Table Of ContentА. К. ЗВОНКИН
Р И С У Н К И
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО ЦЕНТРА МОСКОВСКОГО
НЕПРЕРЫВНОГО ИНСТИТУТА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОТКРЫТОГО
ОБРАЗОВАНИЯ ОБРАЗОВАНИЯ
МОСКВА — 2006
УДК 372.3/.4:51(072) (cid:1)КнигииздательстваМЦНМОможнопри-
ББК 74.102 обрести в магазине <Математическая
книга>
З42 (cid:2) 119002,Москва,Бол.Власьевскийпер.,11
(проезд до ст. метро <Смоленская> или
<Кропоткинская>)
(cid:3) (495)- (cid:4)[email protected]
241-72-85 http://biblio.mccme.ru/
Звонкин А. К.
З42 Малыши и математика. Домашний кружок для до-
школьников / Рис. М. Ю. Панова. — М.: МЦНМО,
МИОО, 2006. — 240 с.: ил.
ISBN 5-94057-224-3.
Авторэтойкниги—профессиональныйматематик—рассказывает
о своём опыте занятий математикой с дошкольниками. Жанр книги
смешанный:дневниковыезаписиперемежаютсярассуждениямиомате-
матикеилиопсихологии,наблюдениязадетьмиизаихреакциейнапро-
исходящее служат источником для новых задач, а те в свою очередь
позволяют углубить и развить как бы намеченные пунктиром идеи.
Книгабудетинтереснародителямдошкольников(атакжеихбабуш-
кам и дедушкам), воспитателям детских садов, учителям начальных
классов,ивообщевсемтем,когоинтересуетпроцессразвитиядетского
интеллекта.
УДК 372.3/.4:51(072)
ББК 74.102
Александр Калманович Звонкин.
Малыши и математика.
Домашний кружок для дошкольников.
Руководитель издательского проекта В. О. Бугаенко.
Редактор Н. Б. Бугаенко.
Художественный редактор П. М. Юрьев.
ИздательствоМосковскогоцентранепрерывногоматематическогообразования.
119002, Москва, Бол. Власьевский пер., 11.
Издательство Московского института открытого образования.
125167, Москва, Авиационный пер., 6.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП <Типография ,,Наука“>.
119099, Москва, Шубинский пер., 6.
ISBN 5-94057-224-3 © А. К. Звонкин, 2006.
© МЦНМО, 2006.
© МИОО, 2006.
ГЛАВА 4.
Кружок с мальчиками — второй год 72
Занятие 33. Подобие . . . . . . . . 72
Оглавление Занятие 34. Без событий . . . . . . . 74
Занятие 35. Почтичтоподсчётвероятно-
стей . . . . . . . . . . . . . . . 75
Занятие 36. Игра с тремя костями . . 76
Занятие 37. Сколько прямоугольников? 78
Занятие 38. Всё валится из рук . . . 80
Занятие 39. После спада — подъём . . 81
Небольшой экскурс в прошлое . . . . 82
Язык программирования Малыш . . . 85
Несколькопредварительныхзамечаний 5 Занятие 40. Появляются блоки Дьенеша 89
Занятие 41. Тоже:блокиДьенешаиробот 91
Родительский дневник . . . . . . . . 5 Занятие 42. Снежинки . . . . . . . 92
Зачемвестикружок?Зачемнужендневник? 6 Занятие 43. О некоторых свойствах сло-
Нужно ли редактировать дневники? . . 8 жения . . . . . . . . . . . . . . 93
Размышления неофита о дошкольной Занятие 44. Магический квадрат . . . 97
математике . . . . . . . . . . . . 9 Занятие 45. Обобщённые цепочки . . 98
Занятие 46. Изоморфизм задач . . . . 99
Когда она начинается? (9). Считаем Занятие 47. Конец истории про C2 . . 100
по-японски (9). Детсадовская геоме- Занятие 48. Истинныеиложныеу5тверж-
трия (10). дения . . . . . . . . . . . . . . 102
Мнения . . . . . . . . . . . . . . 11 Немного программирования — с одним
Краткая история наших занятий . . . 12 Димой . . . . . . . . . . . . . . 103
Благодарности . . . . . . . . . . . 15 Занятие 49. Поводпоразмыслитьознаках 105
Два предупреждения . . . . . . . . 16 Занятие 50. Двойной юбилей . . . . . 108
Занятие 51. Какая дорожка длиннее? . 108
Занятие 52. Разгадка шифра . . . . . 110
ГЛАВА 1. Занятие 53. Генеалогическое древо . . 111
Занятие 54. Конец учебного года . . . 113
Первоезанятиеимысливокруг . . . 17
Как это происходило . . . . . . . . 17
ФеноменыПиаже:реальностьилиобманы ГЛАВА 5.
