Table Of ContentМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. М.В.ЛОМОНОСОВА
ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И
КИБЕРНЕТИКИ
А.М. ДЕНИСОВ, А.В. РАЗГУЛИН
ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Часть 1
МОСКВА — 2009 г.
Пособие отражает содержание первой части лекционного курса
"Обыкновенные дифференциальные уравнения", читаемого студентам
факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.
Ломоносова в соответствии с программой по специальности "Приклад-
ная математика и информатика" .
(cid:13)c Факультет вычислительной математики
и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова, 2009 г.
(cid:13)c А.М. Денисов, А.В. Разгулин, 2009 г.
Оглавление 3
Оглавление
1 Основные понятия 7
1.1 Понятия о дифференциальных уравнениях . . . . . . . . . 7
1.2 Некоторые математические модели, описываемые обык-
новенными дифференциальными уравнениями . . . . . . . 10
1.2.1 Движение материальной точки . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Модели динамики популяций . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Обыкновенное дифференциальное уравнение первого по-
рядка, разрешенное относительно производной . . . . . . . 13
1.4 Дифференциальные уравнения в симметричном виде и в
полных дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Уравнение в симметричном виде . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Уравнение в полных дифференциалах . . . . . . . . 19
1.4.3 Интегрирующий множитель . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Задача Коши 25
2.1 Задача Коши для уравнения первого порядка, разрешен-
ного относительно производной . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Редукция к интегральному уравнению . . . . . . . . 25
2.1.2 Лемма Гронуолла-Беллмана . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3 Условие Липшица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.4 Теорема единственности решения задачи Коши . . 30
2.1.5 Локальная теорема существования решения
задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Задача Коши для уравнения первого порядка, не разре-
шенного относительно производной . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Примеры постановки задачи Коши . . . . . . . . . . 36
2.2.2 Теоремасуществованияиединственностирешения
задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Оглавление
2.2.3 Методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.4 Особые решения дифференциального уравнения
первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Задача Коши для нормальной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений и уравнения n-го порядка
на всем отрезке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.1 Постановка задачи Коши для нормальной системы 45
2.3.2 Теорема единственности решения задачи Коши
для нормальной системы . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.3 ТеоремасуществованиярешениязадачаКошидля
нормальной системы на всем отрезке. . . . . . . . . 48
2.3.4 Задача Коши для дифференциального уравнения
n-го порядка на всем отрезке . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.5 Задача Коши для системы линейных обыкновен-
ных дифференциальных уравнений n-го порядка . 54
2.3.6 Задача Коши для линейного обыкновенного
дифференциального уравнения n-го порядка . . . . 55
2.4 ЗадачаКошидлянормальнойсистемы(локальнаятеорема) 55
3 Общая теория линейных обыкновенных дифференци-
альных уравнений 61
3.1 Комплекснозначныерешениялинейногодифференциаль-
ного уравнения n-го порядка и системы линейных обык-
новенных дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . 61
3.2 Общие свойства линейного дифференциального уравне-
ния n-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3 Линейная зависимость скалярных функций и определи-
тель Вронского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.1 Линейная зависимость произвольных скалярных
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.2 Линейная зависимость и независимость решений
линейного однородного дифференциального урав-
нения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 Фундаментальная система решений и общее решение ли-
нейного дифференциального уравнения . . . . . . . . . . . 71
3.4.1 Фундаментальная система решений линейного
однородного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4.2 Общее решение линейного однородного уравнения . 72
3.4.3 Общее решение линейного неоднородного уравнения 74
Оглавление 5
3.4.4 Метод вариации постоянных. . . . . . . . . . . . . . 75
3.4.5 Построение фундаментальной системы решений
для линейного однородного уравнения с постоян-
ными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4.6 Построениевещественнойфундаментальнойсисте-
мырешенийдлялинейногооднородногоуравнения
с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . 81
3.5 Построение линейного дифференциального уравнения n-
го порядка по его решениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.5.1 Построение линейного дифференциального урав-
нения по его решениям . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.5.2 Формула Остроградского-Лиувилля . . . . . . . . . 87
