Алгебра и начала анализа. 10-11 классы: Задачник

315 Pages·4.135 MB·Russian

by  Мордкович А.Г., Денищева Л.О. и др.

АЛГЕБРА
И НАЧАЛА АНАЛИЗА
10-11
классы
ЗАДАЧНИК
для общеобразовательных учреждений
2-е издание, исправленное
Допущено
Министерством образования
Российской Федерации
Москва 2001
УДК 373.167.1:512+517.1
ББК 22.141я721+22.161я721
А45
Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Задачник для
А45 общеобразоват. учреждений / А. Г. Мордкович, JI. О. Дени-
щева, Т. А. Корешкова, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчин-
ская. — 2-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2001. — 315 с.: ил.
ISBN 5-346-00045-3
Предлагаемый задачник по курсу «Алгебра и начала анализа» в 10—11
классах соответствует одноименному учебнику. В каждом параграфе задач­
ника представлена разнообразная система упражнений, включающая
четыре уровня — по степени нарастания трудности.
УДК 373.167.1:512+517.1
ББК 22.141я721+22.161я721
© «Мнемозина», 2000
© «Мнемозина», 2001
© Художественное оформление.
«Мнемозина», 2001
ISBN 5-34§ИК1045-3. Все права защищены
ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Издательство «Мнемозина» выпускает комплект из четырех
книг для 10-11 классов общеобразовательной школы:
А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. Учебник.
А.Г. Мордкович и др. Алгебра и начала анализа. Задачник.
А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. Методическое по­
собие для учителя.
А.Г. Мордкович, Е.Е. Тульчинская. Алгебра и начала анали­
за. Контрольные работы.
Перед вами — задачник, названия его глав и параграфов в точ­
ности соответствуют учебнику.
Во всех параграфах достаточно материала для работы с учащи­
мися на уроках (в том числе для устного решения примеров), про­
ведения самостоятельных работ, выполнения домашних заданий.
Как правило, в каждом номере содержится по 2 или 4 примера с
таким расчетом, чтобы примеры а) [или а) и б)] разбирались в клас­
се, а примеры б) [или в) и г)] включались в домашнее задание.
К отбору материала и его расположению авторы подходили
очень тщательно. В каждом параграфе упражнения рассредоточе­
ны по отдельным подтемам, соответствующим теоретическому ма­
териалу учебника; внутри подтем достаточно четко выдерживает­
ся линия нарастания трудности. Это позволит учителю осуществ­
лять дифференцированный подход к обучению.
Задач и упражнений в задачнике избыточно много. Идя на это,
авторы хотели предоставить учителю объемный и разноплановый на­
бор упражнений с тем, чтобы ему не пришлось искать дополнитель­
ный материал в других учебных пособиях и у него была бы воз­
можность выбора. Разумеется, далеко не все упражнения должны
быть решены учениками в классе, дома или в порядке повторения.
В каждом параграфе упражнения сконцентрированы по двум
блокам. Первый (до черты) содержит задания базового и среднего
уровней трудности; номера примеров среднего уровня трудности
снабжены значком О, к этим номерам даны ответы в конце задач­
ника. Второй блок упражнений (после черты) включает дополни­
тельные задания среднего уровня трудности и задания повышен­
ной трудности. Номера трудных примеров отмечены значком •,
ряд этих примеров (в основном те, которые трудны не с техничес­
кой, а с теоретической точки зрения) решены в пособии для учите­
ля (третья книга указанного выше комплекта). Практически ко
всем примерам второго блока даны ответы.
1*
3
Таким образом, в задачнике вы найдете упражнения четырех
уровней трудности. Не исключено, что в ряде случаев вы не согла­
ситесь с нами в оценке трудности того или иного задания (напри­
мер, задание помещено в параграфе после черты, а вам представ­
ляется, что его место — до черты). Это вполне возможно, поскольку
определение уровня трудности задания — процедура до некоторой
степени субъективная.
Особое положение в задачнике (как и в учебнике) занимает 8-я
глава, посвященная уравнениям, неравенствам и системам урав­
нений. Это, по сути дела, набор упражнений для итогового повто­
рения, расширения и углубления соответствующих представлений
учащихся, для подготовки к выпускным экзаменам в школе и всту­
пительным экзаменам в высшие учебные заведения. В этой главе
практически нет легких примеров даже до черты, поэтому ответы
даны ко всем номерам и значок О отсутствует (за ненадобностью).