зрения? . . . . . . . . . . . . . 25 Простое и сложное: об обозначениях,
О пользе чтения книг по психологии . 30
Как относиться к теориям . . . . . . 33 процессе абстрагирования, математике
и языке . . . . . . . . . . . . . . 115
ГЛАВА 2. Значки для слов . . . . . . . . . . 115
Кружок с мальчиками — первый год 35 <Упрощённые> обозначения . . . . . 116
В одном человеке сосуществуют разные
Занятие 21. Лист Мёбиуса . . . . . . 35 интеллекты . . . . . . . . . . . . 118
Занятие 22. Чтобольше,целоеиличасть? 36 Учить математике так же, как мы учим
Занятие 23. Ханойская башня . . . . 39 детей говорить . . . . . . . . . . 122
Занятие 24. Немножко топологии . . . 42
Занятие 25. Мальчик в лифте . . . . 43
Занятие 26. Пересекающиеся классы . 45
ГЛАВА 6.
Занятие 27. Четырёхугольникинамозаике 46
Занятие 28. Начинаем теорию вероятно- Кружок с мальчиками — третий год 124
стей . . . . . . . . . . . . . . . 48
Занятие 29. Полный провал . . . . . 49 Занятие 55. Логические задачи . . . . 124
Занятие 30. Переливание воды . . . . 51 Занятие 56. Директор строительства . . 126
Занятие 31. Снова теория вероятностей 54 Занятие 57. Кто бутее, Гобр или Ступ? 127
Занятие 32. Дипломы . . . . . . . . 55 Занятие 58. План комнаты . . . . . . 130
Несколько дополнительных задач . . . 56 Долгая пауза . . . . . . . . . . . . 132
Как рисовать куб? . . . . . . . . . 59 Занятие 59. Что видит другой . . . . 136
Занятие 60. Рефлексия . . . . . . . 138
Занятие 61. Каксложитьневидимыечисла? 140
ГЛАВА 3. Занятие 62. Какая комната больше? . . 142
Дети иC2:историяоднойзадачи . . 61 Занятие 63. Разум против случайности 144
5 Занятие 64. Сновасражаемсясшансами 146
Занятие 65. Гомеоморфизм . . . . . . 148
Комбинаторная задача . . . . . . . . 61
Занятие 66. Топология . . . . . . . 150
Эквивалентные задачи . . . . . . . . 63
Занятие 67. Четыре краски . . . . . 151
Обозначить... . . . . . . . . . . . . 65
О том, о сём: шутки, разговоры, задачи 152
Доказательства . . . . . . . . . . . 67
Физика и логика . . . . . . . . . . 69 Болтаем(153).Сноваоматематике(155).
Оглавление — 4 — Оглавление
ГЛАВА 7. Занятие 1. Снова феномены Пиаже . 200
Кружок с мальчиками — последние Занятие 2. Принцы и принцессы . . 204
Занятие 3. Сколько разниц? . . . . 206
полгода . . . . . . . . . . . . . . 160
Занятие 4. Построение по чертежу . . 208
Занятие 5. Перестановки . . . . . . 210
Занятие 68. Подвохи календаря . . . 160
Занятие 6. Порядок утренних дел . . 212
Занятие 69. Много устных задач . . . 162
Занятие 7. Игра побеждает науку . . 213
Занятие 70. Снова о программах . . . 163
Занятие 8. Между двумя зеркалами . 215
Занятие 71. Школьныезадачи...ну,почти 166
Занятие 9. Во дворе . . . . . . . . 216
Занятие 72. Подпрограммы . . . . . 168
Занятие 10. Расположение двухцветных
Занятие 73. Нечётные числа и квадраты 170
кубиков . . . . . . . . . . . . . 219
Занятие 74. Геометрия чисел . . . . . 172
Занятие 11. Пятёрки . . . . . . . . 220
Занятие 75. Об индейцах майя . . . . 173
Занятие 76. Всё когда-нибудь кончается 175
ГЛАВА 10.