4 Общая теория линейных систем обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений 89
4.1 Линейные системы дифференциальных уравнений и мат-
ричные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . 89
4.1.1 Линейные однородные системы . . . . . . . . . . . . 89
4.1.2 Однородные матричные дифференциальные урав-
нения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2 Линейная зависимость вектор-функций и определитель
Вронского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.1 Линейная зависимость произвольных вектор-
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.2 Линейная зависимость и независимость решений
линейнойоднороднойсистемыдифференциальных
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3 Фундаментальная система решений и общее решение ли-
нейной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.1 Фундаментальная система решений линейной
однородной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.2 Общее решение линейной однородной системы . . . 97
4.3.3 Общее решение линейной неоднородной системы,
метод вариации постоянных . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4 Построение фундаментальной системы решений для ли-
нейной однородной системы дифференциальных уравне-
ний с постоянной матрицей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4.1 Построение фундаментальной системы решений,
когда существует базис из собственных векторов . . 102
6 Оглавление
4.4.2 Построение фундаментальной системы решений,
когда не существует базиса из собственных векторов103
4.4.3 Построение фундаментальной системы решений
в вещественном виде . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
A Неявные функции и функциональные матрицы 108
A.1 Теорема о неявных функциях . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
A.2 Зависимость функций и функциональные матрицы . . . . 109
B Общая теория линейных дифференциальных уравнений
с точки зрения систем линейных дифференциальных
уравнений 112
B.1 Связь линейной зависимости скалярных функций и
вектор-функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
B.2 Линейная зависимость решений линейного однородного
дифференциального уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . 114
B.3 Фундаментальная система решений и общее решение ли-
нейного однородного дифференциального уравнения . . . 116
B.4 Общее решение линейного неоднородного дифференци-
ального уравнения, метод вариации постоянных . . . . . . 117
B.5 Построение фундаментальной системы решений для ли-
нейного однородного уравнения с постоянными коэффи-
циентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Литература 122
1.1. Понятия о дифференциальных уравнениях 7
Глава 1
Основные понятия
1.1. Понятия о дифференциальных уравнениях
Дифференциальнымуравнениемназываетсяуравнение,содержащее
производные неизвестной функции. Приведем некоторые примеры.
Пример 1.1.1. Найти функцию y(t) такую, что
y000(t)+(y0(t))2−ety(t)=1+t, a6t6b.
Пример 1.1.2. Найти функцию u(t,x) такую, что
u (t,x)+u (t,x)=(t2+x)u(t,x), a6t6b, c6x6d.
tt t
Пример 1.1.3. Найти функцию u(t,x) такую, что
u (t,x)−u (t,x)+u(t,x)=0, a6t6b, c6x6d.
t xx
Уравнение, содержащее производные неизвестной функции только
по одной независимой переменной, называется обыкновенным диффе-
ренциальным уравнением.
Уравнение, содержащее производные неизвестной функции по нес-
кольким независимым переменным, называется дифференциальным
уравнением в частных производных.
Уравнения, приведенные в примерах 1.1.1 и 1.1.2, являются обык-
новенными дифференциальными уравнениями, уравнение из примера
1.1.3 – дифференциальным уравнением в частных производных.
Порядком дифференциального уравнения называется наибольший
порядок входящих в него производных.
Данныйкурспосвящен,восновном,обыкновеннымдифференциаль-
ным уравнениям.
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка
относительно неизвестной функции y(t) называется уравнение
F(t,y(t),y0(t))=0, t∈[a,b],
8 Глава 1. Основные понятия
где F(t,y,p) – заданная функция трех переменных.
Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка отно-
сительно неизвестной функции y(t) называется уравнение
F(t,y(t),y0(t),...,y(n)(t))=0, t∈[a,b],
где F(t,y,p ,...,p ) – заданная функция n+2 переменных.
1 n
Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка, раз-
решенным относительно старшей производной, называется уравнение
y(n)(t)=F(t,y(t),y0(t),...,y(n−1)(t)), t∈[a,b], (1.1)
где F(t,y,p ,...,p ) – заданная функция n+1 переменной.
1 n−1
Нарядусобыкновеннымидифференциальнымиуравнениямиможно
рассматривать системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пусть заданы функции f (t,y ,y ,...,y ), i = 1,2,...,n. Нормальной
i 1 2 n
системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно
неизвестных функций y (t),...,y (t) называется система
1 n
y0(t) = f (t,y (t),y (t),...,y (t)), t∈[a,b],
y10(t) = f1(t,y1(t),y2(t),...,yn(t)), t∈[a,b],
2 2 1 2 n (1.2)
...
y0(t) = f (t,y (t),y (t),...,y (t)), t∈[a,b].
n n 1 2 n
Уравнение (1.1) может быть сведено к нормальной системе (1.2).
