordinat sisteminde bir P noktasının koordinatlarının
gösterildiği görülür. İlk eksen (X − ekseni) genellikle yatay olarak çizilir.
(cid:71) (cid:71) (cid:71) (cid:71)
{ } { }
u,v vektör cümlesinin ortonormal olması halinde ; A,u,v
cümlesine düzlemin Kartezyen(Dik Dörtgensel,Dik,Öklidyen) koordinat
sistemi karşılık gelir.
1.1.1.Düzlemde Bir Noktanın Yer Vektörü
(cid:71) (cid:71)
Düzlemde {A,u,v} afin koordinat sistemi seçelim . Q noktasının bu
koordinat sistemine göre koordinatları (b ,b )olsun. Afin koordinat
1 2
sisteminin yukarıdaki tanımından;
(cid:71) (cid:71)
AQ =b u+b v
1 2
veya
( )
AQ = b ,b
1 2
4 Düzlemde iki Nokta Arasındaki Uzaklık -Düzlem Analitik Geometri-Baki Karlığa
vektörüne Q noktasının yer vektörü denir.
1.1.2.Düzlemde İki Nokta Arasındaki Uzaklık
Düzlemin koordinat eksenleri arasındaki pozitif yönlü açısıα olan,
(cid:71) (cid:71)
{ }
A,u,v afin koordinat sistemini seçelim . Bu koordinat sisteminde
( )
koordinatları a ,a ,(b ,b ) olan noktalar da sırasıyla P,Q olsun.
1 2 1 2
Afin koordinat sisteminin yukarıdaki tanımından;
(cid:71) (cid:71)
PQ =(b −a )u+(b −a )v
1 1 2 2
veya
PQ =(b −a ,b −a )
1 1 2 2
bulunur.
d :R2xR2 → R

( )
d P,Q = PQ,PQ
değerine veya
d(P,Q)= (b −a )2 +(b −a )2 +2(b −a )(b −a )cosα ( 1.1.2.1)
1 1 2 2 1 1 2 2
değerine P,Q noktaları arasındaki uzaklık denir.
α

Şekil.1.1.2
5 Düzlemde Alan -Düzlem Analitik Geometri-Baki Karlığa
1.1.3.Düzlemde Alan

Şekil.1.1.3.1
Düzlemde doğrudaş olmayan herhangi üç nokta P,Q,R olsun.
R noktasından P,Q noktalarından geçen doğruya dik indirip, bu dikin
ayağına H diyelim. Şekil.1.1.3.1 den
PR,PQ
PH = PQ
PQ,PQ
vektörüne PR vektörünün PQ üzerine dik izdüşüm vektörü denir.
PR,PQ PQ− PQ,PQ PR
RH =
PQ,PQ
vektörüne de P,Q,R noktaları üzerine kurulan paralel kenarın PQ
kenarına ait yükseklik vektörü denir.RH vektörünün uzunluğuna da
paralel kenarın PQ kenarına ait yüksekliği denir. Buna göre ;
6 Düzlemde Alan -Düzlem Analitik Geometri-Baki Karlığa
2
RH = PQ PQ,PQ PR,PR − PQ,PR
veya
[ ]
RH = PQ.det PQ,PR
bulunur. Buradan da bu noktalar üzerine kurulan paralel kenarın alanı
ν(P,Q,R) ile gösterilmek üzere;
[ ]
ν(P,Q,R) = det PQ,PR .
bulunur.
(cid:71) (cid:71)
{ }
Koordinat eksenleri arasındaki açısı α olan A,u,v afin koordinat
sistemine göre bu noktaların koordinatları (a ,a ),(b ,b ),(c ,c ) ise
1 2 1 2 1 2
⎡b −a b −a ⎤
ν(P,Q,R) = det 1 1 2 2 sinα
⎢ ⎥
c −a c −a
⎣ ⎦
1 1 2 2
dır.
1.2 Düzlemde Dik ( Kartezyen) Koordinatlar
Bugün temel matematiğin gereksinim duyduğu ilk enstrüman ,
kartezyen koordinat sistemidir.
Kartezyen koordinat sisteminde bir noktanın koordinatları ; bu
noktanın yer vektörünün koordinat eksenleri üzerine alınan dik
izdüşümlerden oluşacağı ,eğik koordinat sistemlerinin tanımından açıktır.
Eğer koordinatların biri x diğeri y ile belirtilip eksenlerde X −ekseni ve
Y −ekseni diye söylenirse ,P =(x,y)şeklinde gösterilir. Buradaki eşitlik
karşılık gelme anlamındadır.
7 Düzlemde Alan -Düzlem Analitik Geometri-Baki Karlığa
Genellikle X −ekseni yatay olarak çizilip, orijinden itibaren sağa
doğru artar ; Y −ekseni de düşey olarak çizilip ,orijinden itibaren yukarı
doğru artar( Şekil.1.2.1).