ГЛАВА 8. Кружок с девочками — второй год 221
В школеидома . . . . . . . . . . 177
Занятие 12. Что-то не так с теорией ве-
Беседыоматематикеигрустныерассуж- роятностей . . . . . . . . . . . . 221
дения о школе . . . . . . . . . . 177 Занятие 13. Опять о пересекающихся
О первоклассниках . . . . . . . . . 190 классах . . . . . . . . . . . . . 222
Занятие 14. Ханойская башня . . . . 224
Занятие 15. Башни равной высоты . . 225
ГЛАВА 9. Занятие 16. Поворот на 90◦ . . . . . 226
Кружок с девочками — первый год 194 Занятие 17. Снежинки . . . . . . . 227
Занятие 18. Грани,вершиныирёбракуба 227
Введение . . . . . . . . . . . . . 194 Занятие 19. Волк, коза и капуста . . . 230
Ответы на часто задаваемые вопросы Занятие 20. Цепочка с одной разницей 233
(194). Характеры (195). Женя рисует
(длинное отступление) (195). Возвра-
щаясь к математике (199). Эпилог . . . . . . . . . . . . . . 238
наянамирониякуда-тоотступаетивы-
тесняется совсем другими эмоциями.
Эта книжка — про наших детей.
Унасихдвое—сынДимаидочьЖеня.
Несколько
Об их детских годах здесь и расска-
зывается; ну, и, разумеется, об их
друзьях тоже — ведь не жили же они
предваритель-
в колбе. Хотя невозможно отрицать,
что мы были гораздо более внима-
тельными и наблюдательными, когда
ных замечаний
дело касалось именно наших детей,
а не чужих.
Перед автором возникает суровый
вопрос: что интересного найдёт для
Родительский дневник себя в этой книге посторонний чита-
тель? Почему она должна быть ин-
Среди многочисленных окололите- тересна не только нашей семье, но
ратурных жанров существует и такой: и чужим людям?
родительский дневник. Дети растут, По идее ответ таков: эта книга —
с ними много всякого происходит, не <просто дневник>, а дневник ма-
а родители всё это аккуратно заносят тематического кружка. Когда Диме
в тетрадочку. Потом, через много лет, исполнилось 3 года и 10 месяцев,
этитетрадочкиоказываютсяпросто-та- я собрал четверых ребят примерно
кизахватывающимчтением.Особенно того же возраста, что и он, или чуть
для самих родителей. Ещё бы — ведь постарше, его приятелей по двору,
это про своих собственных детей, да и начал вести с ними математиче-
ещё в таком умилительном возрасте. ский кружок. Вот об этом довольно
И, опосредованно, о своей молодости. необычном опыте здесь и рассказано.
Часто ли вам, уважаемый читатель, Если угодно, эту книжку можно вос-
приходилосьразглядыватьфотографии принимать и как своего рода задач-
маленькихдетей—несвоих,ачужих? ник по математике для дошкольни-
Приходят гости, вытаскивают стопку ков. С той особенностью, что, кроме
фотографий, и начинается... Вы уже самихзадач,здесьрассказываетсяещё
навторомдесяткеструдомподавляете и о том, как дети на эти задачи реаги-
зевоту, а они готовы длить это дейст- ровали, что понимали, что нет, какие
водобесконечности.Всё,чтокасается у нас с ними возникали трудности
их детей или внуков, кажется им и недоразумения.
