1 COSTRUZIONE DI MACCHINE Prof. Sergio Baragetti (Allievi del Corso di Laurea in Ingegneria

12 Pages·2004·0.17 MB·Italian

Tema d’esame del 14/02/2002
&26758=,21((cid:3)’,(cid:3)0$&&+,1((cid:3)(cid:3)
Prof. Sergio Baragetti
(Allievi del Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica)

$SSHOOR(cid:3)GHO(cid:3)(cid:20)(cid:23)(cid:3)IHEEUDLR(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:21)(cid:3)

In figura e’ rappresentato l’albero di un agitatore (albero 3) inserito in un elemento cilindrico a tenuta; sulle
palette di estremità agisce la spinta P.
Considerando che la trasmissione della potenza tra gli alberi di entrata ed uscita viene effettuata con
l'interposizione di una ruota folle (montata sull’albero 2), viene richiesto:
1) calcolare la potenza nominale del motore;
2) tracciare i diagrammi di Mf e Mt nell'albero intermedio con ruota folle (albero 2), scegliere il materiale e
verificarlo a fatica;
3) eseguire un disegno costruttivo dell'albero intermedio (albero 2).

a b c e

r P
3

P

2

A B C

M
1

’DWL(cid:3)

Spinta sulla paletta P = 2120 N
Velocità angolare albero agitatore w3 = 110 rad/s
Numeri di denti z1 = z3 = 60 denti
z2 = 19 denti
Modulo normale mn = 8 mm
Angolo di pressione normale a = 20°
n
Angolo di inclinazione elica b = 15°
Diametro di riferimento albero ruota folle (albero 2) d = 40 mm
2
Lunghezza albero ruota folle AB = BC = 200 mm
Distanze geometriche a = 100 mm
b = 300 mm
c = 200 mm
e = 250 mm
r = 150 mm

Per gli allievi che hanno l'obbligo di rispondere a tutte le domande è inoltre richiesto il disegno complessivo
dei supporti dell’albero 2.

1
Tema d’esame del 14/02/2002
1. Potenza nominale del motore

L’albero utilizzatore, su cui sono inserite le palette dell’agitatore, è mosso dal motore mediante un a
trasmissione a due stadi, formata da ruote dentate elicoidali.
Benché questo non sia vero, possiamo ritenere che il rendimento di una trasmissione a ingranaggi
sia unitario: nel fare ciò evidentemente prescindiamo da tutti quei fenomeni (attrito, urti, agitazione
del lubrificante nella cassa del riduttore,…) che conducono a dissipare energia, facendo sì che la
potenza trasmessa, in uscita, sia inferiore alla potenza immessa dal motore nel ruotismo.

È nota la forza che rappresenta la reazione fluidodinamica nell’agitatore, applicata su ogni paletta, a
un raggio r, dato: poiché le pale sono due, il loro effetto si somma. La coppia applicata all’albero 3,
quello condotto, è:

& =2(cid:215)3(cid:215)U =636 Nm (1.)
3

è nota anche la velocità angolare dell’albero condotto, che è pari a

w = 110 rad/s
3

La potenza all’uscita è quindi

W = C (cid:215)w = 69960 W §(cid:3)(cid:26)(cid:19)(cid:3)N: (2.)
3 3 3

2. Calcolo delle azioni scambiate fra le ruote.

Le ruote che compongono la trasmissione sono cilindriche, a dentatura elicoidale, con modulo
normale P(cid:0) (cid:27) mm; questo è il modulo della dentiera che è usata per costruire la ruota dentata. Le
dentature sono inclinate di un angolo b=15°.

Il modulo frontale, misurato su un piano normale all’asse del dente, si ricava dalla relazione
P(cid:1)
P(cid:2) =
cosb
(3.)
P(cid:3) = 8,28 mm (4.)

Le ruote che ingranano devono necessariamente avere tutte lo stesso modulo:a questo valore si lega
il diametro primitivo (frontale), che essendo z il numero dei denti è dato da:
P
’(cid:6) =P(cid:5) (cid:215)]= (cid:4) (cid:215)] (5.)
cosb
nel caso della ruota calettata sull’albero 3: ’(cid:8) =P(cid:7) ] =496,9mm (6.)
3 3
È noto l’angolo di pressione normale, a =20°.
n
Nel piano frontale, perpendicolare all’asse della ruota, si identifica un altro angolo di pressione,
detto IURQWDOH, a(cid:9) , legato agli altri dalla relazione:

WJ(a )
WJ(a(cid:11) )= (cid:10) = 0,377 (7.).
cos(b)

2
Tema d’esame del 14/02/2002
In un ingranaggio a denti elicoidali le ruote si scambiano un’azione, S, normale al fianco del dente,
che si può scomporre in tre direzioni: oltre alle componenti tangenziale e radiale (che sono sempre
presenti) c’è anche una componente in direzione assiale1.

