Table Of ContentПарадигма развития науки
Методологическое обеспечение
А.Е. Кононюк
ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНАЯ
МАТЕМАТИКА
Книга 5
Матрицы
Часть 1
Киев
Освіта України
2011
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика
2
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика
УДК 51 (075.8)
ББК В161.я7
К 213
Рецензенты: М.К.Печурин - д-р техн. наук, проф. (Национальный
авиационный университет).
Кононюк А.Е.
К65 Дискретно-непрерывная математика. Матрицы.
К.5.Ч.1.
К.4:"Освіта України", 2011. - 612 с.
ISBN 978-966-7599-50-8
Многотомная работа содержит систематическое
изложение математических дисциплин, исспользуемых при
моделировании и исследованиях математических моделей
систем.
В работе излагаются основы теории множеств, отношений,
поверхностей, пространств, алгебраических систем, матриц,
графов, математической логики, теории формальных
грамматик и автоматов, теории алгоритмов, которые в
совокупности образуют единную методолгически
взамосвязанную математическую систему «Дискретно-
непрерывная математика».
Для бакалавров, специалистов, магистров, аспирантов,
докторантов и просто ученых и специалистов всех
специальностей.
ББК В161.я7
ISBN 978-966-7599-50-8 ©А.Е. Кононюк, 2011
3
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика
Оглавление
Введение …………………………………………………………...........4
Модуль 1. Типы матриц и действия над ними ...……………......…….5
Микромодуль 1. Введение в матрицы ...……………......………...........5
Микромодуль 2. Алгебра матриц ...………………………...... …….. 35
Микромодуль 3. Квадратные и псевдообратные матрицы.....……….52
Модуль 2. Определители и уравнения ...…………………………. 87
Микромодуль 4. Определители ...……………......……………......... 87
Микромодуль 5. Алгебраические уравнения...…………………… 108
Модуль 3. Матричные многочлены и функции о т матриц............ 171
Микромодуль 6. Матричные многочлены ...………………………. 171
Микромодуль 7. Дифференциальные уравнения...…………………192
Микромодуль 8. Функции от матриц ...…………………………… 223
Микромодуль 9. Матричные преобразования.....………………...... 335
Модуль 4. Инвариантные многочлены и матричные уравнения .... 370
Микромодуль 10. Эквивалентные преобразования
многочленных матриц ………………………………….........................370
Микромодуль 11. Матричные уравнения...……………………… ….407
Микромодуль 12. Пространство переменных состояний……….. 436
Модуль 5. Общая теория линий и поверхностей второго порядка.. 459
Микромодуль 13. Общая теория линий второго порядка………….. 459
Микромодуль 14. Общая теория поверхностей второго рорядка…. 487
Модуль 6. Линейные преобразования и матрицы……………………526
Микромодуль 15. Линейные преобразования на плоскости……… 526
Микромодуль 16. Линейные преобразования в пространстве………558
Литература ...…………………………………………...................... 609
4
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика
Введение
Сразу отметим, что хотя нет такой задачи, которую нельзя было бы
решить без помощи матриц, представление совокупностей чисел и
других объектов в виде таблиц оказалось чрезвычайно удобным и
эффективным способом упорядочения информации. Это обусловило
быстрое развитие матричного аппарата и его широкое применение в
науке и технике. Многие выкладки и результаты без использования
матриц выглядели бы слишком громоздкими и трудно обозримыми.
Работа с матрицами не только экономит время, но и означает более
высокий уровень математической культуры и мышление.
Теория матриц основана на простых положениях. Однако овладение
матричным аппаратом требует значительных усилий и тренировки.
Необходимо не только понимать смысл основных матричных
соотношений, но и научиться уверенно оперировать с матрицами как
объектами больше общего характера по сравнению с числами и
функциями. С этих позиций и излагается материал в настоящей работе.
Вначале подробно рассматриваются основные действия над
матрицами, вычисление определителей и обращение матриц.
Излагаемые числовые методы служат не только средством решения
этих задач. Они позволяют глубже проникнуть в сущность основных
понятий и соотношений теории матриц и определителей.
Развитие матричного аппарата связано, прежде всего, с решением
систем линейных алгебраических и дифференциальных уравнений.
При изложении этих вопросов предполагается, что читатель знаком с
основными положениями теории таких систем и методами их решения
без применения матриц. Матричный аппарат позволяет представить
процессы решения и исследования систем уравнений в удобной и
лаконичной форме, а также построить алгоритмы для реализации этих
процессов на электронных вычислительных машинах (компьютерах).
При рассмотрении дифференциальных уравнений выясняется смысл
понятия экспоненциальной функции от матрицы в простейшем случае,
когда все корни характеристического уравнения простые. В
дальнейшем это понятие распространяется на случай кратных корней и
приводится обзор методов определения аналитических функций от
матриц в общем виде.
Использование матриц для решения многих прикладных задач часто
сводится по существу к их преобразованиям. Систематическое
рассмотрение этих вопросов позволяет выяснить взаимосвязь между
различными типами таких преобразований, установить их особенности
и области применения.
5
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика
Последний материал посвящен рассмотрению основных
соотношений в пространстве переменных состояний, значение
которого сильно возросло в связи с использованием современных
средств вычислительной техники для математического моделирования
физических систем. Вместе с общими методами представления таких
систем, затрагиваются некоторые вопросы их исследования
(наблюдательность, управляемость, устойчивость).
Модуль 1
Типы матриц и действия над ними
Микромодуль 1
Введение в матрицы
1.1. Основные определения
Пусть дано некоторое числовое поле K.