неотразимоинтересным;аваспреследу- Пожалуй, если бы какой-нибудь
ет только одна мысль: ну до чего же авторнаписалсборникзадачпосамой
все младенцы похожи друг на друга! обыкновенной геометрииилиалгебре,
Вотиясейчас,какговорится,<пред- ноприэтомещёпревратилбыкаждую
ставляя эту книгу на суд читателя>, задачувживуюисториюотом,какон
испытываювесьмасмешанныечувства. и его ученики с этой задачей <сража-
Я хотел бы, но никак не могу войти лись> — что ж, такая книга вполне
вположениестороннегоиобъективно- могла бы меня как читателя заинте-
гонаблюдателя.АллаЯрхо,мояжена, ресовать. С малышами же это всё не-
вообщеговоря,являетсяоченьстрогим сравненно интереснее. Весь процесс
ипридирчивымкритиком.Нокаждый развития мышления, все движения
раз, беря в руки этот текст, она его интеллекта здесь гораздо виднее, го-
в очередной раз перечитывает — и не раздоярче. Начинаякружок,янемог
может оторваться. Вся столь привыч- предвидеть, до чего это дело окажется
Зачемвестикружок?Зачемнужендневник? — 6 — Несколькопредварительныхзамечаний
увлекательным, попросту захватыва- менно сейчас, сию минуту? Успеется,
ющим. В результате так вышло, что время ещёесть. Как-нибудь наднях...
в течение многих лет мой круг чтения И в итоге ничего не происходит.
в большой степени складывался из Еслижевызнаете,чтозавтраводин-
книг по педагогике и психологии — надцать утраквамприведутчетверых
это сначала, а потом пошло дальше, малышей, и вам нужно будет их раз-
вширь: лингвистика, психиатрия, по- влекать хотя бы полчаса, вот тогда
ведение животных, генетика поведе- ситуациявкорнеменяется.Хотитевы
ния... Я открыл для себя новый мир, того или не хотите, но вам придётся
я стал богаче и надеюсь, что умнее, сесть в укромный уголок и начать
и всёэто благодаря моим детям. Хотя, что-то придумывать. Не получается
казалось бы, ещё Грибоедов заметил: придуматьсамому—значитлезтьвка-
<Но чтоб иметь детей, кому ума не- кие-нибудь книжки за идеями. А ко-
доставало?>. гда настойчиво над чем-то думаешь,
А дошкольная математика в её чи- рано или поздно в голову приходят
сто математическом аспекте, между совсем новые идеи, которые вообще
прочим, намного проще школьной — не появились бы, если бы не давле-
она доступна любому читателю, а не ние обстоятельств.
одним лишь специалистам. Это очень Или, допустим, вы породили новую
сильно расширяет потенциальную ау- идею, но она может потребовать <ма-
диторию книги. териальнойподготовки>:нужночто-то
В общем,главноесделано: ясам се- вы´ резать,нарисовать, склеить...Чтобы
бясумелубедить,чтокнижкаэтаинте- подвигнуть себя на такой <труд ради
ресна не мне одному. Теперь я могу семьи>, нужно иметь более жёсткие
с чистой совестью рекомендовать её иболееконкретныестимулы,чемпро-
читателю. (Призна´юсь однако без лу- сто залетевшая в голову мысль о воз-
кавства, что многие друзья, читавшие можной забавной задаче.
первую,ещёрукописнуюверсиюднев- Дети, между прочим, тоже больше
ника, уже давно призывали меня из- любят,когдаихдеятельность сопряже-
датьеговвидекниги.Множествоксеро- на с неким ритуалом. Если взрослые
копий разошлось сначала по Москве, начнут ни с того ни с сего отвлекать
апотом иповсемумиру.Этотинтерес детей от игры и приставать к ним
неугасаетужевтечениедвадцатилет, с какими-то задачами, это вызовет
и это для меня ещё один аргумент скорее лёгкое раздражение и желание
в пользу данного предприятия.) поскорей отделаться от этой неумест-
ной навязчивости. И совсем другое
дело — раз в неделю в определённое
Зачем вести кружок? время собираться всем вместе, чтобы
Зачем нужен дневник? заниматься чем-то серьёзным.
Таков вкратце ответ на первый во-
Кружок, как и любая другая форма прос: зачем вести кружок?