S
R
a
P n
n
R
p
P T
n
A
b

)LJXUD(cid:3)(cid:20)(cid:3)

La componente tangenziale è quella cui compete la trasmissione di momento torcente nell’albero:

’(cid:12)
& =7(cid:215) 3 (8.)
3 2

Nota T, le altre azioni sono:

WJ(a )
5 =7 (cid:215) (cid:13)
cos(b) (9.)
$=7 (cid:215)WJ(b)

1 Si vedano per esempio su questo argomento:
(OHPHQWL(cid:3)GL(cid:3)0HFFDQLFD(cid:3)GHOOH(cid:3)WUDVPLVVLRQL, Quaderni di formazione SKF, SKF Industrie S.p.A. Airasca (TO)
Davoli, P., Filippini, M, Gorla, C., Lo Conte, A., 2UJDQL(cid:3)GHOOH(cid:3)0DFFKLQH, Milano, 2001
Oppure gli $SSXQWL(cid:3)GL(cid:3)0HFFDQLFD(cid:3)$SSOLFDWD(cid:3)DOOH(cid:3)0DFFKLQH dei corsi dei proff. E. Massa e B.Pizzigoni, Spiegel, Milano
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Tema d’esame del 14/02/2002
Nel macchinario in esame ci sono due ingranaggi, uno formato dalle ruote [1] e [2], e il secondo
formato dalle ruote [2] e [3]. Per chiarezza, indicheremo le forze scambiate fra due ruote con un
pedice il cui primo elemento indichi anche su quale ruota le azioni sono applicate: per esempio, la
forza 7(cid:14)(cid:16)(cid:15) (cid:3)sarà scambiata nell’ingranaggio 2-3, e agisce sulla ruota [2]. La controparte sarà T32, sulla
ruota [3], ed evidentemente(cid:3)7(cid:14)(cid:16)(cid:15) (cid:16)7(cid:15)(cid:16)(cid:14) .

Abbiamo quindi:

2
7 =& =2560 N
32 3
’(cid:18)
3
( )
5 =7 (cid:215)WJa(cid:17) =965 N (10.)
32 32
$ =7 (cid:215)WJ(b)=686 N
32 32

Le stesse forze agiscono, con direzione opposta, sulla ruota [2].

Il momento torcente sull’albero 2 si ricava dal rapporto di trasmissione:

]
& =& 2 =201,4 Nm (11.)
2 3
]
3

e sull’albero 1 vale:

]
& =& 1 =636 Nm (12.)
1 2
]
2
Le coppie sull’albero 1 e 3 sono le stesse: si sarebbe potuto notare questo dal fatto che i denti sulla
prima e sulla terza ruota sono in ugual numero, quindi il rapporto di trasmissione complessivo è

] ] 60
t(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:19) = 1 2 = =1 (13.)
] ] 60
2 3

La ruota [2] si può a ragione definire una “ruota oziosa”, nel senso che serve solo a cambiare il
senso di rotazione dell’albero d’uscita, rendendolo parallelo a quello del motore, ma non modifica il
valore della coppia o della velocità angolare applicata.

Applicando le (10.) all’ingranaggio [1-2] si ricavano le azioni scambiate fra le ruote, che sono

T 2560 N
12
R 965 N
12
A 686 N
12

Da ciò segue che, sulla ruota [2] agiscono tutte queste forze:

T 2560 N
21
R 965 N
21
A 686 N
21
T 2560 N
23
R 965 N
23
A 686 N
23
4
Tema d’esame del 14/02/2002
Se assumiamo un senso di rotazione arbitrario per l’albero condotto, possiamo disporre le forze
scambiate fra le ruote seguendo l’inclinazione dei denti: la nostra scelta per il senso di rotazione è
illustrata nella figura seguente. Nel dettaglio, (figure 2 e 3) il senso di rotazione dell’albero [2] e la
direzione delle forze determinate dall’interazione fra le dentature.
5(cid:30)$(cid:31)
$(cid:30)$(cid:31)
z
z
y
x 7(cid:30) (cid:31)
y
x
$(cid:30)#!
7(cid:30)#!
5(cid:30)"!
(cid:3) )LJXUD(cid:3)(cid:21)(cid:3) )LJXUD(cid:3)(cid:22)(cid:3)

