1. Permutasi, Kombinasi dan Peluang

27 Pages·2013·0.26 MB·Indonesian

by  Antonius C. Prihandoko

BAB VI
PELUANG DAN STATISTIKA DASAR

A. Konsep Peluang dan Pengelolaan Data
Peluang seringkali diperlukan oleh seseorang untuk melihat besarnya
kemungkinan atau kesempatan untuk terjadinya sesuatu. Sebagai contoh, coba
anda perhatikan tabel berikut ini.
Tabel 6.1 Data Peminat dan Daya Tampung Suatu Program Studi
Daya Daya
Peminat Peminat
Tahun Akademik tampung tampung
SPMB PMDK
SPMB PMDK
2000/2001 307 35 84 10
2001/2002 289 35 78 10
2002/2003 379 45 100 10
2003/2004 324 45 77 17
2004/2005 420 45 61 17

Tabel tersebut berisikan data tentang jumlah peminat dan daya tampung pada
suatu program studi di sebuah universitas negeri, baik yang melalui jalur Seleksi
Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB) maupun Penelusuran Minat dan
Kemampuan (PMDK). Data ini akan sangat bermanfaat bagi seorang peserta
seleksi untuk mengetahui seberapa besar kemungkinannya untuk dapat diterima di
program studi tersebut. Pada tahun akademik 2004/2005 misalnya, 420 orang
peserta harus bersaing untuk memperebutkan 45 kursi yang tersedia pada jalur
SPMB dan 61 peserta harus bersaing memperebutkan 17 kursi yang disediakan
pada jalur PMDK. Hal ini berarti peluang seorang peserta SPMB untuk diterima
223
224
adalah antara 1 : 10 sampai 1 : 9, sedangkan seorang peserta PMDK memiliki
peluang lebih besar untuk diterima yakni antara 1 : 4 sampai 1 : 3.
Tabel di atas juga memperlihatkan fluktuasi jumlah peminat dan
perkembangan daya tampung dari tahun ke tahun. Hal ini semakin jelas terlihat
bila data tersebut disajikan dalam bentuk grafik, sebagaimana yang tertera dalam
gambar berikut ini.
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
00/01 01/02 02/03 03/04 04/05
Peminat SPMB Daya tampung SPMB
Peminat PMDK Daya tampung PMDK

Gambar 6.1 Grafik Peminat dan Daya Tampung suatu Program Studi

Grafik tersebut dengan jelas memvisualisasikan fluktuasi peminat dan
perkembangan daya tampung dari tahun ke tahun serta perbandingan antara
peminat dan daya tampung per tahun akademik. Dengan data yang cukup, maka
pola yang ditunjukkan oleh grafik bisa juga digunakan untuk memprediksikan
kondisi yang akan terjadi pada tahun-tahun selanjutnya.
Selain memberikan visualisasi secara jelas tentang keadaan peminat dan
daya tampung, maka dari sumber data yang sama juga dapat dihitung rata-rata
jumlah peminat dan daya tampung selama 5 tahun terakhir serta rata-rata besarnya
225
peluang seorang peserta seleksi untuk diterima selama 5 tahun terakhir. Hasil-
hasil perhitungan tersebut sangat penting, selain untuk memperkirakan kondisi
yang akan terjadi pada tahun-tahun selanjutnya, juga dapat menjadi sumber
informasi bagi lembaga universitas yang bersangkutan dalam mengambil suatu
kebijakan atau merencanakan suatu tindakan.
Contoh di atas memberikan gambaran pentingnya pengetahuan tentang
peluang, penyajian dan pengelolaan data. Konsep-konsep dasar berkaitan dengan
ketiga hal tersebut akan disajikan dalam uraian berikut ini.

