Table Of ContentLecture Notes ni
Mathematics
Edited by .A Dold dna .B Eckmann
619
hcirlU-lraK Grusa
idiewZ ,elanoisnem
ednereilopretni Lg-Splines
dnu ihre Anwendungen
galreV-regnirpS
nilreB Heidelberg New kroY 1982
Autor
Karl-Ulrich Grusa
Lohhofstra6e 511
4902 Bad Salzuflen 1
AMS Subject Classifications (1980): 35C05, 35C10, 35J 35, 14 A15,
41A63, 46E35, 49A 22, 65D07, 65E05, 73K12, 78A30, 86A10,
86A20, 90A12, 90A15, 90A16
ISBN 3-54041213-8 Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork
ISBN 0-38"741213-8 Springer-Verlag NewYork Heidelberg Berlin
emhanfualetitzruK-PIC der Deutschen Bibliothek
Grusa, Karl-Ulrich:
Zweidimensionale, interpolierende Lg-Splines dnu ihre negnudnewnA /
Karl-Ulrich Grusa. - Berlin; Heidelberg; New York: Springer, .2891
(Lecture notes ni mathematics; )619
ISBN 8-31211-045-3 (Berlin, Heidelberg, weN )kroY
ISBN 8-31211-783-0 (New York, Heidelberg, Berlin)
:EN GT
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(cid:14)9 by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2891
Printed ni Germany
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012345-0413/1412
Meinen lieben Eltern
Artur und Magdalena Grusa
Psalm 115
Zweidimensionale, interpolierende Lg-Splines und ihre
Anwendungen
Widmung III
Inhaltsverzeichnis IV
Vorwort VII
.I Tell Die Splinetheorie
0.1 Einleitung 1-3
0.2 Anwendungsspektrum der Splines 3-11
0.3 Nomenklatur 12-14
1.1
1.1 Die Charakterisierungss~tze 15-17
1.2 Analyse des Randgebietes
Die topologische Struktur des Randge- 18-21
bietes
1.3 Konstruktion der Randoperatoren 22-27
1.2 Untersuchung der Bilinearform
1.2 Existenz eines abgeschlossenen, selbst- 28-31
adjungierten Operators
1.3 Verallgemeinerter Spektralsatz
1.3 Unit~re ~quivalenz eines selbstadjungier- 13 -33
ten Operators zu einem Multiplikations-
operators
1.4 Kern der Randoperatoren 34-38
1.5 Verallgemelnerte Form der partiellen In- 38-43
tegration
IV
Seiten
1.6
6.1 Technische Lemmata 43-46
6.2 Anwendung der verallgemeinerten partiel- 46-53
len Integration auf die Bilinearform
1.7 Lemmata zu den Charakterisierungssitzen 53 -57
1.8
8.1 Die Lg-Splines und die Variationsrech- 58-59
nung
8.2 Spezielle Lg-Splines und die Blending- 60-61
funktionen
II. Tell Die Anwendungen 62
II I. Der Lg-Spline, der im Randgebiet harmo- 63 -92
nisch und im Rechteck biharmonisch ist
1.1 Ubersicht 63-64
1.2 Konstruktion der iterativen L~sung im 65 -78
Randgebiet
1.3 Die explizite LOsung des Randgebietes O8
1.4 Konstruktion der L~sung im Rechteck 80-91
1.5 Die explizite L~sung im Rechteck 92
II 2. Der Lg-Spline, der im Randgebiet holo- 93-102
morph und im Rechteck harmonisch ist
2.1 Die L~sung im Randgebiet 93-I00
2.2 Konstruktion der approximativen L~sung 101-103
im Rechteck
IIV
I1-3 Der Lg-Spline, der zum Differentialope- lO3-133
rator A=oo+~+~ gehSrt mit den ana-
lytischen Koeffizienten
1.3 Ubersicht 103-107
3.2 Konstruktion der LSsung im Rechteck 107-128
3.2.1 LSsung der Wirmeleitungsgleichung im 107-115
Rechteck
3.2.2 LSsung der reduzierten parabolischen 116-118
Gleichung durch Integraloperatoren
3.2.3 Konstruktion des Kerns des Integral- 119-120
operators
3.2.4 Die approximative LSsung 120-128
3.3 Konstruktion der LSsung im Randgebiet 129-133
I1.4 Der Lg-Spline, der zum Differentialope- 134-215
rator A-A+c mit konstantem, negativen
Koeffizienten c gehSrt
Konstruktion der Splinel~sung im Recht- 134-179
eck bezGglich a&u+Zc4r
1.4 D~bersicht 135-139
Detailliere Gliederung 140
4.8 Zusammenfassung 178-I 79
Konstruktion des Splines auf dem Rand- 180-214
gebiet
4.9 thcisreo~t 180-182
Detaillierte Gliederung 182
4.13 Die approximative LSsung 210-214
Die L~sung im Rechteck 214-215
I1.5 Anwendung in den Wirtschaftswissenschaften
1.5 Der zweidimensionale Spline interpretiert 216-225
als ein dynamisches Marktmodell
Literaturverzelchnis 332-622
Sachverzeichnis
Vorwort
Die vorliegende Arbeit kann ale Beitrag zur mehrdimensionalen
Spllnetheorie, die seit 1978 in der mathematischen Literatur
starke Beachtung findet und zur Zeit hochaktuell ist, gesehen
werden.