Vogliamo ora individuare i diagrammi delle azioni interne nell’albero AC provocati dalle forze
delle ruote dentate. Applichiamo il Principio di Sovrapposizione degli Effetti, studiando una forza
per volta.
Nel seguito, per brevità, la lunghezza dei segmenti AB e BC sarà indicata con la lettera ‘O’
(cid:3)
(IIHWWR(cid:3)GHOOH(cid:3)D]LRQL(cid:3)VFDPELDWH(cid:3)IUD(cid:3)OH(cid:3)UXRWH(cid:3)>(cid:21)@(cid:3)H(cid:3)>(cid:20)@(cid:3)

(IIHWWR(cid:3)GHOO¶D]LRQH(cid:3)7(cid:22)(cid:24)(cid:23) (cid:29)(cid:3)

Riportiamo l’azione T all’asse dell’albero e calcoliamo le reazioni vincolari (H e H ) mediante
21 1A 1B
una relazione di equilibrio alla traslazione (in direzione dell’asse x) e alla rotazione attorno ad A.

+ (cid:26) ++ (cid:25) -7 =0 (14.)
1 1 21
-+ (cid:27) (cid:215)2O+7 (cid:215)O =0 (15.)
1 21

dalla (15.) ricaviamo

7
+ (cid:28) = 21 =1280 N (16.)
1 2
e dalla (14.)
7
+ (cid:29) = 21 =1280 N (17.)
1 2

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Tema d’esame del 14/02/2002
z
y
x
+0(cid:21)3
7/#0
+021

)LJXUD(cid:3)(cid:23)(cid:3)(cid:3)
Il momento flettente è massimo in corrispondenza dell’asse della ruota, con valore

0’ & = + % (cid:215)O=256 Nm (18.)
max, 21 1
(cid:3)
(IIHWWR(cid:3)GHOO¶D]LRQH(cid:3)5((cid:24)) (cid:29)(cid:3)

Calcoliamo le reazioni vincolari (V e V ) mediante una relazione di equilibrio alla traslazione (in
1A 1B
direzione dell’asse z) e alla rotazione attorno ad A.

-9+ -9* +5 =0 (19.)
1 1 21
9, (cid:215)2O-5 (cid:215)O =0 (20.)
1 21

dalla (20.) ricaviamo

5
9- = 21 =482,5 N (21.)
1 2

e dalla (19.)

5
9. = 21 =482,5 N (22.)
1 2

z
y
x
90(cid:21)3
5/"0
9041

)LJXUD(cid:3)(cid:24)(cid:3)(cid:3)
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Tema d’esame del 14/02/2002
Il momento flettente è massimo in corrispondenza dell’asse della ruota, con valore

07 6 =95 (cid:215)O=96,5 Nm (23.)
max, 21 1

(IIHWWR(cid:3)GHOO¶D]LRQH(cid:3)$8(cid:24)9 (cid:29)(cid:3)

L’azione assiale genera sia una sollecitazione lungo l’asse dell’albero, sia un momento flettente,
poiché è applicata in corrispondenza del diametro primitivo della ruota condotta. Riconduciamo la
forza all’asse dell’albero, considerando il momento di trasporto applicato.
Calcoliamo le reazioni vincolari (V’ e V’ ) mediante una relazione di equilibrio alla traslazione
1A 1B
(in direzione dell’asse z) e alla rotazione attorno ad A.

G:
-9’; (cid:215)2O+ $ =0 (24.)
1 21 2
-9’= +9’< =0 (25.)
1 1

dalla (24.) ricaviamo

$ G>
9’? = 21 =135 N (26.)
1 4O

e dalla (25.)

9’A =9’@ =135 N (27.)
1 1

L’azione V’ tende le fibre sul lato positivo dell’asse z; in corrispondenza della ruota dentata, il
1A
momento di trasporto concentrato provoca una discontinuità del diagramma del momento.
Il momento massimo vale:

0C B =9’B (cid:215)O=27 Nm (28.)
max, 21 1

z
y
x
$ G
9¶D2F 21 S
2
9¶D2E
(cid:3)
)LJXUD(cid:3)(cid:25)(cid:3)(cid:3)
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Tema d’esame del 14/02/2002
(IIHWWR(cid:3)GHOOH(cid:3)D]LRQL(cid:3)VFDPELDWH(cid:3)IUD(cid:3)OH(cid:3)UXRWH(cid:3)>(cid:21)@(cid:3)H(cid:3)>(cid:22)@(cid:3)

(IIHWWR(cid:3)GHOO¶D]LRQH(cid:3)7G(cid:16)H (cid:29)(cid:3)