систематическихзанятий,—этоспособ Что касается дневника, то никакого
самодисциплины. В принципе, каза- дневника я поначалу не вёл, да и во-
лось бы, можно заниматься с детьми общеособосерьёзногозначениясвоим
ибезкружка.Задаватьвремяотвреме- занятиям не придавал. Читатель уви-
ни какие-то вопросы, задачи, что-то дит, что дневник начинается только с
обсуждать. Но в реальной жизни так 21-го занятия. Первые <20 недель> —
не получается, и весь проект очень это вовсе не пять месяцев, как можно
скоро превращается в утопию. Вчера было бы подумать, а все десять: за
было некогда, сегодня нет настроения это время были и летние каникулы,
илиустал...Ивообще—почемунепре- и разные другие пропуски. И вообще
Несколькопредварительныхзамечаний — 7 — Зачемвестикружок?Зачемнужендневник?
не надо думать, что если мы решили процесс их придумывания). С другой
заниматься регулярно раз в неделю, стороны, путь от задачи к решению
то так уж всегда прямо и следовали вполне может занять несколько лет.
принятому решению. Да-да, несколько лет, не удивляйтесь:
А дальше произошло вот что. При- вы ещё увидите тому массу примеров.
мерно через полгода после начала В течение всего этого времени интел-
занятий несколько моих друзей по- лектребёнкавовсенеспит.Онбурлит,
просили меня рассказать, чем и как он кипит, он <носится, как угорелый>
мы занимаемся. Я радостно открыл вокруг всего, что попадает в поле его
рот...—новместопотоказадачиидей, внимания, в том числе и вокруг моих
который должен был бы из меня из- задач. Наш диалог на эту тему —
литься, вдруг возникла неловкая пау- это-то и есть самое интересное!
за. Оказалось, что я всё забыл! Ну, не Таким вот образом мало-помалу
совсем всё, конечно, но близко к то- мой <список задач> стал обрастать
му. Что я прекрасно помнил — так всё бо´льшим и бо´льшим количеством
это то общее чувство энтузиазмаи на- комментариев, историй, анекдотов,
полненности детской энергетикой, ко- стал включать порой темы не только
торое постоянно сопровождало меня математические, там появились ка-
на наших занятиях. А вот его кон- кие-то общие рассуждения и <тео-
кретное наполнение фактами где-то рии>, и так постепенно образовался
заблудилось среди извилин. Что-то этот дневник.
подобное рассказывают обинвалидах, А потом наступил следующий этап:
потерявших ногу: чувство, что нога между кружком и дневником возни-
здесь, сохранилось, а самой ноги нет. кла обратная связь. Когда записы-
Такого подвоха от собственной па- ваешь то, что видел и о чём думал,
мятиянеожидал;ябылсмущёнирас- сами собой возникают новые мысли,
строен.Послеэтогоразговора,записав возможные повороты сюжета, рожда-
вкратце то, что ещё хоть как-то удер- ются новые задачи и темы занятий.
жалось в голове, я решил впредь Осмысление становится глубже. Даже
вести нечто вроде конспекта. Пусть наблюдательность — и та заостряется,
у меня будет хотя бы список задач, что ли. Порой вспоминаешь что-то
а на их основе вспомнится и осталь- произошедшеенакружке,начтовсу-
ное. Интересно, что я уже тогда, в тот матохе не обратил внимания, а потом
момент подумал про <остальное>; ви- бы и вообще забыл, если бы вовремя
димо, я уже интуитивно чувствовал не записал. Вот такой в конечном
недостаточность самой идеи <списка итоге получился симбиоз, когда уже
задач>. одно трудно себе представить без дру-
Очень скоро я совершил своё пер- гого.
вое <теоретическое открытие> в обла- И,наконец, последнийштрих.Про-
сти педагогики. Я обнаружил (понял, шло время, дети выросли — и про-
почувствовал?), что записывать сами чли мой дневник. Оказалось, что они
по себе задачи дело не очень осмы- многое хорошо помнят, и их воспри-
сленное. То, что по-настоящему инте- ятие событий далеко не всегда со-
ресно, — это вовсе не условия задач впадает с моим (а иногда и является
и не их решения, а тот процесс, тот в точности ему противоположным).
