1 UZAY ANALİTİK GEOMETRİ Uzayda Koordinat Sistemi ve Uzayda Vektörler

19 Pages·2012·0.27 MB·Turkish

UZAY ANALİTİK GEOMETRİ 2 2 2
‰ AB‰ = (x -x ) +( y -y ) +(z -z ) formülünde
2 1 2 1 2 1
Uzayda Koordinat Sistemi ve Uzayda Vektörler: 2
değerler yerine konursa 16+(1-m) +16=36 ⇒ m=-1
Tanım: Uzayda (üç boyutlu) birbirine ikişer ikişer dik
sayı eksenlerinin oluşturduğu sisteme üç boyutlu veya m=3 bulunur.
uzayda koordinat sistemi denir.Bu üç eksenin
kesiştiği O noktasına orijin, eksenlerden birisi Ox Bir Doğru Parçasının Orta Noktası
ekseni, diğerlerinden birisi Oy ekseni üçüncüsüne ise
Oz ekseni denir. A(x1,y1,z1) ve B(x2,y2,z2) noktaları verilsin.Bu iki
noktanın belirlediği [AB] doğru parçasının C orta
Uzayda Bir Noktanın Koordinatları: noktasının koordinatları, ikişer ikişer koordinatlarının
Uzayda bir P noktasından xOy düzlemine dik aritmetik ortasıdır. Yani;
indirelim.Dikme ayağı P' olsun.Bu noktadan Ox ve Oy
eksenine dikmeler inelim.Bu noktalara karşılık gelen x1+ x2 y1+y2z1+z2
reel sayılar x ve y olsun.P den Oz eksenine paralel C( 2 , 2 , 2 ) dir.
çizelim.Bu doğruyla Oz ekseni bir düzlem oluşturur.P
den Oz eksenine inilen dikme ayağı P'' olsun.Bu Örnek:
noktaya karşılık gelen reel sayı z olsun.İşte bu üç reel A(-1,7,3) noktasının B(2,-3,5) noktasına göre
sayıya P noktasının koordinatları denir ve bu P(x,y,z)
simetriği C noktasının koordinatlarını bulalım.
ile gösterilir.Buradaki x bileşenine apsis , z
bileşenine ordinat ve z bileşenine kot denir. Çözüm:
Böylece uzaydaki her bir noktaya (x,y,z) sıralı reel
-1+x 7+y
sayı üçlüleri karşılık gelir.Böylece uzay RxRxR üçlü C(x,y,z) olsun. =2 ⇒ x=5, =-3 ⇒ y=-13
2 2
3
kartezyen çarpım kümesi ile veya R ile gösterilir. 3+z =5 ⇒ z=7 dir. O halde C(5,-13,7) olur.
2

Kürenin Analitik İncelenmesi:
Üç boyutlu uzayda, bir M(a,b,c) noktasına, r kadar
uzaklıkta bulunan tüm noktar kümesine (geometrik
yerine) bir küre, buradaki M noktasına kürenin
merkezi r sayısına da yarıçap uzunluğu denir.

Küre Denklemi:
Küre üzerinde değişken bir nokta P(x,y,z) olsun.P
noktaları değişse de ‰ MP‰ =r değişmeyecektir.
2 2 2
O halde; ‰ MP‰ = (x-a) +(y-b) +(z-c) =r

2 2 2 2
⇒(x-a) +(y-b) +(z-c) =r bulunur.Bu denklem

merkezi M(a,b,c) ve yarıçap uzunluğu r olan küre
denklemidir.

Bu denklemi açalım:
2 2 2 2 2 2 2
x +y +z -2ax-2by-2cy+a +b +c -r =0

2 2 2 2
Burada A=-2a, B=-2b, C=-2c, D= a +b +c -r

alınırsa küre denklemi;
İki Nokta Arasındaki Uzaklık:
2 2 2
x +y +z +Ax+By+Cz+D=0 biçimine gelir.
A(x ,y ,z ) ve B(x ,y ,z ) noktaları verilsin.Bu iki
1 1 1 2 2 2
A=-2a⇒a=- A/2, B=-2b ⇒b=- B/2, C=-2c ⇒ c=- C/2
nokta arasındaki uzaklık;
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 D= a +b +c -r ⇒ r = a +b +c -D
‰ AB‰ = (x -x ) +( y -y ) +(z -z ) dir.
2 1 2 1 2 1
2 2 2
A B C
2 1 2 2 2
Örnek: ⇒ r = + + -D = . (A +B +C -4D)
2 2 2 4
A(3,1,5), B(-1,m,1) noktaları veriliyor.‰ AB‰ =6 birim
1 2 2 2
ise a kaçtır? ⇒ r = A +B +C -4D bulunur.
2

Çözüm:
Not:
2 2 2
x +y +z +Ax+By+Cz+D=0 denkleminin

irdelenmesi:
1
2 2 2
a) A +B +C -4D>0 ise yukarıdaki denklem bir küre =( x - x , y - y , z -z ) dir.
2 1 2 1 2 1
belirtir.
2 2 2 Bir Vektörün Uzunluğu (=Normu):
b) A +B +C -4D=0 ise yukarıdaki denklem
fi
yarıçapı 0 olan bir noktasal küre (kürenin merkezi) Bir vektöre karşılık gelen OP konum vektörünün P uç
belirtir. noktasının orijine uzaklığı bu vektörün uzunluğu
2 2 2 fi
c) A +B +C -4D<0 ise yukarıdaki denklem gerçek (normu) denir ve bu ‰ OP ‰ ile gösterilir.
bir küre belirtmez ( sanal bir küre belirtir.) fi 2 2 2
Yani; P(x,y,z) ise ‰ OP ‰ = x +y +z dir.
Örnek:

Merkezi M(3,-2,-5) olan ve P(1,2,-2) noktasından Buna göre; A(x ,y ,z ) ve B(x ,y ,z ) noktaları için
1 1 1 2 2 2
geçen küre denklemini bulalım.
fi 2 2 2
‰ AB ‰ = (x2-x1) +( y2-y1) +(z2-z1) dir.
Çözüm:

2 2 2
r=‰ MP‰ = (1-3) +(2+2) +(-2+5) = 29 Birim Vektör:

Uzunluğu 1 birim olan vektörlere birim vektör denir.
O halde küre denklemi;

2 2 2 (cid:1)(cid:2)
(x-3) +(y+2) +(z+5) =29 veya Not: Ox ekseni üzerindeki e =(1,0,0),
(cid:1)(cid:1)(cid:2) 1
2 2 2
x +y +z -6x+4y+10z+9=0 bulunur. Oy ekseni üzerindekie =(0,1,0),
(cid:1)2(cid:1)(cid:2)
Oz ekseni üzerindeki e =(0,0,1) vektörlerine;
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) 3

‰ e ‰ =‰ e ‰ =‰ e ‰ =1 birim olduğundan
Örnek: 1 2 3
2 2 2 standart birim vektörler denir.
x +y +z -2x+3y-5z+k=0 denkleminin bir küre
belirtiğine göre k nın alacağı değer aralığını bulalım. Örnek:
fi

Çözüm: u =(1/2, -1/3, a) vektörü veriliyor.
2 2 2 a) Uzunluğu 3 birim ise b) Birim vektör ise a kaç
A +B +C -4D>0 olmalıdır.
olmalıdır?
4+9+25-4k>0 ⇒ k<19/2 bulunur.
Çözüm:
Üç Boyutlu Uzayda Vektörler: 2 311
a) 1/4 + 1/9 +a =9 ⇒ a=
Üç boyutlu uzayda herhangi bir P(x,y,z) noktasını 6
düşünelim.Başlangıç noktası O, bitim noktası P olan 2 23
fi b) 1/4 + 1/9 +a =9 ⇒ a= 6 bulunur.
OP vektörüne konum (yer) vektörü denir.Böylece
uzaydaki noktalarla bunlara karşılık gelen konum Vektörler Arasındaki Bağıntılar ve İşlemler:
vektörleri arasında bire-bir bir eşleme yapabiliriz. a) İki Vektörün Eşitliği:
Bu şekildeki analitik uzaya, üç boyutlu vektör uzayı fi fi

denir. a = (x1,y1,z1) ve b = (x2,y2,z2) vektörleri için

fi fi
P(x,y,z) ise O fi P vektörünün de bileşenleri (x,y,z) a =b (cid:219) x 1=x2 ve y 1= y 2 ve z 1= z 2 dir.
fi
sıralı üçlüsü ile gösterebiliriz.Yani OP =(x,y,z) b) İki Vektörün Toplamı:
fi fi
yazabiliriz.
a = (x1,y1,z1) ve b = (x2,y2,z2) vektörleri için
Tanım: fi fi

fi a +b =( x1+x2,y1+y2, z1+z2 ) dir.
A(x1,y1,z1) ve B(x2,y2,z2) noktaları için AB Toplama İşleminin Özellikleri:
fi fi Vektörler arasında tanımlanan toplama işleminin
vektörüne O dan çizilen eş OP vektörüne, AB nün i) Kapalılık ii) Değişme iii) Birleşme özellikleri
konum (yer) vektörü denir.Bu iki vektör birbirine eşit vardır.(Bu özellikler klayca gösterilebilir)
olarak alınır.Yani; fi 3 fi fi fi fi
fi fi iv) " a ˛ R ve 0 =(0,0,0) için; a +0 =a olduğundan;
OP =AB =( x2- x1, y2- y1, z2 -z1) dir. fi
fi fi fi fi fi 0 toplama işleminin etkisiz elemanıdır.
Çünkü; AB =AO +OB =OB -OA =(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) fi 3 fi
v)" a =( x1,y1,z1) )˛ R için -a=( -x1,-y1,-z1) dir.
2
fi fi fi fi
a + (-a)= 0 olduğundan a nün toplama işlemine Örnek:
fi fi fi fi

göre ters elemanı -a dır. v =(-5,9,1) vektörünü, v 1=(-1,3,4), v 2=(3,0,1) ve
fi

c) İki Vektörün Farkı: v 3=(0,1,-2) vektörlerinin bir lineer bileşimi olarak
fi fi fi fi
yazalım.
a - b = a +(-b ) olarak tanımlanır.

fi fi
Çözüm:
Yani; a - b =( x1-x2,y1-y2, z1-z2 ) dir. fi fi fi fi

d) Bir Vektörün Skaler (Reel Sayı) İle Çarpımı: k1v 1+k2v 2+k3v 3= v olacak biçimde k1,k2,k3˛ R