В указанной главе достаточно много трудных заданий. Будете вы
разбирать их с учащимися или нет, решать вам. При желании часть
материала 8-й главы можно использовать, соответственно, при
изучении предшествующих разделов.
Хотя задачник составляет единое целое с упомянутым выше
учебником, его при желании могут использовать и учителя, рабо­
тающие по другим учебникам алгебры и начал анализа.
Авторы
Глава
1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Горизонтальный диаметр СА и вертикальный диаметр DB
разбивают единичную окружность на четыре четверти: АВ — пер­
вая, ВС — вторая, CD — третья, DA — четвертая (рис. 1). Опира­
ясь на эту геометрическую модель, решите следующие задачи.
1. Вторая четверть разделена по­
полам точкой М, а третья чет­
верть разделена на три равные
части точками К к Р. Чему рав­
на длина дуги: AM, ВК, МР,
DC, КА, ВР, СВ, ВС?
2. Первая четверть разделена на
две равные части точкой М, а
четвертая разделена на три рав­
ные части точками К и Р. Чему
равна длина дуги: AM, BD, СК,
Рис. 1 МР, DM, МК, CP, PC?
3. Первая четверть разделена точкой М в отношении 2 : 3. Чему
равна длина дуги: AM, MB, DM, MCI
4. Третья четверть разделена точкой Р в отношении 1:5. Чему
равна длина дуги: CP, PD, АР?
%
5. Дуга АВ разделена пополам точкой М. Найдите диаметраль­
но противоположную точку N на окружности. Чему равна
длина дуги AN?
5
6. Можно ли на единичной окружности найти такую точку Е,
для которой:
а)АЕ = 2; в) АЕ =6,2;
б)АЕ = 5; г) АЕ = 6,3?
7. К радиусу ОА проведен серединный перпендикуляр MN
(рис. 1). Чему равен центральный угол АОМ? Определите
длину хорды MN, длины дуг AM, MB, AN, NA.
8. К радиусам ОА и ОС проведены серединные перпендикуля­
ры MN и PQ соответственно (рис. 1). Докажите, что точки А,
М, Р, С, Q, N делят окружность на шесть равных дуг.
§ 2. ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ
Найдите на числовой окружности точку, которая соответ­
ствует заданному числу:
л . Зл.
9. а) б) л; в) г) 2л.
2’ 2 ’
10. а) 7 л; б) 4л; в) Юл; г) Зл.
11. а) л. б) л . в) л . г) к
3’ 4’ 6’ 8 ‘
2к. 371 . 5л. 5л
12. а) б) в) г)
3 ’ 4 ’ 6 ’ 4 ’
4к. 571 . 7л. 11л
СО а) 3 ’ б) 3 ’ в) 6 ’ г) 6 '
14. а) л . б) 5л. в) Зл. г) 5л
12’ 12’ 8 ‘
8 ’
л. 2л. Зл
15. а) б) в) -2л; г)
2’ 3 ’ 4
16. а) 25я. б) 26л. в) 25л. г) 16л
4 ’ 3 ’ 6 ’ 3 '
17. Как расположены на координатной прямой и на числовой
окружности точки, соответствующие числам:
а) t и - £; в) t и t + я;
б) t и t + 2nk, k е Z; г) t + л и t - я?
6
18. Найдите все числа, которым соответствует на числовой ок­
ружности точка:
a) M ^ j; б) М2(5); в) г) М4(-3).
19. Найдите все числа, которым соответствуют на числовой ок­
ружности заданные точки (рис. 1):
а) А; б) С; в) А и С.
20. Найдите все числа, которым соответствуют на числовой ок­
ружности заданные точки (рис. 1):
а) В; б) D; в) В и D.
21. Найдите наименьшее положительное и наибольшее отрица­
тельное числа, которым на числовой окружности (рис. 1) со­
ответствует:
а) точка А; в) точка С;
б) точка В; г) точка В.
