Table Of ContentК
И
Ж
Ы
Р
.
И
.
В
Р
Е
Н
Р
Е
В
.
Л
.
А
В
О
Р
Д
Н
А
С
К
Е
Л
А
Д
А.
ГЕОМЕТР
•Просвещение-
О кружа
М
- эт
геом
А. Д. АЛЕКСАНДРОВ
А.Л.ВЕРНЕР В. И. РЫЖИ К
Ш Э М Е Т Р И Я
учебник для 10 класса
с углубленным изучением
математики
Реком ендова но
Министерством общего
и профессионального образования
Российской Федерации
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1999
УДК 373.167.1:514
ББК 22.151я72
А46
Александров А. Д. и др.
А46 Геометрия: Учеб. для учащихся 10 кл. с углубл.
изуч. математики/А. Д. Александров, А. Л. Вернер,
В. И. Рыжик.— М.: Просвещение, 1999.— 238 с.: ил.—
13ВЫ 5-09-008530-7.
Этот учебник — переработанный вариант учебника А. Д. Александрова,
А. Л. Вернера, В. И. Рыжика «Геометрия, 10—11» для углубленного
изучения математики (М.: Просвещение, 1988—1995).
В результате переработки учебник представлен двумя книгами:
«Геометрия, 10»хи «Геометрия, 11», в которых последовательность и
большей частью содержание глав сохранены. Изменения коснулись в
основном заданного материала: смысловой единицей в этом варианте
полагается весь параграф, а не его пункт, что и определило структуру
задач в этом издании. (Для лучшей ориентировки в номере каждой
задачи указано в скобках, к какому пункту параграфа она отнесена.)
Все задачи распределены по рубрикам: «Дополняем теорию», «Дока
зываем», «Исследуем», «Рассуждаем», «Планируем», «Разбираемся в реше
нии», «Участвуем в олимпиаде» и др. В них оптимально отражены все
три составляющие геометрии: логика, наглядное воображение и практика.
13ВЫ 5-09-008530-7 УДК 373.167.1:514
ББК 22.151я72
© Издательство «Просвещение», 1999
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 1999
Все права защищены
Оглавление
Введение...................................................................................................... 7
Глава I
ОСНОВАНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ........................................................ 13
§ 1. Аксиомы стереометрии . ................................................................. 14
1.1. Аксиома, плоскости.......................................................... —
1.2. Аксиомы о прямой....................................................................... 15
1.3. Аксиома разбиения пространства плоскостью...................... 17
1.4. Аксиома расстояния................................................................. 18
Дополнение к параграфу 1.0 величинах..................................................... 20
Задачи ................................................................................................ 22
§ 2. Способы задания прямых и плоскостейв пространстве................. 28
2.1. Прямая, заданщ# двумя точками........................................... —
2.2. Плоскость, определяемая тремя точками............................... 29
2.3. Плоскости, проходящие через прямую.................................. 30
Задачи............................. 32
§ 3. Взаимное расположение прямых в пространстве............................. 35
3.1. Классификация взаимного расположения прямых в прост
ранстве. Скрещивающиеся прямые........................................ —
3.2. Параллельные прямые.............................................................. 37
Задачи................................................................................................... 40
. § 4. Параллельное проектирование........................................................... 43
4.1. Определение параллельного проектирования...................... —
4.2. Основные свойства параллельного проектирования............. 44
4.3. Изображение разных фигур в параллельной проекции ... 46
Задачи....................................,............................................... 50
§ 5. Существование и единственность. Построения................................. 52
5.1. Существование и единственность........................................... —
5.2. Построения в пространстве как теоремы существования . . 53
5.3. Конструктивные и неконструктивные доказательства
^ существования.......................................................................... 55
5.4. О построении пирамид и„призм.............................................. 56
5.5. Построения на чертежах пространственных фигур и реаль
ные построения.......................................................................... 58
Задачи.........................*........................................................................ 59
1* 3
§ 6. Об аксиомах......................................................................................... 61
6.1. Определение основных понятий.............................................. —
6.2. Роль аксиом............................. 62
6.3. Условность аксиом................................................................... 63
Дополнение к параграфу 6. Аксиоматика евклидовой планиметрии 65
Задачи к главе I ................................................................................... 67
Итоги главы I ...................................................................................... 69
Глава II
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ И ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ
И ПЛОСКОСТЕЙ...................................................................................... 71
§ 7. Перпендикулярность прямой и плоскости....................................... 72
7.1. Определение перпендикулярности прямой и плоскости.