sayılarını bulmalıyız.
fi

a = (x1,y1,z1) vektörü ve k˛ R verilsin. k1(-1,3,4)+ k2(3,0,1)+ k3(0,1,-2)= (-5,9,1)
kfia =k(x 1,y 1,z 1)=(kx 1,ky 1,kz1 ) dir. ⇒( -k 1+3k 2, 3k 1+k 3,4 k 1+k 2-2k3 )= (-5,9,1)⇒
Bir Vektörün Reel Sayı İle Çarpımının Özellikleri:
-k +3k=-5
1
fi fi
3k +k =9
a ve b iki vektör ve k,m˛ R olsun. 1 3
fi fi fi fi
4 k +k -2k =1 denklem sistemi çözülürse; k =2,
i) k(a +b )=ka +kb dir. 1 2 3 1
fi fi fi
k = -1, k =3 bulunur.O halde aranan lineer bileşim;
ii) k(ma )=m(ka )=(km) a dir. 2 3
fi fi fi fi
fi fi fi
iii) (k+m) a =ka +ma dir. v =2v 1-v 2+3v 3 tür.
fi fi fi fi fi fi
iv) -1.a = -a ve 1. a =a ve 0.a = 0 dir.
Lineer Bağımlılık, Lineer Bağımsızlık:
Bu özellikler, vektörler arasındaki toplama işlemi ve Vektörlerden oluşan bir V vektör uzayında,
fi fi fi fi
reelsayıların özellikleri kullanılarak kolayca
ispatlanabilir. k1,k2,k3,...,kn˛ R, v 1, v 2, v 3, ..., v n˛ V olmak
fi fi fi fi fi

e) İki Vektörün Paralelliği: üzere;k1v 1+k2v 2+k3v 3+...+knv n = 0 eşitliğini
Doğrultuları paralel olan vektörlere paralel vektörler

denir.İki konum vektörü paralel ise doğrultuları sağlayan en az biri sıfırdan farklı, k ,k ,k ,...,k ˛ R
1 2 3 n
çakışık olur.Bu durumda birisi diğerinin (k„ 0 olmak fi fi fi fi

fi fi
varsa { v 1, v 2, v 3, ..., v n } kümesi lineer
üzere) k katı olur.Yani; a =(x1,y1,z1), b =(x2,y2,z2)

vektörleri ile k„ 0 reel sayısı verilsin. bağımlı aksi halde (yani k1=k2=k3=...=kn=0 olmak
fi fi fi fi fi fi fi fi
a //b (cid:219) a =k.b zorunda ise) { v 1, v 2, v 3, ..., v n } kümesi lineer

(cid:219) (x ,y ,z )=k(x ,y ,z )=(kx ,ky ,kz ) bağımsızdır denir.
1 1 1 2 2 2 2 2 2

(cid:219) x = kx ve y = ky ve z =kz Taban ve Boyut:
1 2 1 2 1 2
Vektörlerden oluşan bir V vektör uzayında,

(cid:219) x1/ x2 = y1/ y2 = z1/z2 bulunur. fi fi fi fi
{ v 1, v 2, v 3, ..., v n } kümesi verilsin. Bu küme;
O halde iki vektör paralel ise bileşenleri a) lineer bağımsız,
fi
orantılıdır. (Paralellik şartı)
b) V uzayını geriyorsa (yani " x ˛ V vektörü bu
Vektörlerin Lineer Bileşimi: vektörlerin bir lineer bileşimi olarak yazılabiliyorsa)
fi fi fi fi
Vektörlerden oluşan bir V vektör uzayında,
fi fi fi fi { v 1, v 2, v 3, ..., v n } kümesi V uzayının bir
k1,k2,k3,...,kn˛ R, v 1, v 2, v 3, ..., v n˛ V olmak tabanı (baz), n sayısına da V uzayının boyutu denir
fi fi fi fi fi ve dim(V)=boy(V)=n yazılır.

üzere; v = k1v 1+k2v 2+k3v 3+...+knv n vektörüne
Örnek:
fi fi fi fi
a) {(1,-2,-3), (-3,6,9)}
v 1, v 2, v 3, ..., v n vektörlerinin bir lineer bileşimi b) {(1,3,-2),(2,6,2)}
denir. c) {(1,1,0),(-2,3,5),(0,5,5)}
3
d) {(1,2,-5),(0,0,0),(7,1,-3)} 2. Yol:
e) {(1,1,0),(2,1,1),(0,1,1)}
k (1,1,0)+k (-2,3,5)+k (0,5,5)}=(0,0,0)⇒
f) {(1,1,1),(-1,2,0),(2,2,3),(1,1,2)}kümelerinin lineer 1 2 3
bağımlı olup lmadıklarını araştıralım.
k -2k =0
g) Yukarıdaki kümelerden hangileri üç boyutlu vektör 1 2
3
uzayının (R ün) bir tabanıdır. k +3k +5k =0
1 2 3
Çözüm:
5k +5k =0 Denklem sisteminin sıfır çözümünden
2 3
farklı çözümlerinin olması denklem sisteminin
a) k (1,-2,-3)+ k (-3,6,9)=(0,0,0)
1 2 katsayılarından oluşan determinantın değerinin (veya
vektörleri alt alta yazarak oluşturulan determinantın)
⇒ k -3k =0
1 2 sıfır olması gerekir.Gerçekten;
1 1 0
-2k +6k =0
1 2
- 2 3 5 =0 olduğu görülür.yani bu vektörler lineer

-3k +9k =0 denklem sistemielde edilir.
1 2 0 5 5
Halbuki bu denklemlerin üçü de birbirine denktir.
bağımlıdır.

