Table Of ContentПарадигма развития науки
Методологическое обеспечение
А.Е. Кононюк
ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНАЯ
МАТЕМАТИКА
Книга 5
Матрицы
Часть 4
Киев
Освіта України
2012
А. Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика
2
А. Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика
УДК 51 (075.8)
ББК В161.я7
К 213
Рецензенты: М.К.Печурин - д-р техн. наук, проф. (Национальный
авиационный университет).
Кононюк А.Е.
К65 Дискретно-непрерывная математика. Матрицы.
К.5.Ч.4.
К.4:"Освіта України", 2012. - 508 с.
ISBN 978-966-7599-50-8
Многотомная работа содержит систематическое
изложение математических дисциплин, исспользуемых при
моделировании и исследованиях математических моделей
систем.
В работе излагаются основы теории множеств, отношений,
поверхностей, пространств, алгебраических систем, матриц,
графов, математической логики, теории формальных
грамматик и автоматов, теории алгоритмов, которые в
совокупности образуют единную методолгически
взамосвязанную математическую систему «Дискретно-
непрерывная математика».
Для бакалавров, специалистов, магистров, аспирантов,
докторантов и просто ученых и специалистов всех
специальностей.
ББК В161.я7
ISBN 978-966-7599-50-8 ©А.Е. Кононюк, 2012
3
А. Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика
Оглавление
Модуль 14. Введение в матричный анализ……………………………4
Микромодуль 43. Векторные пространства, матрицы,
определители………………………………………………………….4
Микромодуль 44. Ранг, невырожденность, скалярное
произведение, блочные матрицы……………………………………18
Микромодуль 45. Специальные матрицы…………………………..33
Модуль 15. Собственные значения, собственные векторы и
подобие………………………………………………………………..45
Микромодуль 46. Собственные значения…………………………..45
Микромодуль 47. Подобие и собственные векторы……………...58
Модуль 16. Унитарная эквивалентность и нормальные матрицы……82
Микродуль 48. Унитарная эквивалентность………………………..82
Микромодуль 49.Нормальные матрицы и QR-разложения………124
Модуль 17. Канонические формы…………………………………….145
Микромодуль 50. Жордановы канонические формы……………...145
Микромодуль 51. Многочлены и матрицы………………………...172
Модуль 18. Эрмитовы и симметричные матрицы…………………...200
Микромодуль 52. Эрмитовы матрицы…………………………….200
Микромодуль 53. Симметричные матрицы………………………243
Модуль 19. Нормы векторов и матриц………………………………..312
Микромодуль 54. Нормы векторов………………………………..312
Микромодуль 55. Нормы матриц………………………………….352
Модуль 20. Локализация и возмущения собственных значений…….412
Микромодуль 56. Локализаци собственных значений……………412
Микромодуль 57. Возмущение собственных значений…………..434
Микромодуль 58. Неравенства для собственных и сингулярных
чисел………………………………………………………………….463
Приложения……………………………………………………………...492
Литература……………………………………………………………….502
Указатель обозначений………………………………………………….505
4
А. Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика
Модуль 14.
Введение в матричный анализ
Излагаемый в этой книге материал по матричному анализу
базируется на труде известных американских математиков Р.Хорна,
Ч.Джонсона «Матричный анализ», представляющий собой
исчерпывающее изложение теории матриц, которая находит
применение практически в любой области математики и во всех ее
приложениях. Она содержит как классический материал, так и
последние достижения в этой обширной области, в ней много
упражнений и задач разной степени трудности. Книга сопоставима с
известной книгой Ф. Р. Гантмахера, но гораздо шире ее в таких
разделах, как оценки погрешностей при решении линейных уравнений,
локализация собственных значений, теория возмущений.
В настоящем модуле приводится (сжато и без доказательств) ряд
полезных понятий и фактов, на многие из которых явно или неявно
опирается основной материал настоящей книги. Большинство из них в
той или иной форме должно входить в элементарный курс линейной
алгебры. Однако есть и не столь широко известные; некоторые из них
рассматриваются здесь, а не в последующих главах из-за того, что
плохо вписываются в их структуру. Таким образом, данный модуль
может служить кратким обзором, предваряющим книгу, или
справочником, к которому удобно обращаться по мере необходимости.
Для дальнейших ссылок здесь даются также основные обозначения и
некоторые определения. Мы предполагаем, однако, что читатель уже
хорошо знаком с элементарными понятиями линейной алгебры и
техникой выполнения таких матричных операций, как умножение и
сложение матриц.