Перпендикуляр и наклонная\ .............................................. —
7.2. О значении перпендикуляра.................................................. 73
7.3. Основной признак перпендикулярности прямой и плос
кости ....................................... 75
7.4. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плос
кости ............: ............................................................................ 76
7.5. Связь между' параллельностью прямых и перпендику
лярностью прямой и плоскости.............................................. 79
7.6. Прямая, перпендикулярная данной плоскости. Симметрия
относительно плоскости .............................................. 81
7.7. Три взаимно перпендикулярные прямые.............................. 83
Задачи ......................................................................................... 84
§ 8. Перпендикулярность плоскостей...................................................... 89
8.1. Определение перпендикулярности плоскостей..................... —
8.2. ‘ Свойства взаимно перпендикулярных плоскостей............... 91
8.3. Признак перпендикулярности плоскостей........................... 92
8.4. Две пересекающиеся плоскости, перпендикулярные треть
ей плоскости................................................................................ 92
Задачи .................................................................................................. 93
§ 9. Параллельные плоскости ..................... 96
9.1. Первый признак параллельности плоскостей..................... —
9.2. Леммы о пересечении прямой или плоскости с парал
лельными плоскостями ............................................................. 97
9.3. Основная теорема о параллельных плоскостях.................. 98
9.4. Прямая, перпендикулярная двум параллельным плос
костям ........................... 99
Задачи ..................... 100
§ 10. Параллельность прямой и плоскости ............................................. 104
10.1. Классификация взаимного расположения прямой и плос
кости ............................................................................................ —
10.2. Признак параллельности прямой и плоскости..................... 105
10.3. Второй признак параллельности плоскостей........................ 106
Задачи .................................................................................................. —
§ II. Ортогональное проектирование ‘......................................... Ш
Дополнение к параграфу 11. Метод Монжа и начертательная
геометрия......................................................................................................... 113
Задачи ....................................................................................... 115
Задачи к главе II.................................................................................... 117
Итоги главы II.............................. 120
Глава III
РАССТОЯНИЯ И УГЛЫ.................. ............................................... 122
§ 12. Расстояние между фигурами ............................................................... —
12.1. Расстояние от точки до фигуры.............................................. —
12.2. Теорема о ближайшей точке..................................................... 124
12.3. Расстояние между фигурами.................................................. 126
12.4. Расстояние между прямыми и плоскостями. Общие
перпендикуляры. ..................... 127
12.5. Расстояние и параллельность.................................................. 129
> Задачи.................................................... 130
§ 13. Пространственная теорема Пифагора.....................................................136
13.1. Три формулировки теоремы Пифагора.................................. —
13.2. Пространственная теорема Пифагора для проекций . ... 137
13.3. О значении теоремы Пифагора.............................................. 138
Задачи.......................................................... 1*0
§ 14. Углы .................................. . . . . . . . . . ’. .................................. 143
14.1. Угол между лучами.................................................................... —
14.2. Угол между прямыми.............................................................. 145
14.3. Угол между прямой и плоскостью ............................... 146
14,4.,, Двугранный угол . . . ........................................................... 147
14.5. Угол между плоскостями........................................................... 148
Дополнение к параграфу 14. Трехгранные углы . . . . *............................. 149
Задачи................................................................................................... 133
Задачи к главе III............................................................................. 159
Итоги главы III.................................................................................... 162
Глава IV
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА...................................... 163
§ 15. Сфера и шар.......................................................................................... —
15.1. Понятия сферы и шара . —
15.2. Пересечение шара и сферы с плоскостью................................. 165
15.3. Касание шара и сферы с плоскостью................................. . 167