Şekil 1.2.1: Kartezyen koordinatlarda P=(4,3), Q=(-1.3,2.5), R=(-1.5,-1.5),
S=(3.5,-1) ve T=(4.5,0).

Eksenler düzlemi dört bölgeye ayırırlar. Şekil 1.2.1 de P birinci
bölgede , Q ikinci bölgede , R üçüncü bölgede ve S de dördüncü bölgededir.
T , X −ekseninin pozitif kısmındadır.
Kartezyen koordinatlarda P,Q noktaları arasındaki uzaklığın
d(P,Q)= (b −a )2 +(b −a )2
1 1 2 2
π
şeklinde olacağı , (1.1.2.1) eşitliğinde α= alınarak görülür.
2
8 Düzlemde Doğrular -Düzlem Analitik Geometri-Baki Karlığa

1.3.Düzlemde Doğrular
Düzlemde A=(x ,y ),B =(x ,y ) noktalarından geçen doğrunun
0 0 1 1
denklemi
( )
(x,y)=(x ,y )+λ(x ,y )−(x ,y )
0 0 1 1 0 0
şeklinde λ parametresine bağlı olarak verilebilir. Bu eşitliğe A,B
noktalarından geçen doğrunun parametrik denklemi denir.
1.3.1.Düzlemde Doğruların Bazı Özellikleri
1.3 de λ parametresi yok edilerek, x ≠ x ,y ≠ y olmak üzere;
1 0 1 0
x−x x −x
0 = 1 0 =λ
y− y y − y
0 1 0
bulunur. Bu eşitliklerinden doğrunun kapalı denklemi de
ax+by+c =0
şeklinde olur.
Doğrunun eğimi
Düzlemde bir doğrunun X − ekseni ile yaptığı açının tanjantına bu
(2k −1)π
doğrunun eğimi denir. Bu açı kπ, den farklı olsun.
2
Bir doğru üzerindeki herhangi iki noktadan X − eksenine çizilen
paralellerin doğru ile yaptığı pozitif yönlü açı aynı olduğundan ,doğrunun
eğimi , doğru için bir karakteristiktir. Yani ; aynı noktadan geçen ve aynı
eğime sahip bir tek doğru vardır.
ax+by+c =0
doğrusunun eğimi
9 Düzlemde Doğrular -Düzlem Analitik Geometri-Baki Karlığa

−a
m =
b
ve A=(x ,y ),B =(x ,y ) noktalarından geçen doğrunun eğimi de
0 0 1 1
y − y
m = 1 0
x −x
1 0
eşitliklerinden bulunur.
−c
• Doğrunun X − ekseni ile kesiştiği noktanın orijine uzaklığı birim
a
−c
ve Y − ekseni ile kesiştiği noktanın orijine uzaklığı da birimdir.
b
• Eğer a =0 ise ( veya doğru X − ekseni ile kπ açısı yapıyorsa) ,X −
(2k −1)π
eksenine paralel , b =0 ise ( veya doğru X − ekseni ile
2
açısı yapıyorsa) ,doğru Y − eksenine paraleldir.
• a2 +b2 =1 ve c ≤0 ise
ax+by+c =0
denklemine doğrunun normal formu ve buradaki p = −c değerine de
doğrunun orijine uzaklığı denir.w=arcsin(a) =arccos(b) açısına
orijinden doğruya indirilen dikmenin X − eksenin pozitif kısmıyla
yaptığı açı denir. Bu halde
( )
N =(a,b) = cosw,sinw
(cid:71)
vektörüne doğrunun birim normal vektörü denir.γ=(−b,a) vektörüne
de doğrunun birim doğrultman vektörü denir.
10 Düzlemde Doğrular -Düzlem Analitik Geometri-Baki Karlığa

Şekil.1.3.1.1 : L doğrusunun normal formu p = xcosw+ ysinw

Herhangi ax+by+c =0 denklemli doğrunun normal formunu elde
etmek için aşağıdaki yol izlenir :
Denklemin her iki yanını c <0 ise a2 +b2 değerine , c >0 ise
− a2 +b2 değerine ve c =0 olması halinde b >0 ise a2 +b2 , b<0
ise − a2 +b2 değerine bölerek normal formu bulunur.
1.3.2.Düzlemde Doğrunun Bazı Özel Halleri
• X − ekseni ile x= x da kesişen m eğimli doğrunun denklemi,
0
y = m(x−x ) dır.
0
• Y − ekseni ile y = y da kesişen m eğimli doğrunun denklemi,
0
y = mx+ y dır.
0
• X − ekseni ile x= x da , Y − ekseni ile y = y da kesişen
0 0
doğrunun denklemi ,