Алгебра и начала анализа. 10-11 классы

625 Pages·12.815 MB·Russian

by  Шкиль Н.И., Слепкань З.И., Дубинчук Е.С.

Й АГЕБРЯ
И НАЧАЛА
АНАЛИЗА
10-11 кп.
л
Н И Ш ки л ь. Ж С п е п к а н ь Е С Д у б и н ч у к
вДГЕБРв
И НЯЧЯЛ0
анализе
ПРОБНЫЙ УЧЕБНИК
ДЛЯ Ю—11 КЛАССОВ
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ •
Рекомендовано Министерством образования Украины
КИЕВ
«ВЕЖА»
1995
ББК 22.14Я721
Ш66
Перевод с издания;
М. I. Шк1ль, 3.1. Слепкань, (О. С. Дубинчук|. Алгебра 1 початки
анал1зу: Проб, тдруч. для 10—11 кл. серед, шк.— К.: Зод1ак-ЕКО,
1995
Переводчики Е. Е. Волянская, Е. Т. Шкиль
Рецензенты:
В. П. Яковец, заведующий кафедрой математики
Нежинского педагогического института им. Н. В. Гоголя,
доктор физико-математических наук; Н. П. Никитенко,
учитель-методист Киевской средней школы № 170
111к'|ль М. 1. та ш.
Ш66 Алгебра 1 початки анал1зу: Проб, шдруч. для
10—11 кл. серед. шк./М. 1. НШль, 3. I. Слепкань,
|0. С. Дубинчук|; Пер. з укр. О. С. ВолянськоТ 1
К. ТТТИкиь.— К. : Вежа, 1995.— 624 с.
18ВХ 5-7707-7437-1 (рос.).
18ВМ 5-7707-6674-3 (укр.).
Ш 4303020503—001
Без объявления ББК 22.14я721
1995
18В.М 5-7707-7437-1 (рус.) М. 1. Шк1ль, 3. I. Сдгпкань,
15ВN 5-7707-6674-3 (укр.) (О. С. Дубинчук!. Алгебра 1
почагкн анализу для 10—11 кл..
1095
■(С) Е. Е. Волянская, Е. Т. Шкиль.
Перевод с украинского языка,
199."
(ф В. П. Вересюк. Художественное
оформление, 1995
Раздел I
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Повторение и расширение сведений
о функции
1. Определение функции. Возрастающие, убывающие,
четные и нечетные функции. Материальное единство мира
проявляется во взаимосвязи и взаимообусловленности раз­
ных явлений и процессов, происходящих в природе. Рас­
сматривая их, необходимо учитывать зависимости одних
переменных от других. Например, зависимости пути от
времени, количества купленного товара на определенную
сумму от цепы, площади круга от его радиуса. Необходи­
мость изучения на практике зависимостей между перемен­
ными различной природы привела к понятию функции в ма­
тематике.
Зависимость переменной у от переменной х называется
функцией, если каждому значению х соответствует единст­
венное значение, у.
Функцию обозначают или одной буквой латинского ал­
фавита /, Р, или равенством у =/(х), которое символически
обозначает зависимость между двумя переменными.
Переменную х называют независимой, или аргументом,
а переменную у —зависимой.
Значением функции называют значение зависимой пере­
менной у, которое она принимает при определенном зна­
чении х.
Множество значений, которые принимает независимая
переменная х, называется областью определения функции.
Множество соответствующих значений зависимой пере­
менной у, которые она принимает при всех значениях х из
области определения функции, называется областью зна­
чений, или областью изменения функции.
Пример 1. Зависимость пути 5 тела, движущегося
равномерно, от времени / является функцией, которая зада­
3
ется формулой 5 = 5(, + а/, где 50 —
начальный путь; а — скорость, кото­
рая я.ЕЛяется постоянной при равно­
мерном движении.