Riportiamo l’azione T all’asse dell’albero: notiamo che essa coincide con la T , non solo per
23 21
quanto concerne la direzione e il verso, ma anche il modulo. Le reazioni vincolari sono identiche a
quelle calcolate in precedenza:

7
+ I = 23 =1280 N (29.)
2 2
7
+ J = 23 =1280 N (30.)
2 2
e anche il diagramma del momento flettente è:
z
y
x
+UYX
7U V
+U$W

)LJXUD(cid:3)(cid:26)(cid:3)(cid:3)
Il momento flettente massimo è

0M L =+ K (cid:215)O=256 Nm (31.)
max, 23 2
(cid:3)
(IIHWWR(cid:3)GHOO¶D]LRQH(cid:3)5N(cid:16)O (cid:29)(cid:3)

L’azione R è opposta a R e agisce lungo la stessa direzione. Possiamo calcolare le reazioni
23 21
vincolari con le stesse equazioni usate in precedenza:

+9 Q +9 P -5 =0 (32.)
2 2 23
-9 R (cid:215)2O+5 (cid:215)O =0 (33.)
2 23

Dalla (20.) ricaviamo

5
9 S = 23 =482,5 N (34.)
2 2

e dalla (19.)

5
9 T = 23 =482,5 N (35.)
2 2
Possiamo anche notare che, essendo la forza R uguale e opposta a R , anche le reazioni vincolari
23 21
sono opposte alle precedenti, e il diagramma del momento flettente è simmetrico al precedente.
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Tema d’esame del 14/02/2002
z
y
x 5i j
9i$l
9i k

)LJXUD(cid:3)(cid:27)(cid:3)(cid:3)
Il momento flettente massimo vale
0\ [ =9 Z (cid:215)O=96,5 Nm (36.)
max, 23 2

(IIHWWR(cid:3)GHOO¶D]LRQH(cid:3)$](cid:16)^ (cid:29)(cid:3)

L’azione assiale agisce in direzione opposta ad A ; riportandola all’asse dell’albero, il momento di
21
trasporto che si genera è uguale a quello prodotto da A .
21
Per quanto riguarda le reazioni vincolari, si trova:

G_
-9 ‘ (cid:215)2O+$ =0 (37.)
2 23 2
-9 b +9 a =0 (38.)
2 2
perciò:
$ Gc
9 d = 23 =135 N (39.)
2 4O
e
9 f =9 e =135 N (40.)
2 2

Il momento massimo vale ancora 0h g =9 g (cid:215)O=27 Nm (41.)
max, 23 2
E il diagramma diviene:
z
y
x
$ G
9iYl 23 S

2
9i$k
(cid:3)
)LJXUD(cid:3)(cid:28)(cid:3)(cid:3)
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Tema d’esame del 14/02/2002
&RQVLGHUD]LRQL(cid:3)DOOD(cid:3)ULFRPSRVL]LRQH(cid:3)GHOOH(cid:3)D]LRQL

Gli effetti di R e R sono opposti: possiamo affermare fin d’ora che essi tendono a bilanciarsi,
21 23
elidendosi. La sovrapposizione interessa gli effetti delle forze assiali e tangenziali, equiverse; il
momento risultante è quindi:
z
y
x

,O(cid:3)PRPHQWR(cid:3)IOHWWHQWH dovuto alle azioni tangenziali e alle azioni assiali è, rispettivamente

0n m =0n m +0n m =512 Nm (42.)
max, max, 21 max, 23
0p o =0p o +0p o =54 Nm (43.)
max, max, 21 max, 23

,O(cid:3)PRPHQWR(cid:3)WRUFHQWH(cid:3)FRPSOHVVLYR è nullo, perché esso è prodotto dalle due azioni tangenziali, che
si equilibrano.

6FHOWD(cid:3)GHO(cid:3)PDWHULDOH(cid:3)GHOO¶DOEHUR(cid:3)H(cid:3)YHULILFD(cid:3)D(cid:3)IDWLFD.

Poiché l’albero è sottoposto a momento su due piani ortogonali, per ricavare l’entità complessiva ne
effettuiamo una composizione vettoriale nel punto dove entrambi sono massimi:

0r = 0r2max,s +0r2max,q =515 Nm (44.)

Lo sforzo che si origina nell’albero si ricava dalle note leggi di De Saint-Venant:

0t 320t
s = = =82 MPa (45.)
max :t pG3

Scegliamo che l’albero sia costruito con un acciaio da bonifica, il 39NiCrMo3, le cui caratteristiche
meccaniche sono riportate nel seguito, per elementi meccanici con dimensioni fra 40 e 100 mm di
sezione.

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