1. Permutasi, Kombinasi dan Peluang
Konsep peluang merupakan sebuah kajian matematis yang digunakan
sebagai landasan dalam pembahasan statistika. Sementara itu untuk dapat
memahami konsep peluang diperlukan suatu pemahaman terhadap konsep
permutasi dan kombinasi.

a. Permutasi
Sebuah panitia ditugasi untuk menentukan warna kostum baru bagi sebuah
tim sepak bola. Pihak manajer menyediakan 4 pilihan warna: merah (M), putih
(P), hijau (H) dan biru (B), baik untuk celana maupun kaosnya, dengan catatan
warna celana tidak boleh sama dengan warna kaos. Panitia tersebut harus
menentukan satu pasang warna dari semua pasang warna yang mungkin. Oleh
karenanya pada tahap pertama, panitia menyusun daftar semua kemungkinan
tersebut.
226
Kaos M M M P P P H H H B B B
Celana P H B M H B M P B M P H

Dari daftar tersebut jelas bahwa pasangan-pasangan yang muncul merupakan
pasangan terurut, yang berarti pasangan (M,P) misalnya, berbeda dengan
pasangan (P,M). Pasangan (M,P) berarti kaos merah dan celana putih, sedangkan
pasangan (P,M) berarti kaos putih dan celana merah. Penyusunan unsur-unsur
semacam ini disebut dengan permutasi.

Permutasi r dari n unsur dengan r  n adalah susunan terurut
terdiri dari r unsur berbeda yang diambil dari n unsur berbeda.

Pada contoh di atas, susunan terurut dari warna kaos dan celana menghasilkan 12
kemungkinan susunan. Banyaknya kemungkinan tersebut dapat dijelaskan dalam
chart berikut ini.
Warna kaos Warna celana

P

M H

B

M

P H

B

M

H P

B

M

B P

H
227
Untuk warna kaos terdapat 4 kemungkinan dan untuk setiap warna kaos dapat
dipasangkan 3 warna celana, sehingga banyaknya kemungkinan pasangan warna
kaos dan celana adalah
4.3.2.1 4! 4!
124.3  
2.1 2! (42)!
Rumusan tersebut merupakan banyaknya permutasi 2 unsur yang diambil dari 4
unsur yang berbeda. Secara umum banyaknya permutasi r unsur berbeda yang
diambil dari n unsur adalah
n!
P  dengan (1 r  n)
n,r (nr)!

Selanjutnya jika r = n maka notasi P dapat disingkat P . Banyaknya permutasi
n,n n
dari n unsur berbeda adalah P n!
n
Sekarang bagaimana jika dari n unsur tadi terdapat k kelompok unsur yang
sama? Misalnya, berapa banyaknya permutasi huruf-huruf dari kata “MATA”.
Jika kedua huruf “A” tersebut dipandang sebagai dua unsur yang berbeda,
sehingga kumpulan huruf tersebut menjadi “M A T A ”, maka berdasarkan
1 2
formula di atas akan dihasilkan 4!24permutasi:
MA TA MA TA MA A T MA A T A MA T A MA T
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
A A MT A A MT A MTA A MTA MTA A MTA A
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
TA MA TA MA TA A M TA A M A TA M A TA M
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
A A TM A A TM A TMA A TMA TMA A TMA A
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

Tetapi jika kedua “A” tersebut dipandang sebagai unsur yang sama, maka dari
permutasi-permutasi tersebut terdapat 12 pasang permutasi yang sama, sehingga
permutasi-permutasi berbeda yang terjadi tinggal 12 permutasi saja. Kedua belas
permutasi tersebut dapat ditelusuri melalui chart berikut ini.
228