Пример 2. Если учащиеся груп­
пы, состоящей из 25 человек, дежурят
каждый день на протяжении января,
кроме воскресений, то каждому из
дней января соответствует определен-
Рнс. 1 пый дежурный. Независимой перемен­
ной здесь являются дин января, за­
висимой — дежурный. Имеем функцию, область определе­
ния которой — множество дней января (без тех, которые
приходятся на воскресенье), а область изменения — мно­
жество учеников группы.
Г1 р и мер 3. Активная электрическая энергия, которая
расходуется в цепи переменною тока за время I, есть функ­
ция времени и при постоянной мощности Р выражается
формулой №0 = Р1.
В алгебре и началах анализа отдельно определяется
числовая функция: числовой функцией с областью определе­
ния X называется зависимость, при которой каждому
числовому значению х из множества X ставится в соответ­
ствие единственное некоторое число у.
Напомним основные способы задания функции: 1) с по­
мощью формулы (примеры 1 и 3); 2) с помощью таблицы
(таблицы квадратов чисел, значений тригонометрических
функций и др.); 3) с помощью графика (если фиксировать на
протяжении нескольких лет высоту растущего дерева, то,
изобразив иа оси Ох возраст дерева в годах, а на оси Оу —
его высоту в метрах, получим график функции, изображен­
ный на рисунке 1).
Не всегда формула задает функцию. Например, формула
/ — (закон Ома) задает прямую пропорциональность
(функцию от V) при постоянном сопротивлении в цепи и
переменном напряжении и задает обратную пропорцио­
нальность (функцию от Р) при постоянном напряжении и
переменном сопротивлении. Однако, если из этой формулы
выразить Р, то Р г= -у • Последняя формула не задаетфунк-
цию. Действительно, Р — величина постоянная для дан­
ного проводника и не зависит ни от напряжения, ни от силы
тока. Если напряжение увеличить, например, в 2 раза, то
в 2 раза увеличится и сила тока, а отношение напряжения
4
к силе тока не изменится. Сопротивление Я — функция
(прямая * пропорциональность у = кх) длины проводника
при постоянной площади поперечного сечения и функция
площади поперечного сечения ^обратная пропорпиональ-
к \
ность у = — при постоянной длине проводника
/? = р ,
где р — удельное сопротивление; I — длина проводника;
5 — площадь его поперечного сечения.
Иногда функшно задают разными формулами на разных
множествах значений аргумента (так называемые «кусочно­
заданные функции)/). Например, если турист был в дороге
9 ч, и первые 5 ч двигался со скоростью 4,5 км/ч, потом
отдыхал 0,5 ч, а оставшееся время шел со скоростью 4 км/ч,
то функцию пути а в зависимоеги от времени I запишем в виде
( 4,5/, если 0 ^ /^ 5 ;
5 = I 22,5/, если 5 </^5,5;
1 22,5 + 4 (/ — 5,5), если 5,5 </ < 9.
Функция у = / (х) называется возрастающей, если
большему значению аргумента соответствует большее зна­
чение функции, т. е. для любых двух значений х, и х2 пере­
менной х, взятых из области определения и таких, что х2 >
> хи выполняется неравенство / (х2) > / (*,).
Функция у = / (х) называется убывающей, если боль­
шему значению аргумента соответствует меньшее значение
функции, т. е. для любых двух значений хи х2 переменной х,
взятых из области определения и таких, что х2 > х1, вы­
полняется неравенство / (х2) с ( (хД
Для исследования функций на возрастание и убывание
необходимо:
1) выбрать любые два значения х1 и х2 из области опре­
деления функции такие, что х2 >-х1;
2) составить разность / (х2) — / (хх) и выяснить (если
это возможно), будет ли она положительной или отрицатель­
ной и, пользуясь определением неравенства, убедиться,
что ( (х2) > / (х,) или / (х2) <_ / (хД и сделать вывод о воз­
растании (убывании) функции.
График возрастающей функции стремится вверх, а убы­
вающей — вниз.