15.4. Вид и изображение шара.............................................................. 168
15.5. Симметрия сферы и шара........................................................ —
15.6. Шар и расстояние от точки до фигуры...................................... 170
Дополнение к параграфу 15. Сферические треугольники......................... 171
Задачи................................................................................................... 173
5
§ 16. Опорная плоскость................................................................................ 178
16.1. Опорная' прямая............................................. —
16.2. Опорная плоскость...................................................... 179
16.3. Ограниченные фигуры. Диаметр фигуры................................... 180
Дополнение к параграфу 16. Опорные плоскости в концах диаметра . . 181
Задачи...................................................................................................... 182
§ 17. Выпуклые фигуры.................................................................................... 183
Задачи...................................................................................................... 185
§ 18. Цилиндры.......................................................................... 186
18.1. Определение и свойства цилиндра . —
18.2. Прямой круговой цилиндр....................................................... 188
18.3. Симметрия цилиндра вращения.................................................. 189
18.;4.* Выпуклые цилиндры.................. —
Дополнение к параграфу 18. Эллипс как сечение цилиндра вра
щения .................................................................... 190
1Задачи...................................................................................................... 192
§ 19. Конусы. Усеченные конусы . .............................................................. 195
19.1. Определение конуса. Конус вращения.................................. —
19.2. Сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости
его основания........................... 197
19.3.* Выпуклые конусы . .....................' ......................................... 198
19.4. Усеченный конус . . . . . . . . ^........................................... 199
19.5. Изображения конусов и усечённых конусов вращения . . . 200
Дополнение к параграфу 19.......................................................................... —
I. Центральное проектирование................................................................ —
II. Конические сечения................................................................................... 205
Задачи....................................................................'............................ 207
§ 20. Тела...........................................• • • .................................................... 211
20.1. Наглядное представление о теле............................................... —
20.2. Граница й внутренность фигуры в пространстве...................... 212
20.3. Определение тела...............1. . . . 1..................................... 213
20.4. Граничные и внутренние точки плоских фигур. Замкнутая
область • • ; ................................................ 2*4
Дополнение к параграфу 20 . ....................................................................... 216
I. Свойства границы...................................................................................... —
II. Выпуклые тела............................................................................................. 218
Задачи...................................................................................................... 222
Задачи к главе IV ................................................................................ 224
Итоги главы IV........................................................ 228
Введение
I. О стереометрии
В предыдущих классах мы изучали главным об
разом геометрию на плоскости — планиметрию, а
теперь будем заниматься геометрией в пространстве.
Ее называют стереометрией (от греческих слов «сте-
реос» — телесный, пространственный, «метрео» —
измеряю).
Обращаясь к геометрии в пространстве — к стет
реометрии, будем предполагать, что геометрия на
плоскости — планиметрия — нам известна.
Каждый представляет наглядно плоскость или по
крайней мере конечный кусок Плоскости, например
плоскость стола, доски и т. п. В планиметрии плос
кость рассматривается сама по себе, независимо от
окружающего пространства. Однако, занимаясь
геометрией на плоскости, мы все же помним, что
плоскость расположена в пространстве и что в нем
много плоскостей. На каждой из них выполняется
планиметрия.
Таким образом, в стереометрии плоскость — это
фигура, на которой выполняется планиметрия, т. е.
справедливы аксиомы планиметрии, а вместе с ними
и их следствия — теоремы планиметрии. Можно не
помнить всех аксиом планиметрии, надо только
понимать/что плоскость — это фигура, в которой
есть точки, прямые, отрезки, углы с их основными
свойствами, а за ними и другие известные фигуры:
треугольники, окружности и т. д. Свойствами этих
плоских фигур, теоремами о них^ доказанными в
планиметрии, мы постоянно будем, пользоваться.
При этом надо иметь в виду, что хотя в основу
планиметрии могут быть положены различные сис
темы аксиом (подробнее об этом сказано в § 6)
7