Aslında burada tek denklem vardır yani; k -3k =0
1 2
d) {(1,2,-5),(0,0,0),(7,1,-3)}

⇒ k =3k Buna göre k , k nin 3 katı olmak üzere 1. Yol: Vektörleri sırasıyla hepsi birden sıfır olmayan
1 2 1 2
(örneğin, 0, 2007 ve 0) sayılarıyla çarpıp toplayalım;
sıfırdan farklı sonsuz çözüm bulabiliriz.O halde
0.(1,2,-5)+2007.(0,0,0)+0.(7,1,-3)=(0,0,0) olduğundan
{(1,-2,-3), (-3,6,9)} kümesi lineer bağımlıdır.
fi

bu küme (genel olarak içinde 0 vektörü bulunan her
Not: Vektörlerin bileşenlerine dikkatlice
küme)
bakarsakorantılı olduğunu görürüz.
lineer bağımlıdır.
Yani iki vektörün lineer bağımlı olması, biri diğerinin
2. Yol:Her bir vektörü bir satıra yazarak oluşturulan
bir katı olması, birbirine paralel olması aynı anlama
determinantın değeri sıfır olacağından bu küme lineer
gelir.
bağımlıdır.

b) {(1,3,-2),(2,6,2)}
e) {(1,1,0),(2,1,1),(0,1,1)}
1/2=3/6„ -2/2
Her bir vektörü bir satıra yazarak oluşturulan
Bu iki vektörün bileşenleri orantılı olmadığından lineer
determinantın değeri
bağımsızdır.
1 1 0

c) {(1,1,0),(-2,3,5),(0,5,5)} 2 1 1 =-1„ 0 olduğundan bu üç vektör lineer
1. Yol:
0 1 1

k (1,1,0)+k (-2,3,5)+k (0,5,5)}=(0,0,0)
1 2 3 bağımsızdır.
f) {(1,1,1),(-1,2,0),(2,2,3),(1,1,2)}
⇒ k -2k =0
1 2
k (1,1,1)+k (-1,2,0)+k (2,2,3)+k (1,1,2)=(0,0,0)
1 2 3 4
k +3k +5k =0
1 2 3 eşitliği bizi 4 bilinmeyenli 3 denklemden oluşan bir
denklem sistemine götürür.Böyle bir denklemin her
5k +5k =0
2 3 zaman sıfır çözümlerinden başka (sonsuz tane)

1. denklemden k =2k çözümü vardır.Örneğin k =t diyerek diğer
1 2 4
bilinmeyenleri t parametresine göre çözümlerini
3. denklemden k =-k değerleri 2. denklemde yerine
3 2 bulabiliriz.O halde 4 (veya daha fazla) vektörden
oluşan her küme lineer bağımlıdır.
konursa; 5k +5k =0 elde edilir.Bu ise 3. denklemdir.
2 3
O halde gerçekte farklı olarak iki denklem
g) Vektörlerden oluşan bir kümenin taban olabilmesi
vardır.Burada bilinmeyenlerden birine örneğin k =t
3 için lineer bağımsız ve ilgili vektör uzayını germesi
fi 3
diyelim.Böylece k2= -t ve k1=-2t olmak üzere (yani " x ˛ R vektörü bu vektörlerin bir lineer
(k ,k ,k )=(-2t, -t, t), t˛ R olmak üzere sıfır çözümden bileşimi olarak yazılabilmesi ) gerekir.
1 2 3 {(1,-2,-3), (-3,6,9)}, {(1,1,0),(-2,3,5),(0,5,5)},
{(1,2,-5),(0,0,0),(7,1,-3)},
farklı sonsuz tane (k ,k ,k ) üçlüsü bulunur.
1 2 3 {(1,1,1),(-1,2,0),(2,2,3),(1,1,2)} kümeleri lineer
O halde {(1,1,0),(-2,3,5),(0,5,5)} kümesi lineer bağımlı olduklarından taban olamaz.
bağımlıdır. {(1,3,-2),(2,6,2)} kümesi lineer bağımsızdır.

4
(cid:2) (cid:2)
3
Acaba bu küme R ü gerer mi?Bakalım: Tanım: a=( a ,a ,a ), b=( b ,b ,b ) vektörleri için
1 2 3 1 2 3
(cid:2) (cid:2)
fi 3 m(a,b)=a olmak üzere;
x =( x1,x2,x3)˛ R olsun. <a(cid:2) ,b(cid:2)>=a(cid:2) .b(cid:2)=‰ a(cid:2) ‰‰ b(cid:2)‰ cosa çarpımına "a(cid:2) ile b(cid:2)

( x ,x ,x )= k (1,3,-2)+ k (2,6,2) nin skaler(=iç) çarpımı" denir.
1 2 3 1 2

⇒ k +2k = x
1 2 1
Teorem:
(cid:2) (cid:2)
3k +6k = x
1 2 2 a=( a ,a ,a ), b=( b ,b ,b ) vektörleri için;
1 2 3 1 2 3
(cid:2) (cid:2)
-2k +2k = x
1 2 3 a.b= a b +a b +a b tür.
1 1 2 2 3 3

Denklem sisteminde ilk iki denklemden bulunan k ,k İspat:
1 2
değerleri her zaman üçüncü denklemi
3
sağlamayacağından bu iki vektör R ü germez.O

halde bu küme bir taban olamaz.

{(1,1,0),(2,1,1),(0,1,1)} kümesi lineer bağımsızdır.
3
Acaba bu küme R ü gerer mi?Bakalım:

fi
3
x =( x1,x2,x3)˛ R olsun.
OAB üçgeninde cosinus teoremi uygulayalım;
( x ,x ,x )= k (1,1,0)+ k (2,1,1)+k (0,1,1)
1 2 3 1 2 3 fi 2 fi 2 fi 2 fi fi
‰ AB ‰ =‰ OA ‰ +‰ OB‰ -2‰ OA ‰‰ OB‰ cosa
k +2k = x
1 2 1
2 2 2
(b - a ) +( b -a ) +( b - a )
1 1 2 2 3 3
k +k +k = x
1 2 3 2 (cid:2) (cid:2)
2 2 2 2 2 2
=a + a + a +b + b +b -2a.b
k +k = x 1 2 3 1 2 3
2 3 3

Üç bilinmiyenli bu denklemin çözümü vardır ve tektir.
Gerekli işlemle yapılırsa;
3 3 (cid:2) (cid:2)
O halde bu küme R ü gerer. Buna göre bu küme R a.b= a b +a b +a b bulunur.
1 1 2 2 3 3
ün bir tabanıdır.