Микромодуль 43.
Векторные пространства, матрицы,
определители
14.1. Векторные пространства
В нашем изложении понятие векторного пространства будет
использоваться, как правило, неявно. Тем не менее оно является
фундаментальным для всей теории матриц.
5
А. Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика
14.1.1. Основное поле.
Определение векторного пространства базируется на понятии поля,
или множества скаляров, на которые можно умножать векторы. В
наших построениях это поле почти всегда будет полем R
вещественных чисел или полем С комплексных чисел (см. приложение
А) с обычными операциями сложения и умножения. Однако это может
быть и поле рациональных чисел, поле вычетов по простому модулю
или какое-то иное поле. В случае когда не указано, какое именно поле
имеется в виду, будем использовать для него символ F. Множество
скаляров будет полем, если оно замкнуто относительно двух
заданных бинарных операций (называемых сложением и
умножением), причем выполняются следующие условия: обе эти
операции ассоциативны и коммутативны и каждая обладает
нейтральным элементом; обратные элементы относительно операции
сложения существуют (и содержатся в том же множестве) для всех
элементов, относительно операции умножения - для всех элементов,
кроме нейтрального элемента 0 операции сложения; операция
умножения дистрибутивна относительно операции сложения.
14.1.2. Векторные пространства.
Векторное пространство (Часто используется также термин
линейное пространство) V над полем F — это множество объектов
(называемых векторами), замкнутое относительно бинарной операции
(называемой сложением), которая ассоциативна, коммутативна и
обладает нейтральным элементом (0); для каждого элемента
существует обратный элемент относительно этой операции,
принадлежащий тому же множеству. Это множество замкнуто также
относительно операции левого умножения вектора на скаляр из поля F,
причем для любых и для любых выполняются
следующие соотношения:
где —
нейтральный элемент относительно умножения.
Для заданного поля F и целого положительного числа п множество
Fп упорядоченных п-членных наборов с компонентами из F образует
векторное пространство над F при очевидном определении операций
(наборы складываются покомпонентно). В частных случаях получаем
векторные пространства и — основные для данной книги.
Другие примеры векторных пространств (над R или С): многочлены с
6
А. Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика
вещественными или комплексными коэффициентами (степени не выше
заданной или же всевозможных степеней) и непрерывные или про-
извольные функции на отрезке с вещественными либо
комплексными значениями. Конечно, имеется существенное различие
между конечномерным пространством и бесконечномерным
векторным пространством непрерывных функций на [0, 1] с
вещественными значениями.
14.1.3. Подпространства и линейная оболочка.
Подпространство U векторного пространства V — это
подмножество в V, которое само является векторным пространством
над тем же самым полем. Например, множество
есть подпространство в R3. Как правило,
подпространство векторного пространства V определяется при помощи
некоторых соотношений, выделяющих часть векторов из V таким
образом, чтобы обеспечить ее замкнутость относительно сложения
элементов в V; например, подпространство составляют векторы из R3 с
последней компонентой 0. При этом получающееся множество полезно
рассматривать именно как подпространство, а не как самостоятельное
векторное пространство. В любом случае пересечение двух
подпространств есть снова подпространство.
Если S — подмножество векторного пространства V, то его
линейной оболочкой называется множество
Заметим, что Span S — всегда подпространство, даже если S
подпространством не является. Говорят, что S порождает векторное
пространство V, если Span S = V.
14.1.4. Линейная зависимость и независимость.
Множество векторов в векторном пространстве
называется линейно зависимым, если существуют коэффициенты
такие, что не все из них равны нулю и
Это эквивалентно тому, что один из векторов х выражается в виде
і
линейной комбинации остальных векторов с коэффициентами из F
(эквивалентность имеет место при k≥2.). Например, множество
линейно зависимо в R3.
7
А. Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика
Подмножество в V, не являющееся линейно зависимым над F,
называется линейно независимым. Например, множество
линейно независимо в R3. Важно заметить,
что оба понятия по сути своей относятся к множествам векторов.
Любое подмножество линейно независимого множества также линейно
независимо; {0}—линейно зависимое множество и, следовательно,
любое множество, содержащее вектор 0, линейно зависимо. Множе-
ство векторов может быть линейно зависимым, в то время как любое
его собственное подмножество линейно независимо.
14.1.5. Базис.