путь, который ведёт от одного к дру- По моей просьбе они добавили к тек-
гому. Вы легко можете себе пред- сту свои комментарии. Так появилось
ставить, что математические задачи, некое дополнительное измерение, де-
которые можно давать дошкольнику, лающее весь проект более диалогич-
сами по себе достаточно тривиальны ным; как выразился один знакомый,
(нетривиальным является только возникает стереоскопический эффект.
Нужнолиредактироватьдневники? — 8 — Несколькопредварительныхзамечаний
кэтомунуникакнесводится;посуще-
Нужно ли редактировать дневники? ствуяописываювсреднемполчасаиз
двух недель его жизни. У него есть
Ясчитаю,чтобезусловнода,нужно. идругиеинтересы,идругиепроблемы,
Старинные авторы говорили: <Эти и другие таланты. Читая эту книгу,
листы никогда тиснению преданы не даже я сам склонен об этом забывать,
будут>. То есть, мол, никогда не будут аужчто говоритьочитателе, который
напечатаны.Чащевсеголукавили:рас- этих детей никогда в глаза не видел!
считывали на то, что взволнованные (Яещёвернуськэтойтеменастр.195—
иблагодарныепотомкинайдутихтруд, 199, но в отношении одной лишь Же-
придут в восторг от их искренности ни.) И это ещё не говоря о том, что
иоткровенности(ведьписано-тотолько все эти дети уже давно выросли и им
длясебя!)—иопубликуют,инаступит сейчас по 25—30 лет. Скоро уже их
вечная слава. Поймать такого автора собственные дети будут читать о сво-
бывает проще простого. Он постоянно их папах и мамах: <Когда папа был
поясняетсамсебето,что,казалосьбы, маленький...> То, что когда-то ещё
и без того прекрасно знает. В таких могло хоть как-то претендовать на до-
ремарках нуждается читатель, но ни- кументальность, с течением времени
как не сам автор. всё более и более приобретает черты
Еслижедневникивсамомделепи- художественного вымысла; это будто
шетсядлясебя,апотомчитаетсякем-то написано о каких-то других людях.
другим,могутвозникнутьчудовищные Немогусказать,чтоэтотмойдневник
искажения.Представьтесебе,скажем, был таким уж однозначно интимным
такуюситуацию.Естьчеловек,которого документом. Это скорее технический
я очень сильно уважаю; так сильно, документ. Я его и в самом деле писал
чтоэтограничитгде-тодажеспрекло- для себя, но никогда не имел в виду
нением. Однако я всё же не слепой, держать его в секрете и охотно пока-
и для меня не являются секретом не- зывал всем, кто им интересовался. Но
которыеегомаленькие,атоинетакие и этот технический характер тоже со-
уж маленькие недостатки и смешные здаёт свои проблемы. Ну, не буду же
чертыхарактера.Вдневнике<длясебя> явсамомделесамсебеобъяснять,что
я могу вдоволь поиронизировать, по- такоеханойскаябашняилизадачапро
издеваться над этим человеком; могу волка,козуикапусту!Иещё—вори-
даже при случае излить своё раздра- гинале имелись повторения, непонят-
жение. При этом мне вовсе не нужно ныеместа,записи,нуждавшиесяврас-
напоминатьсамомусебепромоёкне- шифровке... (Впрочем, некоторые по-
му истинное отношение. (<Но вы не вторения я оставил; особенно те, где
подумайте, я его вообще-то очень из одних и тех же посылок делаются
уважаю...> — Кто <вы>?) Если этот совершенно разные выводы. Так оно
текст потом попадёт к постороннему <аутентичнее>.)
читателю, картина окажется весьма Одним словом, есть масса сообра-
далёкой от реальности: о моём уваже- жений, иногда этических, иногда тех-
нии читатель ничего не узнает, оста- нических, по которым мой материал
нутся одни насмешки, одна язвитель- нуждался в самом серьёзном редак-
ность. тировании. Вот почему я всегда укло-
Или возьмём другой пример, более нялся от многочисленных предложе-
кнамблизкий.Вотяпишуздесьодетях. ний опубликовать свой дневник <так
Вроде бы так, да не совсем. На самом как есть>.