Skaler Çarpımın Özellikleri:
Not:
V vektörlerden oluşan bir vektör uzayı olsun.
Yukarıdaki örnekte olduğu gibi lieer bağımsız üç

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
3
vektör R ün bir tabanıdır. 1. " a,b˛ V için a.b˛ R olduğundan; skaler (iç)

çarpım fonksiyonu f ise;

S(cid:1)(cid:2)tandart Ta(cid:1)b(cid:1)(cid:2)an Vektörl(cid:1)e(cid:1)(cid:2)ri: f:VxV(cid:2)fi (cid:2)R olan bir (cid:2)fon(cid:2)ksi(cid:2)yon(cid:2)dur.
e =(1,0,0), e =(0,1,0), e =(0,0,1) vektörleri lineer 2. " a,b˛ V için a.b=b.a dir.(Simetri özelliği)
1 2 3 (cid:2) (cid:2) fi (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
fibağımsızdır. 3." a˛ V (a„ „„„ 0 ) için a.a=a 2=‰ a‰ 2>0 (Pozitif
3
x =( x1,x2,x3)˛ R olsun. tanım(cid:2)lılı(cid:2)k ö(cid:2)zelliği) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
fi 4. " a,b,c˛ V için a.(b+c)=a.b+a.c dir.
(cid:2) (cid:2)
x =( x1,x2,x3)=( x1,0,0)+(0, x2,0)+(0,0,x3) 5. a ve bvektörleri sıfır vektörlerinden farklı olsun.

= x (1,0,0)+ x (0,1,0)+ x (0,0,1) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
1(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)2 (cid:1)(cid:1)(cid:2) 3 a .b=0 (cid:219) a^ bdir. (Diklik şartı)

= x e + x e + x e
1 1 2 2 3 3
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)
3
O halde {e ,e ,e } kümesi de R ü gerer.
1 2 3
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)
3
Buna göre {e ,e ,e } R ün bir tabanıdır.Bu tabana
1 2 3

standart taban denir.

Skaler (=İç ) Çarpım:

5
İZMİR FEN LİSESİ UZAY ANALİTİK GEOMETRİ fi fi
ÇALIŞMA SORULARI AB//CD ise ave b yi bulunuz.
(Küre ve Uzayda Vektörler) (Kasım 2012)
fi
01. A(-5,3,2), B(1,3,5) ve C(-2,-1,a) noktaları 12. a =(3,-1,2) vektörü ile aynı doğrultudaki birim
veriliyor. vektörleri bulunuz.
a) [AB] nın D orta noktasının koordinatlarını bulunuz.
b) ‰ AB‰ =‰ AC‰ ise a kaçtır? 13. (-1,2,-2) vektörünü {(2,1,0),(3,0,1),(0,-2,1)}
vektörlerinin lineer bileşimi olarak yazınız.
02. Bir tabanı ABCD, diğer tabanı A'B'C'D' olan
ABCDA'B'C'D' pirizması göz önüne alınıyor. fi
A(3,1,0), B(3,5,0), C(1,5,0) ve D'(1,1,4) tür. 14. A(3,2,-1) noktası ile AB =(5,-7,6) vektörü
veriliyor.B noktasını bulunuz.
a) Bu pirizmanın tüm yüzleri paralelkenar
(paralelyüz ) ise diğer köşelerinin koordinatlarını 15. A(-1,3,2), B(5,-1,1) noktaları ile
bulunuz. fi fi fi
v =(p-1,3-k,-3) vektörü veriliyor. AB // v ise
b) Bu pirizma dikdörtgenler pirizması olabilmesi için D fi
köşesinin koordinatlarını bulunuz. Bu durumda cismin v vektörünün uzunluğunu (normunu) bulunuz.
hacmini, yüzey alanını ve cisim köşegenini
hesaplayınız. 16 .
fi fi fi
03. Merkezi M(3,3,1) olan ve a) =(0,-2,5) vektörünü =(1,-1,0), =(2,0,1) ve
v a b
a) P(3,-1,5) noktasından geçen; fi
b) xOy düzlemine teğet olan; =(-2,2,2) vektörlerinin bir lineer bileşimi olarak
c
2 2 2
c) x +y +z -2z=7 küresine teğet olan küre ifade ediniz.

fi
denklemini bulunuz. b) Uzayın herhangi bir =(x,y,z) vektörü a) şıkkında
w

verilen vektörlerin bir lineer bileşimi olarak ifade
04. A(-1,8,3) ve B(11,4,-7) noktaları verilyor.[AB]
edilebilir mi?
çaplı küre denklemini bulunuz.

fi fi fi
05. P(1,1,2) noktasından geçen ve her üç koordinat c) =(0,-2,5) vektörünü =(1,-1,0), =(2,0,1) ve
v a b
düzlemlerine teğet olan küre denklemini bulunuz.
fi
=(0,-2,-1) vektörlerinin bir lineer bileşimi olarak
c
2 2 2
06.x +y +z +2x-10y+(m+1)z=m küresi xOy ifade edilebilir mi?Edilemezse neden?