Подмножество S векторного пространства V порождает V, если
любой элемент из V можно представить как линейную комбинацию
элементов из S (с коэффициентами из соответствующего основного
поля). Например, множество
порождает R3 над R
(или С3 над С). Линейно независимое множество, порождающее
векторное пространство V, называется его базисом. Существует много
различных базисов. Однако все они обладают следующим
замечательным свойством: любой элемент из V можно разложить по
базису единственным способом, но это утверждение становится
неверным как при пополнении базиса каким-либо элементом, так и при
исключении любого из элементов. Линейно независимое множество
элементов из V составляет базис в том и только в том случае, если при
любом его пополнении оно становится линейно зависимым. Для того
чтобы множество, порождающее V, являлось базисом, необходимо и
достаточно, чтобы ни одно из его собственных подмножеств не
порождало V. Любое векторное пространство имеет базис.
14.1.6. Дополнение до базиса.
Любое линейно независимое множество векторов в векторном
пространстве V можно дополнить до базиса; другими словами, для
любого линейно независимого множества всегда
найдутся дополнительные векторы такие, что
множество есть базис в V. Дополнительные
векторы, конечно, определяются неоднозначно (например, линейно
независимое множество дополняется до базиса
в R3 любым вектором с ненулевой третьей компонентой). Пример
8
А. Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика
вещественного векторного пространства С [0, 1] непрерывных
вещественнозначных функций на [0, 1] показывает, что базис в общем
случае может не быть конечным. Бесконечное множество одночленов
линейно независимо в С [0, 1]
14.1.7. Размерность.
Если один из базисов векторного пространства V состоит из
конечного числа элементов, то и любой базис содержит такое же число
элементов, и это число называется размерностью векторного
пространства V. В этом случае V называется конечномерным, а в
противном — бесконечномерным. Между любыми двумя базисами в
бесконечномерном пространстве (например, в С [0,1]) существует
взаимно однозначное соответствие. Размерность вещественного
векторного пространства Rп равна п. Векторное пространство Сп имеет
размерность п над полем С и 2п над полем R. Базис
в котором і-я компонента вектора e равна 1, а остальные равны нулю,
і
называется иногда стандартным или естественным базисом в Rп или
Сп.
14.1.8. Изоморфизм.
Пусть U и V — векторные пространства над одним и тем же полем F
и — обратимая функция, такая, что
для всех и для всех
В этом случае f называется изоморфизмом, a U и V
называются изоморфными («одинаково устроенными»). Два
конечномерных векторных пространства над одним и тем же полем
изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую
размерность. Таким образом, любое «-мерное векторное пространство
над полем F изоморфно F". Всякое п-мерное вещественное или
комплексное векторное пространство, следовательно, изоморфно
соответственно Rп или Сп. Конкретно: если V есть п-мерное векторное
пространство над полем F и — его базис, то,
поскольку любой элемент однозначно записывается в
виде где мы
можем вектору х поставить в соответствие столбец
и отображение является
изоморфизмом между V и Fп, отвечающим базису
9
А. Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика
14.2. Матрицы
При изучении матриц важно иметь в виду следующие два подхода к
их определению: с одной стороны, матрица рассматривается как
прямоугольный массив скаляров; с другой стороны, она представляет
линейное отображение одного векторного пространства в другое, когда
в каждом из них фиксирован базис.
14.2.1. Прямоугольный массив.
Матрица — это массив размера т×п, заполненный скалярами из
поля F. В случае т = п матрица называется квадратной. Множество
всех т×п-матриц, или матриц размера т×п, над F обозначается через
М , (F) или M (F),если т = п (при т = п говорят о матрице порядка п).
тп n
В наиболее распространенном случае, когда F=С, вместо
будем писать М и М , . Как правило, матрицы
п тп
обозначаются заглавными буквами. Например, матрица
принадлежит Подматрица какой-либо матрицы — это
прямоугольный массив, расположенный в выделенных строках и
столбцах исходной матрицы. Для матрицы А, приведенной выше, в
качестве подматрицы можно рассмотреть, например, — это
подматрица, расположенная во второй строке и во втором и третьем
столбцах матрицы А.
14.2.2. Линейные отображения.
Пусть U есть п-мерное, а V есть m-мерное векторные пространства
над одним и тем же полем F. Базисы в U и в V обозначим
соответственно через и С помощью изоморфизмов
и векторы из U и V представим как столбцы
соответственно с п и m компонентами, принадлежащими F. Линейное
отображение — это функция удовлетворяющая
соотношению для любых
скаляров a , a и люоых векторов х , х . (Если U=V, то такое
1 2 1 2
отображение называется линейным преобразованием.) Всякому
линейному отображению отвечает матрица
10