деле я пишу всего лишь об одном Ну, а почему же я его тогда так
аспекте их жизни — об их взаимоот- долго не редактировал? Зачем тянул
ношениях с математикой. А ребёнок столько лет?
Несколькопредварительныхзамечаний — 9 — Размышлениянеофитаодошкольнойматематике
Ну, чего тут объяснять? Жизнь есть размышляет о том, как поступить; по-
жизнь. То одно, то другое (как гово- том — эврика! — протягивает кубики
рил один персонаж Стругацких, объ- папеивосклицает:<На-на!>.Такихо-
ясняя, почему он не стал писателем). чется тут перефразировать Пушкина:
Ивообще,пораужеперестатьходить следовать за мыслями малого челове-
вокруг да около и перейти к делу. ка есть наука самая занимательная.
К двум годам очень многое уже
усвоено. Вот мальчик двух с неболь-
Размышления неофита шим лет будит утром отца:
о дошкольной математике —Папа, папа, ты спишь?
—Дане´т,несплю,—отвечаетпапа,
Когдаонаначинается? Такиесцен- протираяглаза.—Янакухне,чайпью.
ки каждый из вас наблюдал не раз. Сын крайне удивлён: это противо-
Мамапрячетсязаштору,потомсулыб- речит всем ранее выученным урокам.
кой выглядывает и говорит: <Ку-ку!>. На всякий случай он всё же бежит
Исновапрячется.Асовсемещёкрошеч- на кухню проверить. Возвращается
ныймалышприкаждомеёпоявлении он оттуда триумфатором:
хлопает в ладоши и радостно визжит. —Нет, ты не на кухне! Ты во´т, во´т
Оба совершенно счастливы. Обоим, ты где!
конечно же, и в голову не приходит, В следующий раз его тем же спосо-
что они занимаются математикой. бом провести не удастся. Хочется всё
Я написал эту фразу не для того, же отметить вот этот момент самосто-
чтобышокироватьчитателяилиподце- ятельного исследования, когда он на
питьегонаудочкупритянутого зауши всякий случай сбегал на кухню по-
парадокса. Я это всерьёз. Если почи- смотреть. Мы все без всяких объясне-
тать труды психологов, можно узнать, ний чувствуем, что это очень важное
что в возрасте до полутора лет основ- детское качество, и что хорошо было
наяинтеллектуальнаязадача,которая бы подольше его сохранить.
стоит перед ребёнком, заключается Считаем по-японски. Пройдёт ещё
втом,чтобыоткрытьзаконпостоянства немного времени, и ребёнка начнут
объектов. То есть, что вещи не исче- ужесовершенносознательно<обучать
зают, когда мы перестаём их видеть, математике>. На практике это обычно
а остаются существовать там же, где означает, что его будут учить считать.
были, — существовать без нас. Ока- Спору нет, умение считать — вещь
зывается, такой важный объект, как важная и полезная. Но нам, взро-
мама, исчезнув за портьерой, всё же слым, бывает очень трудно понять,
продолжает быть где-то здесь, и вско- что´ это умение означает в реальности.
ре появляется из-за той же портьеры. Давайте встанем на место ребёнка
Ребёнок растёт, и его осмысление и попробуем сами научиться арифме-
мира растёт вместе с ним. Вот микро- тике... но только по-японски! Итак,
скопического размера девочка играет вотвам первыедесять чисел: и´ти, ни,
взахватывающуюигру:онаподбирает сан, си, го, ро´ку, си´ти, ха´ти, ку, дзю.