düzlemine teğetse kürenin merkezini ve yarıçap
fi fi fi
uzunluğunu bulunuz. 17. =(x,0,1), =(2,y,3) ve =(2,1,z) vektörleri
u v w

lineer bağımlı ise x,y,z arasında hangi bağıntı
2 2 2
07.(x-2) +(y-5) +(z+7) =81 küresinin P(-2,-1,5) olmalıdır?

noktasına en kısa ve en uzun uzaklıklarını bulunuz.
fi fi fi

18. =(3,-1,4), =(m,2,-1) ve =(2,4,1) vektörleri
fi A B C
08. AB =(3,-1,4) vektörü ile B(1,4,2) noktası fi fi
veriliyor. olduğuna göre m kaçtır?
fi AB ^ C
veriliyor.A noktasının koordinatlarını ve OA vektörü
19. A(8,2,0), B(4,6,-7), C(-3,1,2),D(-9,-2,4) noktaları
ve bu vektörün normunu bulunuz.
veriliyor.

fi fi fi fi
09. a =(m-1,2,n) ve b =(n+4,p,3-m) vektörleri Buna göre; AB ile CD vektörleri arasındaki açının
fi fi fi
veriliyor. a =b ise v =(m,n,p) vektörünün normunu kosinüsünü bulunuz.

bulunuz.
fi fi fi fi

fi fi 20. ‰ a ‰ =2 3 br, ‰ b ‰ =2 br m(a ,b )=30(cid:176) olduğuna
10. a =(m-3,2,-6) ve b =(2,n+5,-3) vektörleri paralel
fi fi fi fi
ise m ve n kaçtır?
göre; a +b ile a -b vektörleri arasındaki açının

11. A(-1,3,5), B(a,-2,3), C(3,4,-7) ve D(1,2,b)
kosinüsünü hesaplayınız.
noktaları veriliyor.

6
21. Köşe koordinatları A(8,3,-5), B(2,3,-4), C(3,5,2) fi fi fi
nün vektörü üzerindeki izdüşüm vektörü
olan ABC üçgeninin dik üçgen olduğunu ispatlayınız. AB AC AD
olsun.
22. A(a,1,-1), B(2a,0,2), C(2a+2,a,1) noktaları fi fi
fi fi AC boyunca birim vektör e ise
veriliyor. AB^ BC ise A, B ve C noktalarını bulunuz. fi fi fi
=‰ ‰ olmalıdır.
AD AD e
fi fi fi fi
23. ‰ a ‰ =6 br, ‰ b ‰ =4 br dir. fi fi fi AB .AC
‰ AD ‰ =‰ AB ‰‰ cos‰a =‰ AB ‰‰ fi fi ‰
fi fi fi fi ‰ ‰‰ ‰
AB AC
a) a +kb ile a -kb fi 0+10+60 70
‰ AD ‰ =13. 13. 33 = 33 O halde;
vektörleri dik ise k kaçtır?
fi 70 -2 2 -5 70
fi fi fi fi = ( , , - ) = (-2, 2, -5) bulunur.
b) m(a ,b )=60(cid:176) ise a +2b nün uzunluğu kaçtır? AD 33 33 33 33 33

fi fi fi fi fi fi fi f) m(BAC)=a olsun.Buna göre;
24. a +b +c =0 , ‰ a ‰ =‰ b ‰ =‰ c ‰ =1 ise ‰ AB‰‰ AC‰ sin a
A(ABC)=
2
fi fi fi fi fi fi sin a = 1 - cos²a
a . b +b .c +c .a değerini bulunuz.
fi fi
.
fi (cid:1)(cid:2) fi (cid:1)(cid:1)(cid:2) fi AB AC 70
cos a= =
25. ‰ a ‰ =4 br, cos(e1,a )=3/4 ve m(e2 ,a )=60(cid:176) ise ‰ fi ‰‰ fi ‰ 13 33
AB AC
fi
677
a nü bulunuz. A(ABC)= 2 br² bulunur.

26. A(3,-3,5) , B(3, 2,-7) ve C(1,-1,0) noktaları fi fi
fi fi fi 27. =(2,1,1) ve =(3,4,-1) vektörlerine dik olan
p q
a) AB b) ‰ AB ‰ c) AB boyunca birim vektörü
birim vektörleri bulunuz.
fi fi
d) nün üzerindeki dik izdüşüm vektörünü
AB AC
e) ABC üçgeninin B açısı için sinB değerini
f) ABC üçgeninin alanını bulunuz.

Çözüm:
fi
a) =(0,5,-12)
AB
fi
b) ‰ ‰ = 0²+5²+(-12)² = 13 br
AB
fi fi
c) boyunca birim vektörü =(x,y,z) olsun.
AB e
fi fi x y z
// ⇒ = = = k (katsayıları orantılı olmalı)
AB e 0 5 -12
fi
x=0, y=5k, z=-12k ve ‰ ‰ =1 olmalıdır.
e
0²+25k²+144k² =1 ⇒ k=1/13 dir.
fi 5 12
O halde =(0, , - ) bulunur.
e 13 13

d)

7
3
R te (Üç Boyutlu Uzayda) Vektörel Çarpım:

(cid:2) (cid:2)

Uzayda a=( a ,a ,a ), b=( b ,b ,b ) vektörleri için;
1 2 3 1 2 3
(cid:2) (cid:2)

ax b=(a b -a b , a b -a b , a b -a b )
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)

=( a b -a b )e -( a b - a b )e + (a b -a b )e
2 3 3(cid:2)2 1(cid:2) 1 3 3 1 2 1 2 2 1 3
vektörüne aile b vektörlerinin vektörel çarpımı (dış
çarpım) denir.

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
Not 1: Tanımdan yola çıkarak ax b= - bxaolduğu
görülebilir.