Функция у — { (х) называется четной, если для любого
значения х из области определения значение (■—х) также
5
принадлежит области определения и выполняется равенство
/ (—х) = / (х). Иначе говоря, значения четных функций
для противоположных значений аргумента равны. График
четной функции симметричен относительно оси Оу.
Функция у — ( (х) называется нечетной, если для любого
вначения х из области определения значение (—х) также
принадлежит области определения и выполняется равенство
/ (-*) = - / (х).
Следовательно, значения нечетных функций для противо­
положных значений аргумента противоположны. График
нечетной функции симметричен относительно начала коор­
динат.
Пример 1. Функция у — 2х возрастающая и нечет­
ная на всей области определения (рис. 2). График ее сим­
метричен относительно начала координат.
Пример 2. Функция у = х2 возрастающая при х ^
Г [0; +оо) и убывающая при х ^ (—оо; 0]. Она четная, и гра­
фик ее симметричен относительно оси Оу (рис. 3).
Чтобы исследовать функцию на четность и нечетность,
необходимо:
1) проверить выполнение условия: для любого х из об­
ласти определения (—х) также принадлежит области опре­
деления, т. е. проверить, будет ли область определения дан­
ной функции множеством, симметричным относительно
точки 0;
2) проверить выполнение условия: /(—х) == / (.г) или
/ ( -х) = -/ (х).
Если не выполняется первое условие, то нет необходи­
мости проверять второе.
2. Обзор свойств основных видов функций.
Линейная функция. Линейной называется функция,
которую можно задать формулой у = кх + Ь, где х —не­
зависимая переменная, к и Ь — числа.
Если Ь — 0, то формула линейной
функции принимает вид у = кх. Эта
формула, если к Ф 0, задает прямую
пропорциональность. Графиком ли­
нейной функции есть прямая (рис. 4).
Линейная функция выражает зависи­
мость между переменными разной при­
роды. Например: а) зависимость пути
5, который пройдет тело при равно­
мерном движении, от времени / опре- рис 4
деляют по формуле 5 = 50 + VI, где
д, — начальный путь; V — постоянная скорость; б) зави­
симость длины металлического стержня от температуры
/ при нагревании задают формулой / = /0 + к1, где
/„ — длина стержня при / = 0; к — коэффициент ли­
нейного растяжения; в) стоимость N телеграммы из
г. Киева в г. Сторожинец вычисляется по формуле N =
-- 500л: г 1000, где х ■— количество слов, 500 крб.— стои­
мость одного слова, 1000 — курьерская плата; г) стоимость
проезда в такси молено вычислить по формуле Р — 8л 4 8,
где п — количество километров (расстояние), которое про­
ехал пассажир, 8 тыс. крб.— стоимость проезда одного ки­
лометра, 8 тыс. крб.— сумма па счетчике, когда пассажир
садится в такси (цены условные).
Напомним свойства линейной функции.
1) Областью определения линейной функции, если она
задана формулой у — кх + Ь без указания характера за­
висимости между переменными х и у, есть множество всех
действительных чисел.
2) Возрастание или убывание функции зависит от знака
коэффициента к. Если к> 0, то функция возрастает. До­
кажем это, используя определение возрастающей функции.
Действительно, пусть хг > где х, ^ В, хг^В. Тогда
/ (хг) ~ / (в) — кх2 -+- Ь — кхг — Ь = к (х2 — л1) Г> 0, т. к.
к > 0 и — х1 > 0 согласно выбору к, х2 и хх. Поэтому
/ (**) > / ФД
Если к <0, то линейная функция убывающая. Докажите.
3) Если к Ф 0 и Ь Ф 0, то линейная функция не являет*
ся ни четной, ни нечетной. Действительно, хотя ее область
определения является множеством, симметричным относи­
тельно точки О, все-таки / ( —х ) = —кх + Ь Ф / (х) и
/(-*) = -кх Ч- Ь ф — { (х).
Если к Ф 0 и Ь — 0, то линейная функция является
нечетной, т. к. [ (—х) — —кх = —[ (х). Следовательно,
7
графиком ее является пря­
мая, проходящая через нача­
ло координат и симметричная
относительно начала коорди­
нат.