по одному разбросанные на полу ку- Первое задание — выучить эту после-
бики и даёт их папе, каждый раз при довательность наизусть. Вы увидите,
этом торжественно возглашая: <На!>. чтоэтонетак-топросто.Когдаэтонако-
Папа берёт кубик — и она заливисто нецудастся,можетеприступатьковто-
хохочет. Она совсем недавно усвоила рому заданию: попробуйте научиться
слово<на>ииспользуетегоприкаждой считать также и в обратном порядке,
возможности.Неожиданноеёнесовсем отдзюдоити.Еслииэтоужеудаётся,
ещё ловкие ручки захватывают сразу давайтеначнёмвычислять.Сколькобу-
двакубика.Несколькомгновенийона дет к року прибавить сан? А от сити
Размышлениянеофитаодошкольнойматематике — 10 — Несколькопредварительныхзамечаний
отнять го? А хати поделить на си? Теперьвыотдаётесебеотчётвтом,что
Атеперь давайте решимзадачу. Мама проблемаздесьневоднойтолькомеха-
купила на базаре ку яблок и дала по нической памяти: если бы дело было
ни яблок каждому из си детей; сколь- только в ней, то вся работа заняла бы
кояблокунеёосталось?Оченьтрудное, полчаса.Ноеслиневпамяти,товчём
но обязательное условие — не пере- же?Можетеливывычленитьизвашего
водить на русский, даже в уме. После опыта содержательные, чисто матема-
недолгого периода тренировок такой тические трудности, которые присут-
переводможетвозникатьвмозгунепро- ствуют в счёте, но остаются где-то
извольно, против нашей воли, а то за кадром — невидимые, незаметные?
и вообще незаметно для нас самих. Не так-то легко, не правда ли?
Тотинтеллектуальныйподвиг,кото- И,можетбыть,этоклучшему.Иначе
рыйсовершаютдетивначальнойшко- энтузиасты раннего обучения тут же
ле, я оценил позднее, оказавшись во бросились бы изо всех сил объяснять
Франции.Проживздесьужеболееде- малышу то, чего он пока ещё понять
сяти лет, я всё ещё испытываю проб- неможет,желаяпоскореевтащитьего
лемысфранцузскимичислительными. за шиворот на следующую ступеньку
Всё потому, что французы считают лестницы.
нетак,какмы,винтервалеот70до99. А ведь он мог бы сам...
После шестидесяти девяти у них идёт Детсадовскаягеометрия.Втораяте-
шестьдесят-десять (т. е. 70), шестьде- ма, традиционно фигурирующая вдо-
сят-одиннадцать(71),шестьдесят-две- школьнойматематике—этогеометрия.
надцать (72) и т. д.; наконец, в конце Считается, что детям нужно сообщить
десятка — шестьдесят-девятнадцать некоторый(довольноскромный)набор
(79);послеэтоговдругвозникаетчеты- сведений,касающихсягеометрических
ре-двадцать(80),четыре-двадцать-один фигур:чтотакоетреугольник,квадрат,
(81), четыре-двадцать-два (82), ... круг, угол, прямая, отрезок, а также
..., четыре-двадцать-девять (89), — научить их простейшим приёмам из-
и снова, как ранее, четыре-двадцать- мерения. Но давайте вдумаемся: если
десять(90),четыре-двадцать-одиннад- ребёноклегкоотличаетвилкуотложки,
цать(91),четыре-двадцать-двенадцать почему же ему трудно отличить квад-
(92), ..., четыре-двадцать-девятнад- ратоттреугольника?Даемуинетрудно
цать (99); после этого, наконец, сто. вовсе! В чём он действительно испы-
Когда мне очень быстро говорят теле- тывает трудность, так это в уяснении
фонный номер, или называют годы логических взаимоотношений между
рожденияисмертикакого-нибудьзна- понятиями, а также тех действий, ко-
менитого человека, ухватить со слуха торые можно с фигурами совершать.
нужное число удаётся не всегда. Хо-
рошо ещё, что мне не приходится всё
это складывать-вычитать.
(Отсюда, кстати, и происходит этот
часто упоминаемый в педагогической
литературе смешной ответ француз-
ского младшеклассника: на вопрос
<Сколько будет двадцать умножить
на четыре?> он ответил: <Будет четы-
ре-двадцать, потому что умножение
коммутативно>.)
Рис. 1. Слева нарисован квадрат. А справа?
Новотвынаконецнаучилисьбеглому
Дети часто думают, что нет: повёрнутый ква-
счётувпределахдзю.Скольковремени
драт теряет статус квадрата и превращается
у вас на это ушло? Неделя? Месяц? просто в четырёхугольник.