Not 2:
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
(ax b).a=0 (yani (ax b)^ a )
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
(cid:2) (cid:2)
(ax b).b=0 (yani (ax b)^ b )
Uzayda a=( a ,a ,a ), b=( b ,b ,b ) vektörleri için;
(cid:2) 1(cid:2) 2 3 1 2 3
olduğunu vektörel çarpım ve skaler çarpım tanımları uzunluğu ave bvektörleri üzerine kurulu OAMB
(cid:2)
kullanılarak ispatlanabilir.
paralelkenarın alanına eşit, doğrultusu ave
(cid:2)
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
bvektörlerinin belirttiği düzleme dik ve yönü sağ elin
Bu sonuç bize; ax b vektörünün aile b (cid:2) (cid:2)
vektörlerinin belirttiği düzleme dik olduğunu gösterir. dört parmağı avektöründen b vektörüne doğru
yönlendirdiğimizde; başparmağın gösterdiği yönde
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
Not 3: aile b vektörleri arasındaki açı a olmak (sağ el kuralı) olan vektöre “aile b vektörlerinin
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
üzere; ax b nin uzunluğu, aile b vektörleri üzerine vektörel çarpımı” denir ve bu ax bile gösterilir.
kurulu paralelkenarın alanına eşit olduğu yani;

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
‰ ax b‰ =‰ a‰ .‰ b‰ .sin a ispatlanabilir. Vektörel Çarpımın Özellikleri:

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
1) ax b= - bxa dir.
Not 4: Uzayda A(a ,a ,a ), B( b ,b ,b ),
1 2 3 1 2 3
(cid:2) (cid:2) (cid:2)

C( c ,c ,c ) noktaları verildiğinde; 2) ax0=0
1 2 3

(cid:190)fi (cid:190)fi (cid:2) (cid:2) (cid:2)
AB x AC 3) axa=0
A(ABC) =‰ ‰ dir.
2 (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
4) k˛ R olmak üzere; (ka)xb=ax(kb)=k(ax b) dir.

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)

(cid:2) (cid:2) (cid:2) 5) ax (b+c) = ax b+axc dir.
e e e
(cid:2) (cid:2) 1 2 3
Not 5: axb = a a a dir. (Bunların doğruluğu yukarıdaki özelliklerden uygun
1 2 3 olanları kullanılarak kolayca gösterilebilir.)
b b b
1 2 3

(Bunun doğruluğu, determinant açıldığında, vektörel

çarpımın tanımındaki ifadeyi verdiği kolayca

görülebilir.) (cid:2) (cid:2)
Örnek: a=(5,6,4) ve b=(2,-2,3) vektörleri için;
(cid:2) (cid:2)
Vektörel Çarpımın Geometrik Yorumu:
ax b yi hesaplayalım.

Çözüm:
(cid:2) (cid:2) (cid:2)
e e e
(cid:2) (cid:2) 1 2 3 (cid:2) (cid:2) (cid:2)
axb = 5 6 4 =26e - 7e- 22e =(26, -7, -22)
1 2 3
2 - 2 3
bulunur.

Örnek: A(1, -3, 5) , B(0,-1, 4) ve C(3, 3, -2) noktaları
veriliyor. ABC üçgeninin alanını bulalım.
8
(cid:190)fi (cid:190)fi Bu üç vektörün üzerine kurulu (belirlediği)
Çözüm: Önce AB x AC yi hesaplayalım; paralelyüzün hacmini (paralelkenar eğik pirizma)
(cid:190)fi (cid:190)fi düşünelim.
AB x AC =(-1,2,-1)x(2,6,-7)=
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
e e e cnin C uç noktasından axb nün taşıyıcı doğrusuna
1 2 3
(cid:2) (cid:2) (cid:2)
- 1 2- =1- 8- e - 9e 10e CH dikmesi inelim.
1 2 3
2 6 - 7
Paralelyüzün hacmi ;
V= Alan(OAKB)(cid:2) .|O(cid:2)H| (cid:2)
(cid:190)fi (cid:190)fi Alan(OAKB)=| axb| ve |OH|=|c|.cos(COH)
AB x AC 245 olduğundan;
A(ABC) =‰ ‰ = birim kare bulunur.
2 2
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)

V=|axb|.|c|.cos(COH) = (axb).c =<axb,c>
3
R te (Üç Boyutlu Uzayda) Karma Çarpım: (cid:2) (cid:2) (cid:2)

Bu da a ile b vektörlerinin vektörel çarpımının cile

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
skaler çarpımıdır.
Uzayda a, b c vektörleri için; aile b nin vektörel
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
(cid:2) (cid:2) (cid:2)
çarpımı ile c nin skaler çarpımına yani; (axb).cına
(cid:2) (cid:2) (cid:2) İşte bu çarpım da a, b, c vektörlerinin karma
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
“a,b,c vektörlerinin karma çarpımı “ denir ve bu
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) çarpımı olup [a,b,c] (veya (a,b,c) ) ile gösterilir.
[a,b,c] veya (a,b,c) ile gösterilir.

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
Örnek: a =(1, -3, 0) , b =(0,-1, 2) ve c =(3, 1, -2) O halde a, b, c vektörleri üzerine kurulu
vektörlerinin karma çarpımını bulalım. paralelyüzün hacmi (hacim değeri pozitif ya da 0
(cid:2) (cid:2) (cid:2)
(cid:2) (cid:2) olabileceğinden) [a,b,c] karma çarpımının
Çözüm: Önce axb yi bulalım. mutlak değerine eşittir.