22. Найдите на числовой окружности точку, которая соответ­
ствует числу:
а) 1; б) -5; в) 4,5; г) -3.
Какой четверти числовой окружности принадлежит точка,
соответствующая числу:
23. а) 6; б) 2; в) 3; г) 4.
24. а) 5; б) -5; в) 8; г) -8.
25. а) 10; б) -17; в) 31; г) -95.
Найдите все числа t, которым на числовой окружности
(рис. 1) соответствуют точки, принадлежащие указанной от­
крытой дуге:
26. а) AM, в) МА,
б) СМ; г) МС.
(М — середина первой четверти).
27. a) DM, в) MD,
б) BD; г) DB.
(М — середина второй четверти).
28. a) MjM2; 6) M4Ml5 в) M3M2; r) M1Mr
(Mv M2, Mv M4 — середины соответственно первой, второй,
третьей и четвертой четвертей).
§ 3. ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ
НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
Центр числовой окружности совпадает с началом координат
на координатной плоскости хОу. Найдите декартовы координаты
заданной точки:
6) в) г) M jj
30. а) М(2п); б) в) м (^ ); г) М(15я).
31. a) б) в) Г) « (1 Ь ).
21 к
в) М -
31я
б) М -
Найдите наименьшее положительное и наибольшее отрица­
тельное числа, которым на числовой окружности соответствует
точка с координатами:
Уз. 1 Уз.
33. а) М в) М
2 ’ 2У 2 ’
Уз. 1 Уз. _ 1
б) М г) М
2 ’ 2 2 ’ 2
1. Уз I. Уз
34. а) М в) М
2 ’ 2 2 ’ 2
м f_ i. Ж ] ; г) М Г1._У11
\ 2 ’ 2 / V 2 ’ 2 У
8
Найдите на числовой окружности точки с данной ординатой
и запишите, каким числам t они соответствуют. ,
35. а) у = & ; б)J/ = |; в) у = 0; г)у = *
36. а ) , - £ ; б) у = 1; в)у = - Ж т)у = -1.
Найдите на числовой окружности точки с данной абсциссой
и запишите, каким числам t они соответствуют.
37. а)х = ^ ; б)* = -|; в)х = 1; г) * = ^ .
1 /ч
38. a) jc = 0; 6)* = --; в)х = - :у-; г)х = -1.
39. Имеетсяли на числовой окружности точка, абсцисса (орди­
ната) которой равна:
а) 0,7; б )|; в)*; г) 1,27?
Укажите знаки абсциссы и ординаты точки числовой окруж­
ности:
40. а) Е(2); б)ЛГ(4); в)Р(1); г) 1(6).
41. а) М(12); б)ЛГ(15); в)Р(49); r)Q(100).
На числовой окружности укажите точку М, координаты ко­
торой удовлетворяют данным условиям, и найдите все числа, ко­
торым соответствует эта точка:
42. а)у = - ^ , * < 0; в) у = х > 0;
б)г/ = |, *<0; г) у = х>0.
43. а)х = :у-, у> 0; в)х = ^-, у< 0;
б) х = -\* г/<°; г)х = - |, у>0.
Найдите на числовой окружности точки с абсциссой или ор­
динатой, удовлетворяющей заданному неравенству, и запишите
(с помощью двойного неравенства), каким числам t они соответ­
ствуют:
44. а)*>0; б)*<-|; в)*>-|; г) * < 0.
J2 J2 л/г Л
45. а)
r)x<~2
46. a) x< £ ; б) Х < -^; в) x>^-; r) x> -& .
47. a) у > 0; б)У<^; в) l/>-|; г) у < 0.
48. а) у < б) у > в) у > г) у <
49. а) б) г /< - ^ ; В) у>^-; г)
§ 4. СИНУС И КОСИНУС
Вычислите sin t и cos t, если:
50. a) f = 0; 6>* = f ; = r) t = я.
51. a) f = -2л; 6)* = -f; в)* = -М ; r)t--n.
С* £
52. a)* = -y; 6)* = X ; BM = '6L; r)* = T -
53. a)t = - ^ ; 6) f = - ^ ; B)f = _1f ; r)f = " 'f-
54. a)t = ^ ; 6)*= --^; в)* = ^ ; г) * = _1Г-
10