Если к = 0 и Ь — любое
число, то линейная функция
четная, т. к. / (— х) = Ь = / (х).
График ее — прямая, парал­
лельная оси Ох (пли совпа­
дающая с ней) и поэтому сим­
Рис. 5 метричная относительно оси
°У-
Функция у = — • Эта функция выражает обратно про­
порциональную зависимость.
Обратной пропорциональностью называется функция,
к
которую можно записать формулой у -- — , где х — неза­
висимая переменная и постоянная (число) к Ф 0.
Графиком функции у = есть гипербола, состоящая из
двух веток. Гипербола расположена в 1 и III четвертях,
если к > 0, и во II и IV четвертях, если к < 0 (рис. 5).
Функция у — -^выражает зависимость между разными
переменными. Например: а) зависимость количества куп­
ленного товара па заданную сумму денег от цены товара;
б) зависимость силы тока от сопротивления проводника
при постоянном напряжении I = (закон Ома); в) зави­
симость между давлением газа и объемом, который он за­
полняет, р —:.у (закон Бойля — Марнотта), где к —
постоянная; г) зависимость времени от скорости движения
I — где V — пройденный путь и др.
Напомним свойства функции у •
1) Области определения и изменения функции— все
действительные числа, кроме нуля.
2) Если к > 0, то функция у убывает на проме­
жутках (—оо; 0) и (0; + оо).
Докажем, например, если к > 0 и х К (— со; 0), то функ­
ция убывает. Действительно, пустьхф> п, где*! К (— оо; 0),
и х2 с (— 0).
Тогда / (х2) — / (хх) = А — 1 = к (х' х>] < 0, т. к. хгх2 >
л 2 Л} '1^2
> 0 (как произведение двух отрицательных чисел), к >
> 0, хх — х2 < 0 (по условию выбора к, хг и х2). Поэтому
/ (х,) < / (хх). Аналогично доказываем, что при к > 0
и х ^ (0; + оо) функция также убывает, а при к < 0 и
х (Д— оо; 0) или х ^ (0; + оо) — функция возрастает.
Докажите самостоятельно, что функция У — при
к < 0 возрастает, если х ^ (—оо; 0) или х ^ (0; +оо).
3) Функция у — — нечетная, т. к. ее областью опре­
деления является множество, симметричное относительно
точки 0 и / (— х) = ^ = — —/(х). График функции
к
у = — симметричен относительно начала координат.
Функция у = ж2. Свойства этой функции вытекают из
свойств степени с четным натуральным показателем.
1) Область определения функции — множество всех дей­
ствительных чисел, т. е. х Е В. Область ее изменения —
множество неотрицательных чисел, т. е. у ^ [0; + оо).
2) На промежутке (— оо; 0] функция убывает, а на [0;
+ оо) — возрастает.
Докажем, что при х Е (—°°; 0] функция убывает. Пусть
х2 > хъ где х, ^ (—оо; 0] и х2 ^ (— оо; 0]. Тогда / (х2) —
— / (хх) = — х\ = (х2 — хх) (х2 + хх) < 0, т. к. х2 —
— х1 > 0 по условию, х2 + х1 <; 0 как сумма двух чисел,
из которых одно отрицательное, а второе может быть непо­
ложительным. Поэтому / (х2) < / (.V,).
Докажите самостоятельно, что при
х ^ [0; + оо) функция у = х2 возрастает.
у-ахг
3) Функция четная, т. к. область ее
определения — множество, симметричное
относительно точки 0 и/(—х) = (—х)2 = а >0
I {х).
График функции — парабола, симмет­
ричная относительно оси Оу (рис. 6).
4) Если х = 0, то у — 0, следова­
тельно, график проходит через начало
координат. а< 0
С помощью функции у -- х2 выра­
жают зависимость площади квадрата от
длины его стороны. На практике в фи­
зике, технике чаще используют функцию Рис. 6
9