Под числовым полем понимают любое множество чисел, в пределах
которого всегда выполними и однозначны четыре операции: сложение,
вычитание, умножение и деление на число, которое отлично от нуля.
Примерами числовых полей может служить множество всех
рациональных чисел, множество всех действительных чисел или
множество всех комплексных чисел.
Предполагается, что все встречающиеся в дальнейшем числа
принадлежат данному исходному числовому полю.
Определение 1. Прямоугольную таблицу чисел из поля K
будем называть матрицей
Или, другими словами, матрица — это множество чисел или
объектов другой природы, расположенных в виде прямоугольной
таблицы:
6
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика
Такая таблица, которая состоит из т строк и п столбцов, содержит
тп клеток (позиций). При этом говорят, что матрица имеет размер
т × п и ее называют (т × п)-матрицей. Позицию на пересечении i-й
строки и j-го столбца будем называть ij-клеткой.
Числа или любые другие объекты, которые расположены в клетках
таблицы, называют элементами матрицы. Положение элементов
строго фиксировано: в каждой клетке должен располагаться только
один элемент и ни одна клетка не должна оставаться свободной.
В общем обозначении элемента а первый индекс i всегда указывает
ij
номер строки, а второй — номер столбца. Элемент, который
расположен в ij-клетке, называют ij-элементом.
Матрица обозначается одной буквой (часто буквы, которые
обозначают матрицы, набирают жирным шрифтом или обозначают
какими-нибудь дополнительными символами). Однако независимо от
принятого способа обозначения матрица всегда является
совокупностью таблично упорядоченных элементов. Две матрицы
равны, если и только если равны их соответствующие элементы, т.е.
А=В при условии а =b (i = 1,2, ... , т; j = 1,2, ... , п). Ясно, что
ij ij
сравнивать можно только матрицы одного и того же размера, между
элементами которых определено отношение равенства.
Матрицы, элементами которых являются вещественные или
комплексные числа, называют соответственно вещественными или
комплексными. Пусть А — комплексная (т × n)-матрица с элементами
а =α +iβ . Матрица А того же размера с элементами а* =α -iβ
ij ij ij ij ij ij
называется комплексно-сопряженной с А.
Часто для упрощения нулевые элементы в таблицу не записывают,
но при этом имеют в виду, что пустые клетки также содержат числа
(нули).
Кроме приведенной выше клеточной записи, используют и другие
способы представления матриц, например:
7
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика
Матрицы впервые появились в середине позапрошлого века в
роботах английских математиков А. Кэли и У. Гамильтона.
Представление совокупностей элементов в виде матриц и
разработанные правила операций над ними оказались довольно
плодотворными в математике и нашли широкое применение в физике,
технике, экономике. Существенный вклад в разработку общей теории
матриц и ее приложений внесли математики И. А. Лаппо-
Данилевський, А. Н. Крылов, Ф. Р. Гантмахер, М. Г. Крейн.
Типы матриц. Матрица может иметь любое количество строк и
столбцов (конечное или бесконечное). В дальнейшем при отсутствии
оговорок будут рассматриваться конечные матрицы с числовыми
элементами.
Если матрица состоит из одного столбца или одной строки, то она
соответственно называется столбцевой или строчной (употребляются
также названия матрица-столбец и матрица-строка). В таких случаях
достаточно отмечать элементы одним индексом:
Столбцевую и строчную матрицы называют также векторами и
сокращенно обозначают как х = (х х , ..., х ) и у = (y у ,…,у ). Обычно
1, 2 п 1, 2 п
из контекста ясно, идет ли речь о векторе-столбце или о векторе-
строке. В противном случае используют приведенные высшее
обозначения.
Матрица, количество строк и столбцов которой одинаково и равно
п, называется квадратной матрицей порядка п. Совокупность
іі-клеток (i= 1, 2, ..., п) образует главную диагональ квадратной
матрицы. Матрица, все элементы которой вне главной диагонали
равны нулю, т.е.
8
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика
называется диагональной и кратко записывается
D= diag{ d d d }или ||dδ ||n . Здесь δ символ Кронекера:
1, 2,…, n i ik 1 ik
1,(i =k),
δik=
0,(i ≠k).
Если в диагональной матрице d =d =... =d = 1, то имеем единичную
1 2 n
матрицу n-гo порядка
которая часто обозначается также через 1 или просто цифрой 1 (не
п
следует вопринимать это обозначение как число, которое равно
единице).
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и
обозначается цифрой 0. Заметим, что нулевая матрица может иметь
любой размер т×п, в то время как единичная матрица — всегда
квадратная. Матрица, которая состоит только из одного элемента,
обычно отождествляется с этим элементом.
Квадратная матрица называется верхней (нижней) треугольной,
если равны нулю все элементы, которые расположены под (над)
главной диагональю:
9
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика
Диагональная матрица является частным случаем как верхней (А),
так и нижней (В) треугольных матриц.
1.2. Действия над матрицами
Сложение матриц.
Пусть величины у у , ..., у выражаются через величины
1, 2 т
х х , …, х с помощью линейного преобразования
1, 2 п
(1.1)
а величины z z , ..., z — через те же величины х х , …, х с помощью
1, 2 m 1, 2 п
преобразования
(1.2)
Тогда
(1.3)
В соответствии с этим мы устанавливаем:
- сумма двух прямоугольных матриц А и В одинаковых размеров
определяется как матрица С тех же размеров, каждый элемент которой
равен сумме соответствующих элементов матриц, т.е. С=А+В, если
c = а + b .
ij ij ij
10