T A
A
M A T
T A A
A T
M
T A
M A
A T
A M

T M
A
M T
M A
A
T A M
M A A
Sehingga didapat:
MATA MAAT MTAA AMAT AMTA ATMA

ATAM AATM AAMT TAMA TAAM TMAA

Pada contoh di atas permutasi MA TA dan MA TA , misalnya, dipandang
1 2 2 1
sebagai satu permutasi saja yakni MATA. Permutasi MA A T dan MA A T
1 2 2 1
dipandang sebagai satu permutasi yakni MAAT, demikian seterusnya karena
setiap kali kita menemukan kelompok-kelompok dengan 2 permutasi yang sama
maka banyaknya permutasi yang berbeda didapat dari banyaknya seluruh
kemungkinan permutasi, yakni 4!, dibagi 2. Bilangan 2 ini didapat dari 2!, yakni
banyaknya permutasi dari “A A ”.
1 2
Contoh lain misalnya permutasi untuk kata “ARAYA”. Jika ketiga huruf
“A” yang ada dianggap berbeda, maka ada 5! = 120 permutasi. Tetapi jika ketiga
huruf “A” dipandang sama maka setiap kali kita akan mendapatkan kelompok
permutasi sama yang terdiri dari 3! = 6 permutasi. Misalnya untuk permutasi
ARAYA, kita memiliki A RA YA , A RA YA , A RA YA , A RA YA ,
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1
229
A RA YA , dan A RA YA . Untuk permutasi RAAAY, kita memiliki
3 1 2 3 2 1
RA A A Y, RA A A Y, RA A A Y, RA A A Y, RA A A Y, dan RA A A Y.
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1
Demikian seterusnya, sehingga banyaknya permutasi yang berbeda dari kelompok
5! 120
huruf “ARAYA” adalah   20 permutasi.
3! 6
Sekarang pehatikan kata “GAGASAN”. Pada kata tersebut terdapat dua
kelompok unsur yang sama, yakni huruf “G” ada 2 dan huruf “A” ada 3. Analog
dengan dua contoh sebelumnya maka seluruh kemungkinan permutasi terbagi ke
dalam kelompok-kelompok yang terdiri dari 2!3! = 12 permutasi yang sama.
Dengan demikian banyaknya permutasi yang berbeda untuk kata “GAGASAN
7! 5040
adalah   420 permutasi.
2!3! 12
Secara umum, jika dalam suatu himpunan n unsur terdapat k kelompok
yang setiap kelompok ke i, (1  i  k), terdiri atas n anggota yang sama, maka
i
seluruh kemungkinan permutasi dari himpunan tersebut akan terbagi ke dalam
kelompok-kelompok yang terdiri dari n !n !n !n ! permutasi yang sama. Oleh
1 2 3 k
karena itu banyaknya permutasi yang berbeda dari himpunan tersebut adalah
n!
P 
n,n n !n !n !...n !
1 2 3 k
Sebagai latihan tentang permutasi, kerjakan contoh soal berikut ini.
1. Buatlah suatu diagram untuk menentukan banyaknya kemungkinan
bilangan 3 angka yang dapat disusun dari angka-angka 3, 4, 5, 9,
dengan syarat bahwa angka yang menempati ratusan, puluhan dan
satuan pada suatu bilangan tidak boleh sama.
230
2. Seorang ketua koperasi terpilih diberi kewenangan untuk menentukan
sendiri susunan tim pengurusnya yang terdiri dari wakil ketua,
sekretaris, bendahara. Sang ketua melihat ada 5 orang yang memenuhi
criteria untuk menduduki jabatan-jabatan tersebut. Ada berapa macam
susunan pengurus yang mungkin dibentuk?
3. Tentukan banyaknya permutasi dari huruf-huruf yang diambil dari kata
“M A T E M A T I K A”!