Die Arbeit wurde bewu~t vom Standpunkt der zweldimenslonalen
Lg-Splines her konzepiert, da ein reiches Anwendungsspektrum
(Selten 3-11) zu verzelchnen let.
rttF die Charakterisierung und die explizite Konstruktlon der
Splines werden die verschiedensten mathematischen Teilgebiete
ben~tigt. In der Splinetheorie der Seiten 12-57, die den Be-
weis der Charakterisierungss~tze enth~lt, werden tlefliegende
Funktlonalanalytische-~ethoden angewandt.
Ein gewisses Schwergewicht der Arbeit llegt auf den Anwendungen
(ab Seite 62). Die explizite Splinekonstruktlon auf Rechtecken
let nach Seite 2 (siehe auch Duchon (23)) mathematisch sehr auf-
wendig, da singul~re Integralgleichungen aufzustellen, zu l~sen,
beziehungsweise auf Fredholmgleichungen zu reduzieren sind.
Hier ist "harte" Analysis zu leisten.
Die Interpretation des Splines II.5 ale dynamisches Marktmodell
glbt uns neue AufschlUsse Gber das dynamische Verhalten der
Preisentwicklung (Anpassungsprozesse) bez~glich der Standort-
wahl yon Unternehmen und kann zu einer bisher nicht betrachteten
Standorttheorie in den Wirtschaftswissenschaften ausgebaut
werden.
Die zweldimensionalen, interpolierenden Lg-Splines sollten be-
sonders vom interdisziplin~ren Standpunkt aus gesehen werden,
da slch die Anwendungen auf Teilgebiete der Wirtschaftswlssen-
schaften, der Elektrotechnik, der Geologic und Geophyslk, der
Regional- und St~dteplanung und der Medizin beziehen.
Diese Arbelt soll ein erster, bescheidener Beitrag zur zwei-
dimensionalen Splinetheorie und ihrenAnwendungen sein.
Bad Salzuflen, im September 1981
1.0.1 Ein 1 e i tung
Die mehrdimensionale Approximation und Interpolation dutch
Splines beschrinkte sich bisher auf die Tensorproduktmetho-
den; gewisse Ausnahmen bilden die Arbeiten yon Atteia ,)3(,)2(
Ritter (5~) , Sard (5~), Schaback (55)und anderen.
Die Tensorproduktmethoden sind in ihren Anwendungen einfach
abet nut beschrinkt anwendbar. In Wirklichkeit sind sie nur
eindimensionaler Natur, deshalb erreichen wir kein tieferes
Verst~ndnis der mehrdimensionalen Splinetheorie.
In den Beispielen des Teils II werden echte zweidimensionale
Methoden zur expliziten Splinekonstruktion benutzt.
Es gibt verschiedene ~Sglichkeiten mehrdimensionale Spllnes
zu betrachten. In die eine Richtung geht der D~ersichtsartikel
(~3) yon C. de Boor, in dem er eine Definition mehrdimensio-
haler B-Splines angibt, die auf die grundlegende Arbeit yon
H.B. Curry und l.J. Schoenberg (48) zur~ckgeht.
W. Dahmen ~9) und A. Micchelli (~6) charakterisie~en diese
B-Splines dutch FundamentallSsungen (abgebrochener Potenz-
reihen) distributionaler Differentialgleichungen.
In eine andere Richtung geht die vorliegende A~rbeit ~ber die
zweidimensionalen, interpolierenden Lg-Splines. Diese Splines
werden dutch die L~sung eines Minimalproblems definiert, phy-
sikalisch bedeutet es, da~ Energiefunktionale minimisiert
werden. Wir stellen uns zun~chst die Aufgabe das kinimalpro-
blem im Zweidimensionalen zu 15sen.