Действительно,пустьфункцияy(t)являетсярешениемуравнения(1.1).
Введем функции
y (t)=y(t), y (t)=y0(t), ... y (t)=y(n−2)(t), y (t)=y(n−1)(t).
1 2 n−1 n
Тогда функции y (t),...,y (t) являются решениями нормальной систе-
1 n
мы
y0(t) = y (t), t∈[a,b],
y120(t) = y23(t), t∈[a,b],
... (1.3)
yyn00−(t1)(t) == yFn((tt,)y, (t),y (t),...,y (t)), tt∈∈[[aa,,bb]],.
n 1 2 n
Справедливо и обратное. Если функции y (t),...,y (t) являются ре-
1 n
шениями системы (1.3), то функция y(t) = y (t) является решением
1
уравнения (1.1).
1.2. Некоторые математические модели 9
Рис. 1.1. К примеру 1.1.4: слева – интегральная кривая (спираль), справа –
фазовая траектория (окружность).
При решении уравнения (1.1) или системы (1.2) часто приходит-
ся проводить операцию интегрирования. Процесс нахождения решений
обычно называется интегрированием дифференциального уравнения
или системы.
Всякое решение (y (t),y (t),...,y (t)) системы (1.2) можно интер-
1 2 n
претировать геометрически как кривую в n+1 мерном пространстве
переменных (t,y ,y ,...,y ). Кривая (t,y (t),y (t),...,y (t)) называет-
1 2 n 1 2 n
ся интегральной кривой. Пространство переменных (y ,y ,...,y ) на-
1 2 n
зывается фазовым пространством, а определенная в этом пространстве
кривая (y (t),y (t),...,y (t)) – фазовой траекторией.
1 2 n
Пример 1.1.4. Нормальная система
(cid:26) y0(t)=−y (t), t∈[0,4π],
1 2
y0(t)=y (t), t∈[0,4π]
2 1
имеет решение y (t) = cost, y (t) = sint. Интегральная кривая этого
1 2
решения в пространстве переменных (t,y ,y ) является спиралью, со-
1 2
стоящей из двух витков, а фазовая траектория – окружностью (см.
рис. 1.1).
10 Глава 1. Основные понятия
1.2. Некоторые математические модели,
описываемые обыкновенными
дифференциальными уравнениями
Обыкновенныедифференциальныеуравненияявляютсяосновойма-
тематических моделей разнообразных процессов и явлений. Приведем
некоторые примеры подобных математических моделей.
1.2.1. Движение материальной точки
Рассмотрим процесс движения материальной точки с единичной
массой вдоль прямой, которую будем считать осью x. Движение точ-
ки обусловлено тем, что на нее действует сила f(t), зависящая от вре-
мени t. Обозначим положение точки в момент времени t через x(t). В
соответствии с вторым законом Ньютона получим, что
d2x
=f(t). (1.4)
dt2
Таким образом, при заданной функции f(t) движение точки описы-
ваетсяобыкновеннымдифференциальнымуравнениемвторогопорядка
относительно неизвестной функции x(t).
Решение уравнения (1.4) может быть легко найдено в результате
двукратного интегрирования
t τ
Z Z
x(t)= f(θ)dθdτ +c +c t, (1.5)
1 2
t0 t0
гдеt -некотороезаданноечисло,аc иc –произвольныепостоянные.
0 1 2
Изформулы(1.5)следует,чтоуравнение(1.4)неопределяетоднозначно
процесс движения x(t). Это легко понять и из физических соображе-
ний. Действительно, для однозначного определения положения точки
x(t) нужно знать её положение в некоторый момент времени t , то есть
0
величину x = x(t ) и ее скорость v = x0(t ). В этом случае c = x ,
0 0 0 0 1 0
c = v и положение точки x(t) в любой момент времени определяется
2 0
однозначно.
Уравнение (1.4) определяет простейший вариант движения точки
вдоль прямой. Если сила, действующая на точку, зависит не только от