b. Kombinasi
Cara penyusunan unsur-unsur selain permutasi adalah kombinasi.
Bedanya, jika pada permutasi, urutan unsur diperhatikan, yakni misalnya "a,d,i"
tidak sama dengan "i,d,a", maka pada kombinasi urutan unsur tersebut diabaikan.
Fokus permutasi adalah pada susunan terurut, sedangkan fokus dari kombinasi
adalah himpunan, sehingga {a,d,i} = {a,i,d} = {d,i,a} = {d,a,i} = {i,d,a} =
{i,a,d}.
Contoh persoalan yang penyelesaiannya menggunakan kombinasi adalah
memprediksikan 2 dari 5 besar ”Indonesian Idol” yang akan maju ke babak
grand-final. Misal inisial kelima finalis adalah A, B, C, D dan E, maka ada 10
kemungkinan pasang finalis yang bisa tampil di babak grand-final, yakni A-B,
A-C, A-D, A-E, B-C, B-D, B-E, C-D, C-E, dan D-E. Hasil 10 kombinasi ini dapat
dijelaskan sebagai berikut. Banyaknya permutasi dari 2 unsur yang diambil dari 5
5!
unsur yang berbeda adalah  20. Karena setiap permutasi ada 2 unsur,
(52)!
231
maka setiap dua permutasi akan memiliki unsur yang sama, sehingga banyaknya
kombinasi yang terjadi adalah
20 5!
10 
2 (52)!2!
Secara umum rumus banyaknya kombinasi r unsur dari n unsur yang
berbeda dapat diturunkan dari rumus permutasi. Sebagaimana telah kita ketahui
n!
bahwa permutasi r unsur dari n unsur yang berbeda adalah P  . Karena
n,r (nr)!
kombinasi tidak memperhatikan urutan, maka permutasi-permutasi yang memiliki
unsur yang sama dipandang sebagai 1 kombinasi. Dalam hal ini setiap permutasi
terdiri dari r unsur, sehingga setiap r! permutasi memiliki unsur yang sama. Oleh
karena itu banyaknya kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda
P
adalah C  n,r atau
n,r r!
n!
C  dengan 1  r  n
n,r (nr)!r!
Sebagai latihan pada kombinasi, kerjakan soal latihan berikut.
1. Ada 10 mahasiswa yang memenuhi syarat untuk memperoleh suatu bea
siswa. Ada berapa cara untuk memilih mereka jika bea siswa hanya
diperuntukkan 5 orang saja? 3 orang saja? 1 orang saja?
2. Ada empat kelompok pemain dalam sebuah tim sepak bola, yakni penjaga
gawang, pemain belakang, pemain tengah dan pemain depan. Susunan
kelompok inilah yang dipergunakan untuk menamai pola yang dimainkan
oleh suatu tim. Pada saat menghadapi timnas Thailand, timnas Indonesia
232
menerapkan pola 1 – 3 – 5 – 2. Jika timnas Indonesia terdiri dari 3 penjaga
gawang, 7 pemain belakang, 8 pemain tengah dan 5 pemain depan, ada
berapa kemungkinan susunan pemain utama yang dapat dibentuk?
3. Satu kantong berisi 4 kelereng merah dan 7 kelereng putih. Secara acak
diambil 5 buah kelereng. Tentukan banyaknya semua kemungkinan
susunan 5 kelereng tersebut!

c. Peluang
Peluang dimaksudkan sebagai nilai kemungkinan munculnya sebuah
kejadian sebagai hasil dari suatu percobaan. Percobaan adalah proses
pengamatan atau pengukuran yang hasilnya mengandung ketidaktentuan. Ini
berarti bahwa kita tidak bisa memastikan hasilnya sebelum proses pengamatan
atau pengukuran tersebut dilakukan. Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru
(SPMB) sebagaimana yang di contohkan di awal bab ini, dapat dipandang sebagai
sebuah percobaan, karena hasilnya tidak bisa dipastikan sebelum proses tersebut
dilakukan. Kapasitas peluang dalam hal ini hanya untuk menentukan seberapa
besar kemungkinan seorang peserta lulus seleksi, dan bukan untuk memastikan
apakah seseorang lulus atau tidak lulus. Oleh karena hasil sebuah percobaan
mengandung ketidaktentuan, maka peluangpun juga bersifat tak tentu.
Contoh lain dari percobaan adalah
 Percobaan melambungkan mata uang logam; hasil yang mungkin adalah
muncul angka (A) atau gambar (G);