Als Grundgebiet wihlen wir ein verallgemeinertes Rechteck R
und im Innern eine Knotenverteilung. Durch die Knotenvertei-
lung ist uns das Randgebiet gegeben, das keine Knoten ent-
halt. Das Randgebiet erhalt man dadurch, dad aus dem vorgege-
benen Rechteck das kleinste abgeschlossene Rechteck, das alle
Knoten enthilt, herausgenommen wird.
Der zweidimensionale, interpolierende Lg-Spline ist charak-
terisiert durch die L~sung zweier partieller, homogener
Differentialgleichungen im Rechteck und im Randgebiet. Es ist
mSglich die Lg-Splines im folgenden Zusammenhang zu sehen.
Uber dem Gebiet R wird eine hinreichend glatte Fliche konstru-
iert, die an gewissen Punkten, den Knotenpunkten, vorgegebene
Werte annimmt. Der Lg-Spline kann auch als L~sung eines ver-
allgemeinerten Variationsproblems mit Nebenbedingungen aufge-
fa~t werden.
Fttr spezielle Differentialoperatoren geben wir die Splines im
Teil II an. U-ber die Konstruktion expliziter Lg-Splines ist im
Abstract kurz berichtet worden.
Wit verweisen in diesem Zusammenhang auf Atteia )2C , der als
erster zwei Splinebeispiele auf speziellen beschrinkten Ge-
bieten betrachtet hat.
J. Duchon (22) untersucht auch Splinefunktienen, die 9ber ~ini-
malbedingungen definiert sind. In seiner Arbeit (23) weist er
auf die schwierige Berechnung der Kerne in beschrMnkten Gebie-
ten hin und sagt: ... but the things are much simpler if we
replace k-S by the whole plane." Jean Duchon entwickelt dann
eine Splinetheorie in der Ebene und dem ~".
Auch Meinguet (@S) bearbeitet Interpolationsprobleme und Spline-
funktionen im ~"
Die Splines, die in den Anwendungen vorkommen, sind aber auf
beschrankten, abgeschlossenen Gebieten definiert.
Die zweidimensionalen, interpolierenden Lg-Splines k~nnen zur
globalen Approximation verwendet werden, wie sie L.L. Schumaker
in seinem Ubersichtsartikel (56) betrachtet.
De~ Vorteil der zweidimensionalen Lg-Splines gegen~ber her-
k~mmlichen zweidimensionalen Splines ist darin zu sehen, da~
unsere Splines mit den zu behandelnden Probemen verbunden
sind, zum Beisp iel dem Potentialverlauf Hber einem beschr~nk-
ten, abgeschlossenen Gebiet. Die bJsherigen Anwendungen zwei-
dimensionaler Splines waren auf kubische- und bestenfalls Poly-
nomsplines beschr~nkt.
Bei den Polynomsplines ist die Interpolation an den Knoten-
punkten (oder Me2punkten) exakt, das Verhalten zwischen den
Knotenpunkten wird nur durch Polynome beherrscht. Aber die Po-
lyncme stehen in keinem Zusammenhang zum betrachteten Problem
(z.B. des Potentialverlaufs).
Wohingegen unsere Splines zwischen den Knotenpunkten LUsungen
partieller, homogener Differentialgleichungen (z.B. der Poten-
tialgleichungsind und deshalb eng mit dem gestellten Problem
korrelieren. Der Vorzug der Lg-Splines gegenfiber den Polynom-
splines wird an den folgenden Anwendungsbeispielen kar.
1.0.2 Anwendungsspektrum der Splines
Modellbildung:
In den folgenden Amwendungen wollen wir die zweidimensionalen,
interpolierenden Lg-Splines yon dem Blickwinkel her sehen, da2
sie als Hilfsmittel zur Konstruktion yon dynamischen Modellen
sehr geeignet sind.
Wit untersuchen die Anwendungen der zweidimensionalen Splines,
die zur Laplacegleichung, der biharmonischen Gleichung, der
iterierten Lapacegleichung und einer parabolischen Gleichung
gehUren.
Die zweidimensionalen L~-Splines sind zur Modellbildung in Teil-
gebieten der Elektrotechnik geeignet.
Elektronik:
Die Konstruktion yon Elektronenr~hren sind in den Jahren 1930
bis 1940 naeh Analogmodellen durchgeftthrt worden. Wir bezie-
hen uns hier auf die bahnbrechenden Untersuohun~en yon