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
e e e
(cid:2) (cid:2) 1 2 3 (cid:2) (cid:2) (cid:2) Not 2: Üç boyutlu uzayda a=( a1,a2,a3),
axb = 1 - 3 0=- 6e-1 2- e2 e3=(-6, -2,-1) (cid:2) (cid:2)
b=( b ,b ,b ), c=( c ,c ,c ) vektörlerinin karma
0 - 1 2 1 2 3 1 2 3
(cid:2) (cid:2) (cid:2)
a a a
Sonra da axb=(-6, -2,-1) vektörü ile c =(3, 1, -2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) 1 2 3
nün skaler çarpımını hesaplayalım; çarpımı aynı zamanda [a,b,c]=b b b dir.
1 2 3

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) c c c
1 2 3
(axb). c =[a,b,c]=(-6, -2,-1).(3, 1, -2) = -18-2+2

= -18 bulunur.
(Bunun doğruluğu karma çarpımın tanımı kullanılarak

kolayca yapılabilir.)

Not 1: (Karma Çarpımın Geometrik Yorumu:)
(cid:2) (cid:2) Karma Çarpımın Özellikleri:

Üç boyutlu uzayda a=( a1,a2,a3), b=( b1,b2,b3), (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
(cid:2) 1) (axb). c=a.(bx c) dir
c=( c ,c ,c ) vektörleri alalım.Bu konum vektörlerin
1 2 3 (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
uç noktaları A, B, C olsun. 2) [a,b, c] = [b, c,a] = [c,a,b] dir.

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
3) [a,b, c] = -[c,b,a] = -[a,c,b] = -[b,a,c]
dir.

(cid:2) (cid:2) (cid:2)
4) [a,0, c] = 0 dır.

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
5) [a,a, c] =[a,b, b] = [c,b, c] = 0 dır.

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
6) [ka,b, c] = [a,kb, c] = [a,b, kc] =k[a,b, c]
dir.

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:2)
7) [a,b, c+d ] = [a,b, c] + [a,b, d ] dir.
9
Bu üçlü eşitliğe A ( a ,a ,a ) noktasından geçen ve
1 2 3
(cid:2)
(Bunların ispatı determinantların özellikleri veya
u=( u ,u ,u ) doğrultu vektörüne paralel olan d
karma çarpımın geometrik yorumu kullanılarak 1 2 3
kolayca yapılabilir.) doğrusunun parametrik denklemi denir.

x- a y-a z-a
1 2 3
⇒ = = = k

3 u u u
R te (Üç Boyutlu Uzayda) Doğru: 1 2 3

Uzayda bir doğrunun belirtilebilmesi için
Son bulduğumuz üçlü orantı da A ( a ,a ,a )
1 2 3
(cid:2)
a) Bir noktası ve doğrultusu,
noktasından geçen ve u=( u ,u ,u ) doğrultu
1 2 3
b) İki farklı noktası bilinmesi yeterlidir. vektörüne paralel olan d doğrusunun kartezyen
denklemidir.

Bir noktası ve doğrultusu bilinen doğru denklemi: Örnek: (cid:2)
A(1, -2, 4) noktasından geçen ve u=(2, 0, -5)
vektörüne paralel olan doğrunun;

a) Vektörel denklemini, b) Parametrik denklemini

c) Kartezyen denklemini bulalım.

d) d doğrusu üzerinde öyle bir nokta bulunuz ki
koordinatları toplamı 2013 olsun.

Çözüm:

a) P˛ d ,P(x,y,z) olsun.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2)
AP =ku ⇒(x-1, y+2, z-4) =k(2, 0, -5)

b) x=2k+1, y=-2, z=4-5k
(cid:2)

Uzayda A ( a ,a ,a ) noktası ile u=( u ,u ,u )
1 2 3 1 2 3
(cid:2) x-1 y+2 z-4
c) = = =k
verilsin. A dan geçen u vektörüne paralel olan doğru 2 0 -5
da d olsun. d˛ P olacak biçimde herhangi bir x-1 z-4
veya = =k, y = -2
değişken P(x,y,z) noktası alalım. d doğrusunun 2 -5
denklemini bulmak demek x, y, z değişkenleri
arasında bir bağıntı bulmak demektir. d) x+y+z=2013 ⇒2k+1-2+4-5k=2013 ⇒ 3k= -2010
⇒ k= -670 ⇒ x=-1339, y= -2, z= 3354
Şekilden görüleceği gibi;k˛ R olmak üzere; O halde aranan nokta K ise K( -1339, -2, 3354 )
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) bulunur.
AP //u ⇒ AP =ku dir.

(Bu eşitlik d doğrusunun vektörel denklemi, Örnek:
(cid:2) A(1, 1, -2) , B(3,-4, 11) noktalarından geçen
u=( u1,u2,u3) vektörüne d doğrusunun doğrultu doğrunun kartezyen denklemini bulalım.
vektörü denir.)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2)

AP //u ⇒ AP =ku

⇒ (x- a , y-a , z-a ) = k(u ,u ,u ) = (ku ,ku ,ku )
1 2 3 1 2 3 1 2 3 Çözüm:
⇒ x- a = ku , y-a = ku , z-a = ku (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
1 1 2 2 3 3
Doğrunun doğrultu vektörü olarak u=AB alınabilir.

⇒ x= a +ku , y = a +ku , z = a +ku Buna gör(cid:1)e(cid:1)(cid:1) (cid:2)doğruyu ister A dan geçen ve doğrultu
1 1 2 2 3 3
vektörü AB olan veya B den geçen ve doğrultu
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
vektörü AB olan doğru olarak düşünebiliriz.
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
u=AB =(2, -5, 13 )
10